數(shù)學(xué)與創(chuàng)新思維

1、數(shù)學(xué)與創(chuàng)新思維數(shù)學(xué)與創(chuàng)新思維北京航空航天大學(xué)北京航空航天大學(xué) 李心燦李心燦 恩格斯指出：恩格斯指出： “一個(gè)民族要想站在科學(xué)的最高峰，就一一個(gè)民族要想站在科學(xué)的最高峰，就一刻也不能沒(méi)有理論思維。刻也不能沒(méi)有理論思維?！眐l米斯拉米斯拉指出：指出：“數(shù)學(xué)是代表人類(lèi)抽象思維方面數(shù)學(xué)是代表人類(lèi)抽象思維方面的最高成就和勝利。的最高成就和勝利?！敝臄?shù)學(xué)家著名的數(shù)學(xué)家a賽爾伯格賽爾伯格指出：指出：“數(shù)學(xué)的內(nèi)容一定要重新斟酌。數(shù)學(xué)的內(nèi)容一定要重新斟酌。應(yīng)該增加一些涉及如何發(fā)現(xiàn)并令人應(yīng)該增加一些涉及如何發(fā)現(xiàn)并令人振奮的內(nèi)容。振奮的內(nèi)容。”塞爾伯格 因此我認(rèn)為：數(shù)學(xué)教學(xué)不但應(yīng)該傳授數(shù)學(xué)知識(shí)，還應(yīng)該培養(yǎng)學(xué)生的

2、創(chuàng)新思維。 著名數(shù)學(xué)家拉普拉斯指出：著名數(shù)學(xué)家拉普拉斯指出：“分析和自然哲學(xué)中許多重大的發(fā)現(xiàn)，都分析和自然哲學(xué)中許多重大的發(fā)現(xiàn)，都?xì)w功于歸納方法歸功于歸納方法牛頓二項(xiàng)式定理和萬(wàn)有引牛頓二項(xiàng)式定理和萬(wàn)有引力原理，就是歸納方法的成果。力原理，就是歸納方法的成果。”“在數(shù)在數(shù)學(xué)里，發(fā)現(xiàn)真理的主要工具和手段是歸納和學(xué)里，發(fā)現(xiàn)真理的主要工具和手段是歸納和類(lèi)比。類(lèi)比?！?著名數(shù)學(xué)家高斯曾說(shuō)：著名數(shù)學(xué)家高斯曾說(shuō)：“我的許多發(fā)現(xiàn)都是靠歸納取得的。我的許多發(fā)現(xiàn)都是靠歸納取得的。” 著名數(shù)學(xué)家沃利斯著名數(shù)學(xué)家沃利斯說(shuō)：說(shuō)：“我把（不完全的）我把（不完全的）歸納和類(lèi)比當(dāng)作一種很歸納和類(lèi)比當(dāng)作一種很好的考察方法，因?yàn)?/p>

3、這好的考察方法，因?yàn)檫@種方法的確使我很容易種方法的確使我很容易發(fā)現(xiàn)一般規(guī)律發(fā)現(xiàn)一般規(guī)律” 歸納的方法這是顯然的。但是（逆向思維）這是顯然的。但是（逆向思維）任何一個(gè)偶數(shù)，都能分解為兩個(gè)奇素?cái)?shù)之任何一個(gè)偶數(shù)，都能分解為兩個(gè)奇素?cái)?shù)之和嗎？和嗎？60=7+53（7和和53都是素?cái)?shù)）都是素?cái)?shù)） . 一直到現(xiàn)在還沒(méi)有一個(gè)人推翻它，但也一直到現(xiàn)在還沒(méi)有一個(gè)人推翻它，但也還沒(méi)有一個(gè)人證明它。還沒(méi)有一個(gè)人證明它。 挪挪威數(shù)學(xué)家威數(shù)學(xué)家布朗布朗（v.brun）用）用“篩法篩法”證明了證明了 宋朝數(shù)學(xué)家楊輝宋朝數(shù)學(xué)家楊輝1261年寫(xiě)的年寫(xiě)的詳解九章算法詳解九章算法*就解釋了上述系數(shù)三角形的構(gòu)造法，并說(shuō)賈就解釋了上

