勾股定理教學(xué)設(shè)計一

1、勾股定理（一）教學(xué)目的：1使學(xué)生掌握勾股定理及其證明. 2通過講解我國古代學(xué)者發(fā)現(xiàn)及應(yīng)用勾股定理的成就，對學(xué)生進(jìn)行受國主義教育、學(xué)習(xí)目的教育.教學(xué)重點：勾股定理的證明和應(yīng)用.教學(xué)難點：勾股定理的證明.教學(xué)過程：新課引入：直角三角形三邊之間有一種特別重要的關(guān)系，早在我國古代就引起人們的興趣。我國古代把直角三角形中較短的直角邊叫做勾，較長的直角邊叫做股，斜邊叫做弦。介紹商高答周公的勾三股四弦必五的故事。中國最早的一部數(shù)學(xué)著作周髀算經(jīng)的開頭，記載著一段周公向商高請教數(shù)學(xué)知識的對話：    周公問：“我聽說您對數(shù)學(xué)非常精通，我想請教一下：天沒有梯子可以上去，地也沒法用尺子

2、去一段一段丈量，那么怎樣才能得到關(guān)于天地得到數(shù)據(jù)呢？”    商高回答說：“數(shù)的產(chǎn)生來源于對方和圓這些形體的認(rèn)識。其中有一條原理：當(dāng)直角三角形矩得到的一條直角邊勾等于3，另一條直角邊股等于4的時候，那么它的斜邊弦就必定是5。這個原理是大禹在治水的時候就總結(jié)出來的呵?！?#160;    從上面所引的這段對話中，我們可以清楚地看到，我國古代的人民早在幾千年以前就已經(jīng)發(fā)現(xiàn)并應(yīng)用勾股定理這一重要懂得數(shù)學(xué)原理了. 人們還發(fā)現(xiàn)，在直角三角形中勾為6，股為8，弦必為10；勾為5，股為12，弦必為13，。而32+42=52，62+82=102，52+122=

3、132，即勾2+股2=弦2。是否所有直角三角形都有這種性質(zhì)呢？ 事實上，可以證明，對于所有的直角三角形的三邊都有這種關(guān)系，此關(guān)系我國把它稱為“勾股定理”，現(xiàn)在我們就來學(xué)習(xí)這個定理。 人們還發(fā)現(xiàn)，在直角三角形中勾為6，股為8，弦必為10；勾為5，股為12，弦必為13，。而32+42=52，62+82=102，52+122=132，即勾2+股2=弦2。是否所有直角三角形都有這種性質(zhì)呢？ 事實上，可以證明，對于所有的直角三角形的三邊都有這種關(guān)系，此關(guān)系我國把它稱為“勾股定理”，現(xiàn)在我們就來學(xué)習(xí)這個定理。講解新課勾股定理 直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方.即a2+b2=c2.對于這個定

4、理的證明可按教科書中所給的方法。根據(jù)教科書中的方法事先用硬紙片拼好圖形1-104。（1）先讓學(xué)生觀察，拼成的兩個正方形邊長都是a+b，則面積相等。再看這兩個正方形又由哪些三角形和正方形拼成的。（2）分別寫出左、右兩個正方形的面積：在邊正方形是四個全等直角三角形與兩個正方形組成，其面積為。右邊的正方形是四個全等直角三角形與一個正方形組成，其面積為。（3）左、右兩個正方形面積相等，即 ， 。（4）勾股定理的變形。今后在運用勾股定理時，根據(jù)需要可將其變形為：或，從而可知，在Rt中已知兩邊可求出第三邊。向?qū)W生說明，這種證法是采用割補(bǔ)拼接（稱拼圖）的方法。在拼補(bǔ)過程中只要沒有重疊、沒有空隙，而面積不會改

5、變，利用計算也可以證明幾何命題，而且是一種常用的證明方法。勾股定理的證明方法很多，以后還會用其它方法來證明。我國發(fā)現(xiàn)勾股定理的時間比較早，在公元前一世紀(jì)周髀算經(jīng)里記載著夏禹（公元前21世紀(jì)）和商高（公元前1120年）發(fā)現(xiàn)了這個定理。春秋時代（公元前6、7世紀(jì)）陳子也對這個定理作出了很大貢獻(xiàn)，所以也叫陳子定理。又由于古書中記有“勾廣三，股修四，徑隅五”，因此這個定理就稱為勾股定理。在西方最早發(fā)現(xiàn)這個定理的相傳是公元五百多年古希臘數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯，所以西方多稱“畢達(dá)哥拉斯定理”，他們的發(fā)現(xiàn)比我國晚了好幾百年。我們的祖先是勤勞智慧的！勾股定理是平面幾何中一個十分重要的定理，它反映了直角三角形中三條邊

