八年級數(shù)學(xué)下冊第2章四邊形2.7正方形習(xí)題課件新版湘教版

1、2.7正方形1.1.掌握正方形的性質(zhì)和判定掌握正方形的性質(zhì)和判定.(.(重點重點) )2.2.理解正方形與矩形、菱形的關(guān)系理解正方形與矩形、菱形的關(guān)系.(.(重點、難點重點、難點) )3.3.會用正方形的性質(zhì)和判定進行計算或證明會用正方形的性質(zhì)和判定進行計算或證明.(.(重點、難點重點、難點) )一、正方形的定義一、正方形的定義有一組鄰邊有一組鄰邊_且有一個角是且有一個角是_的的_四邊形四邊形. .二、正方形的性質(zhì)二、正方形的性質(zhì)1.1.正方形的四條邊都正方形的四條邊都_,_,四個角都是四個角都是_._.2.2.正方形的對角線正方形的對角線_,_,且互相且互相_._.3.3.正方形是正方形是_

2、對稱圖形對稱圖形,_,_是它的對稱中心是它的對稱中心. .4.4.正方形是正方形是_圖形圖形, ,兩條兩條_所在直線所在直線, ,以及過每一組以及過每一組對邊對邊_的直線都是它的對稱軸的直線都是它的對稱軸. .相等相等直角直角平行平行相等相等直角直角相等相等垂直平分垂直平分中心中心對角線的交點對角線的交點軸對稱軸對稱對角線對角線中點中點三、正方形的判定三、正方形的判定1.1.有一組鄰邊有一組鄰邊_的矩形是正方形的矩形是正方形. .2.2.有一個角為有一個角為_的菱形是正方形的菱形是正方形. .3.3.對角線對角線_的菱形是正方形的菱形是正方形. .4.4.對角線對角線_的矩形是正方形的矩形是正

3、方形. .相等相等直角直角相等相等互相垂直互相垂直 ( (打打“”“”或或“”)”)(1)(1)菱形具有正方形的一切性質(zhì)菱形具有正方形的一切性質(zhì).( ).( )(2)(2)一組鄰邊相等且有一個角是直角的四邊形是正方形一組鄰邊相等且有一個角是直角的四邊形是正方形.( ).( )(3)(3)一條對角線平分一組對角的矩形是正方形一條對角線平分一組對角的矩形是正方形.( ).( )(4)(4)正方形的面積等于兩條對角線積的一半正方形的面積等于兩條對角線積的一半.( ).( )(5)(5)正方形的鄰邊互相垂直正方形的鄰邊互相垂直, ,鄰角相等鄰角相等.( ).( )知識點知識點 1 1 正方形的性質(zhì)正方

4、形的性質(zhì)【例例1 1】(2013(2013鄂州中考鄂州中考) )如圖正方形如圖正方形abcdabcd的的邊長為邊長為4,e,f4,e,f分別為分別為dc,bcdc,bc中點中點. .(1)(1)求證求證: :adeadeabf.abf.(2)(2)求求aefaef的面積的面積. .【思路點撥思路點撥】(1)(1)根據(jù)正方形的性質(zhì)根據(jù)正方形的性質(zhì), ,找出找出adeade和和abfabf中相等中相等的邊和角進而證明全等的邊和角進而證明全等. .(2)(2)由題知由題知abf,abf,ade,ade,cefcef均為直角三角形均為直角三角形求求de,bf,ce,cfde,bf,ce,cf的長的長根

5、據(jù)根據(jù)s saefaef=s=s正方形正方形abcdabcd-s-sadeade-s-sabfabf-s-scefcef得出得出結(jié)果結(jié)果. .【自主解答自主解答】(1)(1)四邊形四邊形abcdabcd為正方形，為正方形，ab=adab=ad，b=d=90b=d=90，dc=cb.dc=cb.e,fe,f分別為分別為dc,bcdc,bc中點，中點，de= dcde= dc，bf= bcbf= bc，de=bf.de=bf.在在adeade和和abfabf中，中，adeadeabf(sas).abf(sas).1212adab,db,debf ，(2)(2)由題意知由題意知abf,abf,ade