4、述系數(shù)三角形的構(gòu)造法，并說(shuō)賈憲用此術(shù)。憲用此術(shù)。楊輝三角形楊輝三角形.?1197531?97531,47531,3531,231,112222 他的這個(gè)發(fā)現(xiàn)，后來(lái)被刊登在他的這個(gè)發(fā)現(xiàn)，后來(lái)被刊登在春燕春燕雜志上。雜志上。.2nn 個(gè)奇數(shù)的和等于前33333333436427161514131211103227898765218143210101 按照上述算例找出它們的一般規(guī)律，并用適當(dāng)按照上述算例找出它們的一般規(guī)律，并用適當(dāng)數(shù)學(xué)式子表示出來(lái)，而且試證明它。數(shù)學(xué)式子表示出來(lái)，而且試證明它。，三邊形內(nèi)角和)23( )24( 四邊形內(nèi)角和問(wèn)題：下述結(jié)論是否成立？問(wèn)題：下述結(jié)論是否成立？?)2(nn邊

5、形內(nèi)角和等于. )(, )1ln()(1)(xfxxfn：例xxf11)(解解2)1 (1)(xxf .,)1 (! 3) 1()(,)1 (! 2) 1()(43)4(32xxfxxf 從而歸納出nnnxnxf)1 ()!1() 1()(1)(并且，有任意階的導(dǎo)數(shù)設(shè)函數(shù)例)(:2xf2)()(xfxf. )()(xfn求解解因?yàn)橐驗(yàn)?2)( 2)()(2)()(2)(xfxfxfxfxfxf ,)( ! 3)()( 32)(42xfxfxfxf .)(!)(1)(nnxfnxf因而歸納得到 著名天文學(xué)、數(shù)學(xué)家開(kāi)普勒著名天文學(xué)、數(shù)學(xué)家開(kāi)普勒說(shuō)：說(shuō)： “我珍視類(lèi)比勝于任何我珍視類(lèi)比勝于任何別的東

6、西，它是我最可信賴(lài)的別的東西，它是我最可信賴(lài)的老 師 它 能 揭 示 自 然 的 奧老 師 它 能 揭 示 自 然 的 奧秘秘?！?著名數(shù)學(xué)家、教育學(xué)家波利亞著名數(shù)學(xué)家、教育學(xué)家波利亞說(shuō)：說(shuō)：“類(lèi)比是一個(gè)偉大的引路人，類(lèi)比是一個(gè)偉大的引路人，求解立體幾何問(wèn)題往往有賴(lài)于平面求解立體幾何問(wèn)題往往有賴(lài)于平面幾何中的類(lèi)比問(wèn)題幾何中的類(lèi)比問(wèn)題?！?xyab;1czbyax 222121()()yyxx222212121()()()yyxxzz(n)(n)(n-1)(n-2)()u v)u vu v, u v)u v2u vu v , u v)u v3u v3u v u v , (1) u v)u vuv

7、u v .2!kn knn nnc u 因?yàn)?（從而可以歸納出（( )0.nkkv萊布尼茨公式萊布尼茨公式將他們比較可以看出將他們比較可以看出:把中右端把中右端k次冪換成次冪換成k階導(dǎo)數(shù)階導(dǎo)數(shù)(零階導(dǎo)數(shù)理解為函數(shù)本身零階導(dǎo)數(shù)理解為函數(shù)本身),把中把中u+v換成換成uv,n次冪換成次冪換成n階導(dǎo)數(shù)既為階導(dǎo)數(shù)既為. (拉格朗日拉格朗日17歲歲) 牛頓二項(xiàng)式展開(kāi)公式牛頓二項(xiàng)式展開(kāi)公式1222332230()()2()33()cnnkn kknkuvuvuvuuvvuvuu vuvvuvuvzz= xx+yy52=32+42z3 = x3 + y3 (x,y,z 為正整數(shù))=zxy+公元972年阿拉伯

