《高等幾何》復(fù)習(xí)大綱、樣題及答案全

1、高等幾何復(fù)習(xí)大綱仿射坐標(biāo)與仿射變換一、要求1.掌握透視仿射對應(yīng)概念和性質(zhì)，以及仿射坐標(biāo)的定義和性質(zhì)。熟練掌握單比的定義和坐標(biāo)表示。2.掌握仿射變換的兩種等價定義；熟練掌握仿射變換的代數(shù)表示，以及幾種特殊的仿射變換的代數(shù)表示。3.掌握圖形的仿射性質(zhì)和仿射不變量。二、考試內(nèi)容1.單比的定義和求法。2.仿射變換的代數(shù)表示式，以及圖形的仿射性質(zhì)和仿射不變量。3.仿射變換的不變點和不變直線的求法。射影平面一、要求1.掌握中心射影與無窮遠元素的基本概念，理解無窮遠元素的引入。2.熟練掌握笛薩格（Desargues）定理及其逆定理的應(yīng)用。3.熟練掌握齊次點坐標(biāo)的概念及其有關(guān)性質(zhì)。4.理解線坐標(biāo)、點方程的概念

2、和有關(guān)性質(zhì)。5.掌握對偶命題、對偶原則的理論。二、考核內(nèi)容1.中心投影與無窮遠元素中心投影，無窮遠元素，圖形的射影性質(zhì)。2.笛薩格（Desargues）定理應(yīng)用笛薩格（Desargues）定理及其逆定理證明有關(guān)結(jié)論。3.齊次點坐標(biāo)齊次點坐標(biāo)的計算及其應(yīng)用。4.線坐標(biāo)線坐標(biāo)的計算及其應(yīng)用。5.對偶原則作對偶圖形，寫對偶命題，對偶原則和代數(shù)對偶的應(yīng)用。射影變換與射影坐標(biāo)一、要求1.熟練掌握共線四點與共點四線的交比與調(diào)和比的基本概念、性質(zhì)和應(yīng)用。2.掌握完全四點形與完全四線形的調(diào)和性及其應(yīng)用。3.掌握一維射影變換的概念、性質(zhì)，代數(shù)表示式和參數(shù)表示式。4.掌握二維射影變換的概念、性質(zhì)以及代數(shù)表示式。5

3、.理解一維、二維射影坐標(biāo)的概念以及它們與仿射坐標(biāo)、笛氏坐標(biāo)的關(guān)系。二、考試內(nèi)容1.交比與調(diào)和比交比的定義、基本性質(zhì)及其計算方法，調(diào)和比的概念及其性質(zhì)。2.完全四點形與完全四線形完全四點形與完全四線形的概念及其調(diào)和性。3.一維基本形的射影對應(yīng)一維射影對應(yīng)的性質(zhì)，與透視對應(yīng)的關(guān)系，以及代數(shù)表示式。4.二維射影變換5.二維射影對應(yīng)（變換）與非奇線性對應(yīng)的關(guān)系。6.射影坐標(biāo)一維射影坐標(biāo)、二維射影坐標(biāo)。7.一維、二維射影變換的不變元素求一維射影變換的不變點，二維射影變換的不變點和不變直線。變換群與幾何學(xué)一、要求1.了解變換群的概念。2.理解幾何學(xué)的群論觀點。3.弄清歐氏幾何、仿射幾何、射影幾何之間的關(guān)系

4、及其各自的研究對象。二、考試內(nèi)容1.變換群與幾何學(xué)的關(guān)系。2仿射幾何、射影幾何學(xué)相應(yīng)的變換群、研究對象基本不變量和基本不變性。二次曲線的射影理論一、要求1.掌握二隊（級）曲線的射影定義、二階曲線與直線的相關(guān)位置，二階曲線的切線，二階曲線與二級曲線的關(guān)系。2.掌握巴斯加定理、布利安桑定理以及巴斯加定理特殊情形。3.掌握極點，極線的概念和計算方法，熟練掌握配極原則。4.了解二階曲線的射影分類。二、考試內(nèi)容 1.二階（級）曲線的概念，性質(zhì)和互化，求二階曲線的主程和切線方程。2.應(yīng)用巴勞動保護加定理和布利安桑定理及其特殊情形證明有關(guān)問題，解決相在的作圖問題。3.二階曲線的射影分類。二次曲線的仿射性質(zhì)和

