空間向量與立體幾何單元練習題

1、空間向量與立體幾何習題一、選擇題（每小題5分，共50分）1.如圖，在平行六面體abcda1b1c1d1中，m為ac與bd的交點.若=a，=b，=c，則下列向量中與相等的向量是a.a+b+c b.a+b+cc.ab+c d.ab+c2.下列等式中，使點m與點a、b、c一定共面的是a. b.c. d.3.已知空間四邊形abcd的每條邊和對角線的長都等于1，點e、f分別是ab、ad的中點，則等于a. b. c. d.4.若，與的夾角為，則的值為a.17或-1 b.-17或1 c.-1 d.15.設，則線段的中點到點的距離為a. b. c. d.6.下列幾何體各自的三視圖中，有且僅有兩個視圖相同的是正

2、方體圓錐三棱臺正四棱錐a b c d7.右圖是一個幾何體的三視圖，根據圖中數據，可得該幾何體的表面積是俯視圖正(主)視圖側(左)視圖2322a.b.c.d.8.如圖，abcd-a1b1c1d1為正方體，下面結論錯誤的是a.bd平面cb1d1b.ac1bdc.ac1平面cb1d1d.異面直線ad與cb1所成的角為60°9.如圖，在長方體abcd-a1b1c1d1中，ab=bc=2,aa1=1,則bc1與平面bb1d1d所成角的正弦值為a. b. c. d.10.abc的三個頂點分別是，則ac邊上的高bd長為a.5 b. c.4 d.二、填空題（每小題5分，共20分）11.設，且，則 .

3、12.已知向量，且，則=_.13.在直角坐標系中，設a（-2，3），b（3，-2），沿軸把直角坐標平面折成大小為的二面角后，這時，則的大小為 14.如圖，pabcd是正四棱錐，是正方體，其中，則到平面pad的距離為 .三、解答題（共80分）15.（本小題滿分12分）如圖，在四棱錐p-abcd中，底面abcd是邊長為1的正方形，側棱pa的長為2，且pa與ab、ad的夾角都等于600，是pc的中點，設（1）試用表示出向量；（2）求的長16.（本小題滿分14分）如下的三個圖中，上面的是一個長方體截去一個角所得多面體的直觀圖，它的正視圖和側視圖在下面畫出（單位：cm）.（1）在正視圖下面，按照畫三視圖

4、的要求畫出該多面體的俯視圖；（2）按照給出的尺寸，求該多面體的體積；（3）在所給直觀圖中連結，證明：面efg.17.（本小題滿分12分）如圖，在四面體中，點分別是的中點求證：（1）直線面；（2）平面面18.（本小題滿分14分）如圖，已知點p在正方體的對角線上，pda=60°.（1）求dp與所成角的大小；（2）求dp與平面所成角的大小.19.（本小題滿分14分）已知一四棱錐pabcd的三視圖如下，e是側棱pc上的動點（1）求四棱錐pabcd的體積；（2）是否不論點e在何位置，都有bdae？證明你的結論;（3）若點e為pc的中點，求二面角daeb的大小20.（本小題滿分14分）如圖，已知

5、四棱錐，底面為菱形，平面，分別是的中點（1）證明：；pbecdfa（2）若為上的動點，與平面所成最大角的正切值為，求二面角的余弦值練習題參考答案一、選擇題1.=c+(a+b)=a+b+c，故選a.2.故選d.3.,故選b.4.b 5.b 6.d 7.d 8.d 9.d10.由于，所以,故選a二、填空題11.9 12.313.作acx軸于c，bdx軸于d，則14.以為軸，為軸，為軸建立空間直角坐標系設平面pad的法向量是，取得，到平面pad的距離.三、解答題15.解：（1）是pc的中點，（2）.16.解：（1）如圖（2）所求多面體體積abcdefg（3）證明：在長方體中，連結，則因為分別為，中點

6、，所以，從而又平面，所以面17.證明：（1）e,f分別是的中點，ef是abd的中位線，efad，ad面acd，ef面acd，直線ef面acd；（2）adbd，efad，efbd，cb=cd，f是的中點，cfbd又efcf=f, bd面efc，bd面bcd，面面.18.解：如圖，以為原點，為單位長建立空間直角坐標系則，連結，在平面中，延長交于設，由已知，由，可得abcdpxyzh解得，所以（1）因為，所以，即與所成的角為（2）平面的一個法向量是因為，所以，可得與平面所成的角為19.解：（1）由該四棱錐的三視圖可知，該四棱錐pabcd的底面是邊長為1的正方形，側棱pc底面abcd，且pc=2.(2

7、)不論點e在何位置，都有bdae證明如下：連結ac，abcd是正方形，bdacpc底面abcd 且平面bdpc又bd平面pac不論點e在何位置，都有ae平面pac 不論點e在何位置，都有bdae(3)解法1：在平面dae內過點d作dgae于g，連結bgcd=cb,ec=ec，ed=ebad=ab，edaeba，bgea為二面角deab的平面角bcde，adbc，adde在rade中=bg在dgb中，由余弦定理得=，二面角daeb的大小為.解法2：以點c為坐標原點，cd所在的直線為軸建立空間直角坐標系如圖示：則,從而設平面ade和平面abe的法向量分別為由法向量的性質可得：，令，則，設二面角daeb的平面角為，則，二面角daeb的大小為.20.（1）證明：由四邊形為菱形，可得為正三角形因為為的中點，所以又，因此因為平面，平面，所以而平面，平面且，所以平面又平面，所以（2）解：設，為上任意一點，連接由（1）知平面，則為與平面所成的角在中，所以當最短時，最大，即當時，最大此時，因此又，所以，所以解法一：因為平面，平面，所以平面平面過作于，則平面，過作于，連接，則為二面角的平面角，在中，又是的中點，在中，又，在中，即所求二面角的余弦