8、人阿爾科但第（alkhodjidi)zn = n+ yn (n2)(wiles 1994)歐拉猜想：歐拉猜想：下述方程沒(méi)有整數(shù)解：下述方程沒(méi)有整數(shù)解：4444wzyx沒(méi)有人能夠證明它是對(duì)的，但是在他提出這個(gè)猜想之后的200年內(nèi)大家都相信它是正確的.但是在1998年，諾姆艾利克斯的舉出一個(gè)反例：44442061567318796760153656392682440后來(lái)人們又發(fā)現(xiàn)了一個(gè)更簡(jiǎn)單的例子：444442248141456021751995800今天我們能容易地用一個(gè)簡(jiǎn)單的程序?qū)ふ曳蠢跊](méi)有計(jì)算機(jī)的年代，很難舉出這樣的反例！ 特別應(yīng)該將牛頓特別應(yīng)該將牛頓萊布尼茨公式、格林萊布尼茨公式、格林公

9、式、高斯公式、斯托克斯公式進(jìn)行類(lèi)比。公式、高斯公式、斯托克斯公式進(jìn)行類(lèi)比。 若將牛頓若將牛頓萊布尼茨公式萊布尼茨公式)()()(afbfdxxfba 視為，它建立了一元函數(shù)視為，它建立了一元函數(shù)f f( (x) )在一個(gè)區(qū)間的在一個(gè)區(qū)間的定積分與其原函數(shù)定積分與其原函數(shù)f f( (x) )在區(qū)間邊界的值之間的在區(qū)間邊界的值之間的聯(lián)系；聯(lián)系；通過(guò)類(lèi)比，就可將格林公式通過(guò)類(lèi)比，就可將格林公式ldqdypdxdxdyypxq 視為，它建立了二元函數(shù)在一個(gè)平面區(qū)域視為，它建立了二元函數(shù)在一個(gè)平面區(qū)域d上的二重積分與其上的二重積分與其“原函數(shù)原函數(shù)”在區(qū)域邊界在區(qū)域邊界l l的的曲線積分之間的聯(lián)系；曲線

10、積分之間的聯(lián)系；通過(guò)類(lèi)比，就可將高斯公式通過(guò)類(lèi)比，就可將高斯公式rdxdyqdzdxpdydzdxdydzzryqxps 視為，它建立了三元函數(shù)在一個(gè)空間區(qū)域視為，它建立了三元函數(shù)在一個(gè)空間區(qū)域 上的三重積分與其上的三重積分與其“原函數(shù)原函數(shù)”在區(qū)域邊界在區(qū)域邊界曲面曲面s s上的曲面積分之間的聯(lián)系；上的曲面積分之間的聯(lián)系；通過(guò)類(lèi)比，就可將斯托克斯公式通過(guò)類(lèi)比，就可將斯托克斯公式rdzqdypdxdxdyypxqdzdxxrzpdydzzqyrls 視為，它建立了三元函數(shù)在一個(gè)空間曲面視為，它建立了三元函數(shù)在一個(gè)空間曲面s s上的曲面積分與其上的曲面積分與其“原函數(shù)原函數(shù)”在區(qū)域邊界曲線在區(qū)域

11、邊界曲線l l上上的曲線積分之間的聯(lián)系。的曲線積分之間的聯(lián)系。 若引入若引入“外微分運(yùn)算外微分運(yùn)算”，就可將格林公，就可將格林公式、高斯公式和斯托克斯公式都看作牛頓式、高斯公式和斯托克斯公式都看作牛頓- -萊布尼茨公式的高維推廣萊布尼茨公式的高維推廣. . 并都可以用一個(gè)并都可以用一個(gè)簡(jiǎn)單的形式統(tǒng)一表示為簡(jiǎn)單的形式統(tǒng)一表示為ddwwd上的積分邊界在區(qū)域的低一維空間的“微分形式”上的積分等于低一次的在區(qū)域一次的“微分形式”此公式深刻地表明：高ddahkcbdefgilfbcabd ackh, cilegfba,bdlifbc,2gfba正正方方形形矩矩形形正正方方形形矩矩形形正正方方形形矩矩形形