5、度量性質(zhì)一、要求和考試內(nèi)容1.掌握二次曲線的中心、直徑、共軛直徑、漸近線等概念和性質(zhì)。(一)一、填空題（每題2分，共10分）1、平行四邊形的仿射對應(yīng)圖形為： ；2、線坐標(biāo)（1，2，1）的直線的齊次方程為： ；3、直線上的無窮遠點坐標(biāo)為： ；4、設(shè)(AB,CD)= ，則點偶 調(diào)和分割點偶 ；5、兩個射影點列成透視的充要條件是 ；二、作圖題（每題6分，共6分）1、敘述下列圖形中的點線結(jié)合關(guān)系及其對偶命題，并畫出對偶圖形。三、計算題（每題10分，共30分）1、 求仿射變換式使直線x2y10上的每個點都不變，且使點（1，-1）變?yōu)椋?1，2）2、 求射影變換的固定元素。3、敘述二次曲線的中心、直徑，共

6、軛直徑漸近線等概念，并舉例說明。四、證明題（每題12分，共24分）1、敘述并證明布利安桑定理。2、設(shè)（AB、CD）=-1，O為CD的中點，則OC2=OA·OB（此題為有向線段） 參考答案一、填空題1、平行四邊形2、3、（2，-3，0）4、 AC , BD5、保持公共元素不變二、作圖題1、每三點不共線的五個點，兩兩連線。 對偶：沒三線不共點的五條線，兩兩相交。 對偶圖形 就是自己三、計算題1解 設(shè)所求仿射變換為在已知直線x+2y-1=0上任取兩點，例如取（1，0）、（3，-1），在仿射變換下，此二點不變。而點（1，-1）變?yōu)椋?1，2），把它們分別代入所設(shè)仿射變換式，得 ， 由以上方程

7、聯(lián)立解得：2 ，=2 ,=-1 , =- ,=-2 ,= 故所求的仿射變換為：解 由題設(shè)的射影變換式，得 把它們代入射影變換的固定方程組6.5公式(2), 即得 由此得特征方程為:=0, 即(1+u)(1-u)2=0解得u=1（二重根） ,u=1 將u=1代入固定點方程組，即得固定點為（1，0，0） 將u=1代入固定點方程組，得x1=0這是一固定點列即直線A2A3上的每一點都是固定點。把的值代入射影變換的固定直線方程組6。5公式（5），即得則特征方程為=0 即（1+v）(1-v)2=0,解得v=-1 v=1(二重根)。 將v=-1代入固定直線方程組，即得固定直線為（1，0，0）。 將v=1代入

8、固定直線方程組，得u1=0,即通過點（1，0，0）3、 見課本四、證明題1、見課本2、證明 這里所用的都是有向線段，利用O為CD中點這一假設(shè)，便有OD=-OC來論證的，由（AB，CD）=-1，得=-1 即 AC·BD+AD·BC=0 （1）把所有線段都以O(shè)點做原點來表達，由（1）得（OC-OA）（OD-OB）+（OD-OA）（OC-OB）=0 （2） 由（2）去括號，移項，分解因子，得2（OA·OB+OC·OD）=（OA+OB） （OC+OD） 2（OA·OB- OC2）=（OA+OB）·0 OA·OB-OC2=0即 OC2

