高中數(shù)學(xué)第一章172棱柱棱錐棱臺(tái)和圓柱圓錐圓臺(tái)的體積173球的表面積和體積目標(biāo)導(dǎo)學(xué)北師大版必修2

1、7.3球的表面積和體積學(xué)習(xí)目標(biāo)重點(diǎn)難點(diǎn)1.在上一節(jié)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)上，會(huì)用公式求柱、錐、臺(tái)體的體積了解柱、錐、臺(tái)體的體積之間的關(guān)系2記住球的表面積和體積公式，并進(jìn)行有關(guān)計(jì)算3通過(guò)學(xué)習(xí)，提高空間思維能力和空間想象能力，增強(qiáng)了探索問(wèn)題和解決問(wèn)題的信心重點(diǎn)：柱體、錐體、臺(tái)體的體積的計(jì)算會(huì)用公式求球的表面積和體積難點(diǎn)：與球有關(guān)的組合體的體積計(jì)算疑點(diǎn)：已知幾何體的三視圖，首先轉(zhuǎn)化為直觀圖，再求它體積.1柱、錐、臺(tái)體的體積v柱體sh(s為柱體的底面積，h為柱體的高)v錐體sh(s為錐體的底面積，h為錐體的高)v臺(tái)體(s上s下)h(s上，s下分別為棱臺(tái)的上，下底面積，h為高)預(yù)習(xí)交流1柱體、錐體、臺(tái)體的體積公式有

2、何聯(lián)系？提示：臺(tái)體的體積公式中，如果設(shè)s上s下，就得到柱體的體積公式v柱體sh；如果設(shè)s上0，就得到錐體的體積公式v錐體sh.因此，柱體、錐體、臺(tái)體的體積公式之間的關(guān)系，可表示如下由上可見，柱體、錐體的體積公式是臺(tái)體的體積公式的特例預(yù)習(xí)交流2(1)正棱錐的高和底面邊長(zhǎng)都縮小為原來(lái)的，則它的體積是原來(lái)的()a.b.c. d.(2)已知正六棱臺(tái)的上、下底面邊長(zhǎng)分別為2和4，高為2，則其體積為_提示：(1)b(2)282球的表面積和體積s球面4r2，v球r3(其中r為球的半徑)預(yù)習(xí)交流3(1)若球的半徑由r增加為2r，則這個(gè)球的表面積變?yōu)樵瓉?lái)的_倍，體積變?yōu)樵瓉?lái)的_倍(2)若一個(gè)球的體積為4，則它的

3、表面積為_提示：(1)48(2)121柱體的體積如圖是一個(gè)水平放置的正三棱柱abc­a1b1c1，d是棱bc的中點(diǎn)正三棱柱的主視圖如圖.求正三棱柱abc­a1b1c1的體積思路分析：由三視圖可以得到正三棱柱的底面三角形的高和側(cè)棱長(zhǎng)解：由三視圖可知：在正三棱柱中，ad，aa13，從而在底面即等邊abc中，ab2，所以正三棱柱的體積vsh×bc×ad×aa1×2××33.1圓柱的底面積是s，側(cè)面展開圖是一個(gè)正方形，則這個(gè)圓柱的體積是_解析：設(shè)圓柱的底面半徑為r，則sr2，r，則圓柱的母線長(zhǎng)l2r2，即圓柱的高h(yuǎn)2，v圓

4、柱s·h2s.答案：2s2根據(jù)圖中物體的三視圖(單位：cm)，求此幾何體體積解：該幾何體上方是底面半徑為，母線長(zhǎng)為1的圓柱，下方是一個(gè)長(zhǎng)、寬、高分別為4,1,1的長(zhǎng)方體，從而v4×1×1·2·14.1.求柱體的體積關(guān)鍵是求其底面積和高，底面積利用平面圖形面積的求法，常轉(zhuǎn)化為三角形及四邊形，高常與側(cè)棱、斜高及其在底面的正投影組成直角三角形，進(jìn)而求解2求組合體的體積應(yīng)據(jù)其結(jié)構(gòu)特征分析求解，如遷移與應(yīng)用題2中為長(zhǎng)方體上放一圓柱，故幾何體體積為兩體積之和2錐體的體積(2011遼寧高考，文18)如圖，四邊形abcd為正方形，qa平面abcd，pdqa，q