12、 ,abd2bdli因此因此同理同理兩式相加即得定理。兩式相加即得定理。abcbcaa-b弦圖ababaabccsabed=2y)(x21de)ad(ab21sbce +sabc +sdce 他證明時(shí)他證明時(shí),只是一位議員只是一位議員,是他和其他議員討論數(shù)學(xué)是他和其他議員討論數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)想出來(lái)的問(wèn)題時(shí)想出來(lái)的,發(fā)表在發(fā)表在新英格蘭教育雜志新英格蘭教育雜志上上 。2z212xy2 思考：思考：他的證明對(duì)否？好不好？他的證明對(duì)否？好不好？caabbcbd22 cbabacad22 bd+ad=ab= c 高 斯 被 譽(yù) 為 ：高 斯 被 譽(yù) 為 ：“能從九霄云外的高能從九霄云外的高度按某種觀點(diǎn)掌握星

13、度按某種觀點(diǎn)掌握星空和深?yuàn)W數(shù)學(xué)的天才空和深?yuàn)W數(shù)學(xué)的天才”和和“數(shù)學(xué)王子數(shù)學(xué)王子”。 第一個(gè)證明是用歸納法；第一個(gè)證明是用歸納法；第二個(gè)證明是用二次型理論；第二個(gè)證明是用二次型理論；第三個(gè)和第五個(gè)證明是用高斯引理；第三個(gè)和第五個(gè)證明是用高斯引理；第四個(gè)證明是用高斯和；第四個(gè)證明是用高斯和；第六個(gè)和第七個(gè)證明是用分圓理論；第六個(gè)和第七個(gè)證明是用分圓理論；第八個(gè)證明是用高次冪剩余理論。第八個(gè)證明是用高次冪剩余理論。他的每一種證明思路都導(dǎo)致數(shù)論的新方向。其他的每一種證明思路都導(dǎo)致數(shù)論的新方向。其后后19世紀(jì)多位數(shù)論大家如狄里克雷、雅可比、世紀(jì)多位數(shù)論大家如狄里克雷、雅可比、艾森斯坦、庫(kù)默、戴德金、希爾

14、伯特等人都給艾森斯坦、庫(kù)默、戴德金、希爾伯特等人都給出了新的證明并發(fā)展了該理論。出了新的證明并發(fā)展了該理論。dxxx231xydydxydxx222 02)(22 xydydxyxy2xqyp xydydxydxx222 )(2)(12xyxydxdy 得知它是齊次微分方程，從而用齊次微得知它是齊次微分方程，從而用齊次微分方程的解法求出其通解；分方程的解法求出其通解；xydydxydxx222 yxyxdxdy1221 化化為線性微分方程，然后用線性微分方程的為線性微分方程，然后用線性微分方程的解法求出其通解。解法求出其通解。高等數(shù)學(xué)一題多解高等數(shù)學(xué)一題多解200200例選編例選編 （產(chǎn)品：手

15、表、收音機(jī)、電視機(jī)等）（產(chǎn)品：手表、收音機(jī)、電視機(jī)等） 一位老太太有兩個(gè)女兒。大女兒嫁給一位老太太有兩個(gè)女兒。大女兒嫁給雨雨傘傘店老板，小女兒當(dāng)了洗衣作坊的女主管。店老板，小女兒當(dāng)了洗衣作坊的女主管。于是，老太太整天憂心忡忡，逢上雨天，她于是，老太太整天憂心忡忡，逢上雨天，她擔(dān)心洗衣作坊的衣服晾不干；逢上晴天，她擔(dān)心洗衣作坊的衣服晾不干；逢上晴天，她怕傘店的雨傘賣(mài)不出去，日子過(guò)得很憂郁。怕傘店的雨傘賣(mài)不出去，日子過(guò)得很憂郁。 后來(lái)有一位聰明的人勸她：后來(lái)有一位聰明的人勸她：老太太，你老太太，你真好福氣，下雨天，你大女兒家生意興??；真好福氣，下雨天，你大女兒家生意興??；大晴天，你小女兒家顧客盈門(mén)