6、,ade,cefcef均為直角三角形，且均為直角三角形，且ab=adab=ad=4=4，de=bf= de=bf= 4=2,ce=cf= 4=2,ce=cf= 4=24=2，s saefaef=s=s正方形正方形abcdabcd-s-sadeade-s-sabfabf-s-scefcef=4=44- 4- 4 42- 2- 4 42- 2- 2 22=6.2=6.1212121212【總結(jié)提升總結(jié)提升】正方形的正方形的“邊、角、對角線邊、角、對角線”1.1.邊邊: :四條邊都相等且每組對邊平行四條邊都相等且每組對邊平行. .2.2.角角: :四個角都是直角四個角都是直角. .3.3.對角線對角

7、線: :兩條對角線相等且互相垂直平分兩條對角線相等且互相垂直平分, ,把正方形分成四個把正方形分成四個全等的等腰直角三角形全等的等腰直角三角形; ;每條對角線平分一組對角每條對角線平分一組對角, ,把正方形分把正方形分成兩個全等的等腰直角三角形成兩個全等的等腰直角三角形. .知識點知識點 2 2 正方形的判定正方形的判定【例例2 2】如圖如圖, ,在在abcabc中中, ,點點d d是邊是邊bcbc的中點的中點, ,deac,dfab,deac,dfab,垂足分別是垂足分別是e,f,e,f,且且bf=ce.bf=ce.(1)(1)求證求證:de=df.:de=df.(2)(2)當(dāng)當(dāng)a=90a=

8、90時時, ,試判斷四邊形試判斷四邊形afdeafde是怎樣的四邊形是怎樣的四邊形, ,并證明并證明你的結(jié)論你的結(jié)論. .【思路點撥思路點撥】(1)deac,dfabbfd=ced=90(1)deac,dfabbfd=ced=90rtrtbdfrtbdfrtcdede=dfcdede=df(2)a=90(2)a=90四邊形四邊形afdeafde是矩形是矩形 結(jié)論結(jié)論df de 【自主解答自主解答】(1)deac,dfab,(1)deac,dfab,bfd=ced=90bfd=ced=90, ,在在rtrtbdfbdf和和rtrtcdecde中中, ,bd=cd,bf=ce,bd=cd,bf=c

9、e,rtrtbdfrtbdfrtcde(hl),de=df.cde(hl),de=df.(2)(2)四邊形四邊形afdeafde是正方形是正方形. .證明證明:a=90:a=90,deac,dfab,deac,dfab,四邊形四邊形afdeafde是矩形是矩形, ,又又rtrtbdfrtbdfrtcde,df=de,cde,df=de,四邊形四邊形afdeafde是正方形是正方形. .【總結(jié)提升總結(jié)提升】判定正方形的一般思路判定正方形的一般思路題組一題組一: :正方形的性質(zhì)正方形的性質(zhì)1.1.如圖如圖, ,將正方形紙片將正方形紙片abcdabcd折疊折疊, ,使邊使邊ab,cbab,cb均均落

10、在對角線落在對角線bdbd上上, ,得折痕得折痕be,bf,be,bf,則則ebfebf的大的大小為小為( () )a.15a.15 b.30 b.30c.45c.45 d.60d.60【解析解析】選選c.c.將正方形紙片將正方形紙片abcdabcd折疊折疊, ,使邊使邊ab,cbab,cb均落在對角均落在對角線線bdbd上上, ,得折痕得折痕be,bf,be,bf,abe=dbe=dbf=fbc,abe=dbe=dbf=fbc,ebf= abc=45ebf= abc=45. .122.(20132.(2013棗莊中考棗莊中考) )如圖，在邊長為如圖，在邊長為2 2的正方形的正方形abcdab

11、cd中，中，m m為邊為邊adad的中點，延長的中點，延長mdmd至點至點e e，使，使me=me=mcmc，以，以dede為邊作正方形為邊作正方形defgdefg，點，點g g在邊在邊cdcd上，則上，則dgdg的長為的長為( )( )【解析解析】選選d.d.四邊形四邊形abcdabcd是正方形，是正方形，dcdcdada2 2，m m為邊為邊adad的中點，的中點，dmdm1 1，a3 1 b 35 c51 d5 1 22memc125dgde5 1，3.3.如圖如圖, ,正方形正方形abcdabcd中中, ,對角線對角線ac=10,mac=10,m是是abab上任意一點上任意一點, ,由

