計算機在材料科學與工程中的應用

1、計算機在材料科學與工程中的應5-207正交試驗設計 進行一項科研如同建造一座大廈，其設計、質量控制、分析、驗收等都十分重要。如果大廈沒有良好的設計和質量控制，就會出現(xiàn)問題，甚至倒塌?？蒲泄ぷ魅魶]有良好的設計和質量控制，就會失敗，得出錯誤的結果，浪費國家的錢財。 科研設計如同建筑設計一樣舉足輕重。實驗設計 實驗設計大致可以分為四種類型：析因設計、區(qū)組設計、回歸設計和均勻設計。析因設計又分為全面實施法和部分實施法。析因實驗設計方法是正交實驗設計。 正交實驗 正交法五十年代由日本統(tǒng)計學家和質量管理專家田口玄一博士發(fā)展完善，并廣泛應用到國民經濟的各個域，極大地促進了日本經濟的

2、高速增長。 均勻設計則由中國統(tǒng)計學家方開泰和王元所創(chuàng)。田口玄一方開泰王元正交實驗 正交試驗設計是用于多因素試驗的一種方法，它是從全面試驗中挑選出部分有代表的點進行試驗，這些代表點具有“均勻”和“整齊”的特點正交試驗設計是部分因子設計fractional factorial designs)的主要方法，具有很高的效率。本節(jié)介紹正交設計的方法、數(shù)學模型及其數(shù)據(jù)分析。正交試驗設計的概念正交試驗設計的概念正交試驗設計是從全搭配中應用均衡抽樣的原理，選出具有代表性的試驗來做，而不需要象析因設計，設計全搭配。因此能節(jié)省財力，實驗效率很高。是我國目前正在推廣的軟科學方法之一。三個因素：a(3) b(3) c

3、(3)全搭配：333 = 27a1a2a3b1b2b3c1c2c349(3)l只要做9次試驗逐一實驗工作量大無法進行沒有必要正交表 正交表是安排實驗、分析實驗的一種簡單而容易掌握的有力工具。它是根據(jù)數(shù)理統(tǒng)計原理歸納出來的一種合理安排實驗的表格。 l4(23） 正交表的l代表“正交”之意，在l底部的數(shù)字，表示表中的橫行數(shù)，是安排實驗的次數(shù)，此表可安排4次實驗；括號內的大數(shù)字表示表內有幾種數(shù)字，即每個因子可安排的水平數(shù)，此表每個因子可安排兩個水平；括號內大數(shù)字右上角的小數(shù)字，表示表中縱列數(shù)，為可安排的因子數(shù)，此表最多可安排三個因子之意。 以l4(23)表的l、2、3列安排a、b、c三因子實驗為例，

4、從縱列來講，第一列表內的數(shù)字l代表安排a的第一個水平，2代表安排a的第二個水平(其它列號也照此安排)；以橫行來講，第一號實驗，表示做a1,b1,c1配方實驗，第二號實驗做a2,b2,c2配方實驗(其它以此類推)。 特點 1每一列中，數(shù)字1和數(shù)字2出現(xiàn)的次數(shù)相等(這里都是2次)。 2任意兩列中，將同一橫行的二個數(shù)字看作有次序的數(shù)對(就是按左邊的放在前，右邊的放在后，這一次序排列的數(shù)對)，共有四種：(1，1)，(1、2)，(2，1)，(2，2)，每種數(shù)對出現(xiàn)的次數(shù)相等。 以上兩點就是正交表的兩個數(shù)學性質，凡滿足這個性質的數(shù)字表都稱為正文表。 如何來選用正交表 根據(jù)實驗因子水平數(shù)減一乘以因子數(shù)，最后

5、加一，若有交互影響，再加上交互作用因子的自由度乘以交互作用因子數(shù)，即是最少需超過的實驗次數(shù)，最后根據(jù)最少需超過的實驗數(shù)和因子水平數(shù)選用正交表。 以4因子2水平實驗來講，最少需超過實驗次數(shù)(2-1)x 4+15，又因為水平數(shù)是2，所以只能從2n因子正交表中選實驗稍大于5的正交表，根據(jù)這點選l8(27)表安排實驗。這就成了全實施的1/2實驗方案了。(因為全實施是24=16) 49(3)l正交表abc全搭配全搭配 27999只要求做9種搭配設計矩陣設計矩陣78( 2)l721 2 88/128 = 6.25%工作量：正交設計的試驗次數(shù)是水平數(shù)平方的整數(shù)倍正交設計的試驗次數(shù)是水平數(shù)平方的整數(shù)倍實驗實驗

