隨機(jī)變量序列的幾種收斂性及其關(guān)系分析研究

1、 本科畢業(yè)論文題目：隨機(jī)變量序列的幾種收斂性及其關(guān)系分析研究學(xué)院： 數(shù)學(xué)與計算機(jī)學(xué)院 班級： 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)2008級八班 姓名： xxxxxx 指導(dǎo)教師： xxxx 職稱： 副教授 完成日期： 2013 年 5 月 10 日摘要：本文主要對隨機(jī)變量序列的四種收斂性：a.e.收斂、依概率收斂、依分布收斂、r階收斂的概念、性質(zhì)進(jìn)行闡述；并結(jié)合具體實例討論了它們之間的關(guān)系，進(jìn)一步對概率論中依分布收斂的等價條件和一些依概率收斂的弱大數(shù)定律進(jìn)行了具體的研究.關(guān)鍵字：隨機(jī)變量序列 收斂 分布函數(shù)目錄1.引言12.a.e.收斂、依概率收斂、依分布收斂、r階收斂的概念、性質(zhì)以及它們之間的關(guān)系.2.1 a.e

2、.收斂的概念及性質(zhì)12.2 依概率收斂的概念及性質(zhì)22.3依分布收斂的概念及性質(zhì)32.4 r階收斂的概念及性質(zhì)53.隨機(jī)變量序列依分布收斂的等價條件.64.隨機(jī)變量依概率收斂的一些結(jié)果95.小結(jié).126.參考文獻(xiàn)121.引言：在數(shù)學(xué)分析和實變函數(shù)中“收斂性”極為重要，特別在實變函數(shù)中對可測函數(shù)列收斂性的討論。實變函數(shù)主要是在集合論與測度論的基礎(chǔ)上建立起了lebesgue積分以及它的一些性質(zhì)，而lebesgue積分的討論中，在測度空間中關(guān)于可測函數(shù)列的各種收斂性以及它們之間的關(guān)系的討論在理論和應(yīng)用上都是十分重要的.同樣在現(xiàn)代概率論中，其中的許多概念也是借助于集合論和測度論中的概念來定義和研究的，

3、比如概率論中事件間的關(guān)系及運算與集合論中代數(shù)間的關(guān)系及運算是相類似的，而且在許多情況下，用集合論的表達(dá)方式更簡練、更容易理解，不妨設(shè)為滿足某一性質(zhì)的全體所成的集合，若f為的一個代數(shù)，則稱為可測空間；若為f上的測度，則稱為測度空間；若為f上的測度，且，則稱為f上的概率測度，稱為概率測度空間；由此我們通過測度論知識就得到了概率測度空間，同時引出了概率公理化定義：概率是在代數(shù)f上的一個非負(fù)的、規(guī)范的、可列可加的集函數(shù)，其中為某一試驗中可能的結(jié)果的全體,稱為樣本空間；f為隨機(jī)事件全體，稱為事件域（代數(shù)）；也就是說概率p是概率測度空間f上的一個測度集函數(shù)，同實變函數(shù)中的可測函數(shù)列收斂性一樣，在概率論中我

4、們有必要研究隨機(jī)變量序列的收斂性，這對于概率論的學(xué)習(xí)是十分重要的.2.a.e.收斂、依概率收斂、依分布收斂、r階收斂的概念、性質(zhì)以及它們之間的關(guān)系.在概率論中，概率空間上的隨機(jī)變量就是樣本空間上關(guān)于f的可測函數(shù)，對于一般的可測函數(shù)的序列我們在數(shù)學(xué)分析和實變函數(shù)中已有認(rèn)識，其中“收斂性”理論是非常重要的，在概率論中也一樣重要，隨機(jī)變量序列有：幾乎處處收斂，依概率收斂，依分布收斂，r階收斂.下面一一分別介紹：設(shè)和是給定概率空間上的隨機(jī)變量. 2.1 a.e.收斂的概念及性質(zhì) 定義1 如果有 ， （1.1）則稱隨機(jī)變量列幾乎處處收斂到，記作.注意：（1.1）式中括號里的集是一事件，因而是有意義的，用

