第十四章 虛位移原理

1、第十四章第十四章 虛位移原理虛位移原理ACBl1l2AFBF0CM21lFlFBA系統(tǒng)平衡系統(tǒng)平衡假想桿有微小位移假想桿有微小位移ACBl1l2AFBFAB21:llBA做功做功:BBAAFFW動(dòng)能定理動(dòng)能定理:0TW21lFlFBA14-1 約束約束虛位移虛位移虛虛功功約束及其分類約束及其分類限制質(zhì)點(diǎn)或質(zhì)點(diǎn)系運(yùn)動(dòng)的條件稱為限制質(zhì)點(diǎn)或質(zhì)點(diǎn)系運(yùn)動(dòng)的條件稱為約束約束限制條件的數(shù)學(xué)方程稱為限制條件的數(shù)學(xué)方程稱為約束方程約束方程限制質(zhì)點(diǎn)或質(zhì)點(diǎn)系在空間的幾何位置的條件限制質(zhì)點(diǎn)或質(zhì)點(diǎn)系在空間的幾何位置的條件稱為稱為幾何約束幾何約束幾何約束和運(yùn)動(dòng)約束幾何約束和運(yùn)動(dòng)約束222lyx0,zyxf限制質(zhì)點(diǎn)系運(yùn)動(dòng)情

2、況的運(yùn)動(dòng)學(xué)條件稱限制質(zhì)點(diǎn)系運(yùn)動(dòng)情況的運(yùn)動(dòng)學(xué)條件稱運(yùn)動(dòng)約束運(yùn)動(dòng)約束0rvA0rxA2022t vlyx定常約束和非定常約束定常約束和非定常約束約束條件隨時(shí)間變化的約束條件隨時(shí)間變化的稱稱非定常約束非定常約束, ,否則稱否則稱定常定常約束約束. .其它分類其它分類約束方程中包含坐標(biāo)對時(shí)間的導(dǎo)數(shù)約束方程中包含坐標(biāo)對時(shí)間的導(dǎo)數(shù), ,且不可能積且不可能積分為有限形式的約束稱分為有限形式的約束稱非完整約束非完整約束, ,否則為否則為完整約束完整約束. .約束方程是等式的，稱約束方程是等式的，稱雙側(cè)約束雙側(cè)約束（或稱（或稱固執(zhí)約固執(zhí)約束束），約束方程為不等式的，稱），約束方程為不等式的，稱單側(cè)約束單側(cè)約束（

3、或稱（或稱非非固執(zhí)約束固執(zhí)約束）。）。虛位移虛位移 虛位移只是一個(gè)幾何概念虛位移只是一個(gè)幾何概念, ,它完全由約束的性質(zhì)它完全由約束的性質(zhì)及其限制的條件所決定及其限制的條件所決定. .它只是約束所容許的可能發(fā)它只是約束所容許的可能發(fā)生而實(shí)際不一定發(fā)生的位移生而實(shí)際不一定發(fā)生的位移, ,它與作用力無關(guān)它與作用力無關(guān), ,與時(shí)與時(shí)間無關(guān)間無關(guān). .它可以有多種不同的方向它可以有多種不同的方向, ,它它必須是微小量必須是微小量. .虛位移虛位移,xr等等實(shí)位移實(shí)位移d ,d ,drx等等在某瞬時(shí)在某瞬時(shí),質(zhì)點(diǎn)系質(zhì)點(diǎn)系在約束允許的條件下在約束允許的條件下,可能實(shí)現(xiàn)可能實(shí)現(xiàn)的任何無限小的位移稱為的任何無

4、限小的位移稱為虛位移虛位移 .記為記為rr2 2r1 1如：鉸接于光滑水平面上的直桿如：鉸接于光滑水平面上的直桿OA受力如圖所示受力如圖所示.找出實(shí)位移和虛位移找出實(shí)位移和虛位移.drd微小的實(shí)位移是虛位移之一微小的實(shí)位移是虛位移之一AMOAMO虛功虛功 rFW力在虛位移中作的功稱力在虛位移中作的功稱虛功虛功. .AMOFBArBrBrFMW0NiiFF0iNiiirFrF0iNiiirFrF 14-2 虛位移原理虛位移原理 設(shè)質(zhì)點(diǎn)系處于平衡設(shè)質(zhì)點(diǎn)系處于平衡, ,則作用在第則作用在第i i個(gè)質(zhì)點(diǎn)上的主個(gè)質(zhì)點(diǎn)上的主動(dòng)力的合力動(dòng)力的合力 和約束反力的合力和約束反力的合力 滿足滿足 iFNiF 假設(shè)