6、設計設計的目的的目的1、高效，用最少的投入，說明盡可能多問題。2、控制誤差，將真正的因素效應顯示出來3、結果科學、可靠正交設計的另一特點，是能把各個因素的效應進行分解，利用正交表的性質，可以進行單因素分析。y分分解解abc將效應投射到不同的平面，這樣就能區(qū)分效應分解的前提：必須按正交的要求來安排實驗。123123123yabc效效應應分分解解作作用用效應或效應或反應反應 (response)效應分解而不混雜效應分解而不混雜：前提按正交表要求安排實驗多因素正交試驗與單因素設計的區(qū)別多因素正交試驗與單因素設計的區(qū)別科學中，多種因素相互作用后，產生的某種效應，顯然這種效應是受多種因素影響，而且這些因

7、素之間，常常相互影響（即所謂交互作用：協(xié)同作用和拮抗作用），不能簡化為單因素優(yōu)選進行考察，單因素分析不能反映實際情況。正交設計能分析這種多因素及它們間的相互作用。實例說明：實例說明：配方abcy 效應因素效應正交試驗設計方案制定正交試驗設計方案制定 制定因素及水平表 設計試驗方案選擇合適的正交表表頭設計 開展試驗步驟一 制定因素及水平表 首先根據(jù)研究目的和條件，根據(jù)文獻研究、實際經驗，從專業(yè)上全面分析和考慮專業(yè)上全面分析和考慮，將要開展的試驗大概涉及哪些因素（主要因素和次要因素）和水平數(shù)。 遵循的基本原則：1、抓住主要的關鍵性因素、抓住主要的關鍵性因素2、已經研究清楚的因素可少取，也可固定在、

8、已經研究清楚的因素可少取，也可固定在某個水平上，未知因素可多取某個水平上，未知因素可多取3、重點考察對試驗結果影響較大，但還沒有、重點考察對試驗結果影響較大，但還沒有掌握規(guī)律的因素掌握規(guī)律的因素4、切忌不分主次考察很多因素，增加試驗難、切忌不分主次考察很多因素，增加試驗難度，漏掉重要因素度，漏掉重要因素5、分析因素間的是否有交互作用存在、分析因素間的是否有交互作用存在 是否存在交互作用主要從專業(yè)上考慮是否存在交互作用主要從專業(yè)上考慮步驟一 制定因素及水平表 水平數(shù)的選擇也很重要，直接影響試驗的質量，注意以下幾點：1、初次試驗，水平數(shù)可以、初次試驗，水平數(shù)可以23個為宜，不能貪個為宜，不能貪多，

9、水平數(shù)可以相等，也可不等。多，水平數(shù)可以相等，也可不等。2、重要因素水平數(shù)可多取、重要因素水平數(shù)可多取3、用數(shù)量表示水平的因素，各水平間的距離、用數(shù)量表示水平的因素，各水平間的距離要選擇恰當，過近結果差異不顯然，過遠，要選擇恰當，過近結果差異不顯然，過遠，有可能漏掉兩水平間重要信息有可能漏掉兩水平間重要信息應用實例應用實例-1： 某研究者欲觀察，理中湯中四味中藥對治療納呆久瀉的脾陽虛證的療效作用的規(guī)律。1、研究因素理中湯中有四味中藥，以每味中藥作為因素a 人 參b 白 術c 干 姜d 甘 草交互作用人參與白術 ab人參與干姜 ac白術與干姜 bc 在影響試驗結果的諸因素中，有些因素不僅單獨對在

