心理學(xué)考研-心理統(tǒng)計(jì)資料-統(tǒng)計(jì)推斷的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)

1、2017考研已經(jīng)拉開序幕，很多考生不知道如何選擇適合自己的考研復(fù)習(xí)資料。中公考研輔導(dǎo)老師為考生準(zhǔn)備了【心理學(xué)考研知識(shí)點(diǎn)講解和習(xí)題】，希望可以助考生一臂之力。同時(shí)中公考研特為廣大學(xué)子推出考研集訓(xùn)營(yíng)、專業(yè)課輔導(dǎo)、精品網(wǎng)課、vip1對(duì)1等課程，針對(duì)每一個(gè)科目要點(diǎn)進(jìn)行深入的指導(dǎo)分析，歡迎各位考生了解咨詢。第七章 統(tǒng)計(jì)推斷的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)【本章綜述】本章首先介紹推論統(tǒng)計(jì)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)概率論，作為學(xué)習(xí)推斷統(tǒng)計(jì)的基礎(chǔ)；接著重點(diǎn)闡釋幾種典型的概率分布；最后會(huì)介紹抽樣的原理與抽樣方法?！究键c(diǎn)分布】統(tǒng)計(jì)推斷的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)單選多選簡(jiǎn)答綜合總分2007年637452008年5979122009年46, 56, 5762010年65

2、22011年57, 59, 6362012年47, 5175112013年49, 5042014年6522015年49, 514【本章框架】【復(fù)習(xí)建議】第一，概率的基本性質(zhì)，掌握按照概率的加法和乘法原則進(jìn)行計(jì)算就可以；第二，概率分布是重中之重，必須掌握各個(gè)概率分布的特點(diǎn)；第三，抽樣原理需要同學(xué)們透徹理解的，熟悉每一種抽樣方法的特點(diǎn)。根據(jù)歷年的考點(diǎn)分布情況可知本章絕對(duì)是非常重要的章節(jié)。第一節(jié) 概率1. 概率表明隨機(jī)事件出現(xiàn)可能性大小的客觀指標(biāo)。概率的定義有兩種，即后驗(yàn)概率和先驗(yàn)概率。 先驗(yàn)概率：實(shí)驗(yàn)的每一種基本事件是有限的并且每一個(gè)基本事件出現(xiàn)的可能性相等。在這種條件下，如果基本事件的總數(shù)為n，

3、事件A包括m個(gè)基本事件，則事件A的概率為，這種概率稱為先驗(yàn)概率。（這種情況下，直接計(jì)算的比值，是真實(shí)概率而不是估計(jì)值） 后驗(yàn)概率：在對(duì)隨機(jī)事件進(jìn)行n次觀測(cè)時(shí)，其中某一事件A出現(xiàn)的次數(shù)m與觀測(cè)次數(shù)n的比值。當(dāng)n趨向于無(wú)窮大時(shí)，這個(gè)比值將穩(wěn)定在一個(gè)常數(shù)P上，記作。隨著觀測(cè)次數(shù)無(wú)限增大，計(jì)算出的概率估計(jì)值越趨近真實(shí)的概率值，它由事件A出現(xiàn)的次數(shù)決定，因此稱為后驗(yàn)概率或統(tǒng)計(jì)概率。注意：概率值在0，1之間。概率接近1的事件其發(fā)生的可能性較大，而概率接近0的事件其發(fā)生的可能性較小。然而，概率等于1的某個(gè)事件，并不能被斷定為必然事件，只能說(shuō)它出現(xiàn)的可能性非常大。同樣，概率等于0的事件，也不能說(shuō)它就是不可能事

4、件，只能說(shuō)它出現(xiàn)的可能性非常小，以至接近0。2. 概率的加法定理：兩個(gè)互不相容的事件A、B之和的概率，等于兩個(gè)事件概率之和。（互不相容事件是指在一次實(shí)驗(yàn)或調(diào)查中，若事件A發(fā)生則事件B就一定不發(fā)生，否則二者為相容事件）3. 概率的乘法定理：兩個(gè)獨(dú)立事件同時(shí)出現(xiàn)的概率等于這兩個(gè)事件概率的乘積。（獨(dú)立事件指的是一個(gè)事件的出現(xiàn)對(duì)另一個(gè)事件的出現(xiàn)不發(fā)生影響）4. 概率分布類型概率分布是指對(duì)隨機(jī)變量取值的概率分布情況用數(shù)學(xué)方法(函數(shù))進(jìn)行描述。概率分布依據(jù)不同的標(biāo)準(zhǔn)可以分為不同的類型： 離散分布與連續(xù)分布(依據(jù)隨機(jī)變量是否連續(xù))離散分布：離散隨機(jī)變量的概率分布，最常用的離散分布為二項(xiàng)分布，除此之外還有泊松

