牛吃草問題含例題答案解析講解

1、小學(xué)數(shù)學(xué)牛吃草 問題知識(shí)點(diǎn) 總結(jié) ： 牛吃草問題：牛吃草問題又稱為消長(zhǎng)問題或牛頓牧場(chǎng)，是17世紀(jì)英國(guó)偉大的科學(xué)家牛頓提出來的。典型牛吃草問題的條件是假設(shè)草的生長(zhǎng)速度固定不變，不同頭數(shù)的牛吃光同一片草地所需的天數(shù)各不相同， 求若干頭牛吃這片草地可以吃多 少天。由于吃的天數(shù)不同，草又是天天在生長(zhǎng)的，所以草的存量隨牛吃的天數(shù)不 斷地變化。小升初沖刺第2講牛吃草問題基本公式：1）設(shè)定一頭牛一天吃草量為“ 1”2）草的生長(zhǎng)速度=（對(duì)應(yīng)的牛頭數(shù)X吃的較多天數(shù)一相應(yīng)的牛頭數(shù)X吃的較少天數(shù)）十（吃的較多天數(shù)一吃的較少天數(shù)）；3）原有草量=牛頭數(shù)X吃的天數(shù)一草的生長(zhǎng)速度X吃的天數(shù)；'4）吃的天數(shù)=原有草

2、量十（牛頭數(shù)草的生長(zhǎng)速度）;5）牛頭數(shù)=原有草量十吃的天數(shù)+草的生長(zhǎng)速度。例1、牧場(chǎng)上長(zhǎng)滿了牧草，牧草每天勻速生長(zhǎng)，這片牧草可供10頭牛吃20天，可供15頭牛吃10天。問：這片牧草可供25頭牛吃多少天？解:假設(shè)1頭牛1天吃的草的數(shù)量是1份 草每天的生長(zhǎng)量：（200-150）（20-10）=5份10X0=200份原草量+20天的生長(zhǎng)量 原草量：200-20 >5=100 或150-10 X 5=100份100-25-5) =5 天15X0=150份原草量+10天的生長(zhǎng)量 自主訓(xùn)練 牧場(chǎng)上長(zhǎng)滿了青草，而且每天還在勻速生長(zhǎng)，這片牧場(chǎng)上的草可 供 9 頭牛吃 20 天，可供 15 頭牛吃 10

3、天，如果要供 18 頭牛吃，可吃幾天？解:假設(shè)1頭牛1天吃的草的數(shù)量是1份 草每天的生長(zhǎng)量：(180-150)(20-10)=3份9>20=180份原草量+20天的生長(zhǎng)量 原草量：180-20 >3=120份 或150-10 X3=120份15X0=150份原草量+10天的生長(zhǎng)量120- 18-3) =8天例 2、由于天氣逐漸冷起來，牧場(chǎng)上的草不僅不長(zhǎng)大，反而以固定速度在減少。已知某塊草地上的草可供 20頭牛吃 5天，或可供 15頭牛吃 6天。照此計(jì)算，可供多少頭牛吃 10 天？解：假設(shè)1頭牛1天吃的草的數(shù)量是1份 草每天的減少量：(100-90)十6-5)=10份20>5=

4、100 份原草量 -5 天的減少量 原草量： 100+5>10=150 或 90+6>10=150份15>6=90份原草量-6天的減少量(150-10 X0)T0=5頭 自主訓(xùn)練 由于天氣逐漸寒冷，牧場(chǎng)上的牧草每天以均勻的速度減少，經(jīng)測(cè)算，牧場(chǎng)上的草可供 30頭牛吃 8天，可供 25頭牛吃9天，那么可供 21頭牛吃幾天？解：假設(shè)1頭牛1天吃的草的數(shù)量是1份 草每天的減少量：(240-225) -(9-8 )=15 份30>8=240 份原草量 -8 天的減少量 原草量： 240+8>15=360 份或 220+9>15=360份25>9=225份原草量

