第二章計算機控制系統(tǒng)的數(shù)學基礎優(yōu)課教資

1、第第2 2章章 計算機控制系統(tǒng)的設計方法計算機控制系統(tǒng)的設計方法1.1.計算機控制系統(tǒng)的基礎知識計算機控制系統(tǒng)的基礎知識 2.2.計算機控制系統(tǒng)的數(shù)學描述計算機控制系統(tǒng)的數(shù)學描述3.3.計算機控制系統(tǒng)的模擬化設計方法計算機控制系統(tǒng)的模擬化設計方法 4.4.計算機控制系統(tǒng)的離散化設計方法計算機控制系統(tǒng)的離散化設計方法 本章主要內容本章主要內容1谷風課件a2 21 1 計算機控制系統(tǒng)的信號變換計算機控制系統(tǒng)的信號變換 一、一、 連續(xù)信號的采樣連續(xù)信號的采樣 圖圖1 1 采樣過程采樣過程 采樣采樣:用連續(xù)信號在離散時間瞬時值的序列用連續(xù)信號在離散時間瞬時值的序列 代替原來連續(xù)信號的過程代替原來連續(xù)信

2、號的過程2谷風課件a 在計算機控制系統(tǒng)中，采樣信號在計算機控制系統(tǒng)中，采樣信號 是一數(shù)字是一數(shù)字序列，可分解成一系列單脈沖之和。序列，可分解成一系列單脈沖之和。 )(* tf kffftf10)(*)()()(*kttktftfk 式中，式中， 為為 時刻的單脈沖，脈沖的幅值時刻的單脈沖，脈沖的幅值 為為 時刻的單脈沖，脈沖的幅值時刻的單脈沖，脈沖的幅值 ； ； 為為 時刻的單脈沖，脈沖的幅值時刻的單脈沖，脈沖的幅值 tt0 0f)0( tf1ftt1 )1( tfkfktt )(ktf則：則： 只有在 時刻，才有 ，而在的所有 時刻，都有 。 ktt 0)( ktt ktt 0)( ktt

3、用用 函數(shù)函數(shù) 3谷風課件a量化過程量化過程 圖圖3 3 量化過程量化過程所謂量化，就是采所謂量化，就是采用一組數(shù)碼（如二用一組數(shù)碼（如二進制碼）來逼近離進制碼）來逼近離散模擬信號的幅值，散模擬信號的幅值，將其轉換成數(shù)字信將其轉換成數(shù)字信號。經量化使采樣號。經量化使采樣信號成為數(shù)字信號信號成為數(shù)字信號, ,該過程稱為量化過該過程稱為量化過程。程。 4谷風課件a 為保證采樣信號的頻譜是連續(xù)信號的頻譜無重疊的重復為保證采樣信號的頻譜是連續(xù)信號的頻譜無重疊的重復（沿頻率軸方向），以便采樣信號能反映連續(xù)信號的變化（沿頻率軸方向），以便采樣信號能反映連續(xù)信號的變化規(guī)律，采樣頻率規(guī)律，采樣頻率 至少應是至

4、少應是 的頻譜的頻譜 的最高頻率的最高頻率 的兩倍，即的兩倍，即 )2/2(fts )(tf)( jfmax max2 s 采樣定理奠定了選擇采樣頻率的理論基礎，但對于采樣定理奠定了選擇采樣頻率的理論基礎，但對于連續(xù)對象的離散控制，不易確定連續(xù)信號的最高頻率。連續(xù)對象的離散控制，不易確定連續(xù)信號的最高頻率。因此，采樣定理給出了選擇頻率的準則，在實際應用中因此，采樣定理給出了選擇頻率的準則，在實際應用中還要根據系統(tǒng)的實際情況綜合考慮。還要根據系統(tǒng)的實際情況綜合考慮。采樣定理采樣定理5谷風課件a二、采樣信號的復現(xiàn)和采樣保持器二、采樣信號的復現(xiàn)和采樣保持器 保持器保持器 保持器是一種基于時域外推原理