5、分布和超幾何分布等。連續(xù)分布：連續(xù)隨機(jī)變量的概率分布，最常用的連續(xù)分布為正態(tài)分布，除此之外還有負(fù)指數(shù)分布和威布爾分布等。 經(jīng)驗(yàn)分布與理論分布(依據(jù)分布函數(shù)的來(lái)源)經(jīng)驗(yàn)分布：根據(jù)實(shí)驗(yàn)或觀察所獲得的數(shù)據(jù)而編制的次數(shù)分布或相對(duì)頻率分布，它往往是總體的一個(gè)樣本。理論分布：有兩個(gè)含義，一是隨機(jī)變量概率分布的函數(shù)，二是按某種數(shù)學(xué)模型計(jì)算出的總體的次數(shù)分布。隨機(jī)變量概率分布的性質(zhì)由它的特征數(shù)來(lái)表達(dá)，這些特征數(shù)主要有期望值，即理論平均數(shù)和方差，即理論的標(biāo)準(zhǔn)差的平方。 基本隨機(jī)變量分布與抽樣分布(依據(jù)概率分布所描述的數(shù)據(jù)特征)心理統(tǒng)計(jì)中常用的基本隨機(jī)變量分布有二項(xiàng)分布與正態(tài)分布。抽樣分布是樣本統(tǒng)計(jì)量的理論分布。

6、樣本統(tǒng)計(jì)量有：平均數(shù)、兩平均數(shù)之差、方差、標(biāo)準(zhǔn)差、相關(guān)系數(shù)、回歸系數(shù)、百分比率(或概率)等。統(tǒng)計(jì)量是基本隨機(jī)變量的函數(shù)，所以抽樣分布又稱隨機(jī)變量函數(shù)的分布。第二節(jié) 概率分布(一) 正態(tài)分布1. 正態(tài)分布也稱常態(tài)分布或常態(tài)分配，由棣莫弗1733年發(fā)現(xiàn)的。高斯、拉普拉斯各自發(fā)現(xiàn)正態(tài)分布曲線方程，高斯首次提出正態(tài)分布曲線，所以有時(shí)也稱高斯分布。2. 正態(tài)分布特征 正態(tài)分布曲線函數(shù)（密度函數(shù)）式中：是圓周率3.14159;是自然對(duì)數(shù)的底2.71828;X為隨機(jī)變量取值，負(fù)無(wú)窮到正無(wú)窮大；為理論平均數(shù)；為理論方差； y為概率密度，即正態(tài)分布的縱坐標(biāo)。當(dāng)X=時(shí)，。當(dāng)=1時(shí)，中央點(diǎn)的y最高，即y = 0.3

7、989。 正態(tài)分布的特征a. 正態(tài)分布的形式是對(duì)稱的(但對(duì)稱的不一定是正態(tài)分布)，它的對(duì)稱軸是經(jīng)過(guò)平均數(shù)點(diǎn)的垂線(平均數(shù)、中數(shù)和眾數(shù)三者相等)，此點(diǎn)處y值最大。左右不同間距的y值不同，各相當(dāng)間距的面積相等，y值也相等；b. 正態(tài)分布的中央點(diǎn)最高，然后逐漸向兩側(cè)下降，曲線的形式是先向內(nèi)彎，然后向外彎，拐點(diǎn)位于正負(fù)1個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差處，曲線兩端向靠近基線處無(wú)限延伸，但始終不能與基線相交；c. 正態(tài)曲線下的面積為1，由于它在平均數(shù)處左右對(duì)稱，所以過(guò)平均數(shù)的垂線將正態(tài)曲線下的面積劃分為相等的兩部分，各為0.5（注意：正態(tài)分布曲線下各對(duì)應(yīng)的橫坐標(biāo)處與平均數(shù)之間的面積可用積分公式計(jì)算，這個(gè)面積可視為概率，即各橫坐