5、-9天的減少量360 - 21+15） =10天例 3、自動(dòng)扶梯以均勻速度由下往上行駛著，兩位性急的孩子要從扶梯上樓。已 知男孩每分鐘走 20 級(jí)梯級(jí)，女孩每分鐘走 15 級(jí)梯級(jí)， 結(jié)果男孩用了 5 分鐘到達(dá)樓上， 女孩用了 6 分鐘到達(dá)樓上。問：該扶梯共有多少級(jí)？男孩：20>5 =100（級(jí)）自動(dòng)扶梯的級(jí)數(shù) -5 分鐘減少的級(jí)數(shù)女孩;15 >6=90（級(jí)）自動(dòng)扶梯的級(jí)數(shù) -6 分鐘減少的級(jí)數(shù)每分鐘減少的級(jí)數(shù)=（20 >5-15 >6）說6-5）=10（級(jí)）自動(dòng)扶梯的級(jí)數(shù) = 20>5+5>10=150（級(jí)） 自主訓(xùn)練 兩個(gè)頑皮孩子逆著自動(dòng)扶梯行駛的方向行走

6、，男孩每秒可走 3 級(jí)階梯，女孩每秒可走 2 級(jí)階梯，結(jié)果從扶梯的一端到達(dá)另一端男孩走了 100 秒，女孩走了 300 秒。問該扶梯共有多少級(jí)？3>100=300自動(dòng)扶梯級(jí)數(shù) +100秒新增的級(jí)數(shù)2>300=600自動(dòng)扶梯級(jí)數(shù) +300秒新增的級(jí)數(shù)每秒新增的級(jí)數(shù)：（2 >300-3 >00）十300-100） =1.5 （級(jí)）自動(dòng)扶梯級(jí)數(shù) = 3>100-100>1.5=150（級(jí)）1. 有一片牧場(chǎng)，操每天都在勻速生長(zhǎng)（每天的增長(zhǎng)量相等），如果放牧 24 頭牛，則 6 天吃完草，如果放牧 21 頭牛，則 8 天吃完草，設(shè)每頭牛每天的吃草量 相等，問：要使草永

7、遠(yuǎn)吃不完，最多只能放牧幾頭牛？假設(shè) 1 頭 1 天吃 1 個(gè)單位24*6=14421*8=168 168-144=24每天長(zhǎng)的草可供 24/2=12 頭牛吃最多只能放 12 頭牛2，有一片草地，草每天生長(zhǎng)的速度相同。這片草地可供5 頭牛吃 40 天，或 6供頭牛吃 30天。如果 4頭牛吃了 30天后，又增加 2頭牛一起吃，這片草地還可 以再吃幾天？假設(shè) 1頭1天吃 1個(gè)單位5*40=200；6*30=180200-180=20每天長(zhǎng)的草 :20/(40-30)=2原有草： 200-2*40=1204*30=120 ，30*2=60 60/4=15 天3，假設(shè)地球上新增長(zhǎng)資源的增長(zhǎng)速度是一定的，

8、照此推算，地球上的資源可供110 億人生活 90年，或可供 90億人生活 210年，為了人類不斷繁衍，那么地球 最多可以養(yǎng)活多少億人？假設(shè) 1億人頭 1天吃1個(gè)單位110*90=9900；90*210=1890018900-9900=90009000/(210-90)=754，一游樂場(chǎng)在開門前有 100 人排隊(duì)等候，開門后每分鐘來的游客是相同的，一 個(gè)入口處每分鐘可以放入 10名游客，如果開放 2個(gè)入口處 20分鐘就沒人排隊(duì)，現(xiàn)開放 4 個(gè)入口處，那么開門后多少分鐘后沒人排隊(duì)？2*20*10=400400-100=300300/20=15100+15*4=160 160/（4*10）=4（1）

