材料力學15章壓桿穩(wěn)定

1、 15- -1 工程事例及穩(wěn)定性的概念工程事例及穩(wěn)定性的概念第十五章第十五章 壓桿穩(wěn)定問題壓桿穩(wěn)定問題 1922年冬天的一場大雪，使美國華盛頓的鎳克爾卜克爾劇年冬天的一場大雪，使美國華盛頓的鎳克爾卜克爾劇院倒塌，死亡院倒塌，死亡98人，受傷人，受傷100多人。事故原因是屋頂結構中一多人。事故原因是屋頂結構中一根桿件超載造成喪失穩(wěn)定。根桿件超載造成喪失穩(wěn)定。 1907年，加拿大圣勞倫斯河上架設魁北克橋，用懸臂結構年，加拿大圣勞倫斯河上架設魁北克橋，用懸臂結構架設中跨橋架時，由于懸臂桁架中的一根桿件喪失穩(wěn)定，結架設中跨橋架時，由于懸臂桁架中的一根桿件喪失穩(wěn)定，結果橋梁倒塌，果橋梁倒塌，9千噸的鋼鐵

2、結構變成一堆廢墟。千噸的鋼鐵結構變成一堆廢墟。 1925年，前蘇聯(lián)莫茲爾橋造好后試車時，由于橋梁桁架年，前蘇聯(lián)莫茲爾橋造好后試車時，由于橋梁桁架的一根壓桿喪失穩(wěn)定，使整座橋梁發(fā)生嚴重變形。的一根壓桿喪失穩(wěn)定，使整座橋梁發(fā)生嚴重變形。壓桿穩(wěn)定性破壞工程實例工程中的壓桿實例兩根橫截面面積均為150mm2的松木直桿。它們的長度分別為20mm與1000mm,強度極限40MPa。kNF610401015066-問題的提出壓桿穩(wěn)定性15-2 桿端不同約束下細長壓桿的臨界力桿端不同約束下細長壓桿的臨界力 桿件越細越長，越容易喪失穩(wěn)定。如何確定臨界力？ 早在267年前，公元1744年瑞士著名數(shù)學家和力學家歐拉

3、(L.Euler,1707-1783)在從事彈性曲線幾何形狀的理論研究中，提出了臨界力公式。22cr)(lEIF 壓桿保持原有直線平衡狀態(tài)的能力，稱為壓桿的穩(wěn)定性。 壓桿喪失直線平衡狀態(tài)而破壞，這種現(xiàn)象稱為喪失穩(wěn)定或失穩(wěn)。 臨界力它是標志著壓桿原有直線形狀從穩(wěn)定平衡過渡到不穩(wěn)定平衡的分界點。22cr)(lEIF式中： l EIlFcr2l()2cr22EIFl Fcrl0.3l0.7l( . )2cr207EIFl Fcrl2cr2EIFl lFcrl/4l/4l/2( / )2cr22EIFl l 22crlEIF 22cr)7 . 0(lEIF 22cr)5 . 0(lEIF 22cr)2

4、(lEIF 表15-1 表15-1中列出了幾種典型的理想桿端約束條件下，等截面細長中心受壓直桿的歐拉公式。從表中可見，桿端約束越強，壓桿的臨界力也就越高。表中將求臨界力的歐拉公式寫成了統(tǒng)一的形式：22cr lEIF式中， 稱為壓桿的長度因數(shù)，它與桿端約束情況有關； l 稱為壓桿的相當長度(equivalent length)，它表示某種桿端約束情況下幾何長度為l的壓桿，其臨界力相當于長度為 l 的兩端鉸支壓桿的臨界力。表15-1的圖中從幾何意義上標出了各種桿端約束情況下的相當長度 l。 運用歐拉公式計算臨界力時需要注意： 當桿端約束情況在各個縱向平面內(nèi)相同時(例如球形鉸)，歐拉公式中的 I 應