5、集合論的語言實際上是 . （1.2）定理1 的充要條件是 . （1.3）證明：（必要性）如在定點上有，則不能對無窮多n成立.令，則，故由連續(xù)性定理及 得. （充分性）由（1.2）式及上式第一等號得 .注意：對可列多個概率為0的事件的和，有，即，故.由對偶原則，即得.由此及（1.2）即得. 2.2 依概率收斂的概念及性質(zhì) 定義2 如果，則稱隨機(jī)變量序列依概率收斂于隨機(jī)變量，記作.定理2 若，則.證明：由于，有，又及定理1得，所以 定理得證.但是定理2的逆命題不真，反例如下：例1 取，f為0,1中全體博雷爾子集所成代數(shù)，p為勒貝格測度，令一般地，將（0,1分成k個等長的區(qū)間，而令定義則是一列隨機(jī)變

6、量，對任意，由于故，即；然而對任意固定，任一正整數(shù)k,恰有一i，使，而對其余的j有，有此知中有無窮多個1及無窮多個0，于是對每個都不收斂.2.3依分布收斂的概念及性質(zhì) 定義3 設(shè)均為實函數(shù).如果有,其中x為的連續(xù)點集，則稱弱收斂到，記作.例2 任意取一常數(shù)列，使.令.顯然，對每一有.其次，及的分布函數(shù)分別為，；但在的不連續(xù)點c上，.故.由此例可知定義3中稱“弱收斂”是自然的，因為分布函數(shù)列的極限函數(shù)不一定是分布函數(shù)，為了避免這種情況，故引入如下的定義：定義 設(shè)隨機(jī)變量與分別有分布函數(shù)與，且，則稱隨機(jī)變量列依分布收斂到，仍記作.定理3 設(shè)，則.證：對任意，有 ，由于，故對得因此；類似可證：對，有

7、，于是對，有.如果是的連續(xù)點，令，得.但定理3逆命題不成立，反例如下：例3 拋擲一枚均勻的硬幣，有兩個可能結(jié)果：=出現(xiàn)正面，=出現(xiàn)反面，于是有 令則是一個隨機(jī)變量，其分布函數(shù)為，這時，若，則顯然與有相同的分布函數(shù).再令的分布函數(shù)記作，故，于是對任意的，有，所以成立，而對任意的，恒有 不趨于0，即不可能有.在上述例子中，隨機(jī)變量與在每次試驗中取相反的兩個數(shù)值，可是它們卻有完全相同的分布函數(shù).由此可知，一般說來并不能從分布函數(shù)列的弱收斂肯定相應(yīng)的隨機(jī)變量序列依概率收斂.但是在特殊情況下，它卻是成立的，由下面定理說明.定理4 隨機(jī)變量序列的充要條件是.這里是的分布函數(shù)，也就是退化分布：.證明：（必要

8、性）已由定理3給出，下證（充分性）：對任意的，有 定理得證.注：定理4將隨機(jī)變量序列依概率收斂于常數(shù)的問題轉(zhuǎn)化為討論分布函數(shù)列弱收斂于退化分布的問題.這樣兩種收斂關(guān)系間的聯(lián)系就清楚了.引理 1 （馬爾科夫mapkob不等式）設(shè)隨機(jī)變量有階絕對矩，即，則對任意有. （1.4） 取，并以代替，得，稱為切比雪夫不等式.2.4 r階收斂的概念及性質(zhì) 定義 4 設(shè)對隨機(jī)變量及有，其中r>0為常數(shù)，如果， 則稱階收斂于，記為.定理 5 如果，則；反之不真.證明：由引理1，對，有，又，所以，即得.例4 如例1所取，令，（一切）.顯然，對一切，故；.然而不趨于0.由上面四種收斂性間的關(guān)系可得：幾乎處處收

9、斂依概率收斂依分布收斂.階收斂依概率收斂依分布收斂.3.隨機(jī)變量序列依分布收斂的等價條件. 因為隨機(jī)變量取值的統(tǒng)計規(guī)律可由它的分布函數(shù)完全確定，所以自然會考慮利用分布函數(shù)的收斂性來定義隨機(jī)變量的收斂性，又分布函數(shù)和特征函數(shù)一一對應(yīng)，而判斷一個分布函數(shù)的序列的收斂是否弱收斂有時是很麻煩的，但判斷相應(yīng)的特征函數(shù)序列的收斂性卻往往比較容易，下面給出弱收斂的充要條件，首先做一些準(zhǔn)備：定理 6 設(shè)均為分布函數(shù)，則的充要條件是：對于函數(shù)的連續(xù)點集的某個稠子集有 . （2.1）證明：由立得必要性.下設(shè)（2.1）式成立.對任何,取且則有 .令，用（2.1）式得.再令便得證，即，證畢.引理 2 （海來helly