16、，哪一天你都大晴天，你小女兒家顧客盈門(mén)，哪一天你都有好消息啊。有好消息啊。這么一說(shuō)，老太太生活的色這么一說(shuō)，老太太生活的色彩竟煥然一新。彩竟煥然一新。一則小一則小故事故事: :（1）如果遇到某些問(wèn)題順推不行，可以考）如果遇到某些問(wèn)題順推不行，可以考慮逆推。慮逆推。（2）如果遇到某些問(wèn)題直接解決困難，想）如果遇到某些問(wèn)題直接解決困難，想法間接法間接 解決。解決。（3）正命題研究過(guò)后，研究逆命題。）正命題研究過(guò)后，研究逆命題。（4）探討可能性發(fā)生困難時(shí)，轉(zhuǎn)而探討不）探討可能性發(fā)生困難時(shí)，轉(zhuǎn)而探討不可能性?？赡苄?。 下面舉幾個(gè)高等數(shù)學(xué)中的例子下面舉幾個(gè)高等數(shù)學(xué)中的例子:求解微分方程：求解微分方程：)

17、2(12yxydxdy若將若將 x 視為自變量，視為自變量，y 視為未知函數(shù)，解此方視為未知函數(shù)，解此方程就比較困難。因?yàn)樗炔皇强煞蛛x變量方程就比較困難。因?yàn)樗炔皇强煞蛛x變量方程，也不是齊次方程，也不是全微分方程，程，也不是齊次方程，也不是全微分方程，也不是線性方程和伯努里方程。也不是線性方程和伯努里方程。但是，如果利用逆向思維，即反過(guò)來(lái)將但是，如果利用逆向思維，即反過(guò)來(lái)將 x 視視為未知函數(shù)為未知函數(shù), y 視為自變量，將方程變?yōu)橐暈樽宰兞浚瑢⒎匠套優(yōu)?2(2yxydydx它就是未知函數(shù)x 的線性微分方程。很容易求出其通解。 ) 1(21222ceyexyy若直接解決困難，若直接解決困難

18、，想法間接解決。想法間接解決。?!limnnnn例例1 1： 試求試求解法：用間接的方法，即轉(zhuǎn)化為判斷級(jí)數(shù)解法：用間接的方法，即轉(zhuǎn)化為判斷級(jí)數(shù)1!nnnn11)11 (1limlim1enuunnnnn.!1收斂故知級(jí)數(shù)nnnn級(jí)數(shù)收斂的必要條件是通項(xiàng)趨向于零，于是級(jí)數(shù)收斂的必要條件是通項(xiàng)趨向于零，于是0!limlim nnnnnnu解法解法: :利用夾逼定理利用夾逼定理!1!11!1 , ,nnnnnnnnnnnnnnn 即即11! lim0, lim0, lim0.nnnnnnnnn而故而故 歐幾里得歐幾里得幾何原本幾何原本第一卷中給出第一卷中給出了五個(gè)公設(shè)，其中前四個(gè)簡(jiǎn)單明了，（前了五個(gè)

19、公設(shè)，其中前四個(gè)簡(jiǎn)單明了，（前三個(gè)是作圖的規(guī)定，第四個(gè)是三個(gè)是作圖的規(guī)定，第四個(gè)是“凡直角都凡直角都相等相等”），符合亞里士多德公理），符合亞里士多德公理“自明性自明性”的要求，唯獨(dú)第五公設(shè)不僅文字的要求，唯獨(dú)第五公設(shè)不僅文字啰啰嗦，而嗦，而且所肯定的事實(shí)也不明顯。且所肯定的事實(shí)也不明顯。 而且只有第而且只有第5 5公設(shè)涉及到無(wú)限公設(shè)涉及到無(wú)限, ,這是人們經(jīng)驗(yàn)之外的東西這是人們經(jīng)驗(yàn)之外的東西. . lm0180 lml歐歐高斯高斯(1799,1813)(1799,1813)羅巴切夫斯基羅巴切夫斯基 (1826,1829)(1826,1829) 鮑耶鮑耶 （18321832）l羅羅 羅巴切夫斯