10、影響試驗結果的諸因素中，有些因素不僅單獨對效應效應起作用，而且還與其它一個或多個因素聯(lián)合起來影響響應值起作用，而且還與其它一個或多個因素聯(lián)合起來影響響應值（效應值效應值）。這種聯(lián)合作用就稱為）。這種聯(lián)合作用就稱為“交互作用交互作用”。如果兩個因。如果兩個因素聯(lián)合則稱為雙因子交互作用；如果三個因素聯(lián)合則稱為叁素聯(lián)合則稱為雙因子交互作用；如果三個因素聯(lián)合則稱為叁因子交互作用；如果多個因素聯(lián)合則稱為多因子交互作用，因子交互作用；如果多個因素聯(lián)合則稱為多因子交互作用，或稱為高級交互作用；一般情況下，高級交互作用通常可以或稱為高級交互作用；一般情況下，高級交互作用通?？梢院雎?。忽略。交互作用的定義交互作

11、用的定義 a1b1b2b1b2a2a1b1因素a1b2a2b1a2b2y舉例：舉例：交互作用的分類交互作用的分類abcdabacadbcbdcda bca bdbcda bc d主效應一級交互作用二級交互作用三級交互作用一般情況只考慮一級交互作用一般情況只考慮一級交互作用2、確定因素水平 因素在試驗中所取的各種狀態(tài)稱為因素的水平，一個因素取幾種狀態(tài)就叫它為幾水平的因素。 本研究根據(jù)文獻記載臨床用藥量已經固定，為分析各中藥（因素）對效應的影響及是否存在交互作用，因此各因素取相等的兩個水平。b （白 術）：c（ 干 姜）：d （甘 草）：a （人 參）：a1=0g a2=6gb1=0g b2=9g

12、c1=5g c2=0gd1=6g d2=0g步驟二 設計試驗方案1、找合適的正交表一般統(tǒng)計書中都給出常用的正交表49(3)l()mnlk表示正交表意思表示正交表有n行，可安排n次試驗表示正交表的水平數(shù)為k表示正交表有m列，最多可安排m個因素361 6( 42)l34( 2)l49(3)l78( 2)l常見正交表常見正交表148( 42)l161 8(63)l常見正交表常見正交表a 人 參b 白 術c 干 姜d 甘 草交互作用人參與白術 ab人參與干姜 ac白術與干姜 bc因素考察最小試驗組數(shù)考察最小試驗組數(shù)無交互作用時最小試驗組數(shù)n = 1 + （每個因素水平 + 1） = （k-1）m +1

13、有交互作用時應加上每一交互作用：（a因素水平 1）（b因素水平 - 1）實實例例分分析析（k-1）m +1=51+1+1=3n = 8()mnlkn = 8確定正交表78( 2)l2、表頭設計要求： 沒有交互作用時，可隨意安排因素在各列中；有交互作用時，不能隨意安排，要優(yōu)先安排具有交互作用的因素，a、b、c因素先考慮；78( 2)l78( 2)l交互作用表ababca cb cd 1 2 3 4 5 6 7表頭設計人參 白術干姜甘草ababcbcacda1b1c2d2a2b1c2d1a1b2c2d1a2b2c2d2a1b1c1d2a2b1c1d1a1b2c1d1a2b2c1d2ab藥用bd藥用

14、ad藥用都不用abc藥用bcd藥用acd藥用c藥用1234567812345678開展試驗開展試驗 做試驗做試驗1、嚴格按正交表分組做試驗2、動物或病人在分組時要遵循隨機化原則或采用區(qū)組設計3、試驗次序也要隨機化4、實驗過程中應力要其它條件在各組中保持不變，這樣能保證組間的可比性 例：觀察理中湯對納呆久瀉的脾（陽）虛證的療效，以化驗指標、體征與癥狀改善綜合評分進行療效判斷，每個處方觀察3個病人，如何隨機化開展實驗。8 組每組三個病人24 病例24個病例隨機分入個病例隨機分入8組組列號 1 2 3 4 5 6 7 a b ab c ac bc d人參 白術干姜甘草綜合評分療效分數(shù)（r=3）合計1