9、=OA·OB （二）一、 填空題（每小題4分，共20分）1、設(shè)(1)，(-1)，()為共線三點，則 1 。2、寫出德薩格定理的對偶命題：如果兩個三線形對應(yīng)邊的交點在一條直線上，則對應(yīng)頂點的連線交于一點。3、若共點四直線a,b,c,d的交比為(ab,cd)=-1，則交比(ad,bc)=_2_。4、平面上4個變換群，射影群，仿射群，相似群，正交群的大小關(guān)系為：射影群包含仿射群，仿射群包含相似群，相似群包含正交群5、 二次曲線的點坐標(biāo)方程為，則其線坐標(biāo)方程為是 二、 選擇題（每小題2分，共10分）1.下列哪個圖形是仿射不變圖形？( D )A.圓B.直角三角形C.矩形D.平行四邊形2. 表示

10、( C )A.以-1/4為方向的無窮遠點和以1/2為方向的無窮遠點B. 以-4為方向的無窮遠點和以2為方向的無窮遠點C. 以4為方向的無窮遠點和以-2為方向的無窮遠點D. 以1/4為方向的無窮遠點和以-1/2為方向的無窮遠點3.兩個不共底且不成透視的射影點列至少可以由幾次透視對應(yīng)組成？( B )A.一次B.兩次C.三次D.四次4.下面的名稱或定理分別不屬于仿射幾何學(xué)有( A )：A. 三角形的垂心 B. 梯形 C.在平面內(nèi)無三線共點的四條直線有六個交點 D.橢圓5.二次曲線按射影分類總共可分為( B )A.4類B.5類C.6類D.8類三、判斷題（每小題2分，共10分）1.仿射對應(yīng)不一定保持二直

11、線的平行性。（ × ）2.兩直線能把射影平面分成兩個區(qū)域。（ ）3.當(dāng)正負(fù)號任意選取時，齊次坐標(biāo)表示兩個相異的點。（× ）4. 在一維射影變換中，若已知一對對應(yīng)元素(非自對應(yīng)元素)符合對合條件，則此射影變換一定是對合。（ ）5. 配極變換是一種非奇線性對應(yīng)。（ ）四、作圖題（8分）已知線束中三直線a,b,c，求作直線d，使(ab,cd)=-1。（畫圖，寫出作法過程和根據(jù)）作法過程：1、設(shè)a,b,c交于點A，在c上任取一點C, （2分）2、過C點作兩直線分別與a交于B、E，與b交于F，D，（2分）3、BD與EF交于G,4、AG即為所求的d。（2分）根據(jù)：完全四點形的調(diào)和共軛性

12、（2分）五、證明題（10分）如圖，設(shè)FGH是完全四點形ABCD對邊三點形，過F的兩直線TQ與SP分別交AB，BC，CD，DA于T，S，Q，P.試?yán)玫滤_格定理（或逆定理）證明： TS與QP的交點M在直線GH上。 在三點形BTS與三點形DQP中（4分）對應(yīng)頂點的連線BD,TQ,SP三線共點，（2分）由德薩格定理的逆定理知，（2分）對應(yīng)邊的交點BT與DQ的交點G，TS與QP的交點M以及BS與DP的交點H三點共線，即TS與QP的交點M在直線GH上六、計算題（42分）1. （6分）平面上經(jīng)過A（-3，2）和B（6，1）兩點的直線被直線x+3y-6=0截于P點，求單比(ABP) 解：設(shè)P點的坐標(biāo)為（x0

13、，yo）（分割比）， （2分） 且P在直線x+3y-6=0上， 解得=1， （2分）即P是AB中點，且（ABP）=1 2. （6分）已知仿射平面上直線l的非齊次坐標(biāo)方程為x-2y+1=0，求（1）l的齊次坐標(biāo)方程；（2）l上無窮遠點的坐標(biāo)；（3）l上無窮遠點的方程。（1） （2分）（2）（1，1/2，0） （2分）（3） 3. (8分)在直線上取笛氏坐標(biāo)為 2，0，3的三點作為射影坐標(biāo)系的P*,P0, E，(i)求此直線上任一點P的笛氏坐標(biāo)x與射影坐標(biāo)的關(guān)系；（ii）問有沒有一點，它的兩種坐標(biāo)相等？解：（i）由定義 =（P*P0，EP）=（2 0，3x）= （4分）(ii) 若有一點它的兩種坐