5、aabpd.(1)證明pq平面dcq；(2)求棱錐q­abcd的體積與棱錐p­dcq的體積的比值(1)證明：由條件知pdaq為直角梯形因?yàn)閝a平面abcd，所以平面pdaq平面abcd，交線為ad.又四邊形abcd為正方形，dcad，所以dc平面pdaq，可得pqdc.在直角梯形pdaq中可得dqpqpd，則pqqd.所以pq平面dcq.(2)解：設(shè)aba.由題設(shè)知aq為棱錐q­abcd的高，所以棱錐q­abcd的體積v1a3.由(1)知pq為棱錐p­dcq的高而pqa，dcq的面積為a2，所以棱錐p­dcq的體積v2a3.故棱錐q&

6、#173;abcd的體積與棱錐p­dcq的體積的比值為1.1(2011陜西高考，理5)某幾何體的三視圖如圖所示，則它的體積為()a8 b8c82 d.解析：由幾何體的三視圖可知，原幾何體是一個(gè)棱長(zhǎng)為2的正方體且內(nèi)部去掉一個(gè)底面與正方體上底面內(nèi)切，高等于正方體棱長(zhǎng)的圓錐正方體的體積為8，圓錐的體積為r2h，所求幾何體的體積為8.答案：a2下圖是一個(gè)正方體，h，g，f分別是棱ab，ad，aa1的中點(diǎn)現(xiàn)在沿gfh所在平面鋸掉正方體的一個(gè)角，問(wèn)鋸掉的部分的體積是原正方體體積的幾分之幾？解：設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為a，則正方體的體積為a3.三棱錐的底面是rtagf，而fag為90°，g，f分

7、別為ad，aa1的中點(diǎn)，所以afaga.所以agf的面積為×a×aa2.又ah是三棱錐的高，h又是ab的中點(diǎn)，所以aha.所以鋸掉的部分的體積為×a×a2a3.又a3÷a3，所以鋸掉的部分的體積是原正方體體積的.(1)錐體的體積公式vsh既適合棱錐，也適合圓錐，其中棱錐可以是正棱錐，也可以不是正棱錐(2)三棱錐的體積求解具有較多的靈活性，因?yàn)槿忮F的任何一個(gè)面都可以作為底面，所以常常需要根據(jù)題目條件對(duì)其頂點(diǎn)和底面進(jìn)行轉(zhuǎn)換，這一方法叫做等積法3臺(tái)體的體積如圖，三棱柱abc­a1b1c1中，若e，f分別為ab，ac的中點(diǎn)，平面eb1c1f

8、將三棱柱分成體積為v1，v2的兩部分，那么v1v2_.思路分析：v1對(duì)應(yīng)的幾何體aef­a1b1c1是一個(gè)棱臺(tái)，一個(gè)底面的面積與棱柱的底面積相等，另一個(gè)底面的面積等于棱柱底面積的；v2對(duì)應(yīng)的是一個(gè)不規(guī)則幾何體，顯然v2無(wú)法直接表示，可以考慮間接的辦法，用三棱柱的體積減去v1來(lái)表示解析：設(shè)三棱柱的高為h，底面的面積為s，體積為v，則vv1v2sh.因?yàn)閑，f分別為ab，ac的中點(diǎn)，所以saefs，v1hsh，v2shv1sh，故v1v275.答案：75四邊形abcd中，a(0,0)，b(1,0)，c(2,1)，d(0,3)，繞y軸旋轉(zhuǎn)一周，求所得旋轉(zhuǎn)體的體積解：c(2,1)，d(0,3

9、)，圓錐的底面半徑r2，高h(yuǎn)2.v圓錐=r2h=×22×2=.b(1,0)，c(2,1)，圓臺(tái)的兩個(gè)底面半徑r=2，r=1，高h(yuǎn)=1.v圓臺(tái)= (r2+r2+rr)=×1×(22+12+2×1)= ，v=v圓錐+v圓臺(tái)=5.求不規(guī)則幾何體的體積可通過(guò)對(duì)幾何體分割，使每部分能夠易求得其體積，也可將其“補(bǔ)”成規(guī)則幾何體，使所求體積等于整體幾何體的體積減去部分幾何體的體積，這就是我們常說(shuō)的割補(bǔ)法，是解決此類問(wèn)題的常用方法，還要注意不同的割補(bǔ)方式會(huì)得到不同的幾何體，做題時(shí)要仔細(xì)觀察4球的表面積和體積(1)設(shè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為2a，a，a，其頂點(diǎn)都