15、2345678 iiir處方組合1111222211221122112222111212121212122121122112211221211210 4 30-3 7 513 15 315 14 3130 24 9510 4 2932 42 11826 20 32 78159 231 274 168 234 208 320 258 186 143 249 183 209223 99 -45 -131 81 -51 1藥物p 0.000 0.005 0.001 0.112 0.185 0.017 0.947最佳組合：a2b2c1d1 a2b2c1d2平均101.6710.3310.3331.67

16、9.6739.3326y正交試驗設計中應注意的問題正交試驗設計中應注意的問題1、必須嚴格按正交表來安排試驗。2、試驗分組和安排試驗都要遵循隨機化或采用區(qū)組設計思想處理。3、如果存在交互作用，表頭安排時單獨效應和交互效應要能區(qū)分。4、當水平數(shù)很多時，要考慮因素與效應之間是否是線性關系。如果是線性可理采用常規(guī)的分析方法，如果不是線性，宜采用多項式回歸。5、必須按正交表的搭配來安排實驗，不同試驗號的試驗盡可能同時進行。應用實例應用實例-2-2： 過去生產乙酰胺苯，產率一直保持在65%左右，為了提高產量，根據(jù)工人經驗，提出反應溫度、反應時間、硫酸濃度和操作方法四個因素(子)的兩個水平的研究題目。 1、

17、正交表選擇 根據(jù)原則，確定最少需超過實驗次數(shù)=(2-1)4+(2-1)(2-1）1+16，也由于研究條件a，b，c，d因子均是2水平的，因此選入l8(27)表較為適宜。 表頭設計 表頭設計原則： 第一，注意不要讓主效應之間、主效應與其它交互作用有混雜現(xiàn)象。 第二，當知道a與b有交互作用時，就要查交互作用表，將ab安排在a與b交互作用列上。 安排實驗 根據(jù)表頭設計，按隨機法照各號主效應配方進行實驗。如一號實驗，就取a1，b1，c1，d1進行配方實驗； 6號實驗，就取a2，b1，c2，d1進行配方實驗。其測得收得率填 入各號實驗結果項內。其結果見表：表格中各項計算 直觀分析 a看表中的各因子對應的

18、k1與k2值的大個，可知：a取a1好，b取b1好，c取c2好，d取d2好，即它的最優(yōu)工藝是a1b1c2d2。 b從表中的各因子k1-k2值來看，c和ab是影響產量的主要關鍵，a次之，b、d再次之。 c由于ab是影響產量的關鍵，因此就得進一步作ab的各水平k值比較。 直觀分析 由此比較，知a1b2值大，a2b1次之，a2b2最差。因此，前面確定的a1b1c2d2工藝應改為a1b2c2d2。直觀分析 一般來講，這項研究到直觀分析結束時即可終止，但由于a1b2c2d2配方沒有作過實驗，為了慎重可補作這一配方實驗，看看結果是否最優(yōu)。也由于b1改為b2，即由反應時間1小時改為2小時，從縮短生產時間來講，

19、就要考慮是否真的反應時間增加1小時收得率就高？要解決這個問題就得進一步作方差分析了。 方差分析 由于正交設計關系，此雖未作重復實驗，也可以分析各種交互作用，這就是正交設計長處之一。為了節(jié)省計算時間，此2水平的計算還有一簡切的方法。即： s=（k1-k2）2/實驗次數(shù) 關于各種自由度f，2n因子正交表規(guī)定每列為2-11。此表誤差占2列自由度為2。此表有7列，總自由度為7。 sa=121/8sb=81/8sab=361/8sc=361/8sd=81/8 se=9/8+25/8=34/8se的自由度為2,其它為1所以：f=（各因素方差/各因素自由度）/誤差方差/誤差方差自由度 fa=(121/8)/

20、(9+25)/(82)=121/17=7.12fb=(81/8)/(9+25)/(82)=81/17=4.76fab=(361/8)/(9+25)/(82)=361/17=21.24fc=(361/8)/(9+25)/(82)=361/17=21.24fd=(81/8)/(9+25)/(82)=81/17=4.76 最優(yōu)工藝選取 f檢驗c顯著，而c1估計值為-19/8，c2估計值為19/8，所以c取c2好。(表中各值按2水平簡切計算法，其值是各因子水平1的，而因子水平2的只加上一個負號，而值不變，c1=-19/8，c2=19/8） f檢驗ab顯著，而axb（k1）是與2個a1b1及2個a2b2