10、第一定理）任一分布函數(shù)列必定含弱收斂于某函數(shù)的子列，而且單調(diào)不減，右連續(xù)，.注：在引理2中不能斷定海來第一定理中的是分布函數(shù).事實上，取，則對任應(yīng)的分布函數(shù),極限函數(shù)不是分布函數(shù).引理 3 （海來helly第二定理）設(shè)分布函數(shù)列弱收斂于分布函數(shù)，則對任何有界連續(xù)函數(shù)有. （其中分別是的密度函數(shù)）.定理 7 （連續(xù)性定理）分布函數(shù)列弱收斂到分布函數(shù)的充要條件是：相應(yīng)的特征函數(shù)列逐點收斂到相應(yīng)的特征函數(shù).證明：令分別是的密度函數(shù).（必要性）：設(shè)，對有界連續(xù)函數(shù)分別用引理3便得，當(dāng)時對一切有 .（充分性）據(jù)引理2知，分布函數(shù)列必存在子序列，使當(dāng)時.其中極限函數(shù)是上非減右連續(xù)函數(shù)且有界：.下證此二式均

11、取等號，即為分布函數(shù).如若不然，有. （2.2） 那么，一方面由及連續(xù)知，對滿足的任意，存在充分小的正數(shù)，使.另一方面，既然，由（2.1）式知可選取，使與皆為的連續(xù)點，且存在自然數(shù)，使當(dāng)時有 . （2.3）再由及時有，便可得到這與（2.3）式矛盾.至此得證的子列弱收斂到分布函數(shù).對此運用已證的必要性，知所對應(yīng)的特征函數(shù)為.再由極限函數(shù)的唯一性定理可推出.最后證明分布函數(shù)列也弱收斂到.仍然用反證法.如若不然，必存在的連續(xù)點，使不趨于.于是有界數(shù)列必含收斂子列.其極限值.對分布函數(shù)序列運用引理2，又存在子列使.與前述至少在上不同.但是重復(fù)上述論證可知也應(yīng)當(dāng)是與對應(yīng)的分布函數(shù)，由唯一性定理知，這導(dǎo)出

12、矛盾.定理證完.例5 若是服從參數(shù)為的泊松分布的隨機(jī)變量，證明：. （2.4）證明：已知的特征函數(shù)為故的特征函數(shù)為對任意的，有于是從而對任意的點列，有.但是是n（0,1）分布的特征函數(shù)，由定理7即知有成立，因為是可以任意選取的，這就意味著（2.4）式成立（“泊松分布（當(dāng)參數(shù)時）收斂于正態(tài)分布”）.下面給出弱收斂的各種等價條件：如果存在一個函數(shù)，使對每一,有，則稱特征函數(shù)列為廣義均勻收斂到，而且這收斂對每一有限區(qū)間中的是均勻的（即對任意，任意有限區(qū)間，存在正整數(shù)，使對一切，當(dāng)時 ，有），這時也說廣義均勻（一致）收斂.注：由于連續(xù)，如廣義均勻收斂到，則必定是連續(xù)函數(shù).系1 設(shè)分布函數(shù)列對應(yīng)的特征函

13、數(shù)列為，則下列四條件等價：（1）弱收斂于某分布函數(shù)，（2）收斂到某函數(shù)，在點0連續(xù)，（3）收斂到某連續(xù)函數(shù)，（4）廣義均勻收斂到某函數(shù).當(dāng)任一條件滿足時，是的特征函數(shù).下面說明系1中等價條件（2）中“在的連續(xù)性”是不可缺少的條件.例6 設(shè) .是一列特征函數(shù).實際上，其中 是分布函數(shù) （2.5）的密度函數(shù).顯然，對任意，這里，在0點不連續(xù)，也不是特征函數(shù).另外對于（2.5）中，極限函數(shù)不是一分布函數(shù).至此我們可將隨機(jī)變量序列的四種收斂性間的蘊含關(guān)系總結(jié)如下：幾乎處處收斂依概率收斂分布函數(shù)的弱收斂 r階收斂 特征函數(shù)逐點收斂4.隨機(jī)變量依概率收斂的一些結(jié)果在概率論，我們用“頻率的穩(wěn)定性”引出概率這