12、由m m點點作作meoa,mfob,meoa,mfob,垂足分別為垂足分別為e,fe,f點點, ,則則me+mfme+mf的值為的值為( () )a.20a.20 b.10 b.10c.15c.15 d.5d.5【解析解析】選選d.d.已知正方形已知正方形abcdabcd中中, ,對角線對角線ac=10,mac=10,m是是abab上任意一上任意一點點, ,由由m m點作點作meoa,mfob,meoa,mfob,四邊形四邊形emfoemfo為矩形為矩形,mf=oe,mf=oe,又又bac=abd,mebd,bac=abd,mebd,ame=abd=bac,ame=abd=bac,me=ae,

13、me+mf=ae+oe=ao,me=ae,me+mf=ae+oe=ao,又正方形又正方形abcdabcd中中, ,對角線對角線ac=10,ac=10,me+mf=ao= ac= me+mf=ao= ac= 10=510=5. .12124.(20134.(2013雅安中考雅安中考) )如圖如圖, ,正方形正方形abcdabcd中中, ,點點e,e,f f分別在分別在bc,cdbc,cd上上, ,aefaef是等邊三角形是等邊三角形, ,連接連接acac交交efef于于g,g,下列結(jié)論下列結(jié)論: :be = df.be = df.daf =15daf =15. .acac垂直平分垂直平分ef.e

14、f.be + df = ef.be + df = ef.s scefcef=2s=2sabeabe. .其中正確結(jié)其中正確結(jié)論有論有( () )a. 2a. 2個個 b. 3b. 3個個 c. 4c. 4個個 d. 5d. 5個個【解析解析】選選c.c.aefaef是等邊三角形是等邊三角形,ae=af,ae=af,又又ab=ad,rtab=ad,rtabertabertadf,be=df.adf,be=df.故正確故正確. .abeabeadf,daf=bae,adf,daf=bae,又又eaf=60eaf=60,daf=bae= =15,daf=bae= =15. .故正確故正確. .daf

15、=bae=15daf=bae=15,bac=dac=45,bac=dac=45, ,eag=fag=30eag=fag=30, ,又又aefaef是等邊三角形是等邊三角形, ,ac ac 垂直平分垂直平分ef.ef.故正確故正確. .90602把把adfadf繞點繞點a a順時針旋轉(zhuǎn)順時針旋轉(zhuǎn)9090至至abfabf的位置的位置( (或延長或延長ebeb至至ff，使，使bf=df,bf=df,連接連接af)af)，fae=30fae=30,f=aef=75,f=aef=75, ,efae,efae,ef=beef=bedf,ae=ef,df,ae=ef,bebedfef.dfef.故不正確故不

16、正確. .過點過點e e作作enafenaf，垂足為，垂足為n n，nae=30nae=30,ne= ae,ne= ae,be=df,bc=cd,ce=cf,be=df,bc=cd,ce=cf,acef,cg= ef,acef,cg= ef,又又ae=ef,en=cg,ae=ef,en=cg,又又af=ae=ef,saf=ae=ef,saefaef=s=scefcef, ,sscefcef=2s=2sabeabe. .故正確故正確. .12125.5.如圖如圖, ,邊長為邊長為2 2的正方形的正方形abcdabcd的對角線相交于的對角線相交于點點o,o,過點過點o o的直線分別交的直線分別交a

17、d,bcad,bc于于e,f,e,f,則陰影部則陰影部分的面積是分的面積是. .【解析解析】由題意可知由題意可知, ,deodeobfo,bfo,ssdeodeo=s=sbfobfo, ,陰影部分面積陰影部分面積=s=sbocboc= = 2 21=1.1=1.答案答案: :1 112【變式備選變式備選】如圖如圖, ,三個邊長均為三個邊長均為2 2的正方形重疊在一起的正方形重疊在一起,o,o1 1,o,o2 2是其中兩個正方形的中心是其中兩個正方形的中心, ,則陰影部分的面積是則陰影部分的面積是. .【解析解析】連接連接o o1 1b,ob,o1 1c,c,bobo1 1f+fof+fo1 1

18、c=90c=90,fo,fo1 1c+coc+co1 1g=90g=90, ,bobo1 1f=cof=co1 1g,g,四邊形四邊形abcdabcd是正方形是正方形, ,oo1 1bf=obf=o1 1cg=45cg=45, ,又又o o1 1b=ob=o1 1c,c,o o1 1bfbfo o1 1cg,cg,左邊兩個正方形重疊的陰影部分的面積是左邊兩個正方形重疊的陰影部分的面積是 s s正方形正方形, ,同理另外的陰影部分的面積也是同理另外的陰影部分的面積也是 s s正方形正方形,s,s陰影部分陰影部分= s= s正方形正方形=2.=2.答案答案: :2 21214146.6.如圖如圖,

