【精?！?020年上海市松江區(qū)高考一模數(shù)學(xué)

1、2020年上海市松江區(qū)高考一模數(shù)學(xué)一.填空題(本大題滿分56分)本大題共有12題，考生必須在答題紙相應(yīng)編號的空格內(nèi)直接 填寫結(jié)果，第16題每個空格填對得 4分，第712題每個空格填對得5分，否則一律得零分.1 .設(shè)集合 M=x|x 2=x , N=x|lgx < 0,則 MA N=.解析：,集合 M=x|x 2=x=0 , 1, N=x|lgx < 0x|0 <x< 1, .Mn N=1.答案：1.2 .已知 a, bC R, i 是虛數(shù)單位.若 a+i=2-bi ,貝U (a+bi) 2=.解析：由已知等式結(jié)合復(fù)數(shù)相等的條件求得a, b的值，則復(fù)數(shù)a+bi可求，然后利

2、用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法運算得答案.答案：3-4i.3 .已知函數(shù)f(x)=a x-1的圖象經(jīng)過(1 , 1)點，則f-1(3)=.解析：根據(jù)反函數(shù)的與原函數(shù)的關(guān)系，原函數(shù)的定義域是反函數(shù)的值域可得答案答案：2.4 .不等式x|x-1| >0的解集為 . 解析：: x|x-1| >0,.x>0, |x-1| >0, 故 x-1 > 0 或 x-1 < 0, 解得：x>1 或 0v xv 1 , 故不等式的解集是(0 , 1) U (1 , +8), 答案:(0 , 1) U (1 , +8).5 .已知向量a =(sinx , cosx) , b =(si

3、nx , sinx),則函數(shù)f(x)= a , b的最小正周期為 .解析：由平面向量的坐標(biāo)運算可得f(x),再由輔助角公式化積，利用周期公式求得周期.答案：冗.6 .里約奧運會游泳小組賽采用抽簽方法決定運動員比賽的泳道.在由2名中國運動員和6名外國運動員組成的小組中，2名中國運動員恰好抽在相鄰泳道的概率為 .解析：先求出基本事件總數(shù)n=A8再求出2名中國運動員恰好抽在相鄰泳道的概率為m=.2.7 A2A7,由此能求出2名中國運動員恰好抽在相鄰泳道的概率.答案：工.47 .按如圖所示的程序框圖運算：若輸入x=17,則輸出的x值是應(yīng)夏夕輸入94|上<-0 干口如44卜)無81+結(jié)束)解析：模

4、擬程序的運行，可得x=17, k=0執(zhí)行循環(huán)體，x=35 , k=1不滿足條件x> 115,執(zhí)行循環(huán)體，x=71, k=2不滿足條件x> 115,執(zhí)行循環(huán)體，x=143, k=3滿足條件x>115,退出循環(huán)，輸出x的值為143.答案：143.n23nHo18 .設(shè)(1+x) =ao+ax+a2x+a3x + +anx ,右,貝U n=.解析：利用二項式定理展開可得：(1+x) 。=1 +瘵x ；x2 ?n3x3+=ao+a1x+a2x2+a3x3+anx”,比較系數(shù)即可得出.答案：11.9 .已知圓錐底面半徑與球的半徑都是1cm,如果圓錐的體積與球的體積恰好也相等，那么這個圓

5、錐的側(cè)面積是 cM.解析：由已知求出圓錐的母線長，代入圓錐的側(cè)面積公式，可得答案答案：.17兀.10.設(shè)P(x, y)是曲線 C:y=1上的點,F-4 , 0) , F2(4 , 0),則 |PF1|+|PF 2| 的最大值=.解析：先將曲線方程化簡，再根據(jù)圖形的對稱性可知|PF1|+|PF 2|的最大值為10.答案：10.11 .已知函數(shù)f(x)= x 4x 31 x 3 ,若F(x)=f(x)-kx在其定義域內(nèi)有3個零點,2x 8, x> 3則實數(shù)kC.解析：問題轉(zhuǎn)化為f(x)和y=kx有3個交點，畫出函數(shù) f(x)和y=kx的圖象，求出臨界值，從而求出k的范圍即可.答案：(0, 7

6、).12 .已知數(shù)列an滿足a1=1, a2=3,若|a n+1-an|=2 n(n C N),且a2n-1是遞增數(shù)列、a2n是遞減數(shù)列，則lim an na2n解析：依題意，可求得 a3-a2=2： a4-a 3=-23,，a2n-a 2n-i =-22n-1 ,累力口求和，可得 a2n=13 - 22n33a2n-i=a2n+22n-1 =13 2加；從而可求得 lim a2n 1 的值.36na2n答案：-.2二、選擇題（本大題滿分20分）本大題共有4題，每題有且只有一個正確答案，考生必須在 答題紙相應(yīng)編號上，將代表答案的小方格涂黑，選對得5分，否則一律得零分.13 .已知 a, bC

7、R,貝U " ab>0 "是"->2” 的（）a bA.充分非必要條件B.必要非充分條件C.充要條件D.既非充分也非必要條件解析：根據(jù)充分必要條件的定義判斷即可.答案：B.14.如圖，在棱長為1的正方體 ABCD-ABQD中，點P在截面AiDB上，則線段 AP的最小值 等于（）C.3D.解析：由已知可得AG，平面ADB可得P為AC與截面ADB的垂足時線段 AP最小，然后利 用等積法求解.答案：C.15.若矩陣a11a12滿足：an, a12, a21, a22C 0 , 1,aiia12=0,則這樣的互不相a2ia22等的矩陣共有(A.2個B.6個C.