20、基把歐氏幾何的命題按是否羅巴切夫斯基把歐氏幾何的命題按是否依賴(lài)于第五公設(shè)（平行公設(shè)）分為兩部分：依賴(lài)于第五公設(shè)（平行公設(shè)）分為兩部分： 不依賴(lài)于第五不依賴(lài)于第五公設(shè)得到證明的命公設(shè)得到證明的命題（絕對(duì)幾何）。題（絕對(duì)幾何）。 依賴(lài)于第五依賴(lài)于第五公設(shè)才能證明的公設(shè)才能證明的命題。命題。 “在一個(gè)平面上，過(guò)直線在一個(gè)平面上，過(guò)直線ab外一點(diǎn)至少可以作一條直線與外一點(diǎn)至少可以作一條直線與ab不相交不相交”。 1. 僅可作一條（第五公設(shè)）僅可作一條（第五公設(shè)） 歐氏幾何；歐氏幾何； 2. 可作不止一條，若能由此推出與絕對(duì)幾何定理相矛盾的可作不止一條，若能由此推出與絕對(duì)幾何定理相矛盾的命題，這就無(wú)異于

21、證明了第五公設(shè)。命題，這就無(wú)異于證明了第五公設(shè)。 可是他不但沒(méi)有發(fā)現(xiàn)任何矛盾，反而推導(dǎo)出了一連串奇妙可是他不但沒(méi)有發(fā)現(xiàn)任何矛盾，反而推導(dǎo)出了一連串奇妙的結(jié)果，構(gòu)成了邏輯上既無(wú)矛盾，又與絕對(duì)幾何不相沖突，但的結(jié)果，構(gòu)成了邏輯上既無(wú)矛盾，又與絕對(duì)幾何不相沖突，但又和歐氏幾何不同的新的幾何體系。又和歐氏幾何不同的新的幾何體系。l黎黎 現(xiàn)在人們把現(xiàn)在人們把“羅巴切夫斯基幾何與黎曼羅巴切夫斯基幾何與黎曼幾何統(tǒng)稱(chēng)為幾何統(tǒng)稱(chēng)為“非歐幾里得幾何非歐幾里得幾何”。 黎曼黎曼(1854)(1854)“19世紀(jì)最富啟世紀(jì)最富啟發(fā)性和最值得注意的成就是發(fā)性和最值得注意的成就是非歐幾里得幾何的發(fā)現(xiàn)非歐幾里得幾何的發(fā)現(xiàn)”

22、。 非歐幾里得幾何的創(chuàng)立是幾何學(xué)上的革命，非歐幾里得幾何的創(chuàng)立是幾何學(xué)上的革命，它不僅使數(shù)學(xué)家大開(kāi)眼界，引起一些重要數(shù)它不僅使數(shù)學(xué)家大開(kāi)眼界，引起一些重要數(shù)學(xué)分支的產(chǎn)生，它的重要意義還在于使數(shù)學(xué)學(xué)分支的產(chǎn)生，它的重要意義還在于使數(shù)學(xué)哲學(xué)的研究進(jìn)入一個(gè)嶄新的歷史時(shí)期，它使哲學(xué)的研究進(jìn)入一個(gè)嶄新的歷史時(shí)期，它使人們對(duì)空間的認(rèn)識(shí)更深刻，更完全了。例如，人們對(duì)空間的認(rèn)識(shí)更深刻，更完全了。例如，它對(duì)愛(ài)因斯坦的相對(duì)論提供了最合適的數(shù)學(xué)它對(duì)愛(ài)因斯坦的相對(duì)論提供了最合適的數(shù)學(xué)工具。因此許多人采用非歐幾何學(xué)作為宇宙工具。因此許多人采用非歐幾何學(xué)作為宇宙的幾何模型。的幾何模型。 ( (太平洋太平洋) ) 歐幾里得

23、：歐幾里得： 三角形內(nèi)角和三角形內(nèi)角和 = = 兩直角兩直角 , , 2r=c ， a2+b2=c2 羅巴切夫斯基：三角形內(nèi)角和羅巴切夫斯基：三角形內(nèi)角和 兩直角兩直角 , , 2rc ， a2+b2 兩直角兩直角 , , 2rc ，a2+b2c2 后來(lái)許多幾何理論都建立在改變和推廣歐后來(lái)許多幾何理論都建立在改變和推廣歐幾里得幾何概念的基礎(chǔ)之上。例如：幾里得幾何概念的基礎(chǔ)之上。例如：18441844年格年格拉斯曼建立的拉斯曼建立的n n維仿射空間和度量空間幾何。維仿射空間和度量空間幾何。18711871年克來(lái)因年克來(lái)因 在在16世紀(jì)之前，數(shù)學(xué)家們就成功地找到世紀(jì)之前，數(shù)學(xué)家們就成功地找到了一般