5、、把采樣信號轉換成連保持器是一種基于時域外推原理、把采樣信號轉換成連續(xù)信號，實現(xiàn)采樣點之間的插值的元件。續(xù)信號，實現(xiàn)采樣點之間的插值的元件。零階保持器零階保持器 )(ktetk)1( )(*kte)(hte。 零階保持器采用恒值外推原理，把每個采樣值零階保持器采用恒值外推原理，把每個采樣值 一一直保持到下一個采樣時刻直保持到下一個采樣時刻 , ,從而把采樣信號從而把采樣信號 變成了變成了階梯連續(xù)信號階梯連續(xù)信號 。 圖圖5 5 零階保持器的功能零階保持器的功能 sesgtsh 1)(6谷風課件a2 22 2 計算機控制系統(tǒng)的數(shù)學描述計算機控制系統(tǒng)的數(shù)學描述1 . z1 . z變換變換 0*)(

6、)( )2()2()()()()0()(kkttktftttftttftftf 0)()(*)(kkzktftfzzf對上式取拉氏變換：對上式取拉氏變換：tsze 令：令： 則：則： 0e )()(*)(*kktsktftflsf7谷風課件a 零初始條件下，系統(tǒng)或環(huán)節(jié)的輸出采樣函數(shù)的零初始條件下，系統(tǒng)或環(huán)節(jié)的輸出采樣函數(shù)的z變變換和輸入采樣函數(shù)的換和輸入采樣函數(shù)的z變換之比。變換之比。 為了應用脈沖傳遞函數(shù)的概念，通?？稍谳敵龆颂摓榱藨妹}沖傳遞函數(shù)的概念，通?？稍谳敵龆颂撛O一采樣開關，對輸出的連續(xù)時間信號做假想采樣，來設一采樣開關，對輸出的連續(xù)時間信號做假想采樣，來獲得輸出信號的采樣信號。獲

7、得輸出信號的采樣信號。 2. 2. 脈沖傳遞函數(shù)脈沖傳遞函數(shù)8谷風課件a 00)()()()()(nnnnzntrzntyzrzyzg)(zr)(zg如果已知如果已知 和和 ，則在零初始條件下，線性，則在零初始條件下，線性定常離散系統(tǒng)的輸出采樣信號為定常離散系統(tǒng)的輸出采樣信號為 )()()()(11*zrzgzzyzty 9谷風課件a3. 3. 差分方程差分方程 )()2()()()()2()()( 21021mtktrbtktrbtktrbktrbntktyatktyatktyaktymn 計算機控制系統(tǒng)的差分方程計算機控制系統(tǒng)的差分方程圖圖6 6 連續(xù)系統(tǒng)和離散系統(tǒng)連續(xù)系統(tǒng)和離散系統(tǒng) （a

8、 a）連續(xù)系統(tǒng)）連續(xù)系統(tǒng) （b b）離散系統(tǒng)）離散系統(tǒng))(sf)(tr)(ty)(sf)(kr)(kytt10谷風課件a脈沖傳遞函數(shù)與差分方程的相互轉換脈沖傳遞函數(shù)與差分方程的相互轉換 )()1()()()1()(101mkrbkrbkrbnkyakyakymn nm ， 若已知若已知n n 階離散系統(tǒng)的差分方程是階離散系統(tǒng)的差分方程是 在零初始條件下，進行在零初始條件下，進行z z變換變換)()()()1(11011zrzbzbbzyzazammnn nm 得脈沖傳遞函數(shù)為得脈沖傳遞函數(shù)為 nnmmzazazazbzbzbbzrzyzg 2211221101)()()(nm 11谷風課件a2

9、.3 s2.3 s平面到平面到z z平面之間的映射關系平面之間的映射關系stzesj()jttj ttzeeeet|trzezt s s平面虛軸映射為平面虛軸映射為z z平面單位圓，左半平面映射在平面單位圓，左半平面映射在z z平面單位圓內平面單位圓內1.s1.s平面與平面與z z平面映射關系：平面映射關系：12谷風課件a二、極點位置與時間響應的關系二、極點位置與時間響應的關系( )iizg zczp( )kiic kc p1 1極點位于實軸極點位于實軸 13谷風課件a2.2.復極點位置與系統(tǒng)響應之間關系復極點位置與系統(tǒng)響應之間關系14谷風課件az平面極點位置的趨勢 已知離散系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)

