2-21.3.1利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性學(xué)案2

1、精品資源課堂探究探究一利用導(dǎo)數(shù)判斷或證明函數(shù)的單調(diào)性1 .利用函數(shù)單調(diào)性的定義判斷或證明函數(shù)的單調(diào)性時(shí)，過程較為煩瑣，但借助導(dǎo)數(shù)， 只需分析函數(shù)導(dǎo)數(shù)值的正負(fù)即可，因此應(yīng)善于借助導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性.2 .利用導(dǎo)數(shù)判斷或證明函數(shù)的單調(diào)性時(shí)，一般是先確定函數(shù)定義域，再求導(dǎo)數(shù)，然后判斷導(dǎo)數(shù)在給定區(qū)間上的符號(hào)，從而確定函數(shù)的單調(diào)性.如果解析式中含有參數(shù)，應(yīng)進(jìn)行分類討論.【典型例題1】(1)函數(shù)f(x)=2x + 1在下列哪個(gè)區(qū)間上是單調(diào)遞減的()xA. (1,+8)B.j2, 1 ；C.0, 2 ； D. (-3,0)(2)證明函數(shù)f(x)=sin”在g,兀產(chǎn)單調(diào)遞減.思路分析：(1)只需分析哪個(gè)區(qū)間

2、上的導(dǎo)數(shù)值恒小于0即可；(2)要證f(x)在g,兀；上單調(diào)遞減，只需證明 f (x)<0在區(qū)間5,兀"恒成立即可.(1)解析:因?yàn)?f，(x) = 2 所以當(dāng) xC (0, 1 加,x2C 0, 1 ；,卜(4, +8).f' (x) = 2 x2<0,這時(shí)f(x)在"，1 4:單調(diào)遞減，故選 C.答案：C一 一. sin x(2)證明：因?yàn)閒(x) = 丁，x(sin x V x sin x fx xcos x sin x所以 f (x) = A一x25=x2.由于 xC 苴，兀 j,所以 cos x< 0, sin x>0,因此 xcos

3、 x sin x<0,故f' (x)V0,所以f(x)在!2t,兀力單調(diào)遞減.探究二 利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間1 .利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的步驟如下：(1)求函數(shù)f(x)的定義域；(2)求導(dǎo)數(shù)f' (x);(3)在定義域內(nèi)解不等式f (x)>0,得單調(diào)遞增區(qū)間；在定義域內(nèi)解不等式f (x)<0,得單調(diào)遞減區(qū)間.2 .與利用函數(shù)單調(diào)性的定義判斷函數(shù)的單調(diào)性或求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間相比，利用導(dǎo)數(shù)求 函數(shù)的單調(diào)區(qū)間顯得更加簡(jiǎn)單易行，其實(shí)質(zhì)是轉(zhuǎn)化為解不等式問題，但也必須首先考查函數(shù)的定義域，在定義域內(nèi)解不等式.另外，利用導(dǎo)數(shù)往往適合求一些高次函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，其單調(diào)區(qū)間有時(shí)不

4、止一個(gè)，這時(shí)在寫出它們的單調(diào)區(qū)間時(shí)，不能將各個(gè)區(qū)間用并集符號(hào)連接.3 .當(dāng)函數(shù)f(x)的解析式中含有參數(shù)時(shí)，求單調(diào)區(qū)間可能需要對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類討論才能 確定其單調(diào)區(qū)間.【典型例題2】求下列各函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：(1)f(x)= 2x33x2;(2)f(x)= * x1(3)f(x)= cos x+2x, xC(0,m；(4)f(x)= ex+ ax.思路分析：可按照求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的步驟進(jìn)行求解，其中(1)要注意單調(diào)區(qū)間的寫法；(2)要注意導(dǎo)數(shù)的求法；(3)要注意正弦函數(shù)的性質(zhì)；(4)要注意參數(shù)a進(jìn)行討論.解：(1)函數(shù)定義域?yàn)?R,且f' (x) = 6x26x.令 f' (x)&g