14、標(biāo)相等，即x=則有，即3x27x=0，當(dāng)x=0及x=時兩種坐標(biāo)相等。4. （8分）求點列上的射影變換，它將參數(shù)為1,2,3的點分別變?yōu)閰?shù)為1,3,2的點，并求出此射影變換的自對應(yīng)元素的參數(shù)。設(shè)射影變換的方程為： （2分）由題意知：a+, ,6a+3b+2c+d=0 得到：故射影變換方程為： （4分）二重元素滿足： 得=7/3或=1 5. (6分)求由兩個射影線束，所構(gòu)成的二階曲線的方程。解：由題意： （2分）由上式得： （2分）故所求方程即為6. (8分) 試求二次曲線：+2x1x3-4x2x3=0的中心與漸近線。二次曲線的齊次方程為：x12+3x1x2-4x22+2x1x310x2x3=0

15、，二次曲線為常態(tài)的，設(shè)中心 則中心為 （4分）求漸近線方程：a11X2+2a12XY+a22Y2=0， X=x，Y=y。 從X2+3XY4Y2=0 （X+4Y）（XY）=0.X+4Y=(x)+4 (y+)=05x+20y+18=0， （2分）XY=(x)(y+)=05x5y8=0。 （三）一、填空題(每空2分，共20分)1.經(jīng)過一切透視仿射不改變的性質(zhì)和數(shù)量，稱為仿射不變性和仿射不變量.2.共線三點的簡比是_仿射_不變量.3.平面內(nèi)三對對應(yīng)點(原象不共線，映射也不共線)決定唯一_仿射變換_.4.點坐標(biāo)為(1，0，0)的方程是_u1=0_.5. =0代表點_(1，1，0)、(1，-1，0)_的方

16、程.6.已知共線四點A、B、C、D的交比(AB，CD)=2，則(CA，BD)=_-1_.7.對合由_兩對不同的對應(yīng)元素_唯一決定.8.二階曲線就是_兩個射影線束對應(yīng)直線交點_的全體.9.證明公理體系的和諧性常用_模型_法.10.羅巴切夫斯基平面上既不相交，又不平行的兩直線叫做_分散_直線.二、計算題(每小題6分，共30分)1.求直線x-2y+3=0上無窮遠點的坐標(biāo)。1.解：化為齊次式x1-2x2+3x3=0,以x3=0代入得 x1-2x2=0， x1=2x2 或 x2= 無窮遠點坐標(biāo)為(2，1，0)2.求仿射變換的不變點.2.解：由 得 解此方程，得不變點為3. 求四點(2，1，-1)，(1，

17、-1，1)，(1，0，0)，(1，5，-5)順這次序的交比.3.解：以(2，1，-1)和(1，-1，1)為基底，則(2，1，-1)+1(1,-1,1)相當(dāng)于(1，0，0) 得 1=1又 (2，1，-1)+2(1,-1,1)相當(dāng)于(1，5，-5)得 2=-所求交比為 4.試求二階曲線的方程，它是由兩個射影線束x1-x3=0與x2-x3=0 (=)所決定的.4.解：= (1)將x1-x3=0, x2-x3=0中的，代入(1)得 得 x2(x1+2x3)-x3(x1-x3)=0，化簡，即得所求的二階曲線方程 5.求二次曲線2x2+xy-3y2+x-y=0的漸近線.5.解： 系數(shù)行列式 A31=, A

18、32=, A33=-,因此中心坐標(biāo) =-,=- .由 2X2+XY-3Y2=0，即 (2X+3Y)(X-Y)=0.得 2X+3Y=0 X-Y=0. (1)將 X=x+ Y=y+ 代入(1)得 2x+3y+1=0 x-y=0即為所求的漸近線方程三、作圖題(每小題6分，共18分)1.給定點A、B，作出點C，使(ABC)=4. 作法： (ABC)=， ,即 =3 .在AB延長線上，作點C，使BC=AB2.過定點P，作一條直線，使通過兩條已知直線的不可到達的點. 作法：2.作法：(利用代沙格定理)：任取線束S，設(shè)束中兩條直線交a于A，C，交b于A，C；連直線PC，PC分別交線束S的第三條直線于B，B；