8、標(biāo)值對(duì)應(yīng)的隨機(jī)變量值出現(xiàn)的概率）；d. 正態(tài)分布是一族分布，它隨隨機(jī)變量的平均數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差的大小與單位不同而有不同的分布形態(tài)。如果平均數(shù)相同，標(biāo)準(zhǔn)差不同，這是標(biāo)準(zhǔn)差大的正態(tài)分布曲線形式低闊，而標(biāo)準(zhǔn)差小的正態(tài)分布曲線形式高狹。所有正態(tài)分布都可以通過(guò)Z分?jǐn)?shù)公式轉(zhuǎn)換成標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，=0，=1。e. 在正態(tài)分布曲線下，標(biāo)準(zhǔn)差與概率（面積）有一定的數(shù)量關(guān)系（詳聽老師課程內(nèi)容）。3. 正態(tài)分布表的使用：依據(jù)Z分?jǐn)?shù)求概率p；根據(jù)概率p求Z分?jǐn)?shù)；已知概率p或Z分?jǐn)?shù)求概率密度y。4. 次數(shù)分布是否為正態(tài)分布的檢驗(yàn)方法：皮爾遜偏態(tài)量數(shù)法；峰度、偏度檢驗(yàn)法；累加次數(shù)曲線法；卡方檢驗(yàn)中的吻合度檢驗(yàn)等。5. 正態(tài)分布理論

9、在測(cè)驗(yàn)中的應(yīng)用： 化等級(jí)評(píng)定為測(cè)量數(shù)據(jù)； 確定測(cè)驗(yàn)題目的難易度； 在能力分組或等級(jí)評(píng)定時(shí)確定人數(shù)； 測(cè)驗(yàn)分?jǐn)?shù)的正態(tài)化； 標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)與正態(tài)分布相結(jié)合應(yīng)用。(二)二項(xiàng)分布1. 二項(xiàng)分布是由貝努里創(chuàng)始的，又叫貝努里分布，它是指試驗(yàn)僅有兩種不同性質(zhì)結(jié)果的概率分布，即各個(gè)變量都可歸為兩個(gè)不同性質(zhì)中的一個(gè)，兩個(gè)觀測(cè)值是對(duì)立的，因而二項(xiàng)分布又可說(shuō)是兩個(gè)對(duì)立事件的概率分布。如考試中的通過(guò)與不通過(guò)等。2. 二項(xiàng)試驗(yàn) 任何一次試驗(yàn)恰好有兩個(gè)結(jié)果，成功與失??； 共有n次試驗(yàn)，并且n是預(yù)先給定的任一正整數(shù)； 每次試驗(yàn)各自獨(dú)立，各次試驗(yàn)之間無(wú)相互影響； 某種結(jié)果出現(xiàn)的概率在任何一次試驗(yàn)中都是固定的。3. 設(shè)有n次試驗(yàn)，各

10、次試驗(yàn)是彼此獨(dú)立的，每次試驗(yàn)?zāi)呈录霈F(xiàn)的概率都是p，不出現(xiàn)的概率都是q(等于1-p)，則對(duì)于某事件出現(xiàn)X次(0,1,2，n)的概率分布為：表示在n次試驗(yàn)中有X次成功，成功的概率為p。X =0,1,2，n為正整數(shù)，n和p為二項(xiàng)分布概率函數(shù)的兩個(gè)參數(shù)。4. 二項(xiàng)分布的性質(zhì) 二項(xiàng)分布是離散型分布，概率直方圖是躍階式。因?yàn)閄為不連續(xù)變量，用概率條圖表示更合適，用直方圖表示只是為了更形象。隨著n正大，二項(xiàng)分布接近正態(tài)分布； 二項(xiàng)分布的平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差如果二項(xiàng)分布滿足pq, np5 (或pq, np5)時(shí)，二項(xiàng)分布接近正態(tài)分布。這時(shí)二項(xiàng)分布的X變量具有如下的性質(zhì)：，。5. 二項(xiàng)分布的應(yīng)用主要解決含有機(jī)遇性質(zhì)

11、的問(wèn)題(三) 樣本平均數(shù)的分布中心極限定理：對(duì)于任意平均數(shù)為，標(biāo)準(zhǔn)差為的總體，樣本容量為n的樣本平均數(shù)分布的平均數(shù)為，標(biāo)準(zhǔn)差為。n30或趨于無(wú)窮大時(shí)，樣本平均數(shù)的分布趨近于正態(tài)分布。注意：在涉及樣本統(tǒng)計(jì)量的分析時(shí)，首先要保證各個(gè)樣本是獨(dú)立的，各個(gè)樣本都服從同樣的分布。為了保證這一點(diǎn)，取樣方法應(yīng)該用隨機(jī)抽樣的方法。樣本平均數(shù)的分布以下是指樣本平均數(shù)為的分布為正態(tài)分布及漸近正態(tài)分布的兩種情況，凡符合這兩種情況的分布，都可以根據(jù)正態(tài)分布的概率進(jìn)行統(tǒng)計(jì)推論。 總體分布為正態(tài)，總體方差已知，樣本平均數(shù)的分布為正態(tài)分布，那么：；為樣本平均數(shù)分布的平均數(shù)；為樣本平均數(shù)分布的方差，常稱之為變異誤；為樣本平均數(shù)