5、是桿的橫截面的最小形心主慣性矩 Imin。(1)當桿端約束在各個縱向平面內(nèi)不同時，歐拉公式中所取用的I應與失穩(wěn)(或可能失穩(wěn))時的彎曲平面相對應。例如桿的兩端均為如圖所示柱形鉸的情況下：xyz軸銷對應于桿在xy平面內(nèi)失穩(wěn)，桿端約束接近于兩端固定，22cr5 . 0lEIFz對應于桿在xz平面內(nèi)的失穩(wěn)，桿端約束相當于兩端鉸支，22crlEIFy而取用的臨界力值應是上列兩種計算值中的較小者。xyz軸銷15- -3 中、小柔度桿的臨界應力中、小柔度桿的臨界應力一. 臨界應力與柔度 在推導細長中心壓桿臨界力的歐拉公式時，應用了材料在線彈性范圍內(nèi)工作時的撓曲線近似微分方程，可見歐拉公式只可應用于壓桿橫截面

6、上的應力不超過材料的比例極限sp的情況。 壓桿處于臨界平衡狀態(tài)時橫截面上的平均應力稱為壓桿的臨界應力并用scr表示。可按scrFcr /A來計算，亦即：(a) /222222crcrsEilEAlEIAF式中，scr稱為臨界應力； 為壓桿橫截面對于失穩(wěn)時繞以轉動的形心主慣性軸的慣性半徑； l /i為壓桿的相當為壓桿的相當長度與其橫截面慣性半徑之比，稱為壓桿的長度與其橫截面慣性半徑之比，稱為壓桿的柔度或者長細比(slenderness) ，記作，即AIi/il 根據(jù)歐拉公式只可應用于scrsp的條件，由式(a)知該應用條件就是p22crssE亦即 p2sEp 或寫作可見 就是可以應用歐拉公式的壓

7、桿最小柔度。對于Q235鋼，按照 E206 GPa，sp 200 MPa，有p2psE100Pa10200Pa10206692p2psE 通常把p的壓桿，亦即能夠應用歐拉公式求臨界力Fcr的壓桿，稱為大柔度壓桿或細長壓桿大柔度壓桿或細長壓桿，而把 0 （中長桿）小柔度壓桿： 0 (短粗桿) 臨界應力總圖是指同一材料制作的壓桿，其臨界應力scr隨柔度 變化的關系曲線。 在p的部分，有歐拉公式scr 2E/2表達scr關系；三、臨界應力的經(jīng)驗公式和臨界應力總圖 對中小柔度壓桿，可利用所謂的直線型經(jīng)驗公式直線型經(jīng)驗公式、拋物線型經(jīng)驗公拋物線型經(jīng)驗公式等來表達scr關系；小柔度桿小柔度桿 中柔度桿中柔

8、度桿大柔度桿大柔度桿 中小柔度壓桿中小柔度壓桿臨界應力經(jīng)驗公式臨界應力經(jīng)驗公式 適用于合金鋼、鋁適用于合金鋼、鋁合金、鑄鐵與松木等合金、鑄鐵與松木等1. 直線型經(jīng)驗公式直線型經(jīng)驗公式)( p0cr s s ba a, b 值與材料有關值與材料有關小柔度桿小柔度桿 中柔度桿中柔度桿大柔度桿大柔度桿bacu0s s 臨界應力總圖臨界應力總圖0cu s sba 適用于結構鋼與低合金結構鋼等適用于結構鋼與低合金結構鋼等2. 拋物線型經(jīng)驗公式拋物線型經(jīng)驗公式)0( p211cr s s ba a1, b1值與材料有關值與材料有關 例例 題題例例 硅鋼活塞桿硅鋼活塞桿, d = 40 mm, E = 21

9、0 GPa, p= 100, 求求Fcr=？解：解：2 m 100 . 14464224dddAIi 200 il p kN 1 .6564)()(42222cr dlElEIF 大柔度桿大柔度桿例例 求圖示鉻鉬鋼聯(lián)桿求圖示鉻鉬鋼聯(lián)桿Fcr, A = 70 mm2, Iz = 6.5104 mm4, Iy = 3.8104 mm4, 中柔度壓桿的臨界應力為中柔度壓桿的臨界應力為)550( )MPa 29. 5(MPa 980cr s s解：解：在在x-y平面失穩(wěn)平面失穩(wěn)1 z 6 .52)( AIlzzz zyyyAIl 2 .48)(7 . 0 y 在在x-z平面失穩(wěn)平面失穩(wěn) kN 505