10、零、極點在平面中已知離散系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)零、極點在平面中的分布情況，分析系統(tǒng)的動態(tài)響應特性的分布情況，分析系統(tǒng)的動態(tài)響應特性15谷風課件a2 24 4 計算機控制系統(tǒng)的模擬化設計方法計算機控制系統(tǒng)的模擬化設計方法 16谷風課件a一、連續(xù)域一、連續(xù)域- -離散化設計的步驟離散化設計的步驟 第第1 1步：設計模擬控制器步：設計模擬控制器d d( (s s) )第第2 2步：選擇合適的采樣周期步：選擇合適的采樣周期t t第第3 3步：選擇合適的步：選擇合適的離散化方法離散化方法，將，將d d( (s s) )離散化，獲離散化，獲得數(shù)字控制器得數(shù)字控制器d d( (z z) )，使兩者性能盡量等效使

11、兩者性能盡量等效。第第4 4步：檢驗計算機控制系統(tǒng)閉環(huán)性能。若滿足指標步：檢驗計算機控制系統(tǒng)閉環(huán)性能。若滿足指標要求，進行下一步；否則，重新進行設計。要求，進行下一步；否則，重新進行設計。選擇更合適的離散化方法選擇更合適的離散化方法提高采樣頻率提高采樣頻率修正連續(xù)域設計，如增加穩(wěn)定裕度指標等修正連續(xù)域設計，如增加穩(wěn)定裕度指標等第第5 5步：將步：將d d( (z z) )變?yōu)椴罘址匠蹋谟嬎銠C上編程實現(xiàn)。變?yōu)椴罘址匠?，在計算機上編程實現(xiàn)。17谷風課件a 根據香農采樣定理，系統(tǒng)采樣頻率的下限為根據香農采樣定理，系統(tǒng)采樣頻率的下限為 f fs s = = 2 2f fmaxmax，此時系統(tǒng)可真實地

12、恢復到原來的連續(xù)信號，此時系統(tǒng)可真實地恢復到原來的連續(xù)信號 。1.1.從執(zhí)行機構的特性要求來看，有時需要輸出信號保持從執(zhí)行機構的特性要求來看，有時需要輸出信號保持一定的寬度，采樣周期必須大于這一時間。一定的寬度，采樣周期必須大于這一時間。2.2.從控制系統(tǒng)的隨動和抗干擾的性能來看，要求采樣周從控制系統(tǒng)的隨動和抗干擾的性能來看，要求采樣周期短些。期短些。3.3.從微機的工作量和每個調節(jié)回路的計算來看，一般要從微機的工作量和每個調節(jié)回路的計算來看，一般要求采樣周期大些。求采樣周期大些。4.4.從計算機的精度看，過短的采樣周期是不合適的。從計算機的精度看，過短的采樣周期是不合適的。二、采樣周期的選擇

13、二、采樣周期的選擇18谷風課件a實際選擇采樣周期時，必須綜合考慮：實際選擇采樣周期時，必須綜合考慮： 采用周期要比對象的時間常數(shù)小得多，采用周期要比對象的時間常數(shù)小得多，否則采樣信號無法反映瞬變過程。否則采樣信號無法反映瞬變過程。 采用周期應遠小于對象的擾動信號的周采用周期應遠小于對象的擾動信號的周期。期。 考慮執(zhí)行器的響應速度?？紤]執(zhí)行器的響應速度。 當系統(tǒng)純滯后占主導地位時，應按純滯當系統(tǒng)純滯后占主導地位時，應按純滯后大小選取，盡可能使純滯后時間接近或等于采后大小選取，盡可能使純滯后時間接近或等于采用周期的整數(shù)倍。用周期的整數(shù)倍。 考慮對象所要求的控制質量，精度越高，考慮對象所要求的控制質

14、量，精度越高，采樣周期越短，以減小系統(tǒng)的純滯后。采樣周期越短，以減小系統(tǒng)的純滯后。19谷風課件a常見被控量的經驗采樣周期常見被控量的經驗采樣周期被測參數(shù)被測參數(shù)采樣周期采樣周期說說 明明流量流量15優(yōu)先選用優(yōu)先選用12s壓力壓力310優(yōu)先選用優(yōu)先選用68s液位液位68優(yōu)先選用優(yōu)先選用7s溫度溫度1520或純滯后時間，串級系統(tǒng)：或純滯后時間，串級系統(tǒng)：副環(huán)副環(huán)t=1/41/5t主環(huán)主環(huán)成分成分1520優(yōu)先選用優(yōu)先選用18s20谷風課件a三、模擬控制器的離散化方法三、模擬控制器的離散化方法 最常用的表征控制器特性的主要指標：最常用的表征控制器特性的主要指標： 零極點個數(shù)；零極點個數(shù)； 系統(tǒng)的頻帶；