24、的一次、二次、三次、四次以及某些了一般的一次、二次、三次、四次以及某些特殊的五次及五次以上代數(shù)方程的根式解法。特殊的五次及五次以上代數(shù)方程的根式解法。如：如：aacbbxcbxax24, 022, 12 那么，一般五次及五次以上的代數(shù)方程是那么，一般五次及五次以上的代數(shù)方程是否也存在根式解法呢？否也存在根式解法呢？ 這個(gè)問(wèn)題吸引著眾多的數(shù)學(xué)家，他們相這個(gè)問(wèn)題吸引著眾多的數(shù)學(xué)家，他們相信這種解法一定存在，包括：卡當(dāng)信這種解法一定存在，包括：卡當(dāng)（cardano）、韋達(dá)）、韋達(dá)(viete)、笛卡兒、牛頓、笛卡兒、牛頓、萊布尼茨、拉格朗日等等，但相繼經(jīng)歷了萊布尼茨、拉格朗日等等，但相繼經(jīng)歷了兩百多

25、年的努力都未能找到解法。兩百多年的努力都未能找到解法。韋達(dá)韋達(dá)拉格朗日拉格朗日 經(jīng)過(guò)無(wú)數(shù)次的失敗之經(jīng)過(guò)無(wú)數(shù)次的失敗之后后,直到直到19世紀(jì)初，一些數(shù)世紀(jì)初，一些數(shù)學(xué)家產(chǎn)生了逆向思維：首學(xué)家產(chǎn)生了逆向思維：首先是魯非尼（先是魯非尼（ruffini）和）和拉格朗日，接著是阿貝爾拉格朗日，接著是阿貝爾(abel)，把問(wèn)題的提法倒，把問(wèn)題的提法倒了過(guò)來(lái)，去思考它的反問(wèn)了過(guò)來(lái)，去思考它的反問(wèn)題：一般五次及五次以上題：一般五次及五次以上的方程不存在根式求解法。的方程不存在根式求解法。阿貝爾阿貝爾(abel) 幾何的三大難題：幾何的三大難題：1. 1. 三等分任意角三等分任意角; ;2. 2. 化圓為方化圓

26、為方; ;3. 3. 倍立方倍立方. . ( ( 只用圓規(guī)、直尺只用圓規(guī)、直尺) ) 從已有思路的反方向去思考問(wèn)題。順推不從已有思路的反方向去思考問(wèn)題。順推不行，考慮逆推；直接解決不行，想辦法間接行，考慮逆推；直接解決不行，想辦法間接解決解決; ;正命題研究過(guò)后，研究逆命題；探討正命題研究過(guò)后，研究逆命題；探討可能發(fā)生困難時(shí)，考慮探討不可能性。它有可能發(fā)生困難時(shí)，考慮探討不可能性。它有利于克服思維定勢(shì)的保守性，它對(duì)解放思想、利于克服思維定勢(shì)的保守性，它對(duì)解放思想、開(kāi)闊思路、發(fā)現(xiàn)新生事物，開(kāi)辟新的方向，開(kāi)闊思路、發(fā)現(xiàn)新生事物，開(kāi)辟新的方向，往往能起到積極作用。往往能起到積極作用。桂陵（今長(zhǎng)垣縣西