5、給該質(zhì)點(diǎn)虛位移假設(shè)給該質(zhì)點(diǎn)虛位移 ,則上述力的虛功和為則上述力的虛功和為ir對于整個(gè)質(zhì)點(diǎn)系對于整個(gè)質(zhì)點(diǎn)系,有有此方程稱此方程稱虛功方程虛功方程, ,其表達(dá)的原理稱其表達(dá)的原理稱虛位移原理虛位移原理或或虛虛功原理功原理. .0iNiiirFrF對于具有對于具有理想約束（約束力做功和為零）理想約束（約束力做功和為零）的質(zhì)點(diǎn)系的質(zhì)點(diǎn)系0iNirF則有則有0iirF或記為或記為0WW一般有一般有0iiiiMrFWAC1FDB2F456030例例1 桿件系統(tǒng)平衡時(shí)，求兩個(gè)力的關(guān)系。桿件系統(tǒng)平衡時(shí)，求兩個(gè)力的關(guān)系。ArBr解：研究整體，給系解：研究整體，給系統(tǒng)可能的虛位移統(tǒng)可能的虛位移由于虛位移都是微量由

6、于虛位移都是微量,所以所以ACrABDrB位移投影定理位移投影定理BArr45cosABrr22虛功原理虛功原理0W02321BArFrF04621AArFrF0Ar2146FF 應(yīng)用虛位移原理解題的步應(yīng)用虛位移原理解題的步驟驟1.給系統(tǒng)一個(gè)約束允許的虛位移（微量），找出給系統(tǒng)一個(gè)約束允許的虛位移（微量），找出所有主動(dòng)力作用點(diǎn)的虛位移。動(dòng)摩擦力等做功的所有主動(dòng)力作用點(diǎn)的虛位移。動(dòng)摩擦力等做功的非理想約束視為主動(dòng)力。非理想約束視為主動(dòng)力。 3.建立各個(gè)虛位移之間的關(guān)系。建立各個(gè)虛位移之間的關(guān)系。（1）幾何法。）幾何法。（2）變分法。寫出質(zhì)點(diǎn)坐標(biāo)，施行變分運(yùn)算。）變分法。寫出質(zhì)點(diǎn)坐標(biāo)，施行變分運(yùn)算

7、。（3）虛速度法。）虛速度法。2.建立虛功方程。建立虛功方程。dtrvdtrvBBAA,建立兩點(diǎn)速度的關(guān)系：建立兩點(diǎn)速度的關(guān)系：合成法、投影法、瞬心法合成法、投影法、瞬心法例例2 橢圓規(guī)機(jī)構(gòu)平衡時(shí)，求兩力的關(guān)系。橢圓規(guī)機(jī)構(gòu)平衡時(shí)，求兩力的關(guān)系。AB=lABOAFBF解：在約束允許下，給系解：在約束允許下，給系統(tǒng)虛位移統(tǒng)虛位移ArBr,建立虛功方程建立虛功方程建立虛位移之間的關(guān)系建立虛位移之間的關(guān)系（1）幾何法）幾何法0BBAArFrF（*）位移投影定理位移投影定理sincosABrr代入（代入（*）式，有）式，有tanBAFF 0BAAArFrF（*）（2）變分法）變分法寫出寫出A、B兩點(diǎn)在位

8、移方向上兩點(diǎn)在位移方向上的坐標(biāo)的坐標(biāo)cos,sinlxlyBA類似于微分運(yùn)算，這里施行變分運(yùn)算類似于微分運(yùn)算，這里施行變分運(yùn)算coslyrAAdcosd lyAsinlxrBBdsind lxB代入（代入（*）式，有）式，有tanBAFF ABOAFBFArBrxy0BAAArFrF（*）（3）虛速度法）虛速度法設(shè)想虛位移在設(shè)想虛位移在dt時(shí)間內(nèi)發(fā)生，時(shí)間內(nèi)發(fā)生，則則trvtrvBBAAd,d找到瞬心找到瞬心P，由運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系，由運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系，BPvAPvBA代入（代入（*）式，有）式，有tanBAFF ABOAFBFArBrPBABArrBPAPvvtan例例3 分析圖示系統(tǒng)平衡時(shí)兩個(gè)主動(dòng)力的關(guān)

9、系。分析圖示系統(tǒng)平衡時(shí)兩個(gè)主動(dòng)力的關(guān)系。解：在約束允許下，給系解：在約束允許下，給系統(tǒng)虛位移統(tǒng)虛位移 , ,建立虛功方程建立虛功方程建立虛位移之間的關(guān)系建立虛位移之間的關(guān)系（1）幾何法）幾何法0CrFM（*）2sinsinsinhOBrrreaB代入（代入（*）式，有）式，有2sinMFh CrhFOCMBABC桿平動(dòng)，可以找出桿平動(dòng)，可以找出B點(diǎn)虛位移和點(diǎn)虛位移和 的關(guān)系。的關(guān)系。以套筒以套筒B為動(dòng)點(diǎn)，為動(dòng)點(diǎn)，OA桿為動(dòng)系。桿為動(dòng)系。erarrrCr（2）變分法）變分法寫出寫出C點(diǎn)坐標(biāo)點(diǎn)坐標(biāo)BChxCcot施行變分運(yùn)算施行變分運(yùn)算x2sinhrC代入（代入（*）式，有）式，有2sinMFh