19、直線BA和BA的交點Q與點P的連線，即為所求的直線.注：1°文字，2°也可利用巴卜斯定理；或完全四點形調(diào)和性質(zhì)作圖.3.如圖，求作點P關(guān)于二次曲線的極線 作法：3.作法：過P點任引兩直線，使與分別交于A、B及C、D，設(shè)Q=AC×BD，R=AD×BC，那么直線QR即為所求的極線.四、證明題(第1、2題各10分，第3小題12分，共32分)1.設(shè)P、Q、R、S是完全四點形的頂點，A=PS×QR,B=PR×QS,C=PQ×RS,證明A1=BC×QR,B1=CA×RP, C1=AB×PQ三點共線. 證明：

20、1.證明：在ABC及PQR中，AP、BQ、CR共點S.對應(yīng)邊的交點C1=AB×PQ， B1=CA×RP, A1=BC×RQ三點共線2.過二次曲線的焦點F，引兩條共軛直線l,l，證明ll. 證明：2.證明：已知F為焦點，l，l為由F所引的二共軛直線，按其點定義，兩迷向直線FI，F(xiàn)J是二次曲線的切線.從而 (FI，F(xiàn)J，l，l)=-1，所以 ll3.將ABC的每邊分成三等份，每個分點跟三角形的對頂相連，這六條線構(gòu)成一個六邊形(圖甲)，求證它的三雙對頂連線共點。證明(按以下程序作業(yè))：第一步：將ABC仿射變換為等邊ABC(圖乙)，為什么這樣變換存在?第二步：在圖乙中，畫

21、出圖甲的對應(yīng)點和線段，并敘述原來命題對應(yīng)地變成怎樣的命題。第三步：證明：變換后的相應(yīng)命題成立。這樣原來命題也就成立，為什么?3.第一步，任意兩三角形，總存在仿射變換，使其中一個三角形仿射變換為另一三角形.第二步：正三角形的每邊三等份，每一分點跟三角形的對頂相連，這六條線構(gòu)成一個六邊形，求證它的三雙對頂?shù)倪B線共點.第三步：由A作BC邊上的高線AS，ABC是正三角形，由對稱性可知K，N在AS上.同理J、M與PL也分別在過點B、C所作的高線上，因為ABC的三高線共點，所以六邊形JKLMNP的三對頂點的連線共點.正三角形的垂心和重心是合一的，由于仿射變換構(gòu)成變換群，且同素性和接合關(guān)系以及三角形的重心是

22、仿射不變性，所以原命題也成立. （四）1、 填空題（2分12=24分）2、 1、平行四邊形的仿射對應(yīng)圖形為： 平行四邊形 ；2、直線上無窮遠點坐標(biāo)為： （5，-1，0） 3、已知,則 3 -2 4、過點A(1, ,2)的實直線的齊次方程為： 5、方程表示的圖形坐標(biāo) （1,2,0） （1,3,0） 6、已知軸上的射影變換式為，則原點的對應(yīng)點 -7、求點關(guān)于二階曲線的極線方程8、為平行四邊形，過引與對角線平行，則= -1 9、一點列到自身的兩射影變換a）：，； b）：， 其中為對合的是： b 10、求射影變換的自對應(yīng)元素的參數(shù) 1 11、兩個線束點列成透視的充要條件是 底的交點自對應(yīng) 12、直線上的三點，的單比= 1二、求二階曲線的方程，它是由下列兩個射影線束所決定的：與 且 。 解：射影對應(yīng)式為。由兩線束的方程有：。將它們代入射影對應(yīng)式并化簡得，此即為所求二階曲線的方程。三、證明：如果兩個三點形內(nèi)接于同一條二次曲線，則它們也同時外切于一條二次曲線。證明：三點形ABC和三點形內(nèi)接于二次曲線（C），設(shè) AB