15、系統(tǒng)的頻帶； 穩(wěn)態(tài)增益；穩(wěn)態(tài)增益； 相位及增益裕度；相位及增益裕度； 階躍響應或脈沖響應形狀；階躍響應或脈沖響應形狀； 頻率響應特性。頻率響應特性。 等效離散等效離散d(z) d(s)數(shù)值積分法數(shù)值積分法一階向后差法一階向后差法一階向前差法一階向前差法雙線性變換法及修正雙線性變換法雙線性變換法及修正雙線性變換法零極點匹配法零極點匹配法保持器等價法保持器等價法z變換法變換法(脈沖響應不變法脈沖響應不變法) 離散化方法離散化方法 21谷風課件a11( )( )zstd zd s1(1)/szts與與z之間的變換關系之間的變換關系 向后差分向后差分(矩形積分矩形積分)法法steezstst1111.

16、 1. 一階向后差分法一階向后差分法22谷風課件a s平面與平面與z平面映射關系平面映射關系 當當 =0 （s平面虛軸），平面虛軸），s平面虛軸映射到平面虛軸映射到z平面為該小圓的圓周。平面為該小圓的圓周。 當當 0（s右半平面），映射到右半平面），映射到z平面為上述小圓的外部。平面為上述小圓的外部。 當當 0（s右半平面），映射到右半平面），映射到z平面單位圓外平面單位圓外 。 當當 0（s左半平面），映射到左半平面），映射到z平面單位圓內平面單位圓內 。若若d(s)穩(wěn)定，則穩(wěn)定，則d(z)一定穩(wěn)定一定穩(wěn)定雙線性變換映射關系雙線性變換映射關系25谷風課件a頻率畸變：雙線性變換的一對一映射，保

17、證了離散頻率特性頻率畸變：雙線性變換的一對一映射，保證了離散頻率特性不產生頻率混疊現(xiàn)象，但產生了頻率畸變。不產生頻率混疊現(xiàn)象，但產生了頻率畸變。變換前后，穩(wěn)態(tài)增益不變。變換前后，穩(wěn)態(tài)增益不變。 01( )( )szd sd z應用應用 這種方法使用方便，且有一定的精度和前述一些好的這種方法使用方便，且有一定的精度和前述一些好的特性，工程上應用較為普遍。特性，工程上應用較為普遍。 這種方法的主要缺點是高頻特性失真嚴重，主要用于這種方法的主要缺點是高頻特性失真嚴重，主要用于低通環(huán)節(jié)的離散化，不宜用于高通環(huán)節(jié)的離散化。低通環(huán)節(jié)的離散化，不宜用于高通環(huán)節(jié)的離散化。26谷風課件a1 e( )( )std

18、 zzd ss 注意，這里的零階保持器是假想的，并沒有物理的零注意，這里的零階保持器是假想的，并沒有物理的零階保持器。這種方法可以保證連續(xù)與離散環(huán)節(jié)階躍響應相階保持器。這種方法可以保證連續(xù)與離散環(huán)節(jié)階躍響應相同，但要進行同，但要進行z變換，同樣具有變換，同樣具有z變換法的一系列缺點，變換法的一系列缺點，所以應用亦較少。所以應用亦較少。 3.3.帶零階保持器帶零階保持器z z變換法（階躍響應不變法）變換法（階躍響應不變法） 27谷風課件a2 25 5 計算機控制系統(tǒng)的離散化設計方法計算機控制系統(tǒng)的離散化設計方法 28谷風課件a計算機控制系統(tǒng)離散化設計的步驟（直接設計）計算機控制系統(tǒng)離散化設計的步驟（直接設計） 第第1 1步：求系統(tǒng)廣義脈沖傳遞函數(shù)，即對帶有零階保持器的被步：求系統(tǒng)廣義脈沖傳遞函數(shù)，即對帶有零階保持器的被控對象傳遞函數(shù)進行變換?？貙ο髠鬟f函數(shù)進行變換。 第第2 2步：根據對控制系統(tǒng)性能指標的要求和其他約束條件，構步：根據對控制系統(tǒng)