14、個基本的概念.許多試驗結(jié)果表明，雖然一次隨機(jī)試驗中某確定事件發(fā)生與否不能預(yù)言，但是如果在相同條件下大量重復(fù)這個試驗，則此事件發(fā)生的頻率會穩(wěn)定在某個值的附近.這說明，在一定條件下各事件出現(xiàn)的可能性的大小是客觀存在的，可以用上述頻率的穩(wěn)定值來度量，這就是事件的概率.頻率的穩(wěn)定性呈現(xiàn)在大量重復(fù)試驗中，歷史上把這個試驗次數(shù)很大時出現(xiàn)的規(guī)律稱作大數(shù)定律.后來我們引入了伯努利概型來刻畫獨立重復(fù)試驗.將一成功（即a發(fā)生）概率為p的試驗獨立重復(fù)n次，其中成功次，則是二項分布隨機(jī)變量.因此成功的頻率也是隨機(jī)變量.其期望為p與n無關(guān)，且方差當(dāng)時趨于0.熟知，方差為0的隨機(jī)變量恒等于它的期望，所以當(dāng)時頻率應(yīng)以概率p

15、為極限.另一方面，可以寫，其中相互獨立，具有相同的伯努利分布，至此，問題轉(zhuǎn)化為研究時的平均值序列的極限行為.鑒于已在上面討論過隨機(jī)變量列的各種收斂性，因此我們可以給出大數(shù)定律的嚴(yán)格定義.定義5 設(shè)為隨機(jī)變量序列，它們都有有限的數(shù)學(xué)期望.如果 , （3.1）則稱滿足大數(shù)定律.定理8 （馬爾科夫大數(shù)定律）設(shè)是方差有限的隨機(jī)變量序列，如果有. （3.2）則滿足大數(shù)定律.證明：由切比雪夫不等式及（3.2）式立得，對任意的有，即得證（3.1）式成立，定理得證.注：將稱為馬爾科夫條件，由定理8知它是大數(shù)定律成立的一個充分條件.定理9（切比雪夫大數(shù)定律）若序列兩兩不相關(guān)且方差有界：，則滿足大數(shù)定律.證明：在

16、所給條件下，（3.2）式的左方.即馬兒科夫條件滿足,從而大數(shù)定律成立.定理 10 （伯努利大數(shù)定律）設(shè)為n重伯努利試驗中事件a出現(xiàn)的次數(shù)，又a在每次試驗中出現(xiàn)的概率為,則對任意的，有.證明：令則是n個相互獨立的隨機(jī)變量，且.滿足切比雪夫大數(shù)定律條件，從而大數(shù)定律成立.注：此定理就是“頻率以概率為其穩(wěn)定值”的嚴(yán)格刻畫.馬爾科夫大數(shù)定律的重要性在于對已經(jīng)沒有任何同分布、獨立性、不相關(guān)的假定.切比雪夫大數(shù)定律可以看成是馬爾科夫大數(shù)定律的特例，伯努利大數(shù)定律是切比雪夫大數(shù)定律的特例，下面介紹一個隨機(jī)變量序列獨立同分布時的大數(shù)定律：定理 11（辛欽大數(shù)定律）設(shè)是一列獨立同分布的隨機(jī)變量，且數(shù)學(xué)期望存在：

17、則對任意的，有成立.證明：因為有相同分布，所以也有相同的特征函數(shù)，記這個特征函數(shù)為，又因為存在，從而特征函數(shù)有展開式：=再由獨立性知的特征函數(shù)為對任意取定的t,有而是退化分布的特征函數(shù)，相應(yīng)的分布函數(shù)為由定理7連續(xù)性定理知的分布函數(shù)弱收斂于，再由定理4即知有，故辛欽大數(shù)定律成立.5.小結(jié).本文主要對隨機(jī)變量的四種收斂性的定義，性質(zhì)進(jìn)行了闡述，并結(jié)合具體的實例對四種收斂性間的關(guān)系進(jìn)行了討論給出了相應(yīng)的定理，對于概率論中十分重要的依分布收斂給出了一些等價條件，和應(yīng)用依概率收斂給出了隨機(jī)變量的一些弱大數(shù)定理理論，揭示了“頻率的穩(wěn)定性”，這樣使對極限理論后續(xù)內(nèi)容的理解更加容易，學(xué)習(xí)更加簡單.6.參考文