19、a,b,c,a,b,c三點在同一條直線上三點在同一條直線上,ab=,ab=2bc,2bc,分別以分別以ab,bcab,bc為邊作正方形為邊作正方形abefabef和和正方形正方形bcmn,bcmn,連接連接fn,ec.fn,ec.求證求證:fn=ec.:fn=ec.【證明證明】在正方形在正方形abefabef中和正方形中和正方形bcmnbcmn中中, ,ab=be=ef,bc=bn,fen=ebc=90ab=be=ef,bc=bn,fen=ebc=90, ,ab=2bc,en=bc,ab=2bc,en=bc,fnefneecb,fn=ec.ecb,fn=ec.題組二題組二: :正方形的判定正方

20、形的判定1.1.已知四邊形已知四邊形abcdabcd中中,a=b=c=90,a=b=c=90, ,如果添加一個條件如果添加一個條件, ,即可推出該四邊形是正方形即可推出該四邊形是正方形, ,那么這個條件可以是那么這個條件可以是( () )a.d=90a.d=90 b.ab=cd b.ab=cdc.ad=bcc.ad=bc d.bc=cd d.bc=cd【解析解析】選選d.d.由由a=b=c=90a=b=c=90可判定四邊形可判定四邊形abcdabcd為矩形為矩形, ,因此再添加條件因此再添加條件: :一組鄰邊相等一組鄰邊相等, ,即可判定其為正方形即可判定其為正方形, ,故選故選d.d.2.2

21、.下列說法不正確的是下列說法不正確的是( () )a.a.有一個角是直角的菱形是正方形有一個角是直角的菱形是正方形b.b.兩條對角線相等的菱形是正方形兩條對角線相等的菱形是正方形c.c.對角線互相垂直的矩形是正方形對角線互相垂直的矩形是正方形d.d.四條邊都相等的四邊形是正方形四條邊都相等的四邊形是正方形【解析解析】選選d.d.四條邊都相等的四邊形是菱形四條邊都相等的四邊形是菱形, ,不一定是正方不一定是正方形形.a,b,c.a,b,c選項均符合正方形的判定選項均符合正方形的判定, ,是正方形是正方形. .3.3.如圖如圖, ,在四邊形在四邊形abcdabcd中中,ab=bc=cd=da,ab

22、=bc=cd=da,對角線對角線acac與與bdbd相交于點相交于點o,o,若不增加任何字母與輔助線若不增加任何字母與輔助線, ,要使四邊形要使四邊形abcdabcd是正方形是正方形, ,則還需增加一個條件則還需增加一個條件是是. .【解析解析】在四邊形在四邊形abcdabcd中中,ab=bc=cd=da,ab=bc=cd=da,四邊形四邊形abcdabcd是菱形是菱形. .要使菱形要使菱形abcdabcd是正方形是正方形, ,則還需增加一個條件可以是則還需增加一個條件可以是ac=bdac=bd或或abbc.abbc.答案答案: :ac=bd(ac=bd(答案不唯一答案不唯一) )4.4.如圖

23、如圖, ,正方形正方形abcdabcd的對角線的對角線ac,bdac,bd交于點交于點o,o,過點過點d d作作dpoc,dpoc,且且dp=oc,dp=oc,連接連接cp,cp,試判斷四邊形試判斷四邊形codpcodp的形狀的形狀, ,并證明并證明. .【解析解析】四邊形四邊形codpcodp為正方形為正方形. .理由理由: :由正方形的性質(zhì)由正方形的性質(zhì), ,得得od=oc,od=oc,且且odoc.odoc.因為因為dpoc,dpoc,且且dp=oc,dp=oc,所以四邊形所以四邊形codpcodp為平行四邊形為平行四邊形, ,因為因為odoc,odoc,所以四邊形所以四邊形codpcodp為矩形為矩形, ,因為因為od=oc,od=oc,所以矩形所以矩形codpcodp為正方形為正方形. .5.5.如圖如圖, ,點點o o是線段是線段abab上的一點上的一點,oa=oc,od,oa=oc,od平分平分aocaoc交交acac于點于點d,ofd,of平分平分cob,cfofcob,cfof于點于點f.f.(1)(1)求證求證: