李斌基于MATLAB的IIR數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)

1、內(nèi)江師范學(xué)院本科畢業(yè)設(shè)計(jì) i目目 錄錄1 前言 .12 數(shù)字濾波器概述 .22.1 數(shù)字濾波器基本的概念.22.2 數(shù)字濾波器的基本結(jié)構(gòu) .22.3 數(shù)字濾波器的分類 .33 數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) .43.1 數(shù)字濾波器結(jié)構(gòu)的表示方法 .43.2 數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)步驟 .53.3 數(shù)字濾波器的性能要求 .54 IIR 數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)方法.74.1 IIR 數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)步驟.74.2 用脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計(jì) IIR 數(shù)字濾波器.74.3 雙線性變換法設(shè)計(jì) IIR 數(shù)字濾波器.95 IIR 數(shù)字濾波器的 MATLAB 設(shè)計(jì).135.1 MATLAB 簡介.135.2 MATLAB 進(jìn)行數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)

2、的步驟.135.3 IIR 數(shù)字濾波器的典型設(shè)計(jì)法.145.3.2 利用典型設(shè)計(jì)法設(shè)計(jì) IIR 數(shù)字濾波器.145.4 IIR 數(shù)字濾波器的直接設(shè)計(jì)法.175.4.1 方法概述 .175.4.2 利用直接設(shè)計(jì)發(fā)設(shè)計(jì) IIR 數(shù)字濾波器.175.5 FDATOOL設(shè)計(jì) IIR 數(shù)字濾波器.205.5.1 FDATool 工具箱的介紹及使用.205.5.2 利用 FDATool 設(shè)計(jì) IIR 數(shù)字濾波器.205.6 SIMULINK 仿真 IIR 數(shù)字濾波器.225.6.1 SIMULINK 仿真概述.225.6.2 SIMULINK 仿真實(shí)例.235.7 本章總結(jié) .24內(nèi)江師范學(xué)院本科畢業(yè)設(shè)計(jì)

3、 ii參考文獻(xiàn)參考文獻(xiàn) .25內(nèi)江師范學(xué)院本科畢業(yè)設(shè)計(jì) iii摘 要 隨著社會的不斷進(jìn)步以及信息學(xué)科和計(jì)算機(jī)學(xué)科的快速發(fā)展，我們需要對得到的信息進(jìn)行各種處理。因?yàn)榇蟛糠中盘栔卸己衅渌胍舫煞?，所以大部分的信號都需要通過濾波器來完成，其中數(shù)字濾波器的濾波過程是通過算法來實(shí)現(xiàn)的，具有高可靠性、可程控改變特性或復(fù)用、便于集成等優(yōu)點(diǎn)。同時(shí)比模擬濾波器具有更高的信噪比。數(shù)字濾波器可以根據(jù)沖激響應(yīng)函數(shù)的時(shí)域特性這個(gè)特點(diǎn)，可以將它分為兩類：IIR 數(shù)字濾波器和 FIR 數(shù)字濾波器。其中 IIR 數(shù)字濾波器具有高效率、低階次、占用存儲單元少、并且對模擬濾波器的部分優(yōu)良特性還有所保留的特點(diǎn)，它在數(shù)字信號處理的

4、方面應(yīng)用非常的多。在本次的 IIR 數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)中，我們會使用到以矩陣運(yùn)算為基礎(chǔ)的 AMTLAB軟件，它為數(shù)字濾波器的應(yīng)用和研究提供一個(gè)清晰，快速，方便的方法。本文先通過對數(shù)字濾波器的發(fā)展過程，概念，種類和設(shè)計(jì)方法進(jìn)行了簡單的闡述。利用 MATLAB 語言編程的方式，來完成了具體情況下的 IIR 數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)，再通過信號處理圖形界面 FDATool 填入預(yù)期設(shè)置在濾波器里的參數(shù)的方式很快得到了我們所需要的 IIR 數(shù)字濾波器。最后的仿真是在 Simulink 中導(dǎo)入信號處理圖形界面 FDATool所設(shè)定濾波器的方式完成的。 關(guān)鍵詞：數(shù)字濾波器；FDATool；MATLAB Simuli

5、nk內(nèi)江師范學(xué)院本科畢業(yè)設(shè)計(jì) ivAbstractWith the progress of the society and the rapid development of information and computer disciplines, we need to get all kinds of processing information. Because most of the signals contain other noise components, so most of the signal needs to be done through filter, digital

6、filter of the filtering process is implemented by algorithm, high reliability, programmable change features or reuse, integrated conveviently. At the same time have a higher signal-to-noise ratio than analog filter. Digital filter can be based on the characteristics of time domain characteristic of

7、the impulse response function, it can be divided into two categories: IIR digital filter and FIR digital filter. Of IIR digital filter with high efficiency and low order time, occupy less storage unit, and the remaining part of the good qualities of analog filter and the characteristics of its appli

8、cation in aspects of digital signal processing is very much. In the design of IIR digital filter, we will use to AMTLAB software based on the matrix operations, it provides the application and research of digital filter with a clear, fast and convenient way.This article first through the development

9、 process of digital filter, the concept, types and design methods are simply described. Using the MATLAB language programming, to complete the specific circumstances of the design of IIR digital filter, then through the graphical interface signal processing FDATool fill in the expected Settings in t

10、he filter parameters quickly got the IIR digital filter of what we need. Final simulation is import in the Simulink graphical interface signal processing way FDATool set filter.Key words: IIR; digital filter; MATLAB; FDATool; Simulink內(nèi)江師范學(xué)院本科畢業(yè)設(shè)計(jì) 11 前言隨著經(jīng)濟(jì)的不斷發(fā)展和信息時(shí)代的逐步到來，數(shù)字信號處理的重要性日益在通信、多媒體、傳輸壓縮、音視頻

11、處理、音樂語音處理、語音識別、圖像識別、醫(yī)學(xué)工程、醫(yī)學(xué)檢測、工業(yè)檢測、雷達(dá)聲納、股票分析等領(lǐng)域的應(yīng)用中表現(xiàn)出來，因此也顯得越來越受人關(guān)注。目前，數(shù)字濾波器在數(shù)字信號處理中得到了廣泛的應(yīng)用并起著非常重要的作用。那么，數(shù)字濾波就是一門非常重要的技術(shù)了。數(shù)字濾波其實(shí)就是用數(shù)字設(shè)備，通過一定的算法，對信號進(jìn)行處理，將某個(gè)頻段的信號進(jìn)行濾除，得到新的信號的這一過程。在這個(gè)濾波過程中，所謂的算法就是特定的運(yùn)算關(guān)系，通俗來講就是對有用的信號起到一個(gè)加強(qiáng)的作用，而對其余沒用的信號（比如噪音）起一個(gè)減弱的作用。根據(jù)其單位沖激響應(yīng)函數(shù)的時(shí)域特性，數(shù)字濾波器可分為兩類：無限沖激響應(yīng) IIR 數(shù)字濾波器和有限沖激響應(yīng)

12、 FIR 數(shù)字濾波器。與 FIR 數(shù)字濾波器比較，在相同的性能指標(biāo)下，實(shí)現(xiàn) IIR 數(shù)字濾波器的階次更低，所需要的存儲單元更少，從而達(dá)到的效益就會更高，因而具有更好的經(jīng)濟(jì)效益和更大的應(yīng)用范圍。因此，對于相同的要求中，對相位要求不高的情況下，使用 IIR 數(shù)字濾波器工作量會較小，因?yàn)榇鎯卧俚木壒?。MATLAB（矩陣實(shí)驗(yàn)室）是 MATrix LABoratory 的縮寫，是一種用于算法開發(fā)、數(shù)據(jù)可視化、數(shù)據(jù)分析以及數(shù)值計(jì)算的高級技術(shù)計(jì)算語言和交互式環(huán)境。它具有矩陣運(yùn)算、繪制函數(shù)/數(shù)據(jù)圖像和調(diào)用其它語言（包括 C，C+等）編寫的程序等常用功能。因此常用于矩陣運(yùn)算、數(shù)據(jù)分析、動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的仿真和建模

13、等實(shí)際問題當(dāng)中。因?yàn)槠潺嫶蟮倪\(yùn)算功能，使得眾多領(lǐng)域的專業(yè)問題得到了簡化和解決。它通過在一個(gè)操作簡便的視窗環(huán)境中集成了矩陣運(yùn)算、動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的建模與仿真、數(shù)據(jù)分析等很多強(qiáng)大的功能，使它成為了眾多領(lǐng)域的專業(yè)問題的工具箱。Matlab 的存在，使得原本復(fù)雜的程序成為了函數(shù)調(diào)用，而且可以非常直觀的對程序中的參數(shù)做出修改，它為濾波器的設(shè)計(jì)和頻譜分析提供了豐富而簡便的設(shè)計(jì)，使用起來非常方便。內(nèi)江師范學(xué)院本科畢業(yè)設(shè)計(jì) 22 數(shù)字濾波器概述2.1 數(shù)字濾波器基本的概念濾波器是由乘法器、加法器和延時(shí)單元組成的一種算法或裝置。本質(zhì)就是輸入的信號在特定運(yùn)算法則的處理下，對頻率起到一個(gè)選擇作用的裝置。它可以使信號中不需要

14、的頻率成分（噪音）被大幅度的削弱，而讓我們需要的特定成分的頻率無障礙通過。數(shù)字濾波器是線性時(shí)不變系統(tǒng)，其實(shí)可以理解為一個(gè)算法或者計(jì)算程序，實(shí)現(xiàn)輸入的信號在特定的數(shù)字運(yùn)算和法則下，按照預(yù)定的形式變化，保留和過濾相應(yīng)的頻率成分，再輸出要求所需的數(shù)字信號。數(shù)字濾波器與模擬濾波器相比，具有穩(wěn)定，成本低，體積小等諸多優(yōu)點(diǎn)，因而在信號處理中會更加實(shí)用。描述輸入與輸出信號的關(guān)系的差分方程和卷積能夠給數(shù)字濾波器系統(tǒng)提供相應(yīng)的運(yùn)算法則， ，使濾波器按照這樣的運(yùn)算法則來處理輸入的數(shù)字信號。如下是時(shí)域離散系統(tǒng)的頻域特性： （1）(e)X(e)H(e)jjjY上式中、分別為數(shù)字濾波器的輸入序列的頻譜特性和數(shù)字濾波器的

15、頻(e)jX(e)jH域響應(yīng)，為數(shù)字濾波器的輸出序列頻域特性。輸出序列頻譜是由 (e)jY(e)jY(e)jX經(jīng)過濾波變換后得到的1。因此，要使所設(shè)計(jì)的數(shù)字濾波器滿足性能要求，就必須根據(jù)輸入序列的頻譜特性，選擇適當(dāng)?shù)?，使得濾波后滿足設(shè)計(jì)的要求，這就是(e)jH(e)jY數(shù)字濾波器的濾波原理。2.2 數(shù)字濾波器的基本結(jié)構(gòu) 數(shù)字濾波器具有線性時(shí)不變系統(tǒng)特性，可以用系統(tǒng)函數(shù)來表示，通常采用計(jì)算機(jī)軟件和加法器、單位延時(shí)器和常數(shù)乘法器等元件設(shè)計(jì)的專業(yè)的數(shù)字硬件系統(tǒng)，即硬件實(shí)現(xiàn)這兩種方法實(shí)現(xiàn)一個(gè)系統(tǒng)函數(shù)式所表示的系統(tǒng)。濾波器在設(shè)計(jì)的過程里面，無論是采用硬件實(shí)現(xiàn)的方法還是軟件實(shí)現(xiàn)的方法，同一個(gè)系統(tǒng)可以構(gòu)成許

16、多不一樣的運(yùn)算結(jié)構(gòu)，對于系數(shù)和變量是無限精度的情況，可能會出現(xiàn)等效的不同結(jié)構(gòu)，與運(yùn)算結(jié)構(gòu)的輸入輸出沒有關(guān)系。但是對于有限精度的系數(shù)和變量，構(gòu)成的許多不一樣的運(yùn)算結(jié)構(gòu)中可能就有很大的差異性，因此，對于離散系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)有必要有一些基本認(rèn)識。內(nèi)江師范學(xué)院本科畢業(yè)設(shè)計(jì) 3 2.3 數(shù)字濾波器的分類和模擬濾波器一樣，按照不同的標(biāo)準(zhǔn)，數(shù)字濾波器可以分為很多種類。按照通帶特性，數(shù)字濾波器可以分為：低通濾波器、高通濾波器、帶通濾波器和帶阻濾波器2。其中，低頻率段分量可以通過而高頻段分量被抑制稱為低通濾波器；高頻率段分量可以通過而低頻率段分量被抑制稱為高通濾波器；只允許特定的一個(gè)頻率段分量通過，屏蔽頻率段之外的其

17、余頻率分量稱為帶通濾波器；能夠通過大多數(shù)頻率分量，而有些特定的頻率分量被屏蔽稱為帶阻濾波器。其各自幅頻特性如圖（1）所示。圖圖1 各種理想濾波器的幅頻特性各種理想濾波器的幅頻特性數(shù)字濾波器從從單位脈沖響應(yīng)的角度，可以分為兩種： IIR數(shù)字濾波器（無限長沖激響應(yīng)）和FIR數(shù)字濾波器（有限長沖激響應(yīng)）3。FIR數(shù)字濾波器的特點(diǎn)是：FIR濾波器可得到嚴(yán)格的線性相位，主要采用非遞歸結(jié)構(gòu)，由于沖激響應(yīng)式有限長的，可以用快速傅里葉變換算法。IIR數(shù)字濾波器的特點(diǎn)是：不能夠得到嚴(yán)格的線性相位，采用遞歸結(jié)構(gòu)，具有無限持續(xù)長的沖激響應(yīng)。 內(nèi)江師范學(xué)院本科畢業(yè)設(shè)計(jì) 43 數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)3.1 數(shù)字濾波器結(jié)構(gòu)的表

18、示方法數(shù)字濾波器的常系數(shù)線性差分方程為： （2）NiNiiiinybinxany01)()()(用系統(tǒng)函數(shù)表示為： （3） 01( )( )( )1MkkkNkkkb zY zH zX za z 由公式（2）可以看出，實(shí)現(xiàn)一個(gè)基本的數(shù)字濾波器可以由三類基本運(yùn)算單元組成，包括加法器、常數(shù)乘法器和單位延時(shí)器4。這些基本單元可以用方框圖法和信號流圖法表示。那么，一個(gè)數(shù)字濾波器的基本運(yùn)算結(jié)構(gòu)單元我們就可以通過這兩種不同的方法來表示了。如圖（2）所示。用方框圖表示（見圖 2 左）比較直觀和形象，而用信號流圖表示（見圖 2 右）則更加簡便快捷。單位延時(shí)相加1zaa方框圖表示法信號流圖表示法乘常數(shù)圖圖2 基

19、本運(yùn)算的方框圖表示及流圖表示基本運(yùn)算的方框圖表示及流圖表示1z內(nèi)江師范學(xué)院本科畢業(yè)設(shè)計(jì) 53.2 數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)步驟通常情況下，數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)需要四個(gè)步驟: （1）按照任務(wù)所設(shè)定的要求來確定濾波器的性能要求；（2）預(yù)定的性能要求會使用一個(gè)因果穩(wěn)定的離散的線性移不變系統(tǒng)函數(shù)去無限逼近它。因?yàn)槠浞软憫?yīng)在各個(gè)頻帶之間是突然變化的，理想狀況下的頻率響應(yīng)是不存在的，所以通常用IIR系統(tǒng)函數(shù)（無限長單位沖激響應(yīng)）和FIR系統(tǒng)函數(shù)（有限長單位沖激響應(yīng)）去逼近它。（3）選擇適當(dāng)?shù)淖珠L、運(yùn)算結(jié)構(gòu)和有效的數(shù)字處理方法去實(shí)現(xiàn)需要的系統(tǒng)函數(shù)；（4）采用通用或者專用的數(shù)字信號處理器來實(shí)現(xiàn)，或者使用計(jì)算機(jī)軟件或數(shù)字

20、濾波器來實(shí)現(xiàn)。3.3 數(shù)字濾波器的性能要求 常常在頻域給出濾波器的指標(biāo)，其頻率響應(yīng)為： （4）()(e)(e)jjjHHe其中，|、分別為濾波器的幅頻特性函數(shù)和相頻特性函數(shù)。一般的IIR數(shù)字(e)jH( )濾波器：通常用反映的是濾波器的衰減情況，相頻特性不作嚴(yán)格要求。(e)jH一般情況下，以頻率響應(yīng)的幅度特性的允許誤差來表征濾波器的性能要求。以低通濾波器為例，如下圖(圖3)所示，頻率響由通帶、過度帶、阻帶三個(gè)部分組成（而不是理想的通帶、阻帶兩個(gè)部分） 。()()()jjjjH eH ee內(nèi)江師范學(xué)院本科畢業(yè)設(shè)計(jì) 6圖圖 3 理想低通濾波器逼近的誤差容限理想低通濾波器逼近的誤差容限在通帶內(nèi)，幅度