18、獻(xiàn)1 魏宗舒概率論與數(shù)理統(tǒng)計教程m北京:高等教育出版社，1983:56-61.2 王梓坤概率論基礎(chǔ)及其應(yīng)用m北京:北京師范大學(xué)出版社，1996:91-102.3 楊振明概率論m北京:科學(xué)出版社，199969-74.4 鐘鎮(zhèn)權(quán). 證明隨機(jī)變量序列各種收斂性的關(guān)系j.玉林師范學(xué)院學(xué)報,1999，3:17-23.5 鄒輝文，丁躍武，朱忠華.依概率收斂與依分布收斂的關(guān)系j.工科數(shù)學(xué),2001，5：49-52.6 孟艷姣. 隨機(jī)變量組（序）列的收斂性和精確漸近性d.浙江：浙江大學(xué)，2010.7 錢能生，古偉清. 關(guān)于隨機(jī)集序列的各種收斂性j.工業(yè)工程,1995，8:12-29.8 李上桐.隨機(jī)變量的四種

19、收斂性j.湖北民族學(xué)院學(xué)報（自然科學(xué)版），1987,0:13-15.9 周曉鐘，尹秀實.由依概率收斂推出階收斂的條件j.高師理科學(xué)刊,1997,2:5-9.10 e.lukacscharacteristic functionm，196011 lin zhengyan ,su zhonggen. probability theorym.zhejiang. zhejiang university press，2005.12 峁詩松，程依明，濮曉龍. 概率論與數(shù)理統(tǒng)計教程m. 北京:高等教育出版社，2004:199-223.some convergences of random sequencesa

20、nd their relationshipabstract：this paper focuses on the four convergences of random variable sequences. we mainly talk about the concepts and properties of almost sure convergence, convergence in probability, convergence in distribution, r-order convergence and discuss the relationship between them.

21、 further, we do more specific research about convergence in distribution and convergence in probability.key words: random variable sequences ; convergence; cdf.気持今flying get！dou都斗豆逗陡抖痘兜讀蚪竇篼蔸乧侸兠凟剅吺唗投斣枓梪橷毭氀浢瀆瀆瞗窬竇脰艔豆讀逾郖酘酡鈄鋀鈄閗闘阧餖饾斗鬦鬪鬬鬭   du讀度毒渡堵獨肚鍍賭睹杜督都犢妒頓蠹篤嘟瀆櫝牘黷髑芏儥凟剢剫匵厾噣土涂妬嬻剬塅媏彖斷毈瑖碫篅籪緞專腶

22、葮褍踹躖鍛鍴   mr najib met search crews at pearce raaf base near perth on thursday morning, before their planes left for the day, and then later held talks with mr abbott."the disappearance of mh370 has tested our collective resolve," he told a news conference."faced with so

23、 little evidence, and such a herculean task, investigators from malaysia, the us, the uk, china, australia and france have worked without pausehe thanked both search teams and the australian government for their efforts in recent weeks, and said the search would go on.continue reading the main story

24、mh370 - facts at a glance· 8 march: malaysia airlines kuala lumpur-beijing flight carrying 239 people disappears· plane's transponder, which communicates with ground radar, was switched off as it left malaysian airspace· satellite 'pings' indicate plane was still flyi

25、ng seven hours after satellite contact was lost· 24 march: based on new calculations, malaysian pm says "beyond reasonable doubt" that plane crashed in southern indian ocean with no survivors· what we know· the search for flight mh370"i know that until we find the

26、plane, many families cannot start to grieve. i cannot imagine what they must be going through. but i can promise them that we will not give up," he said.malaysian authorities have come in for heavy criticism over their management of the search, especially from relatives of thweather conditions

27、were fair, with visibility of approximately 10km (6 miles), the joint agency coordination centre (jacc) - which is overseeing the search - said.the british submarine hms tireless is also in the southern indian ocean and is due to be joined by royal navy ship hms echo.the australian navy ship ocean s