21、相對應，所以可看作a1b1=a2b2=（ab）1=-19/8，以此類推，axb的k2，即a2b1=a1b2=（ab）2=19/8，由此可知a2b1或a1b2是axb的最好配方。但考慮在生中宜縮短工時，以取a2b1為好。 f檢驗說明a、b水平間差異不顯著，可根據(jù)a b最優(yōu)配方來取，d水平間差異亦不顯著，可任意選取，但考慮不攪拌方便，所以取d2。 經過以上三點分析，乙酰胺苯最優(yōu)生生產工藝可以確定為a2b1c2d2。即反應溫度70，反應時間一小時，硫酸濃度為27%，操作方法不攪拌這個生產條件是乙酰胺苯最優(yōu)生生產工藝。最優(yōu)生產工藝平均收得率估計 做完一批實驗選出了最優(yōu)生產條件(或方法)，還要從這些數(shù)據(jù)

22、中算出今后用這工藝生產的收得率的均數(shù)有95%落在什么范圍內。這就稱最優(yōu)工藝平均點的估計值。它的計算方法分兩個步驟，第步先算出最優(yōu)工藝平均點的估計值（優(yōu)），再算出它的平均點半徑值（），最后將優(yōu)就是這工藝理論平均估計值。 a最優(yōu)工藝平均點估計優(yōu) 優(yōu)=全部實驗平均值十顯著因子的好水平估計值=+c2+a2b1+簡化時除去之值 =t/8=5/8 c2=19/8 a2b1=19/8 簡化值=70 優(yōu)=5/8+19/8+19/8+70=74.13 b最優(yōu)工藝平均點的半徑值 算出新的誤差s。 se=se+不顯著因子的s之和=se+sa+sb+sd=34/8+121/8+81/8+81/8=317/8 算出新的

23、誤差自由度fe： fe=fe+不顯著因子的自由度之和=fe+fa+fb+fd=2+1+1+1=5 ne=實驗總次數(shù)/（1+顯著因子自由度之和）=8/（1+1+1）=8/3 c根據(jù)上述數(shù)據(jù)從f表中查出fa值 faf0.05（1，fe）= f0.05 (1，5)6.61 d將上述各數(shù)據(jù)代入下式 于是可以預料，用a2b1c2d2條件生產，其收得率平均值有95%落在其69.70%78.56%之間。 eefasenf討論 由于試驗中客觀存在誤差，不作統(tǒng)計分析往往會得出錯誤的結論。 經過統(tǒng)計分析選出的最優(yōu)條件不僅是已做過試驗的八個條件中最好的，而且是全面試驗的十六個條件中最好的。 用正交表安排試驗，不但簡

24、化方差分析手續(xù)，而且試驗次數(shù)也可以減少，交互作用也可以分析，這就是正交設計的長處。 應用實例三：晶體退火工藝的改進 檢查癌細胞用到一種碘化鈉晶體，要求應力越小越好，希望不超過2度，晶體的退火工藝是影響晶體質量的一個重要環(huán)節(jié)驗，采用的工藝如圖所示，先將晶體放在爐內以50/小時的速度升溫至600，然后恒溫6小時，再用1.5安培的電流使晶體降溫至250，最后斷電，使其自然降溫。在此工藝下，其它指標都已合格，但應力未能低于7度?，F(xiàn)在，通過正交試驗，希望找到能降低應力的工藝條件。 考核指標：應力(度) 確定試驗方案，分析試驗結果 1、挑因素、選水平，制定因素水平表確定試驗方案，分析試驗結果 2. 利用正

25、交表，確定試驗方案 所需實驗最小組數(shù)：（3-1）4+1=9，所以選取l9（34）正交表 確定試驗方案，分析試驗結果3、結果分析 每號條件做一爐試驗，應力結果記在表相應條件的右邊 試驗結果的分析 （一）直觀分析 1）直接看 第5號試驗a2b2c3d3的0.5度最好，第7號a1b2c1d3的1度次之。這兩號試驗的具體條件是 升溫速度 恒溫溫度 恒溫時間 降溫速度 策5號 50小時 450 4小時 154小時 第7號 30小時 500 6小時 15小時 試驗結果的分析 2）算一算 (1)對于各因素列，算出各個位級相應的三次應力之和。如第三列恒溫時間; k1位級三次應力之和第2、6、7號應力之和7+7