21、響應(yīng)誤差應(yīng)在逼近于 1 的范圍，即1 , （5）11(e)1jHp在阻帶內(nèi)，幅度響應(yīng)誤差應(yīng)在小于而逼近于零的范圍，即2 , （6）2(e)jHs其中，、分別是數(shù)字域中的通帶臨界頻率和阻帶臨界頻率。ps在濾波器設(shè)計(jì)的具體指標(biāo)中，常常用到通帶最大衰減和阻帶最小衰減兩個(gè)參ps量，而不是用通帶和阻帶的容限、表示。，的定義分別為12ps （7）201(e )10lg20lg(e)20lg(1)(e)ppjjpjHHH （8）202(e )10lg20lg(e)20lg(e)ssjjsjHHH 式中，如果|被歸一化，即|=1。例如，在處滿足0(e )jH0(e )jH(e)jHp，則；在處滿足，則。(e)

22、0.707pjH3pdB(e)0.001sjH60sdB當(dāng)然，亦可以給定時(shí)域沖激響應(yīng)或者是相位的逼近要求。內(nèi)江師范學(xué)院本科畢業(yè)設(shè)計(jì) 74 IIR 數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)方法4.1 IIR 數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)步驟現(xiàn)階段 IIR 數(shù)字濾波器通常是使用模擬濾波器來設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器。其設(shè)計(jì)步驟是，先將給定的數(shù)字濾波器的性能參數(shù)按照某一種規(guī)則轉(zhuǎn)變成響應(yīng)的模擬濾波器的指標(biāo)。利用逼近方法，找到模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)，作為數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)樣本，在將其變成數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)。這個(gè)方法比較容易一些，因?yàn)槟M濾波器的設(shè)計(jì)已經(jīng)很成熟了，有完整的資料查詢，通常用脈沖響應(yīng)不變法和雙線性變換法完成模擬濾波器設(shè)計(jì)。通過模擬濾波器已有的完

23、整的理論來設(shè)計(jì)IIR數(shù)字濾波器的步驟：(1)確定數(shù)字低通濾波器的通帶邊界頻率、阻帶邊界頻率、通帶最大衰減ps阻帶最小衰減。ps(2)將模擬低通濾波器的參數(shù)指標(biāo)與數(shù)字低通濾波器的參數(shù)指標(biāo)一一對應(yīng)。(3)用模擬低通濾波器的參數(shù)指標(biāo)來設(shè)計(jì)過渡模擬低通濾波器。(4)用選擇的轉(zhuǎn)換法則，將模擬濾波器轉(zhuǎn)換成數(shù)字低通濾波器系統(tǒng)函數(shù)。)(sHa)(zH如（圖 4） ，IIR 數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)流程圖如下：模擬濾波器技術(shù)指標(biāo)數(shù)字濾波器技術(shù)指標(biāo)數(shù)字濾波器(z)H模擬濾波器(s)aH模擬濾波器設(shè)計(jì)方法g( ) (Z)Sf圖圖 4 IIR 數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)步驟流程圖數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)步驟流程圖4.2 用脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)

24、IIR 數(shù)字濾波器內(nèi)江師范學(xué)院本科畢業(yè)設(shè)計(jì) 8（1）設(shè)計(jì)原理脈沖響應(yīng)不變法就是通過模擬濾波器理論設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器，使得數(shù)字濾波器能夠模仿模擬濾波器特性的方法。通過對模擬濾波器等間隔采樣，使數(shù)字濾波器單位沖激(t)ah響應(yīng)等于采樣值4。即=，其中，T 是采樣周期。 (n)h(t)ahh(n)(nT)ah假設(shè)是的拉普拉斯變換，為的 Z 變換，通過采樣序列的 z 變換(s)aH(t)ah(z)H(n)h與模擬信號的拉普拉斯變換關(guān)系可得： （10）12(z)|(sk)sTaz ekHHjTT通過上式看出，脈沖響應(yīng)不變法簡單來說就是將模擬濾波器的 平面映射到了數(shù)字濾波s器的平面。即為轉(zhuǎn)化的標(biāo)準(zhǔn)關(guān)系式（s

25、平面變換到 z 平面） 。如圖（5）所示zsTzej3/ T/ T-3/ T-/ Too-11jImzRezZS圖圖 5 脈沖響應(yīng)不變法的映射關(guān)系脈沖響應(yīng)不變法的映射關(guān)系由公式（10）知，數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)和模擬濾波器的頻率響應(yīng)所對應(yīng)的關(guān)系式為 （11）12(e)(j)jakkHHTT通過上式可以看出，周期延拓是數(shù)字濾波器的頻響與模擬濾波器的頻響存在一個(gè)的關(guān)系。如同熟悉的采樣定理一樣，僅有在頻率響應(yīng)限帶且在折疊頻率范圍內(nèi)的時(shí)候，即 （12）(j)0aH 22s 才可以使數(shù)字濾波器的頻響在折疊頻率內(nèi)重現(xiàn)模擬濾波器的頻響，而不呈現(xiàn)混疊失真的現(xiàn)象，即 1(e)(j)jaHHTT（13）內(nèi)江師范學(xué)院