28、hield is heading to the region and has equipment for detecting the plane's "black-box" flight recorder.experts say timing is critical as the flight recorder may only have enough battery power to send out a signal until 7 april.air chief marshall angus houston, head of the jacc, warned

29、that the search operation faced multiple difficulties."this is one of the most demanding and challenging search and rescue operations, or search and recovery operations, that i have ever seen and i think probably one of the most complex operations of this nature that the world has ever seen,

30、9;' he told mr najib and mr abbott.on wednesday malaysian police chief khalid abu bakar said investigators had "cleared" all passengers of possible involvement in hijacking, sabotage or having personal or psychological problems that could have been connected to the disappearance.but he

31、 said that the criminal investigation could "go on and on and on. we have to clear every little thing"."at the end of the investigations, we may not even know the real cause. we may not even know the reason for this incident," he added.the police chief said that more than 170 int

32、erviews had been conducted with family members of the pilots and crew members, and that even cargo and food served on the plane were being investigated in case of dui對隊堆兌敦鐓碓懟憝兊兌垖埻塠奪奪対對嵟憞懟捶杸濧濻瀢瀩痽磓祋綐膭薱謉譈譵追鈗銳銳錞鎚鐓鐜銳陮隊頧鴭   dul乧   dun噸頓蹲墩敦鈍盾囤遁不躉沌盹鐓礅燉砘伅俊噸墪壿庉忳敦憞撉撴楯橔潡燉犜獤碷腞腯

33、蜳豚踲蹾躉逇遯鈍鐓鐜頓驐   duo多朵奪舵剁垛跺惰墮掇哆馱度躲踱沲咄鐸裰哚綞亸仛兊兌兌凙刴剟剫吋喥嚉嚲垜埵墮墯夛奪奲媠嫷尮崜嶞憜挅挆捶揣敓敚敠敪朶雜杕枤柁柂柮桗棰椯橢毲沰沱澤痥硾綞茤袳詑誃貀趓跢跥跿躱軃鄲鄲鈬錞鍺鐸鍺陀陊隋隋隓飿饳馱駄鬌鮵鵽點   e餓哦額鵝蛾扼俄訛阿遏峨娥惡厄鄂鋨諤堊鍔閼萼苊軛婀莪鱷顎腭愕呃噩鶚屙亞亜亞偽佮侉偔偽偽僫匎匼卾吪呝咢咹啞唖啈啊啐啞惡囐囮埡埡堊堨堮妸妿姶娾娿媕屵岋峉峩崿庵廅悪惡戹搕搤搹擜曷枙椏櫮唉歞歹歺洝涐湂玀珴琧痷皒睋砈砐砨砵硆硪磀礘胺蒍蕚蘁蚅蝁覨訛咯誐諤譌讍豟軛軶輵迗遌遻邑鈋鋨鍔鑩閜閼阨阸隘頞頟額顎餓

34、餩騀鬲魤魥鱷鰪鱷鴳鵈鵝鵞鶚齃腭齾  青年（）、技術(shù)（）、戀愛（）、翡翠（）、読書（）、人（，）、幸福（）、訓(xùn)讀詞匯：青（）、術(shù)（）、戀（）、好（）、読（）、人（）、幸（）、漢字“?！笨梢宰x成“”也可以讀成“”。“”是它的音讀，“”是它的訓(xùn)讀?！笆?#183;憲·巨”等漢字一般只使用它們的一種音讀，“貝·又·咲（）”一般只使用它們的一種訓(xùn)讀，但這類漢字較少。日語里的漢字通常都有兩三種甚至更多的音訓(xùn)讀發(fā)音。比如“生”，音讀可讀作“·”，訓(xùn)讀可讀作“·········”等。同上面所說的，漢字每個字都有與之對應(yīng)的音讀、訓(xùn)讀，但也有一些比較特殊。比如“梅雨”，它的發(fā)音為“”，不能把每個漢字分別讀什么區(qū)分開來。我們把這類發(fā)音叫做“熟字訓(xùn)”。以下這些也是“熟字訓(xùn)”：田舎（） 時雨（）相撲（寫作“相撲”，）土產(chǎn)（） 為替（）紅葉（）吹雪（） 足袋（