10、在一個(gè)球面上，則該球的表面積為()a3a2 b6a2c12a2 d24a2(2)如果三個(gè)球的半徑之比是123，那么最大球的體積是其余兩個(gè)球的體積之和的()a1倍 b2倍c3倍 d4倍思路分析：(1)該球的直徑等于長(zhǎng)方體的體對(duì)角線長(zhǎng)(2)可設(shè)出球的半徑，計(jì)算出三個(gè)球的體積，然后求得結(jié)論解析：(1)由于長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為2a，a，a，則長(zhǎng)方體的體對(duì)角線長(zhǎng)為a.又長(zhǎng)方體外接球的直徑2r等于長(zhǎng)方體的體對(duì)角線，2ra.s球4r26a2.(2)半徑大的球的體積也大，設(shè)三個(gè)球的半徑分別為x,2x,3x，則最大球的半徑為3x，其體積為×(3x)3，其余兩個(gè)球的體積之和為x3×(2x)

11、3，×(3x)3÷3.答案：(1)b(2)c1(2011湖南高考，理3)如圖是某幾何體的三視圖，則該幾何體的體積為()a12 b18c942 d3618解析：由題意知該幾何體上部為直徑為3的球，下部為長(zhǎng)、寬、高分別為3,3,2的長(zhǎng)方體，該幾何體的體積為v×23×3×218.答案：b2請(qǐng)用所學(xué)知識(shí)探求表面積相等的球和正方體，哪個(gè)體積更大解：設(shè)球的半徑為r，正方體的棱長(zhǎng)為a，依題意得4r26a2，所以ra.所以v球3a3.又因?yàn)関正方體a3，且1，所以v球v正方體，即球的體積大于正方體的體積計(jì)算球的表面積和體積時(shí)要注意的問(wèn)題：(1)關(guān)鍵是計(jì)算球的半

12、徑，而計(jì)算半徑的關(guān)鍵是尋找球心的位置因此，在解題過(guò)程中要特別關(guān)注題目中所揭示的球心位置，球面上的點(diǎn)等信息(2)當(dāng)球的半徑增加為原來(lái)的2倍時(shí)，球的表面積增加為原來(lái)的4倍，球的體積增加為原來(lái)的8倍(3)注意公式的“雙向”應(yīng)用，也就是說(shuō)當(dāng)知道球的表面積或體積時(shí)，也可以求出球的半徑1. 已知高為3的直三棱柱abc­abc的底面是邊長(zhǎng)為1的正三角形，則三棱錐b­abc的體積為()a b.c. d.解析：由題意知sabc×12，vb­abcsabc×3.答案：d2已知兩個(gè)球的半徑之比為12，則這兩個(gè)球的表面積之比為()a12 b14c16 d18解析：由s4r2知，若半徑之比為12，則表面積之比為14.答案：b3圓臺(tái)的上、下底面的面積分別為，4，側(cè)面積是6，這個(gè)圓臺(tái)的體積是()a. b2c. d.解析：設(shè)上、下底面半徑為r，r，母線長(zhǎng)為l，則圓臺(tái)的高h(yuǎn)，v圓臺(tái)(4)·.答案：d4(2011遼寧高考，文8)一個(gè)正三棱柱的側(cè)棱長(zhǎng)和底面邊長(zhǎng)相等，體積為2，它的三視圖中的俯視圖如右圖所示，左視圖是一個(gè)矩形，則這個(gè)矩形的面積是()a4 b2 c2 d.解析：由題意可設(shè)棱柱的底面邊長(zhǎng)為a，則其體積為a2·a2，得a2.由俯視圖易知，三棱柱的左視圖是以2為長(zhǎng)，為寬的矩形其面積為2.故選b.答案：b5.如圖，一個(gè)底面直徑為2