10、（3）虛速度法）虛速度法對（對（*）求導(dǎo)，有）求導(dǎo)，有0CrFM（*）0CFvM以套筒以套筒B為動(dòng)點(diǎn)，為動(dòng)點(diǎn)，OA桿為動(dòng)系。桿為動(dòng)系。2sinsinhvvveBC代入（代入（*）式，有）式，有2sinMFh hFOCMBACrevavrv例例4求圖所示無重組合梁支座求圖所示無重組合梁支座A的約束力的約束力.已知已知l=8m，P=4900N，q=2450N/m，M=4900NmMACPBqDE8/ l8/ l4/ l4/ l4/ l解：解除解：解除A處約束，以約束反力代替。處約束，以約束反力代替。在約束允許下，給系統(tǒng)虛位移。在約束允許下，給系統(tǒng)虛位移。Arr1r2rMACPBqDEAF8/ l8

11、/ l4/ l4/ l4/ lMACPBDEAF1F2F)4(ql)4(ql建立虛位移之間的關(guān)系建立虛位移之間的關(guān)系02211MrFrFrPrFAA（*）建立虛功方程建立虛功方程83,4,221lrlrrlrA代入（代入（*）式，有）式，有NFA2450Arr1r2rMACPBDEAF1F2F)4(ql)4(qlMACPBDEAxF1F2F)4(ql)4(ql欲求欲求A處水平約束力，則解除處水平約束力，則解除A處水平約束，以約束處水平約束，以約束反力代替。反力代替。0AxAxrF建立虛功方程建立虛功方程0AxFAxrxrxr1xr2OABPQBrArC例例5 圖示機(jī)構(gòu)中，已知圖示機(jī)構(gòu)中，已知O

12、A=AB=l， ， 如不計(jì)各如不計(jì)各構(gòu)件的重量和摩擦，求在圖示位置平衡時(shí)主動(dòng)力構(gòu)件的重量和摩擦，求在圖示位置平衡時(shí)主動(dòng)力P與與Q的大的大小之間的關(guān)系。小之間的關(guān)系。 AOB解：以系統(tǒng)為研究對象，受的主動(dòng)力解：以系統(tǒng)為研究對象，受的主動(dòng)力有有P與與Q 。給系統(tǒng)一組虛位移如圖。給系統(tǒng)一組虛位移如圖。由虛位移原理由虛位移原理0iirF，得得sin2sin2llACBCvvrrABAB AB作平面運(yùn)動(dòng)，瞬心在作平面運(yùn)動(dòng)，瞬心在C點(diǎn)，則點(diǎn)，則0cosBArQrP代入前式得代入前式得0)sin2cos(ArQP由于由于 ，于是得，于是得0ArQtgP2 亦可由速度投影定理求虛位移之間的關(guān)系：亦可由速度投影

13、定理求虛位移之間的關(guān)系：由速度投影定理由速度投影定理2sincosABvvsin2ABABvvrrOABPQBvAv例例6 圖示機(jī)構(gòu)中，當(dāng)曲柄圖示機(jī)構(gòu)中，當(dāng)曲柄OC繞軸擺動(dòng)時(shí)，滑塊繞軸擺動(dòng)時(shí)，滑塊A沿曲柄自由滑沿曲柄自由滑動(dòng)，從而帶動(dòng)桿動(dòng)，從而帶動(dòng)桿AB在鉛垂導(dǎo)槽在鉛垂導(dǎo)槽K內(nèi)移動(dòng)。已知內(nèi)移動(dòng)。已知OC=a，OK=l，在在C點(diǎn)垂直于曲柄作用一力點(diǎn)垂直于曲柄作用一力Q，而在，而在B點(diǎn)沿點(diǎn)沿BA作用一力作用一力P。求機(jī)。求機(jī)構(gòu)平衡時(shí)，力構(gòu)平衡時(shí)，力P與與Q的關(guān)系。的關(guān)系。OxyPQABKCal 解解1：（幾何法）以系統(tǒng)為：（幾何法）以系統(tǒng)為研究對象，受的主動(dòng)力有研究對象，受的主動(dòng)力有P、Q 。給系

14、統(tǒng)一組虛位移如圖。給系統(tǒng)一組虛位移如圖。其中其中reArrr由虛位移原理由虛位移原理0iirF，得，得0CArQrP式中式中arC2coscoslrreA故有故有0cos2QalP由于由于 ，于是得，于是得0PalQ2cosOxyPQABKCaCrArerrrl主動(dòng)力作用點(diǎn)的坐標(biāo)及其變分為主動(dòng)力作用點(diǎn)的坐標(biāo)及其變分為主動(dòng)力在坐標(biāo)方向上的投影為主動(dòng)力在坐標(biāo)方向上的投影為 解解2 解析法解析法:建立如圖坐標(biāo)。建立如圖坐標(biāo)。ltgyA2coslyAcosaxCsinaxCsinayCcosayCPYAsinQXCsinQYCOxyPQABKCal由由0)(iiiiiizZyYxX，得，得0CCCCAAyYxXyY即即0cos)cos()sin(sinc