26、本科畢業(yè)設(shè)計(jì) 9然而，實(shí)際情況中的模擬濾波器都還有一個(gè)過渡帶，也就是說都不是嚴(yán)格限帶的情況，頻譜交疊會在變換后產(chǎn)生，因此會出現(xiàn)混疊失真。此時(shí)數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)就與原模擬濾波器的頻率響應(yīng)存在差異，變出現(xiàn)了一定的混疊失真。通過圖（6）知道，折疊頻率以上處衰減越大、越快時(shí)，變換后頻率響應(yīng)混疊失真就越小，具有相差更遠(yuǎn)的延時(shí)分量，這樣設(shè)計(jì)的濾波器才會性能優(yōu)良。-3-2-)j (aHoo-23T)(ejHT2TTT2-圖圖 6 脈沖響應(yīng)不變法中的頻響混疊現(xiàn)象脈沖響應(yīng)不變法中的頻響混疊現(xiàn)象（2）脈沖響應(yīng)不變法的優(yōu)缺點(diǎn) 通過上述討論知道，脈沖響應(yīng)不變法就是模擬濾波器的單位沖激響應(yīng)用數(shù)字濾波器的單位脈沖響應(yīng)模

27、仿，數(shù)字頻率 與模擬頻率 之間出現(xiàn)線性關(guān)系=T，時(shí)域良好逼近。當(dāng)然，這種方法也有它最大的缺點(diǎn)，就是頻率混疊效應(yīng)。因此，脈沖響應(yīng)不變法對衰減性良好的帶通或低通濾波器適用。不適用于通常情況下的帶阻或者高通濾波器，會增加濾波階數(shù)和復(fù)雜性，不是最優(yōu)選擇。 4.3 雙線性變換法設(shè)計(jì) IIR 數(shù)字濾波器（1）設(shè)計(jì)原理雙線性變換法為了克服脈沖響應(yīng)不變法從 平面平面的多值對應(yīng)關(guān)系造成的混疊sz失真。通過采用頻率壓縮的方式將 平面整個(gè)的頻率壓縮到了平面的一條s1sTT橫帶中。然后在利用把得到的所有橫1s tze內(nèi)江師范學(xué)院本科畢業(yè)設(shè)計(jì) 10帶變換到平面上去。采取這樣的映射方法后，于是在 與建立了一一對應(yīng)的單值關(guān)

28、zsz系，因此就避免了多值變換性。 、間映射關(guān)系如圖（7）所示。s1szo-11ZjImzRez/ Tj11-/ TS1Sjoo圖圖 7 雙線性變換的映射關(guān)系雙線性變換的映射關(guān)系為了滿足對應(yīng)關(guān)系，可以使用以下變換關(guān)系實(shí)現(xiàn)：1ss （14）12tan()2TT 式中,仍是采樣間隔。當(dāng)按變化時(shí)，的變化軌跡（）T10TT0 即映射了整個(gè)軸?？蓪ⅲ?4）寫成j （15）111/2/2/2/22jTj TjTjTeejT ee 把式（15）延拓到平面和平面，令，則得 s1sjs 11js （16）111111/2/21/2/2222 1()()21s Ts Ts ts Ts Ts tsTeeesthT

29、eeTTe再將平面使用（17）映射關(guān)系變換到平面1sz （17）1s tze就能得到 與間的單值對應(yīng)關(guān)系sz （18）112 11zsTz （19）212212TssTzTssT式（18）與式（19）是 與間的單值對應(yīng)關(guān)系，通過比對兩個(gè)線性函數(shù)，這被稱為雙sz線性變換。 內(nèi)江師范學(xué)院本科畢業(yè)設(shè)計(jì) 11式（18）與式（19）的對應(yīng)關(guān)系與滿足變換的條件相要求。即首先,把代入式（16）則得jze （20）2 12tan()j12jjesjTeT 即 平面對應(yīng)平面的單位圓。再把代入式（19） ，得szsj （21）22jTzjT 得出 （22）22222()2()TzT由此看出，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，。換句話

30、說， 平面的左邊對應(yīng)于01z 01z s平面的單位圓內(nèi)， 平面的右邊對應(yīng)于的單位圓外（ 平面虛軸對應(yīng)平面單位圓上）zszsz。應(yīng)此模擬濾波器通過雙線性變換后，得到的數(shù)字濾波器不會改變其穩(wěn)定性。（2）雙線性變法的優(yōu)缺點(diǎn)與脈沖響應(yīng)不變法相比，雙線性變換法避免了頻率響應(yīng)混疊失真，因?yàn)?平面到s平面之間單值對應(yīng)， 。與間是單值變換關(guān)系，可重寫如下：z （23）2tan()2T 通過圖（8）知道，與呈非線性的正切關(guān)系?？梢灾?，在（或者）0 0的時(shí)候，與跟線性關(guān)系相似。當(dāng)趨于無窮大時(shí)，相對應(yīng)始終不會超過，換句話說就是，這種方式消除了頻率響應(yīng)的混疊失真4。內(nèi)江師范學(xué)院本科畢業(yè)設(shè)計(jì) 12圖圖 8 雙線性變換

31、法的頻率變換關(guān)系雙線性變換法的頻率變換關(guān)系通過圖（8）看出，通過頻率的非線性得到的雙線性雖然避免了混疊現(xiàn)象，但頻率之間的關(guān)系卻受到了影響5。首先，模擬濾波器的線性相位變換后得到的數(shù)字濾波器的相位變成非線性的了，其次，這種非線性關(guān)系導(dǎo)致模擬濾波器的幅頻響應(yīng)變成分段常數(shù)型了，即某個(gè)頻率段等于常數(shù)。這也就致使了頻響會有畸變，如圖（9）所示ooo)j (aH)(ejHooo)(eargjH)j (argaH圖圖 9 雙線性變換法幅度和相位特性的非線性映射雙線性變換法幅度和相位特性的非線性映射分段的常數(shù)型濾波器，采取這種變換后，分段邊緣的臨界點(diǎn)發(fā)生了頻率，得到的濾波器幅頻特性為分段常數(shù)，校正可以通過事先