6、之間 的數(shù)量關(guān)系，在理論和實踐中應(yīng)用很廣。課堂提問在RtABC中，C=Rt，（1）已知a=6，b=8，求c；（2）已知a=40，c=41，求b；（3）已知A=30°，a=2，求b、c；（4）A=45°，c=4，求a、b。 例題精選 ABCD例1 已知：如圖，等邊ABC的邊長是6cm. (1) 查表求高AD的長；(2) 求SABC.解 (1)ABC是等邊三角形，AD是高， BD=BC=3.在RtABD中，AB=6，BD=3，根據(jù)勾股定理，AD2=AB2BD2. AD=5.196.(2)SABC=BC·AD=´6´5.196=15.588(cm2)

7、.BACED例2 已知：如圖，在RtABC中，ÐC=90°，D、E分別為BC、AC的中點，AD=5，BE=2，求AB的長.分析 先求BC，AC，再由勾股定理求AB. 解 設(shè)AC=b, BC=a,AB=c, AD、BE是中線 CE=，CD=，又 ÐC=90° 在RtACD中，CD2+AC2=AD2 在RtBCE中，BC2+CE2=BE2 AD=5，BE=2，兩式相加得，(a2+b2)=65 a2+b2=52 在RtABC中，ÐC=90°， AB2=AC2+BC2=a2+b2=52. AB=2.ABC說明 在本題中要求的是AB即,(這就是

8、解題的目標(biāo))，因此，只要能直接求出a2+b2就沒有必要分別求出a,b.在解題時，正確地確定并牢牢地把握解題目標(biāo)是非常重要的.例3 如圖，在ABC中，ÐBAC=75°，ÐB=45°，AB=cm,求ABC的面積.分析 為了求ABC的面積，就需要求出它的一條邊和這邊上的高.題中已知AB=,因此，首先想到的就是能否求出AB邊上的高CE.容易看出，CE=BE，但BE是多少呢？由于已知條件ÐA=75°，不好運用，所以難以求出.于是，我們換一角度思考，能否求出BC邊BC邊上的高呢？根據(jù)上述思路解題如下：解 ADBC于D，則在Rt ABC中， 

9、08;B=45°ÐDAB=90°ÐB=45°ABCDEAD=BD由勾股定理得AD2+DB2=AB2即 2AD2=AB2=6. AD=ÐCAD=ÐCABÐBAD=75°45°=30° CD=AC.在Rt ADC中，由勾股定理得AC2=DC2+AD2即(2DC)2=DC2+3解得 3DC2=3 即DC=1 BC=BD+DC=AD+DC=1+ SABC=BC·AD=(1+)· =+(cm2)說明 在解題過程中，及時調(diào)整解題方向是十分重要的.要做到這一點，就要牢牢地把握解題

10、的總目標(biāo)(例如：在本題中就是求AB牟面積，即示出某一邊及這條邊上的高)，并考慮達(dá)到這項目標(biāo)的各種途徑(而不是一種途徑).在本題的分析中，我們曾說：“難以求出CE”，現(xiàn)在你能求出能求出CE的長嗎？請試試看.隨堂練習(xí)1選擇題BACMC(1)如圖，ABC中，ÐACB=90°，AC=12，CB=5，AM=AC，BN=BC，則MN的長是 A.2；B.2.6；C.3；D.4.(2)正方形的面積是，它的對角線長是 A.；B. ；C.；D.(3)在ABC中，AB=15，AC=13，高AD=12，則ABC的周長是 A.42;B.32;C.42或32;D.37或33.2填空題ADBC(1) 在ABC中，ADBC于D，AB=AC=2AD=a,則ABC的面積是_(2) 如圖，已知：ÐABC=ÐC=90°，AD=12，AC=BC，ÐDAB=30°，則BC=_.ABCDEFM(3) 如圖，在ABC中，CE平分ÐACB，CF平分ÐACD，且EF/BC交AC于M，若CM=5，則CE2+CF2=_.小結(jié)：今天，我們學(xué)習(xí) 了勾股定理“直角三角形的兩直角邊的平方和等于斜邊的平方”.從幾何上看，勾股定理是講：以Rt 斜邊為一邊的正方形的面積等于分別以兩直角邊為邊的正方形的面積之和.