26、+115度； k2第3、4、8號應力之和15+8+629度； k3第l、5、9號應力之和6+0.5+1319.5度。 對于每列，比較各自k1、k2和k3的大小，因為應力越小越好，所以應力之和小的位級較好。第l列(a列) k2小，所以a2較好；第2列(b列) k2小，所以b2較好；c列k1小，所以c1較好；d列k3小，所以d3較好。把這四個好位級結合在一起，a2b2c1d3，稱為全體配合(本例有四個因素，每個有三個位級，因此全體配合有81個)中關于應力的可能好配合。 (二)計算各列的極差r r相應列的k1、k2和k3中的最大數(shù)相應列的k1、k2和k3中的最小數(shù)。 如第3列恒溫時間k1 =15、

27、k2 29、 k3 19.5，它們的最大數(shù)是29，最小數(shù)是15因此按公式 r=291514度。 四個極差記在表的最下一行。極差大的因素通常意味著該因素三個位級相應的應力差別大，是重要因素，極差小的因素可能是不重要的因素。 （三）畫趨勢圖 計算完極差后，對于數(shù)量性水平的三水平因素，應該畫出用量與試驗結果之和的關系圖，以便從圖形上直接看出試驗結果隨各因素用量變化的大體關系。具體來說，對于每個因素，以實際用量(而不是位級號碼的大小)作為橫坐標，試驗結果之和作為縱坐標，畫出三個點，得出該因素的趨勢圖。 (四) 可能好配合 (1)通過“算一算”得到a2b2c1d3為81個配合中的可能好配合。 (2)可能

28、好位級與大范圍的可能好配合。 對于分兩個位級的因素，能看出兩個用量誰好誰差，但看不出繼續(xù)提高效果的好用量的方向；對于分三個位級的因素，情況起了變化。請注意恒溫溫度b的趨勢圖 通過對趨勢圖的分析，可以得到如下的好條件: 最后，把展望的四個好位級結合到一起，得a2b4c8d3，它稱為大范圍的可能好配合，或稱為“算一算”的好條件。具體是： 升溫速度：50/小時 恒溫溫度：400 恒溫時間：4小時 降溫速度：15/小時(五）第二批撒小網(wǎng) 由恒溫溫度的趨勢圖看出，降低應力還有潛力。為進一步降低應力，決定再做第二 批正交試驗。 1制定因素水平表 關于升溫速度，上批試驗中，升溫快的a3100/小時， 第3、

29、6、9號試驗應力都很壞，不能再用。速度慢的a130/小時，升溫時間過長，不愿再用。所以在這批試驗中，一律用50/小時，不再實驗其他水平。換句話說，在這批試驗中，升溫速度保持在良好的固定狀態(tài)50/小時，而不再作為要考察的因索。另外三個因素，以算一算的好水平b4、c3、d3為主，即以大范圍的可能好配合為主，參看“直接看”的好水平，各取兩個水平。其因素水平表如下： 因素水平表2. 確定試險方案 所需實驗最小組數(shù)：（2-1）3+1=4，所以選取l4（23）正交表3試驗結果由表右方看出，這批四個試驗基本消除了應力總結 通過各種舉例，說明用正交設計安排試驗，既能合理地少做試驗達到滿意的結果又能從多因素中分析出那些因子是主要的，那些因子是次要的，以及對試驗影響的規(guī)律。所以正交設計確實是一種符合多快好省的科研方法。 為廣便于進一步掌握正交設計的應用，現(xiàn)按一般程序作如下歸納：1研究因子和水平的確定 設計者首先要將其研究對象的各方面資料或生產經驗，進行分析，確定必須考察的內容，然后再將所考察內容列表，使考察內容分屬于不同因子，各因子研究范圍劃分成各種水平。在列表時，各因子的水平內容如是計