32、畸變臨界模擬頻率，使通過變換后成為所需的數(shù)字頻率。內(nèi)江師范學(xué)院本科畢業(yè)設(shè)計(jì) 135 IIR 數(shù)字濾波器的 MATLAB 設(shè)計(jì)5.1 MATLAB 簡介MATLAB 是由美國公司開發(fā)的一款具有強(qiáng)大運(yùn)算功能的數(shù)學(xué)軟件。MATLAB 能夠提供文字處理、建模仿真、專業(yè)的符號運(yùn)算等強(qiáng)大的功能。在當(dāng)今的所有專業(yè)數(shù)學(xué)軟件中占有舉足輕重的地位。矩陣式 MATLAB 的基礎(chǔ)，十分相似于工程，數(shù)學(xué)中的形式，使用起來十分簡潔。用戶也可以編寫自己的程序存放在 MATLAB 中，供自己或者其他人使用。MATLAB 在很多的科學(xué)領(lǐng)域得到了使用。而且它的工具箱非常強(qiáng)大，我們可以調(diào)用一些經(jīng)典的模擬濾波器。 5.2 MATLA

33、B 進(jìn)行數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)的步驟用 MATLAB 進(jìn)行數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)的步驟如下:（1） 采用雙線性變換法進(jìn)行預(yù)畸變后，歸一化處理設(shè)計(jì)指標(biāo)。（2）找到頻率參數(shù) Wn 和最小階數(shù) N。可以使用一些經(jīng)典的濾波器。（3）運(yùn)用最小階數(shù) N 設(shè)計(jì)模擬低通濾波器原型。模擬低通濾波器的創(chuàng)建函數(shù)有:buttap,cheblap, cheb2ap,ellipap 和 besselap，這些函數(shù)輸出的是零極點(diǎn)式形式，還要用 zp2tf 函數(shù)轉(zhuǎn)換成分子分母多項(xiàng)式形式。如果想根據(jù)最小階數(shù)直接設(shè)計(jì)模擬低通濾波器原型，可用 butter,chebyl,cheby2,ellip,bessel 等函數(shù)，只是注意要將函數(shù)中的Wn

34、設(shè)為 1。（4）根據(jù)第 2 步的頻率參數(shù) Wn，模擬低通濾波原型轉(zhuǎn)換模擬低通、高通、帶通、帶阻濾波器，可用函數(shù)分別是：lp21p,lp2hp,lp2bp,lp2bs。（5）運(yùn)用脈沖響應(yīng)不變法或雙線性變法把模濾波器轉(zhuǎn)數(shù)字濾波器，調(diào)用的函數(shù)是impinvar 和 bilinear。脈沖響應(yīng)不變法適用于采樣頻率大于 4 倍截止頻率的銳截止低通帶通濾波器，而雙線性變換法適合于相位特性要求不高的各型濾波器。（6）根據(jù)輸出的分子分母系數(shù)，調(diào)用函數(shù) buttord 計(jì)算 N 和 wc，有系數(shù)向量可以寫出數(shù)字濾波器系統(tǒng)函數(shù) Z,再用 freqz 函數(shù)驗(yàn)證設(shè)計(jì)結(jié)果。內(nèi)江師范學(xué)院本科畢業(yè)設(shè)計(jì) 145.3 IIR

35、數(shù)字濾波器的典型設(shè)計(jì)法5.3.2 利用典型設(shè)計(jì)法設(shè)計(jì) IIR 數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)要求：利用脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)一個(gè)低通數(shù)字濾波器，讓其特性逼Butterworth近一個(gè)模擬濾波器的如下參數(shù)指標(biāo)。通帶截止頻率，通Butterworth21800/prad s 帶允許最大波紋；阻帶邊界頻率為,阻帶最小衰減2pRdB23500/srad s ；采樣頻率。若輸入信號為,其中18sRdB20000sFHz12(t)sin20.6cos2xf tf t，。試對比原信號與濾波處理后的輸出信號。11200fHz24800fHz首先介紹下這里可能涉及到的幾種函數(shù)的調(diào)用方式：（1）Z, P, K = buttap(N)

36、設(shè)計(jì)模擬低通原型濾波器。為濾波器系統(tǒng)函數(shù)的零點(diǎn)，為極點(diǎn)，ButterworthZP為濾波器增益。K（2）N ,Wc = buttord(Wp, Ws, Rp, Rs， s)計(jì)算模擬濾波器的階數(shù)以及截止頻率。、和為實(shí)際ButterworthN3dBcpsc角頻率。 （3）B, A = butter(N, Wc, ftype)計(jì)算階數(shù)字濾波器系統(tǒng)函數(shù)的分子和分母系數(shù)向量。NButterworth（4）B, A = butter(N, Wc, ftype， s)計(jì)算階模擬濾波器系統(tǒng)函數(shù)的分子和分母系數(shù)向量。NButterworth其設(shè)計(jì)程序如下：Wp=1800*2*pi ;Ws=3500*2*pi;

