機(jī)械振動(dòng)學(xué)習(xí)題解答(四)

1、機(jī)械振動(dòng)學(xué)機(jī)械振動(dòng)學(xué)習(xí)題解答（四）習(xí)題解答（四）2013-06-051 微分方程微分方程桿的縱向振動(dòng)軸的扭轉(zhuǎn)振動(dòng)弦的橫向振動(dòng)梁的橫向振動(dòng)連續(xù)系統(tǒng)振動(dòng)問(wèn)題的解題思路連續(xù)系統(tǒng)振動(dòng)問(wèn)題的解題思路2222( , )uuAEAf x ttx22222Luuctx受迫振動(dòng)自由振動(dòng)2LEc2222( , )ppIGIT x ttx22222Tctx2TGc2222( , )yyTf x ttx22222yyctx2Tc2424( , )yyAEIf x ttx242240yyctx2EIcA波動(dòng)方程波動(dòng)方程2 邊界條件邊界條件桿縱向位移軸扭轉(zhuǎn)角度弦橫向撓度梁橫向撓度連續(xù)系統(tǒng)振動(dòng)問(wèn)題的解題思路連續(xù)系統(tǒng)振動(dòng)問(wèn)題

2、的解題思路ufEAxu縱向力固定端0u 自由端0f pTGIx扭矩固定端0自由端0T yfTxy橫向力固定端0y 自由端0f yxy轉(zhuǎn)角固定端0, 0y簡(jiǎn)支端22yMEIx彎矩剪力33yVEIx0, 0yM自由端0, 0MV3 自由振動(dòng)的解自由振動(dòng)的解桿、軸、弦的波動(dòng)方程（以桿為例）令 ，代入方程得解得所以梁的自由振動(dòng)方程令 ，代入方程得解得或連續(xù)系統(tǒng)振動(dòng)問(wèn)題的解題思路連續(xù)系統(tǒng)振動(dòng)問(wèn)題的解題思路22222Luuctx( , )( )i tu x tU x e220LUUccossinUCkxDkx/Lkc()1cossinnitnnnnnuCk xDk x eC、D和k由邊界條件確定24224

3、0yyctx2EIcA( , )( )i ty x tY x e2(4)20YYc1234kxkxikxikxYC eC eC eC e/kc1234cossincoshsinhYDkxDkxDkxDkx()cossinnitnnnneAtBt也可寫為（）(a)4 強(qiáng)迫振動(dòng)的解強(qiáng)迫振動(dòng)的解(1)直接法當(dāng)激勵(lì)恰好作用在邊界上時(shí)，把激勵(lì)寫到邊界條件里，然后用類似于求解自由振動(dòng)的方法（例如習(xí)題8-3）(2)模態(tài)法（以梁為例）運(yùn)動(dòng)方程令其中Yn(x)為通過(guò)自由振動(dòng)方程求解出的振型函數(shù)，它滿足把(2)代入(1)，并利用(3)，得連續(xù)系統(tǒng)振動(dòng)問(wèn)題的解題思路連續(xù)系統(tǒng)振動(dòng)問(wèn)題的解題思路2424( , )yyA

4、EIf x ttx1( , )( )( )nnny x tY xt(4)4nnnYk Y4222/, /()nkccEIA其中(1)(2)(3)411( , )nnnnnnnAYEIk Yf x t(4)（即上頁(yè)(a)式）對(duì)(4)兩邊同乘以Ym(x) ，再沿長(zhǎng)度積分，并利用振型函數(shù)的正交性得即其中按單自由度受迫振動(dòng)的求解方法即可求出(5)式的解。連續(xù)系統(tǒng)振動(dòng)問(wèn)題的解題思路連續(xù)系統(tǒng)振動(dòng)問(wèn)題的解題思路2( )nnnnQ tAb 0( )( )0 LnmY x Yx dxnm200( )( , ), LLnnnQ tY f x t dxbY dx(5)242000( , )LLLnnnnnnAY d

5、xEIkY dxY f x t dx 81 求圖示階梯桿縱向振動(dòng)的頻率方程。解：解：微分方程振型函數(shù)代入邊界條件：振型函數(shù)：22222211222222, LLuuuucctxtx2LEcu1u21111222112( )cossin, 0( )cossin, U xCkxDkxxlUxCkxDkxlxll1(0)0U212()0Ull1121( )( )U lU l111221( )( )EAU lEAUl10C 2212tan ()DCk ll112121sincossinDklCklDkl11122121coscossinADklA DklCkl消去C1，D1，C2，D2 ，得頻率方程1

6、121121211tantan ()tantan ()tan/klk llklk llklAA1122tantanAklklA/Lkc82 長(zhǎng)度為L(zhǎng)、慣性矩為Is的軸兩端各帶有慣性矩為I0的圓盤(單位厚度)，求軸和圓盤組成的扭振系統(tǒng)的頻率方程，并在Is I0的情形下校驗(yàn)頻率方程的正確性。解：解：微分方程令 ，得振型函數(shù)：邊界條件：即注：圓盤的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量2200(0)(0), ( )( )ssGI QIQGI Q LIQ L 22222Tctx2TGc( , )( )i tx tQ x e( )cossin, /TQ xCkxDkxkc220022(0, )(0, )( , )( , ), sst