10、6 .52)MPa 29. 5(MPa 980cr AF中柔度壓桿中柔度壓桿, 并在并在x-y平面失穩(wěn)平面失穩(wěn)xyz軸銷15- -4 壓桿的穩(wěn)定條件與合理設計壓桿的穩(wěn)定條件與合理設計 為保證實際壓桿具有足夠的穩(wěn)定性，在穩(wěn)定計算中需引入穩(wěn)定安全因數(shù)nst，取穩(wěn)定條件(stability condition)為式中，sst=scr/nst為壓桿的穩(wěn)定許用應力。stcrnAFss stss亦即 由于scr與壓桿的柔度有關，而且考慮到不同柔度的壓桿其失穩(wěn)的危險性也有所不同，故所選用的穩(wěn)定安全因數(shù)nst也隨 變化，因此sst是一個與壓桿柔度的關系比較復雜的量。一、壓桿穩(wěn)定條件計算計算Fcr與與s scr

11、時時, 不必考慮壓桿局部削弱的影響不必考慮壓桿局部削弱的影響 例例 題題例 校核斜撐桿的穩(wěn)定性。校核斜撐桿的穩(wěn)定性。F = 12 kN, 桿外經(jīng)桿外經(jīng)D = 45 mm, 桿內(nèi)徑桿內(nèi)徑d = 36 mm, nst = 2.5, 低碳鋼低碳鋼Q235制成制成s scr=235 MPa-(0.00669 MPa) 2 2 p=100解：kN 30.9 , 0N FMA FNAIi il kN 116.8 MPa) (0.00669-MPa 2354)(222cr dDFkN 41.4 stcrstnFFstN kN 30.9 FFkN 30.9 N F)(464)(2244dDdD m 0144.

12、 0422 dD 1 .98m 0144. 0)m 2(1p crcrs sAF 該斜桿滿足穩(wěn)定性要求。 為了應用方便，將穩(wěn)定許用應力sst寫為材料的強度許用應力s乘以一個隨壓桿柔度變化的折減因數(shù)j =j ()，即 sjsssssstcrstcrstnn 我國鋼結構設計規(guī)范根據(jù)對常用截面形式、尺寸和加工工藝的96根鋼壓桿，并考慮初曲率和加工產(chǎn)生的殘余應力所作數(shù)值計算結果，在選取適當?shù)陌踩驍?shù)后，給出了鋼壓桿穩(wěn)定因數(shù)j與柔度的一系列關系值。 該規(guī)范按鋼壓桿中殘余應力對臨界應力的影響從小到大分為a，b，c三類截面。大多數(shù)鋼壓桿可取作b類截面壓桿。表12-4為Q235鋼b類截面中心壓桿隨柔度變化的折

13、減因數(shù)j。 1nstcrssj其中二、折減系數(shù)法表12-4 Q235鋼b類截面中心受壓直桿的折減系數(shù)j 折減系數(shù)法折減系數(shù)法 s sj js s st s sj js s ),(材料材料 j jj j j j折減系數(shù)折減系數(shù)或或穩(wěn)定系數(shù)穩(wěn)定系數(shù) s s 許用壓應力許用壓應力 壓桿穩(wěn)定條件壓桿穩(wěn)定條件 穩(wěn)定許用應力穩(wěn)定許用應力 合理選用材料合理選用材料對于大柔度壓桿對于大柔度壓桿 E 較高的材料，較高的材料， s scr 也高也高GPa 220)(200 E鋼鋼與與合合金金鋼鋼：注意：注意：各種鋼材（或各種鋁合金）的各種鋼材（或各種鋁合金）的 E 基本相同基本相同GPa 72)(70 E金金：合合鋁鋁對于中柔度壓桿對于中柔度壓桿 強度強度 較高的材料，較高的材料， s scr 也高也高對于小柔度壓桿對于小柔度壓桿 按強度按強度 要求選擇材料要求選擇材料對穩(wěn)定性來說：沒必要選用高強度、優(yōu)質鋼材材料對穩(wěn)定性來說：沒必要選用高強度、優(yōu)質鋼材材料三、壓桿的合理設計 合理選