9、因?yàn)椴萘?=原有草量 +新長(zhǎng)出的草量，而且草量是均勻增長(zhǎng)的。所以“對(duì)應(yīng)的牛頭數(shù)X吃的較多天數(shù)”就代表了第一次情況下的總草量，即為:吃的較多天數(shù)時(shí)的總草量 =草地原有草量 +草的生長(zhǎng)速度 *較多天數(shù)時(shí)的時(shí)間。 同理“相應(yīng)的牛頭數(shù)X吃的較少天數(shù)”代表了第二次情況下的總草量，即為：吃 的較少天數(shù)時(shí)的總草量 =草地原有草量 +草的生長(zhǎng)速度 *較少天數(shù)時(shí)的時(shí)間。 兩個(gè)一做差， 式子中的“原有草量”就被減掉了， 等號(hào)的左邊就是兩次情況之下 總草量的差，右邊等于草的生長(zhǎng)速度 *兩次情況下的時(shí)間差，所以直接把時(shí)間差 除到左邊去，就得到了草的生長(zhǎng)速度了。（2）牛吃的草的總量包括兩個(gè)方面，一是原來草地上的草，而是

10、新增長(zhǎng)出來的 草。所以“牛頭數(shù)X吃的天數(shù)”表示的就是牛一共吃了多少草，牛在這段時(shí)間把 草吃干凈了， 所以牛一共吃了多少草就也表示草的總量。 當(dāng)然草的總量減去新增 長(zhǎng)出來的草的數(shù)量，就剩下原來草地上面草的數(shù)量了。牛吃草問題概念及公式牛吃草 問題又稱為消長(zhǎng)問題或牛頓牧場(chǎng)，是 17 世紀(jì)英國(guó)偉大的科學(xué)家 牛頓提出來的。典型牛吃草問題的條件是假設(shè)草的生長(zhǎng)速度固定不變，不 同頭數(shù)的牛吃光同一片草地所需的天數(shù)各不相同，求若干頭牛吃這片草地 可以吃多少天。由于吃的天數(shù)不同，草又是天天在生長(zhǎng)的，所以草的存量 隨牛吃的天數(shù)不斷地變化。解決牛吃草問題常用到四個(gè)基本公式，分別是1）設(shè)定一頭牛一天吃草量為“ 1”1）

11、草的生長(zhǎng)速度=（對(duì)應(yīng)的牛頭數(shù)X吃的較多天數(shù)一相應(yīng)的牛頭數(shù)X吃的較少天數(shù)）十（吃的較多天數(shù)一吃的較少天數(shù)）；2） 原有草量=牛頭數(shù)X吃的天數(shù)一草的生長(zhǎng)速度X吃的天數(shù)；'3）吃的天數(shù)=原有草量十（牛頭數(shù)-草的生長(zhǎng)速度）；4）牛頭數(shù)=原有草量十吃的天數(shù)+草的生長(zhǎng)速度。這四個(gè)公式是解決消長(zhǎng)問題的基礎(chǔ)。由于牛在吃草的過程中，草是不斷生長(zhǎng)的，所以解決消長(zhǎng)問題的重點(diǎn)是要想辦法從變化中找到不變量。牧場(chǎng)上原有的草是不變的，新長(zhǎng)的草雖然在變化，但由于是勻速生長(zhǎng)，所以每天新長(zhǎng)出的草量應(yīng)該是不變的。正 是由于這個(gè)不變量，才能夠?qū)С錾厦娴乃膫€(gè)基本公式。牛吃草問題經(jīng)常給出不同頭數(shù)的牛吃同一片次的草，這塊地既有原有