12、分布的標(biāo)準(zhǔn)差，為了與總體的標(biāo)準(zhǔn)差區(qū)別開，一般稱為標(biāo)準(zhǔn)誤或平均數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)誤，也有時(shí)用SE表示。 總體分布為非正態(tài)，但總體方差已知，這時(shí)樣本足夠大時(shí)(n30)，其樣本平均數(shù)的分布為漸近正態(tài)分布，那么：樣本平均數(shù)分布的平均數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差和方差與相同。當(dāng)總體分布為正態(tài)，方差未知時(shí)，樣本平均數(shù)的分布為t分布。無(wú)限多個(gè)樣本平均數(shù)的平均數(shù)就是總體平均數(shù)，而平均數(shù)分布的標(biāo)準(zhǔn)差與樣本本身的標(biāo)準(zhǔn)差有以下關(guān)系：（每個(gè)樣本的標(biāo)準(zhǔn)差不同，故樣本平均數(shù)分布的標(biāo)準(zhǔn)誤也不同，只是的估計(jì)值） 當(dāng)總體分布為非正態(tài)而其方差又未知時(shí)，若滿足n30這一條件，那么樣本平均數(shù)的分布近似t分布。(四) t分布t分布是統(tǒng)計(jì)學(xué)者高賽特1908年在以筆

13、名“Student”發(fā)表的一篇論文中推導(dǎo)的一種分布，有時(shí)也叫學(xué)生氏分布，這種分布是一種左右對(duì)稱、峰態(tài)比較高狹，分布形狀隨樣本容量n-1的變化而變化的一族分布。其公式如下：；t分布與無(wú)關(guān)，而與n-1（自由度）有關(guān)，t分布的自由度一般用符號(hào)df表示，即n-1。自由度：是指任何變量中可以自由變化的數(shù)目，是t分布密度函數(shù)中的參數(shù)(讀nu)，它代表t分布中獨(dú)立隨機(jī)變量的數(shù)目。1. t分布的特點(diǎn)： 平均值為0； 以平均值0左右對(duì)稱的分布，左側(cè)t為負(fù)值，右側(cè)t為正值； 變量取值在； 當(dāng)樣本容量趨于時(shí)，t分布為正態(tài)分布，方差為1。當(dāng)n-130以上時(shí)，t分布接近正態(tài)分布，方差大于1，隨著n-1的增大而方差漸趨于

14、1；當(dāng)n-130時(shí)，t分布與正態(tài)分布相差較大，隨著n-1減少，離散程度越大，分布圖的中間變低但尾部變高。2. 當(dāng)總體分布為正態(tài)，方差未知時(shí)，樣本平均數(shù)的分布為t分布。無(wú)限多個(gè)樣本平均數(shù)的平均數(shù)就是總體平均數(shù)，而平均數(shù)分布的標(biāo)準(zhǔn)差與樣本本身的標(biāo)準(zhǔn)差有以下關(guān)系：（每個(gè)樣本的標(biāo)準(zhǔn)差不同，故樣本平均數(shù)分布的標(biāo)準(zhǔn)誤也不同，只是的估計(jì)值）3. 當(dāng)總體分布為非正態(tài)而其方差又未知時(shí)，若滿足n30這一條件，那么樣本平均數(shù)的分布近似t分布。(五）c2分布1. c2分布是刻畫正態(tài)變量二次型的一種重要分布。無(wú)限多個(gè)n個(gè)隨機(jī)變量平方和或標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)的平方和的分布，即為c2分布。c2(n)如果正態(tài)總體的平均數(shù)未知，若用樣本平

15、均數(shù)作為的估計(jì)值時(shí)：c2(n-1)2.c2分布的特點(diǎn): c2分布是一個(gè)正偏態(tài)分布，隨著樣本容量n的大小變化，其分布曲線的形狀不同，n或n-1越小，分布越偏斜。df很大時(shí)，接近正態(tài)分布，可見c2分布也是一族分布； c2值都是正值； c2分布具有可加性； 如果df2，這時(shí)c2分布的平均數(shù)：，方差； c2分布是連續(xù)型分布，但有些離散型的分布也近似c2分布。3.c2分布在統(tǒng)計(jì)分析中應(yīng)用于計(jì)數(shù)數(shù)據(jù)的假設(shè)檢驗(yàn)以及樣本方差與總體方差差異是否顯著的檢驗(yàn)等。(六）F分布1.設(shè)有兩個(gè)正態(tài)分布的總體，其平均數(shù)與方差分別為：、及、，從這兩個(gè)總體中分別隨機(jī)抽取容量為n1及n2的樣本，每個(gè)樣本都可計(jì)算出c2值，這樣可得到

