5.1.1一元一次方程的認(rèn)識及解法.講義教師版

1、一元一次方程的認(rèn)識及解法中考要求黑體小四板塊考試要求a級要求b級要求c級要求方程知道方程是刻畫數(shù)量關(guān)系的一個有效的數(shù)學(xué)模型能夠根據(jù)具體問題中的數(shù)量關(guān)系，列出方程能運(yùn)用方程解決有關(guān)問題方程的解了解方程的解的概念會用觀察、畫圖等手段估計(jì)方程的解一元一次方程了解一元一次方程的有關(guān)概念會根據(jù)具體問題列出一元一次方程能運(yùn)用整式的加減運(yùn)算對多項(xiàng)式進(jìn)行變形，進(jìn)一步解決有關(guān)問題一元一次方程的解法理解一元一次方程解法中的各個步驟能熟練掌握一元一次方程的解法；會求含有字母系數(shù)（無需討論）的一元一次方程的解會運(yùn)用一元一次方程解決簡單的實(shí)際問題黑體小四知識點(diǎn)睛黑體小四一、等式的概念和性質(zhì)黑體小四1等式的概念楷體五號用

2、等號“”來表示相等關(guān)系的式子，叫做等式在等式中，等號左、右兩邊的式子，分別叫做這個等式的左邊、右邊等式可以是數(shù)字算式，可以是公式、方程，也可以是用式子表示的運(yùn)算律、運(yùn)算法則楷體五號2等式的類型楷體五號（1）恒等式：無論用什么數(shù)值代替等式中的字母，等式總能成立如：數(shù)字算式（2）條件等式：只能用某些數(shù)值代替等式中的字母，等式才能成立方程需要才成立（3）矛盾等式：無論用什么數(shù)值代替等式中的字母，等式都不能成立如，注意：等式由代數(shù)式構(gòu)成，但不是代數(shù)式代數(shù)式?jīng)]有等號楷體五號3等式的性質(zhì)楷體五號等式的性質(zhì)1：等式兩邊都加上（或減去）同一個數(shù)或同一個整式，所得結(jié)果仍是等式若，則；等式的性質(zhì)2：等式兩邊都乘以

3、（或除以）同一個數(shù)（除數(shù)不能是0）或同一個整式，所得結(jié)果仍是等式若，則，注意：（1）在對等式變形過程中，等式兩邊必須同時進(jìn)行即：同時加或同時減，同時乘以或同時除以，不能漏掉某一邊（2）等式變形過程中，兩邊同加或同減，同乘或同除以的數(shù)或整式必須相同（3）在等式變形中，以下兩個性質(zhì)也經(jīng)常用到：等式具有對稱性，即：如果，那么等式具有傳遞性，即：如果，那么黑體小四二、方程的相關(guān)概念黑體小四1方程楷體五號含有未知數(shù)的等式叫作方程注意：定義中含有兩層含義，即：方程必定是等式，即是用等號連接而成的式子；方程中必定有一個待確定的數(shù)即未知的字母二者缺一不可楷體五號2方程的次和元楷體五號方程中未知數(shù)的最高次數(shù)稱為

4、方程的次，方程中不同未知數(shù)的個數(shù)稱為元楷體五號3方程的已知數(shù)和未知數(shù)楷體五號已知數(shù)：一般是具體的數(shù)值，如中（的系數(shù)是1，是已知數(shù)但可以不說）5和0是已知數(shù)，如果方程中的已知數(shù)需要用字母表示的話，習(xí)慣上有、等表示未知數(shù)：是指要求的數(shù)，未知數(shù)通常用、等字母表示如：關(guān)于、的方程中，、是已知數(shù)，、是未知數(shù)楷體五號4方程的解楷體五號使方程左、右兩邊相等的未知數(shù)的值，叫做方程的解楷體五號5解方程楷體五號求得方程的解的過程注意：解方程與方程的解是兩個不同的概念，后者是求得的結(jié)果，前者是求出這個結(jié)果的過程楷體五號6方程解的檢驗(yàn)楷體五號要驗(yàn)證某個數(shù)是不是一個方程的解，只需將這個數(shù)分別代入方程的左邊和右邊，如果左

5、、右兩邊數(shù)值相等，那么這個數(shù)就是方程的解，否則就不是黑體小四三、一元一次方程的定義黑體小四1一元一次方程的概念楷體五號只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是1，系數(shù)不等于0的方程叫做一元一次方程，這里的“元”是指未知數(shù)，“次”是指含未知數(shù)的項(xiàng)的最高次數(shù)楷體五號2一元一次方程的形式楷體五號標(biāo)準(zhǔn)形式：（其中，是已知數(shù)）的形式叫一元一次方程的標(biāo)準(zhǔn)形式最簡形式：方程（，為已知數(shù)）叫一元一次方程的最簡形式注意：（1）任何一元一次方程都可以轉(zhuǎn)化為最簡形式或標(biāo)準(zhǔn)形式，所以判斷一個方程是不是一元一次方程，可以通過變形為最簡形式或標(biāo)準(zhǔn)形式來驗(yàn)證如方程是一元一次方程如果不變形，直接判斷就出會現(xiàn)錯誤（2）方程與方