7、tL tL tGIIGIIxtxt 0JI，是因?yàn)椋?420002111,3222mIdrJmrIIr注：圓軸兩端的扭矩方向必定相反振型函數(shù)代入邊界條件，得：兩式聯(lián)立，得：00, (tan)(tan)sskI CI DkI CDkLIDCkL 022202/tan/1sskIIkLk II 所以頻率方程：當(dāng)Is I0時(shí)，(*)式左邊(*)式左邊所以此時(shí)系統(tǒng)近似為一個(gè)忽略軸的慣性的二自由度系統(tǒng)，其微分方程為220022tantanssIIkkkLkLII (*)tan/kLkLLG0222002/2/ssskIIIGk III 202/2stGILkIJ頻率只能是正數(shù)，所以負(fù)號(hào)應(yīng)舍去ktJJ11

8、220ttttkkJkkJ220ttttkJkkkJ方程的解2120, 2/tkJ83 長(zhǎng)度為L(zhǎng)的軸一端固定，另一端自由，扭矩T0sint施加于自由端，求軸的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。設(shè)軸截面的抗扭剛度為GIp，密度為。解：解：（直接法）微分方程令 ，得振型函數(shù)邊界條件：即22222Tctx2TGc0( , )(0, )0, sinpL ttGITtx( , )( )sinx tQ xt( )cossin, /TQ xCkxDkx kc0(0)0, ( )pQGI Q LT振型函數(shù)代入邊界條件，得：00, cospCGI DkkLT0cospTDGI kkL所以穩(wěn)態(tài)響應(yīng)0( , )sinsincospTx t

9、kxtGI kkL注：此題也可用模態(tài)法，得到的結(jié)果將是模態(tài)疊加的形式。84 初始狀態(tài)靜止，長(zhǎng)度為l、兩端固定、張力為T的弦中央受一階躍力P作用，計(jì)算弦在P力作用下的振動(dòng)位移響應(yīng)。解：解：（模態(tài)法，首先進(jìn)行自由振動(dòng)分析）( )cossinY xCkxDkx代入邊界條件：解得所以振型函數(shù)（再進(jìn)行受迫振動(dòng)分析）(0)0, ( )0YY l/kT 設(shè)振型函數(shù)( )sin, /nnnnnY xDk xkTnl2222( ) ()2yylTPu txtx0, sin0Ckl1( , )( )( )nnny x tY xt微分方程(2)(1)令其中Yn(x)滿足(3)2nnnYk Y0 0( )1 0tu

10、tt根據(jù)單自由度無(wú)阻尼系統(tǒng)受階躍激勵(lì)的響應(yīng)公式（課本p110式(2)），(5)式的解為所以系統(tǒng)響應(yīng)式中2( )nnnnQ tb 將(3)式代入(2)式，兩邊乘以Ym(x)，再沿長(zhǎng)度積分，利用振型函數(shù)的正交性，最終得21200sin(1 cos2)/ 2llnnbk xdxk x dxl221( )sin1 cos2nnnPnttl 0( )( ) ()sin( )sin( )sin222lnnnllnQ tPu txk xdxPu tkPu t2111 cos2( , )( )( )sinsin2nnnnnntPnny x tY xtxll所以(4)式變?yōu)?5)(4)22sin( )2nnnP

11、nu tl 將Yn代入公式時(shí)沒(méi)寫系數(shù)Dn ，因?yàn)榧词箤懥俗詈笠矔?huì)約掉注： 函數(shù)有以下性質(zhì)000( ) ()()lf xxx dxf x85 當(dāng)集中載荷P以速度v在長(zhǎng)度為l的簡(jiǎn)支梁上移動(dòng)時(shí)，計(jì)算梁振動(dòng)的位移響應(yīng)。設(shè)t = 0時(shí)梁處在靜止?fàn)顟B(tài)，且P位于梁左端。解：解：（模態(tài)法，首先進(jìn)行自由振動(dòng)分析）1234( )cossincoshsinhY xCkxCkxCkxCkx式中代入邊界條件：解得振型函數(shù)（再進(jìn)行受迫振動(dòng)分析）(0)0, (0)0, ( )0, ( )0YYY lYl42/()kAEI 設(shè)振型函數(shù)( )sin, /nnnnY xCk xknl2424()yyAEIPxvttx1( , )( )( )nnny x tY xt微分方程(2)(1)令其中Yn(x)滿足(3)(4)4nnnYk Y根據(jù)單自由度無(wú)阻尼系統(tǒng)受簡(jiǎn)諧激勵(lì)的總響應(yīng)公式（課本p98式(4-32)）(5)式的解為式中2( )nnnnQ tAb 將(3)式代入(2)式，兩邊乘以Ym(x)，再沿長(zhǎng)度積分，利用振型函數(shù)的正交性，最終得21200sin(1 cos2)/ 2l