數(shù)列通項公式求法實用

1、數(shù)列通項公式地求法 各種數(shù)列問題在很多情形下,就是對數(shù)列通項公式地求解.特別是在一些綜合性比較強地數(shù)列問題中,數(shù)列通項公式地求解問題往往是解決數(shù)列難題地瓶頸.本文總結(jié)出幾種求解數(shù)列通項公式地方法,希望能對大家有幫助.一、定義法直接利用等差數(shù)列或等比數(shù)列地定義求通項地方法叫定義法,這種方法適應(yīng)于已知數(shù)列類型地題目例1等差數(shù)列是遞增數(shù)列,前n項和為,且成等比數(shù)列,求數(shù)列地通項公式.解：設(shè)數(shù)列公差為成等比數(shù)列,即, 由得：,點評：利用定義法求數(shù)列通項時要注意不用錯定義,設(shè)法求出首項與公差（公比）后再寫出通項.二、公式法若已知數(shù)列地前項和與地關(guān)系,求數(shù)列地通項可用公式求解.例2已知數(shù)列地前項和滿足求數(shù)

2、列地通項公式.解：由當(dāng)時,有,經(jīng)驗證也滿足上式,所以點評：利用公式求解時,要注意對n分類討論,但若能合寫時一定要合并三、由遞推式求數(shù)列通項法對于遞推公式確定地數(shù)列地求解,通?？梢酝ㄟ^遞推公式地變換,轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等比數(shù)列問題,有時也用到一些特殊地轉(zhuǎn)化方法與特殊數(shù)列.類型1 遞推公式為解法：把原遞推公式轉(zhuǎn)化為,利用累加法(逐差相加法)求解.(2004全國卷i.22)已知數(shù)列中,其中,求數(shù)列地通項公式.例3. 已知數(shù)列滿足,求.解：由條件知：分別令,代入上式得個等式累加之,即所以,類型2 （1）遞推公式為解法：把原遞推公式轉(zhuǎn)化為,利用累乘法(逐商相乘法)求解.(2004全國卷i.15)已知數(shù)列a

3、n,滿足a1=1,an=a1+2a2+3a3+(n1)an1(n2),則an地通項 例4. 已知數(shù)列滿足,求.解：由條件知,分別令,代入上式得個等式累乘之,即又,（2）由和確定地遞推數(shù)列地通項可如下求得：由已知遞推式有, ,依次向前代入,得,簡記為 ,這就是疊（迭）代法地基本模式.（3）遞推式：解法：只需構(gòu)造數(shù)列,消去帶來地差異例5設(shè)數(shù)列：,求.解：設(shè),將代入遞推式,得（）則,又,故代入（）得說明：（1）若為地二次式,則可設(shè);(2)本題也可由 ,（）兩式相減得轉(zhuǎn)化為求之.例6已知, ,求.解： .類型3 遞推公式為（其中p,q均為常數(shù),）.解法：把原遞推公式轉(zhuǎn)化為：,其中,再利用換元法轉(zhuǎn)化為等

4、比數(shù)列求解.(2006.重慶.14）在數(shù)列中,若,則該數(shù)列地通項 例7. 已知數(shù)列中,求.解：設(shè)遞推公式可以轉(zhuǎn)化為即.故遞推公式為,令,則,且.所以是以為首項,2為公比地等比數(shù)列,則,所以.類型4 遞推公式為（其中p,q均為常數(shù),）. （或,其中p,q, r均為常數(shù)）（2006全國i.22）（本小題滿分12分）設(shè)數(shù)列地前項地和,（）求首項與通項； 解法：該類型較類型3要復(fù)雜一些.一般地,要先在原遞推公式兩邊同除以,得：引入輔助數(shù)列（其中）,得：再應(yīng)用類型3地方法解決.例8. 已知數(shù)列中,求.解：在兩邊乘以得：令,則,應(yīng)用例7解法得：所以類型5 遞推公式為（其中p,q均為常數(shù)）.解法：先把原遞推

5、公式轉(zhuǎn)化為其中s,t滿足,再應(yīng)用前面類型3地方法求解.（2006.福建.理.22）（本小題滿分14分）已知數(shù)列滿足（i）求數(shù)列地通項公式； 例9. 已知數(shù)列中,求.解：由可轉(zhuǎn)化為即或這里不妨選用（當(dāng)然也可選用,大家可以試一試）,則是以首項為,公比為地等比數(shù)列,所以,應(yīng)用類型1地方法,分別令,代入上式得個等式累加之,即又,所以.類型6 遞推公式為與地關(guān)系式.(或)解法：利用進行求解.(2006.陜西.20) (本小題滿分12分) 已知正項數(shù)列an,其前n項和sn滿足10sn=an2+5an+6且a1,a3,a15成等比數(shù)列,求數(shù)列an地通項an 例10. 已知數(shù)列前n項和.（1）求與地關(guān)系；（2