16、無(wú)限多個(gè)c12與c22，每個(gè)c2隨機(jī)變量各除以對(duì)應(yīng)的自由度df1與df2之比，稱為F比率，這無(wú)限多個(gè)F的分布稱作F分布。 因?yàn)椋?，所以：根?jù)上式，我們可理解F比率為樣本方差各除以其總體方差的比率。如果令，即從一個(gè)總體中抽樣，那么。這可以理解為，從一個(gè)正態(tài)總體中隨機(jī)抽取容量為n1及n2兩樣本，其方差的比率分布為F分布，分子和分母的自由度分別為n1-1和n2-1，據(jù)此我們可以來(lái)檢驗(yàn)任意兩樣本是否來(lái)自同一總體。2. F分布的特點(diǎn)： F分布形態(tài)是一個(gè)正偏態(tài)分布，它的分布隨著df1與df2的增加而漸趨正態(tài)分布； F總為正值； 當(dāng)分子的自由度為1，分母的自由度為任意值時(shí)，F(xiàn)值與分母自由度相同概率的t值（雙

17、側(cè)概率）的平方相等。 F 分布的倒數(shù)性質(zhì)：第三節(jié) 抽樣原理及方法1. 抽樣原理抽樣的基本原則是隨機(jī)性原則，因此需要滿足兩個(gè)條件： 每個(gè)個(gè)體被選取的概率相等； 進(jìn)行返回取樣，以保證每個(gè)個(gè)體每次被抽取的概率不變。2. 隨機(jī)抽樣的作用： 隨機(jī)抽樣能使每個(gè)個(gè)體有同等機(jī)會(huì)被抽??； 隨機(jī)抽樣對(duì)于抽樣誤差可以預(yù)算或控制。對(duì)于抽樣誤差的預(yù)算，意味著對(duì)研究結(jié)果的精確度地客觀評(píng)價(jià)，同時(shí)也能夠按照所要求的精確度來(lái)決定樣本應(yīng)該具有多大容量。 3.樣本量標(biāo)準(zhǔn)誤代表著抽樣誤差，因而分析樣本容量n與標(biāo)準(zhǔn)誤SE 的關(guān)系可以解釋樣本容量與抽樣誤差之間的關(guān)系。4. 抽樣方法包括概率抽樣和非概率抽樣兩種。概率抽樣是根據(jù)已知的概率，

18、按照概率論的原理嚴(yán)格隨機(jī)選取樣本，是最理想、最科學(xué)的抽樣方法。具體包括以下幾種： 簡(jiǎn)單隨機(jī)取樣法(抽簽法，隨機(jī)數(shù)字法：適合總體數(shù)目較小，個(gè)體差異較小時(shí)用)缺點(diǎn)：總體很大時(shí)使用不方便；常常忽略總體已有信息。 等距取樣法(系統(tǒng)抽樣或機(jī)械抽樣：總體數(shù)目較大時(shí)用)一般來(lái)說(shuō)這種抽樣方法樣本的代表性比簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣好些，但是如果總體具有一種周期性變化時(shí)，代表性就差了。例外，這種抽樣方法也容易忽略已有信息。 分層隨機(jī)取樣法(按各層人數(shù)分配比例分配：個(gè)體差異較大時(shí)用)總的原則是：各層內(nèi)變異小，層間變異越大越好。它充分利用了總體的已有信息。 多段隨機(jī)取樣法(如三階段隨機(jī)取樣，總體數(shù)目很大時(shí)用)相對(duì)于簡(jiǎn)單隨機(jī)取樣來(lái)說(shuō)，這種方法的標(biāo)準(zhǔn)誤要大些，但是節(jié)省經(jīng)費(fèi)。非概率抽樣： 方便取樣，由調(diào)查人員自由、方便地選擇被調(diào)查對(duì)象的非隨機(jī)選擇； 判斷取樣是通過(guò)某些條件過(guò)濾，然后選擇某些被調(diào)查者參與調(diào)查的抽樣方法?！菊n后習(xí)題演練】1. 在標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布曲線下，正、負(fù)1個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差范圍內(nèi)的面積占曲線下總面積的（）A、25.00%   B、34.1