5、t;0,即 6x2-6x>0.解得x>1或xv 0;令 f' (x)<0,即 6x2-6x<0,解得 0vxv 1.所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(一8, 0)和(1, +8);單調(diào)遞減區(qū)間是(0,1).1 ln x(2)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0, +8),且，(x)=.1 ln xx令 f' (x)>0,即一x2 > 0,得 0V xv e;1 In x令 f' (x)<0,即2< 0,得 x>e,x所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(0, e),單調(diào)遞減區(qū)間是(e, +8). .1函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0,%且f&#

6、39; (x) = 2sin x.，,一 1令 f (x)>0,即 2 sin x> 0,解得 0vx<6 r< x< 兀；令 f' (x)<0,即 2 sin x< 0,解得 6V x< 55故f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(0, 6口卷,Ttl,單調(diào)遞減區(qū)間是 耳5!.(4)函數(shù)定義域?yàn)?R,且f (x)=ex+a.當(dāng)a>0時(shí)，f' (x) = ex+a>0恒成立，f(x)在R上單調(diào)遞增；當(dāng) a<0 時(shí)，由 f' (x)=ex+a>0,得 ex>- a,所以 x>ln ( - a),由 f

7、' (x) = ex + a< 0,得 ex< a,所以 x< ln( a).所以f(x)在(ln(a), 十°°)上單調(diào)遞增，在(oo, ln( a)上單調(diào)遞減.綜上，當(dāng)a>0時(shí)，f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(一8,+8),無單調(diào)遞減區(qū)間；當(dāng)a<0時(shí)，f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(ln(-a), 十 °°),單調(diào)遞減區(qū)間是(一8, in( a).探究三已知函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍1.已知函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的范圍，這是一種非常重要的題型.在某個(gè)區(qū)間上，f (x)>0(或f' (x)<0), f(x)在

8、這個(gè)區(qū)間上單調(diào)遞增(遞減)；但由f(x)在這個(gè)區(qū)間上單調(diào)遞增(遞減) 而僅僅得到f' (x)>0(或f' (x)v 0)是不夠的，即還有可能f' (x)=0也能使得f(x)在這個(gè)區(qū)間 上單調(diào)，因而對(duì)于能否取到等號(hào)的問題需要單獨(dú)驗(yàn)證.2 .已知函數(shù)f(x)是增函數(shù)(減函數(shù))求函數(shù)解析式中參數(shù)的取值范圍時(shí)，應(yīng)令 f' (x)>0(f' (x)W0)恒成立，解出參數(shù)的取值范圍，然后再檢驗(yàn)參數(shù)的取值能否使f' (x)恒等于零，若能恒等于零，則應(yīng)舍去這個(gè)參數(shù)的值，若 f' (x)不恒等于零，則其符合題意.3 .如果在函數(shù)解析式中不含參數(shù)

9、，而在區(qū)間中含有參數(shù)，則可首先求出f(x)的單調(diào)區(qū)間，然后根據(jù)這一單調(diào)區(qū)間與給定區(qū)間的包含關(guān)系求出參數(shù)范圍.【典型例題3】(1)若函數(shù)f(x)=x+Tt在(0, +8)上單調(diào)遞增，求 a的取值范圍.(2)若函數(shù)f(x)=ax3 + 3x2-x+ 1在R上是減函數(shù)，求a的取值范圍；2x(3)若函數(shù)f(x)=x27在區(qū)間(m，4m 1)上單倜遞增，求頭數(shù) m的取值氾圍.思路分析：對(duì)于(1)(2),可轉(zhuǎn)化為f' (x)>0或f' (x)W0恒成立問題求解，但要注意檢驗(yàn)端點(diǎn)值是否符合要求；對(duì)于(3),可先求f(x)的單增區(qū)間，再令所給區(qū)間是其子集即可.解：(1)由于f (X)=