37、 %濾波器截止頻率Rp=2;Rs=18; %通帶波紋和阻帶衰減Fs=20000; %采樣頻率 Nn=128; %調(diào)用 freqz 所用的頻率點(diǎn)數(shù)N, Wn =buttord (Wp,Ws,Rp, Rs,s);%計(jì)算模擬濾波器的最小階數(shù) z,p,k =buttap (N) ;Bap, Aap=zp2tf (z, p,k); %將系統(tǒng)函數(shù)由零點(diǎn)極點(diǎn)形式轉(zhuǎn)換為傳遞函數(shù)形式b, a=lp2lp (Bap, Aap, Wn) ; %進(jìn)行頻率轉(zhuǎn)換bz, az =impinvar (b, a, Fs) ; %運(yùn)用脈沖響應(yīng)不變法得到數(shù)字濾波器的傳遞函數(shù)內(nèi)江師范學(xué)院本科畢業(yè)設(shè)計(jì) 15figure (1)H, f

38、=freqz (bz, az, Nn, Fs) ; %求解數(shù)字濾波器的幅頻特性和相頻特性subplot(2,1,1),plot(f,20*log10(abs(H)xlabel(頻率/Hz);ylabel(振幅/dB);grid on; subplot (2,1,2),plot(f, 180/pi*unwrap(angle(H)xlabel(頻率/Hz);ylabel(相位/o);grid on;figure (2)f1=1200 ;f2=4800; %輸入信號的頻率 N=100; %數(shù)據(jù)長度dt=1/Fs;n=0:N-1;t=n*dt;%采樣間隔和時(shí)間序列x=sin(2*pi*f1*t)+0.

39、6*cos(2*pi*f2*t); subplot(2,1,1);plot(t,x);title(輸入信號) y=filtfilt(bz,az,x) ;y1=filter(bz,az,x) ; subplot(2,1,2)plot(t,y,t,y1,r:)title (輸出信號),xlabel (時(shí)間 /s)legend ( filtfilt, filter);程序的運(yùn)行結(jié)果如圖（10）和圖（11）所示。由圖（10）可知，在小于處1800Hz的衰減小于,而大于處衰減大于,符合設(shè)計(jì)要求。濾波器對含有2dB3500Hz18dB和頻率成分的信號進(jìn)行了濾波，濾除了的信號。由圖（11）還1200Hz48

40、00Hz4800Hz可以看出，利用 filtfilt 函數(shù),輸出的信號（藍(lán)色實(shí)線）與輸入的信號相位1200Hz1200Hz一致。而運(yùn)用 filter 函數(shù)濾波后（紅色虛線）有一些延遲，改變了信號的形狀。內(nèi)江師范學(xué)院本科畢業(yè)設(shè)計(jì) 16010002000300040005000600070008000900010000-60-40-20020一 一 /Hz一 一 /dB010002000300040005000600070008000900010000-400-300-200-1000一 一 /Hz一 一 /o圖圖 10 設(shè)計(jì)濾波器的頻率特性設(shè)計(jì)濾波器的頻率特性 幅頻特性幅頻特性(上上)相頻特性相

41、頻特性(下下)00.511.522.533.544.55x 10-3-2-1012一 一 一 一00.511.522.533.544.55x 10-3-1012一 一 一 一一 一 /s filtfiltfilter圖圖 11 濾波器的輸入和輸出信號濾波器的輸入和輸出信號內(nèi)江師范學(xué)院本科畢業(yè)設(shè)計(jì) 175.4 IIR 數(shù)字濾波器的直接設(shè)計(jì)法5.4.1 方法概述由于經(jīng)典設(shè)計(jì)法實(shí)用性較小，僅對四類常見的濾波器較為實(shí)用，而對于一般形狀的濾波器設(shè)計(jì)是無法實(shí)現(xiàn)的。所以當(dāng)設(shè)計(jì)的 IIR 濾波器頻響較為復(fù)雜時(shí)，我們可使設(shè)計(jì)濾波器的頻率特性通過最小二乘法來逼近預(yù)想的頻率特性來完成濾波器的設(shè)計(jì)，這種方法稱為 II

42、R 濾波器的直接設(shè)計(jì)法6。通過直接設(shè)計(jì)法的設(shè)計(jì)函數(shù)為： （24）b,ayulewalk(n,f,m)這里，為濾波器的階數(shù)，為給定的歸一化頻率點(diǎn)向量，取值為，的第一nf01:f個(gè)頻率點(diǎn)必須是 0,最后一個(gè)頻率點(diǎn)必須為 1。其中 1 對應(yīng)于 Nyquist 頻率。在使用濾波器時(shí)，根據(jù)數(shù)據(jù)釆樣頻率確定數(shù)字濾波器的通帶和阻帶在對此信號濾波的頻率范圍。必須是遞增的。為與相對應(yīng)的理想幅值響應(yīng)向量，且必須與有同樣的維數(shù)。fmff和分別是所設(shè)計(jì)濾波器的分子和分母向量。下式為 IIR 數(shù)字濾波器傳遞函數(shù)的形式ba （25）11(z)(1)b(2)z(n 1)z(z)(z)(1)a(2)z(m 1)znmBbbH

43、Aaa5.4.2 利用直接設(shè)計(jì)發(fā)設(shè)計(jì) IIR 數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)要求：用直接法設(shè)計(jì)一個(gè) 15 階的幅頻響應(yīng)值如下的多頻帶數(shù)字濾波器， ,。假設(shè)一個(gè)信號0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1f 1 1 1 1 0 0 1 1 1 0 1m ，其中，。試對比原信號與濾波處理后12(t)sin20.6cos2xf tf t15fHz218fHz的輸出信號。其設(shè)計(jì)程序如下： Order=15; %濾波器的階數(shù)f=0:0.1:1; %歸一化頻率點(diǎn)m=1 1 1 1 0 0 1 1 1 0 1; %幅度點(diǎn)b, a=yulewalk(Order,f,m);%設(shè)計(jì)濾波器內(nèi)江