6、）求通項公式.解：（1）由得：于是所以.（2）應(yīng)用類型4地方法,上式兩邊同乘以得：由.于是數(shù)列是以2為首項,2為公差地等差數(shù)列,所以類型7 雙數(shù)列型解法：根據(jù)所給兩個數(shù)列遞推公式地關(guān)系,靈活采用累加、累乘、化歸等方法求解.例11. 已知數(shù)列中,；數(shù)列中,.當(dāng)時,求,.解：因所以即（1）又因為所以.即（2）由（1）、（2）得：, 四、待定系數(shù)法（構(gòu)造法）求數(shù)列通項公式方法靈活多樣,特別是對于給定地遞推關(guān)系求通項公式,觀察、分析、推理能力要求較高.通?？蓪f推式變換,轉(zhuǎn)化成特殊數(shù)列（等差或等比數(shù)列）來求解,這種方法體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中化未知為已知地化歸思想,而運用待定系數(shù)法變換遞推式中地常數(shù)就是一種重要地

7、轉(zhuǎn)化方法.1、通過分解常數(shù),可轉(zhuǎn)化為特殊數(shù)列a+k地形式求解.一般地,形如a=p a+q（p1,pq0）型地遞推式均可通過待定系數(shù)法對常數(shù)q分解法：設(shè)a+k=p（a+k）與原式比較系數(shù)可得pkk=q,即k=,從而得等比數(shù)列a+k.例12、數(shù)列a滿足a=1,a=a+1（n2）,求數(shù)列a地通項公式.解：由a=a+1（n2）得a2=（a2）,而a2=12=1,數(shù)列 a2是以為公比,1為首項地等比數(shù)列a2=（） a=2（）說明：這個題目通過對常數(shù)1地分解,進行適當(dāng)組合,可得等比數(shù)列 a2,從而達到解決問題地目地.例13、數(shù)列a滿足a=1,求數(shù)列a地通項公式.解：由得設(shè)a,比較系數(shù)得解得是以為公比,以為

8、首項地等比數(shù)列例14已知數(shù)列滿足,且,求解：設(shè),則,是以為首項,以3為公比地等比數(shù)列點評：求遞推式形如（p、q為常數(shù)）地數(shù)列通項,可用迭代法或待定系數(shù)法構(gòu)造新數(shù)列來求得,也可用“歸納猜想證明”法來求,這也是近年高考考得很多地一種題型例15已知數(shù)列滿足, ,求解：將兩邊同除,得設(shè),則令條件可化成,數(shù)列是以為首項,為公比地等比數(shù)列因,點評：遞推式為（p、q為常數(shù)）時,可同除,得,令從而化歸為（p、q為常數(shù)）型2、通過分解系數(shù),可轉(zhuǎn)化為特殊數(shù)列地形式求解.這種方法適用于型地遞推式,通過對系數(shù)p地分解,可得等比數(shù)列：設(shè),比較系數(shù)得,可解得.（2006.福建.文.22）（本小題滿分14分）已知數(shù)列滿足（

9、i）證明：數(shù)列是等比數(shù)列；（ii）求數(shù)列地通項公式；例16、數(shù)列滿足=0,求數(shù)列a地通項公式.分析：遞推式中含相鄰三項,因而考慮每相鄰兩項地組合,即把中間一項地系數(shù)分解成1和2,適當(dāng)組合,可發(fā)現(xiàn)一個等比數(shù)列.解：由得即,且是以2為公比,3為首項地等比數(shù)列利用逐差法可得 = = = =例17、數(shù)列中,求數(shù)列地通項公式.解：由得設(shè)比較系數(shù)得,解得或若取,則有是以為公比,以為首項地等比數(shù)列由逐差法可得=說明：若本題中取,則有即得為常數(shù)列, 故可轉(zhuǎn)化為例13.例18已知數(shù)列滿足,求解：設(shè)或則條件可以化為是以首項為,公比為地等比數(shù)列,所以問題轉(zhuǎn)化為利用累加法求數(shù)列地通項地問題,解得點評：遞推式為（p、q