27、邊），大梁（今開(kāi)封）。桂陵（今長(zhǎng)垣縣西邊），大梁（今開(kāi)封）。大梁大梁（諸葛亮草船借箭、20只船）牛頓牛頓：沒(méi)有大膽的猜想，就做不出偉大的發(fā)現(xiàn)。沒(méi)有大膽的猜想，就做不出偉大的發(fā)現(xiàn)。g.波利亞：波利亞：要想成為一個(gè)好的數(shù)學(xué)家，要想成為一個(gè)好的數(shù)學(xué)家，你必須是一你必須是一個(gè)好的猜想家。個(gè)好的猜想家。牛頓牛頓波利亞波利亞 數(shù)學(xué)猜想是指依據(jù)某些已知事實(shí)和數(shù)學(xué)知數(shù)學(xué)猜想是指依據(jù)某些已知事實(shí)和數(shù)學(xué)知識(shí)對(duì)未知量及關(guān)系所作出的一種似真的推斷，識(shí)對(duì)未知量及關(guān)系所作出的一種似真的推斷，它是數(shù)學(xué)研究的一種常用的科學(xué)方法，又是數(shù)它是數(shù)學(xué)研究的一種常用的科學(xué)方法，又是數(shù)學(xué)發(fā)展的一種重要思維形式，它是科學(xué)假說(shuō)在學(xué)發(fā)展的一種

28、重要思維形式，它是科學(xué)假說(shuō)在數(shù)學(xué)中的具體表現(xiàn)。數(shù)學(xué)中的具體表現(xiàn)。 數(shù)學(xué)猜想作為一種數(shù)學(xué)潛形態(tài)數(shù)學(xué)猜想作為一種數(shù)學(xué)潛形態(tài), ,它常常是數(shù)它常常是數(shù)學(xué)理論（定理）的萌芽和胚胎，它往往是數(shù)學(xué)學(xué)理論（定理）的萌芽和胚胎，它往往是數(shù)學(xué)發(fā)展到積累了大量資料，需要進(jìn)行理論整理，發(fā)展到積累了大量資料，需要進(jìn)行理論整理，探索其理論內(nèi)部的矛盾規(guī)律這一階段上產(chǎn)生出探索其理論內(nèi)部的矛盾規(guī)律這一階段上產(chǎn)生出來(lái)的，數(shù)學(xué)的創(chuàng)造過(guò)程與其它知識(shí)的創(chuàng)造過(guò)程來(lái)的，數(shù)學(xué)的創(chuàng)造過(guò)程與其它知識(shí)的創(chuàng)造過(guò)程一樣。你先得把觀察到結(jié)果加以歸納、類(lèi)比，一樣。你先得把觀察到結(jié)果加以歸納、類(lèi)比，通過(guò)猜想通過(guò)猜想。立方體立方體方錐方錐三棱柱三棱柱三棱錐

29、三棱錐五棱柱五棱柱五棱錐五棱錐著名數(shù)學(xué)教育家波利亞（polya）說(shuō)：“在前輩數(shù)學(xué)家中，歐拉對(duì)我的影響最大.主要原因在于，歐拉做了一些跟他才能相當(dāng)?shù)膫ゴ髷?shù)學(xué)家從沒(méi)做過(guò)的事，即他解釋了他是如何發(fā)現(xiàn)他的結(jié)果的.對(duì)此，我是如獲至寶.”歐拉關(guān)于多面體的猜想八面體八面體“塔頂塔頂”體體截角立方體截角立方體猜想猜想:是否面是否面(f)的數(shù)目越多的數(shù)目越多,頂點(diǎn)的數(shù)頂點(diǎn)的數(shù)(v)越多越多? 猜想猜想:是否邊是否邊(e)的數(shù)目越多的數(shù)目越多,面數(shù)面數(shù)(f)越多越多?頂點(diǎn)頂點(diǎn)(v)也越多呢也越多呢?f + v = e + 2f + v = e + 2由歸納得出由歸納得出:f + v = e + 2f + v = e + 2 f + v = e + 2nee1vv1nff (f+n-1)+(v+1)=(e+n)+2 從而從而 f+v=e+2截角立方體的推廣截角立方體的推廣: nee1nvv1ff (f+1)+(v+n-1)=(e+n)+2 從而從而 f+v=e+2顯然有顯然有 v = e (*) 角角(頂點(diǎn)頂點(diǎn)) = 邊邊(棱棱) 將將(*)改寫(xiě)為改寫(xiě)為(按維數(shù)增加的順序按維數(shù)增加的順序) v - e + 1 = 1 (*) 頂點(diǎn)數(shù)頂點(diǎn)數(shù) 邊數(shù)邊數(shù) 多邊形內(nèi)部面數(shù)多邊形內(nèi)部面數(shù) (0維維) (1維維) (2維維