44、師范學(xué)院本科畢業(yè)設(shè)計(jì) 18h, w=freqz(b, a, 128) ; %計(jì)算 128 個(gè)點(diǎn)的頻率特性figure (1)plot(f,m,b-,w/pi,abs(h),r:) %繪制理想濾波器和設(shè)計(jì)濾波器的幅頻特性xlabel ( 歸一化頻率 );ylabel(振幅);title(利用 yulewalk 方法設(shè)計(jì) IIR 濾波器);legend (理想特性,實(shí)際設(shè)計(jì),1) ; %給定圖例 figure (2)Fs =50; %信號釆樣頻率fl=5;f2=18; %信號的頻率成分N=100; %數(shù)據(jù)點(diǎn)數(shù)dt=1/Fs;n=0:N-1;t=n*dt; %時(shí)間序列 x=sin(2*pi*fl*t

45、)+0.6*cos (2*pi*f2*t) ; %輸入信號 subplot (2,1,1),plot(t,x),title(輸入信號) y=filtfilt (b, a, x) ; %對信號進(jìn)行濾波subplot (2,1,2), plot (t, y) %繪制輸出信號xlabel(時(shí)間/s);title(輸出信號)程序運(yùn)行結(jié)果見圖（12）和圖（13） 。由圖（12）可見，設(shè)計(jì)濾波器的幅頻響應(yīng)與理想濾波器的頻率響應(yīng)非常接近。當(dāng)濾波器輸入 5Hz 和 18Hz 的以 50Hz 采樣頻率采樣的信號后，輸入信號的歸一化頻率分別為 5/(50/2)=0.21和 18/(50/2)=0.75，由圖（12

46、）可見，0.2 和 0.75 均在通帶范圍內(nèi)，因此這兩個(gè)頻率的信號能夠無障礙地通過該數(shù)字濾波器，輸入與輸出信號也應(yīng)該相同，圖（13）正好反映了這樣的特性。 1信號處理工具箱中經(jīng)常使用的是 nyquist 頻率，它被定義為采樣頻率的一半，在濾波器的階數(shù)選擇和設(shè)計(jì)中的截止頻率均使用 nyquist 頻率進(jìn)行歸一化處理。 因此此處 nyquist 應(yīng)為 25Hz。內(nèi)江師范學(xué)院本科畢業(yè)設(shè)計(jì) 1900.10.20.30.40.50.60.70.80.9100.20.40.60.811.21.4 一 一 一 一 一一 一一 一 yulewalk一 一 一 一 IIR一 一 一 一 一 一 一一 一 一 一

47、圖圖 12 所設(shè)計(jì)濾波器與理想濾波器的幅頻特性所設(shè)計(jì)濾波器與理想濾波器的幅頻特性00.20.40.60.811.21.41.61.82-2-1012一 一 一 一00.20.40.60.811.21.41.61.82-2-1012一 一 /s一 一 一 一圖圖 13 所設(shè)計(jì)濾波器的輸入和輸出信號所設(shè)計(jì)濾波器的輸入和輸出信號內(nèi)江師范學(xué)院本科畢業(yè)設(shè)計(jì) 205.5 FDATool 設(shè)計(jì) IIR 數(shù)字濾波器5.5.1 FDATool 工具箱的介紹及使用FDATool(Filter Design&Analysis Tool)是 MATLAB 信號處理工具箱中專用于濾波器設(shè)計(jì)和分析的工具。通過 F

48、DATool 設(shè)計(jì)濾波器不僅運(yùn)用極其廣泛，且設(shè)計(jì)簡單，運(yùn)用靈活。FDATool 界面由上下兩大塊組成，上半界面中包含 Current Filter Information 和Filter Specifications 兩部分，其中 Current Filter Information 為狀態(tài)欄，F(xiàn)ilter Specifications 用來顯示所設(shè)計(jì)濾波器的各種特性。下半界面為濾波器各種參數(shù)的設(shè)置。包括 Response Type(類型)、Design Method（設(shè)計(jì)方法）、Filter Order（階數(shù)）、Frequency Specifications （頻率設(shè)置）以及 Magnit

49、ude Specifications（衰減情況）。Design Method 用來確定濾波器設(shè)計(jì)的方法。Filter Order 用于設(shè)定濾波器階數(shù)。Frequency Specifications 可以設(shè)定濾波器各種不同頻率參數(shù)，比如截止頻率，采樣頻率。具體的設(shè)定由所設(shè)計(jì)濾波器的類型以及參數(shù)決定。Magnitude Specifications 能夠設(shè)定濾波器通帶和阻帶的幅值衰減情況7。 5.5.2 利用 FDATool 設(shè)計(jì) IIR 數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)要求：模擬切比雪夫 I 型濾波器設(shè)計(jì)數(shù)字高通濾波器，具體講述如何通過FDATool 界面來設(shè)計(jì) IIR 數(shù)字濾波器的方法。設(shè)計(jì)一個(gè)數(shù)字低通切比雪夫 I 型濾波器。阻帶截止頻率為，通帶截止頻率為，通帶允許最大波紋，阻帶應(yīng)達(dá)到600Hz800Hz1dB最小衰減為，。60dB2000sfHz了解設(shè)計(jì)的性能參數(shù)后，就可以在 FDATool 界面中一一設(shè)定濾波器各項(xiàng)參數(shù)，設(shè)定完成后，點(diǎn)擊 Design Filter 即可得到我們所需的濾波器，直接看到濾波器的幅頻響應(yīng)。然后通過 Analysis 選項(xiàng)還可看到其它參數(shù)曲線。設(shè)計(jì)完后可保存結(jié)果