10、-a?,所以一a2>0在(0, + oo)上恒成立.XXa即JW0恒成立. X又因?yàn)楫?dāng)xC(0, + 8)時(shí)，x2>0,所以a< 0.但當(dāng)a=0時(shí)，f(x)=兀是常數(shù)函數(shù)，不符合題意.故a的取值范圍是(一8 , 0).(2)f' (x) = 3ax2+ 6x 1,依題意知 3ax2+ 6x K0 在 R 上恒成立.顯然當(dāng)a=0時(shí)不滿足題意.a<0,因此1解得aw 3.A= 36+ 12a< 0,3 83R3尸9,而當(dāng)a=- 3時(shí),f(x) = 3x3 + 3x2 x+ 1 =由函數(shù)y=x3在R上的單調(diào)性，可知當(dāng)a=3時(shí)，f(x)(xCR)是減函數(shù);故實(shí)數(shù)a

11、的取值范圍是(8, - 3.2(1 x2)(3)函數(shù)定義域?yàn)?R,且f' (x)=( 2十#令 f' (x)>0,得1vxv 1,即f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(-1,1),因此有4 4m- 1< 1,解得1 vmw1.32.4m 1>m,故m的取值范圍是百點(diǎn)評(píng) 本例(3)中要特別注意不能遺漏條件4m 1 > m.探究四函數(shù)圖象與其導(dǎo)函數(shù)圖象之間的關(guān)系在研究函數(shù)圖象與其導(dǎo)函數(shù)圖象之間的關(guān)系時(shí)，要抓住各自的關(guān)鍵要素，對(duì)于原函數(shù)，重點(diǎn)分析其在哪個(gè)區(qū)間上單調(diào)遞增，哪個(gè)區(qū)間上單調(diào)遞減，而對(duì)于其導(dǎo)函數(shù)的圖象，則應(yīng)確定哪個(gè)區(qū)間上其函數(shù)值大于零，哪個(gè)區(qū)間上函數(shù)值小于零，從

12、而得出原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.【典型例題4】已知函數(shù)y=f(x),其導(dǎo)函數(shù)y=f' (x)的圖象如圖，則對(duì)原函數(shù)y=f(x), 下列說法正確的是()A. f(x)在(一,1)上單調(diào)遞減B. f(x)在(1,3)上單調(diào)遞增C. f(x)在(0,2)上單調(diào)遞減D. f(x)在(3,4)上單調(diào)遞減解析：由f' (x)的圖象可知，當(dāng)xC(0,2)時(shí)，f1 (x)<0,故f(x)在(0,2)上單調(diào)遞減，其余 說法均不正確.答案：C探究五利用導(dǎo)數(shù)證明不等式1 .利用導(dǎo)數(shù)證明不等式，是不等式證明的一種重要方法，其關(guān)鍵是構(gòu)造函數(shù).2 .要證不等式f(x)>g(x),可構(gòu)造函數(shù)(j)(x)

13、= f(x)- g(x),只需證明 &x)在其定義域上滿 足©x)>0即可，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，借助于導(dǎo)數(shù)求解.【典型例題5已知x> 1,求證：x>ln(1+x).分析：構(gòu)造函數(shù)f(x)= x- ln(1 + x),只要證明在 xC (1, + 8)上，f(x)>0恒成立即可.證明：設(shè) f(x)= xln(1 + x)(x> 1).1 x (x)=1 下 =第(x> 1), 當(dāng) x> 1 時(shí)，f，(x)>0, ,f(x)在1 , +8)上是增函數(shù).又 f(1) = 1ln 2>1 In e = 0,即 f(1)>0, 當(dāng)x> 1 時(shí)，f(x)>0,故當(dāng) x>1 時(shí)，x>ln(1 +x).探究六易錯(cuò)辨析易錯(cuò)點(diǎn)：忽視函數(shù)的定義域而出錯(cuò)【典型例題6】 求函數(shù)f(x)=2x2ln x的單調(diào)減區(qū)間.1 4x2 14x2 11