6、程是不同的，方程的解需要分類討論完成黑體小四四、一元一次方程的解法黑體小四1解一元一次方程的一般步驟楷體五號（1）去分母：在方程的兩邊都乘以各分母的最小公倍數(shù)注意：不要漏乘不含分母的項(xiàng)，分子是個整體，含有多項(xiàng)式時應(yīng)加上括號（2）去括號：一般地，先去小括號，再去中括號，最后去大括號注意：不要漏乘括號里的項(xiàng)，不要弄錯符號（3）移項(xiàng)：把含有未知數(shù)的項(xiàng)都移到方程的一邊，不含未知數(shù)的項(xiàng)移到方程的另一邊注意：移項(xiàng)要變號；不要丟項(xiàng)（4）合并同類項(xiàng)：把方程化成的形式注意：字母和其指數(shù)不變（5）系數(shù)化為1：在方程的兩邊都除以未知數(shù)的系數(shù)（），得到方程的解注意：不要把分子、分母搞顛倒楷體五號2解一元一次方程常用的

7、方法技巧楷體五號解一元一次方程常用的方法技巧有：整體思想、換元法、裂項(xiàng)、拆添項(xiàng)以及運(yùn)用分式的恒等變形等黑體小四例題精講黑體小四一、等式的概念和性質(zhì)黑體小四【例01】 判斷題（1）是代數(shù)式（2）是等式（3）等式兩邊都除以同一個數(shù)，等式仍然成立（4）若，則【考點(diǎn)】等式的概念和性質(zhì)【難度】1星【題型】判斷【關(guān)鍵詞】【解析】略【答案】（1）；（2）；（3）×；（4）【例02】 下列說法不正確的是（ ）a等式兩邊都加上一個數(shù)或一個等式，所得結(jié)果仍是等式b等式兩邊都乘以一個數(shù)，所得結(jié)果仍是等式c等式兩邊都除以一個數(shù)，所得結(jié)果仍是等式d一個等式的左、右兩邊與另一個等式的左、右兩邊分別相加，所得結(jié)果

8、仍是等式【考點(diǎn)】等式的概念和性質(zhì)【難度】1星【題型】選擇【關(guān)鍵詞】【解析】略【答案】c【鞏固】 回答下列問題，并說明理由（1）由能不能得到？（2）由能不能得到？（3）由能不能得到？（4）由能不能得到？【考點(diǎn)】等式的概念和性質(zhì)【難度】1星【題型】判斷【關(guān)鍵詞】【解析】緊扣等式變形的兩個性質(zhì)是解題的關(guān)鍵（1）由不能得到理由：根據(jù)等式性質(zhì)1，等式兩邊都減去3應(yīng)得，根據(jù)等式性質(zhì)2，等式兩邊都除以2，得，而，（2）由不能得到理由：根據(jù)等式性質(zhì)2，等式兩邊都除以整式b時，b應(yīng)不等于0，但題中b的取值情況未作說明，因此由，當(dāng)時，才有（3）由得理由：這個等式中隱含了，這個條件，根據(jù)性質(zhì)2，等式兩邊都除以一個不

9、等于0的整式，應(yīng)得（4）由不能得到理由：因?yàn)椴皇钦?，等式性質(zhì)1要求在等式兩邊都加上或減去同一個整式，所以由得到是錯誤的并且使失去意義【答案】（1）不能；（2）不能；（3）能；（4）不能【鞏固】 下列結(jié)論中正確的是（ ）a在等式的兩邊都除以3，可得等式b如果，那么c在等式的兩邊都除以，可得等式d在等式的兩邊都減去，可得等式【考點(diǎn)】等式的概念和性質(zhì)【難度】1星【題型】選擇【關(guān)鍵詞】2005年，北京四中，初一上學(xué)期期中考試題【解析】略【答案】b【例03】 根據(jù)等式的性質(zhì)填空（1），則 ；（2），則 ；（3），則 ；（4），則 【考點(diǎn)】等式的概念和性質(zhì)【難度】1星【題型】填空【關(guān)鍵詞】【解析】（1）