12、的草，又有每天新長(zhǎng)出的草。由于吃草的牛頭數(shù)不同，求若干頭牛吃的這 片地的草可以吃多少天。解題關(guān)鍵是弄清楚已知條件，進(jìn)行對(duì)比分析，從而求出每日新長(zhǎng)草的 數(shù)量，再求出草地里原有草的數(shù)量，進(jìn)而解答題總所求的問題。這類問題的基本數(shù)量關(guān)系是：1. （牛的頭數(shù)X吃草較多的天數(shù)-牛頭數(shù)X吃草較少的天數(shù)）*（吃的較多的天數(shù) -吃的較少的天數(shù) ）=草地每天新長(zhǎng)草的量2.牛的頭數(shù)X吃草天數(shù)-每天新長(zhǎng)量X吃草天數(shù)=草地原有的草。 解多塊草地的方法多塊草地的“牛吃草”問題，一般情況下找多塊草地的最小公倍數(shù)， 這樣可以減少運(yùn)算難度，但如果數(shù)據(jù)較大時(shí)，我們一般把面積統(tǒng)一為“1”相對(duì)簡(jiǎn)單些。“牛吃草”問題分析 華圖公務(wù)員考

13、試研究中心數(shù)量關(guān)系資料分析教研室研究員姚璐【華圖名師姚璐例 1】有一塊牧場(chǎng)，可供 10 頭牛吃 20 天，15 頭牛吃 1 0 天，則它可供 25 頭牛吃多少天？A.3 B.4 C.5 D.6 【華圖名師姚璐答案】 C 【華圖名師姚璐解析】設(shè)該牧場(chǎng)每天長(zhǎng)草量恰可供 X 頭牛吃一天，這 片草場(chǎng)可供25頭牛吃丫天根據(jù)核心公式 代入(200-150)/(20-10)=5 10*20-5*20=100 100/(25-5)=5(天)璐例 2】有一塊牧場(chǎng)，可供 10頭牛吃 20天，15頭牛吃 10天，則它可 供多少頭牛吃 4 天？A.20 B.25 C.30 D.35【華圖名師姚璐答案】 C【華圖名師姚

14、璐解析】設(shè)該牧場(chǎng)每天長(zhǎng)草量恰可供X 頭牛吃一天，根據(jù)核心公式代入(20 X 10 15X 10)=5 10 X 205X 20=100 100-4+5=30(頭) 華圖名師姚璐例 3】如果 22 頭牛吃 33 公畝牧場(chǎng)的草， 54 天后可以 吃盡， 17 頭牛吃 28 公畝牧場(chǎng)的草， 84 天可以吃盡，那么要在 24 天內(nèi)吃盡40 公畝牧場(chǎng)的草，需要多少頭牛？A.50 B.46 C.38 D.35【華圖名師姚璐答案】 D【華圖名師姚璐解析】 設(shè)每公畝牧場(chǎng)每天新長(zhǎng)出來的草可供 X 頭牛吃1 天，每公畝草場(chǎng)原有牧草量為 Y ，24 天內(nèi)吃盡 40 公畝牧場(chǎng)的草，需要 Z 頭牛根據(jù)核心公式：，代入，

15、因此 ，選擇 D【華圖名師姚璐注釋】這里面牧場(chǎng)的面積發(fā)生變化，所以每天長(zhǎng)出的 草量不再是常量。下面我們來看一下上述“牛吃草問題”解題方法，在真題中的應(yīng)用。【華圖名師姚璐例 4】有一個(gè)灌溉用的中轉(zhuǎn)水池，一直開著進(jìn)水管往里 灌水，一段時(shí)間后，用 2 臺(tái)抽水機(jī)排水，則用 40 分鐘能排完；如果用 4 臺(tái) 同樣的抽水機(jī)排水，則用 16 分鐘排完。問如果計(jì)劃用 10 分鐘將水排完， 需要多少臺(tái)抽水機(jī)？【廣東 2006 上】A.5 臺(tái) B.6 臺(tái) C.7 臺(tái) D.8 臺(tái)【華圖名師姚璐答案】 B 【華圖名師姚璐解析】設(shè)每分鐘流入的水量相當(dāng)于 X 臺(tái)抽水機(jī)的排水 量，共需 Y 臺(tái)抽水機(jī)有恒等式：解 ，得 ，代