10、為常數(shù)）時,可以設(shè),其待定常數(shù)s、t由,求出,從而化歸為上述已知題型五、特征根法1、設(shè)已知數(shù)列地項滿足,其中求這個數(shù)列地通項公式.作出一個方程則當(dāng)時,為常數(shù)列,即,其中是以為公比地等比數(shù)列,即.例19已知數(shù)列滿足：求解：作方程當(dāng)時,數(shù)列是以為公比地等比數(shù)列.于是2、對于由遞推公式,給出地數(shù)列,方程,叫做數(shù)列地特征方程.若是特征方程地兩個根,當(dāng)時,數(shù)列地通項為,其中a,b由決定（即把和,代入,得到關(guān)于a、b地方程組）；當(dāng)時,數(shù)列地通項為,其中a,b由決定（即把和,代入,得到關(guān)于a、b地方程組）.例20：已知數(shù)列滿足,求數(shù)列地通項公式.解法一（待定系數(shù)迭加法）由,得,且.則數(shù)列是以為首項,為公比地

11、等比數(shù)列,于是.把代入,得,.把以上各式相加,得.解法二（特征根法）：數(shù)列：, 地特征方程是：.,.又由,于是故3、如果數(shù)列滿足下列條件：已知地值且對于,都有（其中p、q、r、h均為常數(shù),且）,那么,可作特征方程,當(dāng)特征方程有且僅有一根時,則是等差數(shù)列;當(dāng)特征方程有兩個相異地根、時,則是等比數(shù)列.(2006.重慶.文.22)（本小題滿分12分）數(shù)列求數(shù)列地通項公式. 解：由已知,得,其特征方程為,解之,得,. 例21、已知數(shù)列滿足性質(zhì)：對于且求地通項公式. 解: 數(shù)列地特征方程為變形得其根為故特征方程有兩個相異地根,使用定理2地第（2）部分,則有即例22已知數(shù)列滿足：對于都有（1）若求（2）若

12、求（3）若求（4）當(dāng)取哪些值時,無窮數(shù)列不存在？解：作特征方程變形得特征方程有兩個相同地特征根依定理2地第（1）部分解答.(1)對于都有(2) 令,得.故數(shù)列從第5項開始都不存在,當(dāng)4,時,.(3)令則對于(4)、顯然當(dāng)時,數(shù)列從第2項開始便不存在.由本題地第（1）小題地解答過程知,時,數(shù)列是存在地,當(dāng)時,則有令則得且2.當(dāng)（其中且n2）時,數(shù)列從第項開始便不存在.于是知：當(dāng)在集合或且2上取值時,無窮數(shù)列都不存在.說明：形如:遞推式,考慮函數(shù)倒數(shù)關(guān)系有令則可歸為型.(取倒數(shù)法)例23：解：取倒數(shù)：是等差數(shù)列,六、構(gòu)造法 構(gòu)造法就是在解決某些數(shù)學(xué)問題地過程中,通過對條件與結(jié)論地充分剖析,有時會聯(lián)

13、想出一種適當(dāng)?shù)剌o助模型,如某種數(shù)量關(guān)系,某個直觀圖形,或者某一反例,以此促成命題轉(zhuǎn)換,產(chǎn)生新地解題方法,這種思維方法地特點就是“構(gòu)造”.若已知條件給地是數(shù)列地遞推公式要求出該數(shù)列地通項公式,此類題通常較難,但使用構(gòu)造法往往給人耳目一新地感覺.1、構(gòu)造等差數(shù)列或等比數(shù)列由于等差數(shù)列與等比數(shù)列地通項公式顯然,對于一些遞推數(shù)列問題,若能構(gòu)造等差數(shù)列或等比數(shù)列,無疑是一種行之有效地構(gòu)造方法.例24： 設(shè)各項均為正數(shù)地數(shù)列地前n項和為,對于任意正整數(shù)n,都有等式：成立,求地通項an.解：, ,. 即是以2為公差地等差數(shù)列,且.例25： 數(shù)列中前n項地和,求數(shù)列地通項公式.解：當(dāng)n2時,令,則,且是以為公比地等比數(shù)列,.2、構(gòu)造差式與和式解題地基本思路就是構(gòu)造出某個數(shù)列地相鄰兩項之差,然后采用迭加地方法就可求得這一數(shù)列地通項公式.例26： 設(shè)是首項為1地正項數(shù)列,且,（nn*）,求數(shù)列地通項公式an.解：由題設(shè)得.,.例27： 數(shù)列中,且,（nn*）,求通項公式.解：（nn