10、，在等式兩端同時加上；（2），在等式兩端同時加上；（3），在等式的兩端同時乘以；（4），在等式的兩端同時乘以【答案】（1）4；（2）5；（3）；（4）【鞏固】 用適當(dāng)數(shù)或等式填空，使所得結(jié)果仍是等式，并說明根據(jù)的是哪一條等式性質(zhì)及怎樣變形的（1）如果，那么 ；（2）如果，那么 ；（3）如果，那么 ；（4）如果，那么 【考點(diǎn)】等式的概念和性質(zhì)【難度】1星【題型】填空【關(guān)鍵詞】【解析】（1），根據(jù)等式性質(zhì)1，在等式兩邊都減去3；（2），根據(jù)等式性質(zhì)1，在等式兩邊都加上；（3），根據(jù)等式性質(zhì)1，在等式兩邊都加上；（4）8，根據(jù)等式性質(zhì)2，在等式兩邊都除以3【答案】（1）；（2）；（3）；（4）8黑體

11、小四二、方程的相關(guān)概念黑體小四【例04】 下列各式中，哪些是等式？哪些是代數(shù)式，哪些是方程？；【考點(diǎn)】方程的相關(guān)概念【難度】1星【題型】判斷【關(guān)鍵詞】【解析】等式是用“=”號表示相等關(guān)系的式子；代數(shù)式是不含有表示相等或不等關(guān)系符號的式子；方程是含有未知數(shù)的等式嚴(yán)格按照對概念的理解及可把上面的式子進(jìn)行區(qū)分【答案】等式有；代數(shù)式有；方程有【例05】 判斷題（1）所有的方程一定是等式（ ）（2）所有的等式一定是方程（ ）（3）是方程（ ）（4）不是方程（ ）（5）不是等式，因?yàn)榕c不是相等關(guān)系（ ）（6）是等式，也是方程（ ）（7）“某數(shù)的3倍與6的差”的含義是，它是一個代數(shù)式，而不是方程（ ）【考點(diǎn)

12、】方程的相關(guān)概念【難度】1星【題型】判斷【關(guān)鍵詞】【解析】這是一組概念的辨析題，涉及了“代數(shù)式”，“等式”，“方程”等概念，要辨別這類題目，就要弄清楚上述概念的含義再詳細(xì)作答【答案】（1）；（2）×；（3）×；（4）；（5）×；（6）×；（7）【鞏固】 判斷下列各式是不是方程，如果是，指出已知數(shù)和未知數(shù)；如果不是，說明理由（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）【考點(diǎn)】方程的相關(guān)概念【難度】1星【題型】選擇【關(guān)鍵詞】【解析】判斷一個式子是不是方程，一要看是否為等式，二要看是否含未知數(shù)【答案】（1）是方程未知數(shù)是，已知數(shù)是3、；（2）是方程未知數(shù)是，

13、已知數(shù)是2、3；（3）不是方程因?yàn)椴缓忍枴?”；（4）不是方程因?yàn)椴缓粗獢?shù)；（5）是方程未知數(shù)是，已知數(shù)是4、；（6）是方程未知數(shù)是x、y，已知數(shù)是、1注意：常數(shù)項(xiàng)、未知數(shù)的系數(shù)均為已知數(shù)，未知數(shù)的系數(shù)為1時，可以省略不說，但未知數(shù)系數(shù)為時，一定要指明，如（5）【例06】 下列說法不正確的是（ ）a解方程指的是求方程解的過程b解方程指的是方程變形的過程c解方程指的是求方程中未知數(shù)的值，使方程兩邊相等的過程d解方程指的是使方程中未知數(shù)變成已知數(shù)的過程【例07】 檢驗(yàn)括號里的數(shù)是不是方程的解：（，）【鞏固】 在、中， 是方程的解黑體小四三、一元一次方程的定義黑體小四【例08】 下列各式中：；哪

14、些是一元一次方程？【考點(diǎn)】一元一次方程的定義【難度】1星【題型】判斷【關(guān)鍵詞】【解析】、是一元一次方程；不是等式，更不是方程；不含未知數(shù)；化簡后的系數(shù)為0；在分母上出現(xiàn)，也不是一元一次方程；未知數(shù)的最高次數(shù)是2，不是一次；是；是方程，但不是一元一次方程；是【答案】、【鞏固】 下列方程是一元一次方程的是（ ）（多選）abcdef【例09】 若是關(guān)于的一元一次方程，求【考點(diǎn)】一元一次方程的定義【鞏固】 已知是關(guān)于的一元一次方程，求的值【鞏固】 若是關(guān)于的一元一次方程，求【例10】 若關(guān)于的方程是一元一次方程，則方程的解= 【鞏固】 求關(guān)于的一元一次方程的解【例11】 解方程：【鞏固】 解方程：【鞏固】 解方程：【例12】 解方程：【鞏固】 解方程：【鞏固】 解方程：【鞏固】 解方程：楷體五號【例13】 解方程：【考點(diǎn)】一元一次方程的解法【難度】3星【題型】解答【關(guān)鍵詞】【解析】先將方程左邊分子的系數(shù)化為整數(shù)，得：，【答案】5黑體小四家庭作業(yè)黑體