16、入恒等式【華圖名師姚璐例 5】有一水池，池底有泉水不斷涌出，要想把水池的 水抽干， 10 臺(tái)抽水機(jī)需抽 8 小時(shí)， 8 臺(tái)抽水機(jī)需抽 12 小時(shí)，如果用 6 臺(tái)抽 水機(jī)，那么需抽多少小時(shí)？【北京社招2006】A.16 B.20 C.24 D.28【華圖名師姚璐答案】 C【華圖名師姚璐解析】設(shè)每分鐘流入的水量相當(dāng)于 X 臺(tái)抽水機(jī)的排水 量，共需 Y 小時(shí)有恒等式：解 ，得 ，代入恒等式【華圖名師姚璐例 6】林子里有猴子喜歡吃的野果， 23 只猴子可在 933 只猴子一起吃，則需周內(nèi)吃光， 21 只猴子可在 12 周內(nèi)吃光，問如果有要幾周吃光？（假定野果生長(zhǎng)的速度不變）【浙江2007】A.2 周

17、B.3 周 C.4 周 D.5 周華圖名師姚璐答案】 C華圖名師姚璐解析】設(shè)每天新生長(zhǎng)的野果足夠X只猴子吃，33只猴子共需 Y 周吃完有恒等式：解 ，得 ，代入恒等式【華圖名師姚璐例 7】物美超市的收銀臺(tái)平均每小時(shí)有60 名顧客前來排隊(duì)付款，每一個(gè)收銀臺(tái)每小時(shí)能應(yīng)付 80 名顧客付款。某天某時(shí)刻，超市如果只開設(shè)一個(gè)收銀臺(tái)，付款開始 4 小時(shí)就沒有顧客排隊(duì)了，問如果當(dāng)時(shí) 開設(shè)兩個(gè)收銀臺(tái)，則付款開始幾小時(shí)就沒有顧客排隊(duì)了【浙江2006】A.2 小時(shí) B.1.8 小時(shí) C.1.6 小時(shí) D.0.8 小時(shí) 【華圖名師姚璐答案】 D【華圖名師姚璐解析】設(shè)共需 X 小時(shí)就無人排隊(duì)了。例題：1、旅客在車站候

18、車室等車 , 并且排隊(duì)的乘客按一定速度增加 , 檢查速 度也一定 , 當(dāng)車站放一個(gè)檢票口 ,需用半小時(shí)把所有乘客解決完畢 , 當(dāng)開放 2 個(gè)檢票口時(shí)，只要10分鐘就把所有乘客 0K了求增加人數(shù)的速度還有原來 的人數(shù)設(shè)一個(gè)檢票口一分鐘一個(gè)人1 個(gè)檢票口 30 分鐘 30 個(gè)人2 個(gè)檢票口 10 分鐘 20 個(gè)人(30- 20) - (30-10)=0.5 個(gè)人原有 1X 30 30X 0.5=15 人或 2X 1010X 0.5=15 人2、有三塊草地，面積分別是5，15，24 畝。草地上的草一樣厚，而且長(zhǎng)得一樣快。第一塊草地可供 10 頭牛吃 30 天，第二塊草地可供 28 頭牛吃 45 天，問第三塊地可供多少頭牛吃 80 天？這是一道牛吃草問題，是比較復(fù)雜的牛吃草問題。 把每頭牛每天吃的草看作 1 份。因?yàn)榈谝粔K草地 5畝面積原有草量+ 5畝面積30天長(zhǎng)的草二10X 30= 300 份所以每畝面積原有草量和每畝面積30天長(zhǎng)的草是300十5=60份因?yàn)榈诙K草地 15畝面積原有草量+ 15畝面積 45天長(zhǎng)的草= 28X45= 1260 份所以每畝面積原有草量和每畝面積45天長(zhǎng)的草是1260十15=84份所以