8、8個D.10 個解析：根據(jù)題意, 得出結(jié)論.答案：D.分類討論，考慮全為0;全為1;三個0, 一個1 ；兩個0,兩個1 ,即可-X ,由f(x)在xCR是減函數(shù)，及2arcsinx 2+arcsinx+x 6+x3 > 0 的解集為16.解不等式(1) x-x+1>0時，可構(gòu)造函數(shù)f(x)=( 1 ) f(x) >f(1),可得XVI.用類似的方法可求得不等式 ()A.(0 , 1B.(-1 ,1)C.(-1 ,1D.(-1 , 0)解析：由題意，構(gòu)造函數(shù) g(x)=arcsinx+x 3,在xC-1 , 1上是增函數(shù)，且是奇函數(shù), 不等式 arcsinx 2+arcsinx

9、+x 6+x3>0可化為 g(x2) >g(-x),-1 & -x <x2< 1,.0<x< 1.答案：A.三.解答題(本大題滿分74分)本大題共有5題，解答下列各題必須在答題紙相應(yīng)編號的規(guī)定 區(qū)域內(nèi)寫出必要的步驟.17.如圖，在正四棱錐 P-ABCD中，PA=AB=a E是棱PC的中點.(1)求證：PC, BB(2)求直線BE與PA所成角的余弦值.解析：(1)推導(dǎo)出 PBC PDC都是等邊三角形，從而 BEX PC DEI PC由此能證明 PCX BD.(2)連接AC,交BD于點O,連OE則AP/ OE / BOE即為BE與PA所成的角，由此能求出

10、 直線BE與PA所成角的余弦值.答案：(1)二.四邊形ABCM正方形，且 PA=AB=a .PBG PDCS是等邊三角形， .E是棱PC的中點， BEX PC, DEI PC,又 BEADE=E PC，平面 BDE又BD平面BDE PCX BD(2)連接AC交BD于點O,連OE.四邊形ABC陰正方形，O是AC的中點 又E是PC的中點 .OE為 ACP的中位線，AP/ OE / BEO即為BE與PA所成的角在 Rt BOE中，BE= a, EO=1 PA=1 a, 222OE 、, 3 . cos / BEO=. 直線BE與PA所成角的余弦值為 I.3為實數(shù)).,一 a 2x 118.已知函數(shù)

11、F(x)= , (a2x 1根據(jù)a的不同取值，討論函數(shù) y=f(x)的奇偶性，并說明理由；(2)若對任意的x>1,都有1Wf(x) W3,求a的取值范圍.解析：(1)根據(jù)題意，先求出函數(shù)的定義域，易得其定義域關(guān)于原點對稱，求出F(-x)的解析式，進(jìn)而分2種情況討論：若 y=f(x)是偶函數(shù)，若y=f(x)是奇函數(shù)，分別求出每種 情況下a的值，綜合即可得答案；(2)根據(jù)題意，由f(x)的范圍，分2種情況進(jìn)行討論：f(x) > 1以及f(x) <3,分析求出每種情況下函數(shù)的恒成立的條件，可得a的值，進(jìn)而綜合2種情況，可得答案. a 2x 1答案：(1)函數(shù)F(x)= 定義域為R,

12、2x 1且 F(-x)=a 2 x 1 = a 2x2 x 11 2x若y=f(x)是偶函數(shù)，則對任意的x者B有f(x)=f(-x)2x2",即 2x(a+1)=a+1 ,解可得a=-1 ;若y=f(x)是奇函數(shù)，則對任意的x都有f(x)=-f(-x),a 2x 1_2x 1a 2x1 2x即 2 (a1)=1a解可得a=1;故當(dāng)a=-1時，y=f(x)是偶函數(shù)，當(dāng)a=1時，y=f(x)是奇函數(shù)，當(dāng)aw± 1時，y=f(x)既非偶函數(shù)也非奇函數(shù)，,一一 xx 一 2(2)由 f(x) > 1 可得：2 +1 w a 2 -1 ,即 一 <a-12x2當(dāng)x>

13、1時，函數(shù)y產(chǎn)上單調(diào)遞減，其最大值為1,2x則必有a>2,同理，由 f(x) & 3 可得：a - 2x-1 & 3 - 2x+3,即 a-3 < ,2x當(dāng)x>1時，y2=A單調(diào)遞減，且無限趨近于0,2x故 a<3,綜合可得：2WaW3.19.上海市松江區(qū)天馬山上的“護(hù)珠塔”因其傾斜度超過意大利的比薩斜塔而號稱“世界第一斜塔”.興趣小組同學(xué)實施如下方案來測量塔的傾斜度和塔高：如圖，記。點為塔基、P點為塔尖、點P在地面上的射影為點 H.在塔身OP射影所在直線上選點 A,使仰角k/HAP=45 , 過。點與OA成120°的地面上選 B點，使仰角/

14、HPB=45 (點A、B、。都在同一水平面上)， 此時測得/ OAB=27 , A與B之間距離為33.6米.試求：F 塔高(即線段PH的長，精確到0.1米)；(2)塔身的傾斜度(即PO與PH的夾角，精確到 0.1 ° ).解析：(1)由題意可知： PAH PBH勻為等腰直角三角形， AH=BH=x / HAB=27 ,AB=33.6,即可求得x=ABcos HAB(2) / OBH=180 -120 ° -2OHBHsin OBH2.28=6.8918.86sin BOH16.8 doon=18.86 ;cos27X27° =6° , BH=18.86,

15、由正弦定理可知：-,OH=18.86sin 6 =2.28 ,則傾斜角/ OPH=arctan OH =arctansin120PH答案：(1)設(shè)塔高PH=x，由題意知，/ HAP=45 , / HBP=45 ,.PAH PBH均為等腰直角三角形，AH=BH=x£在AHB中，AH=BH=x / HAB=27 , AB=33.6,AB16.8 -18 86=18.86cos HAB(2)在 BOH43, /cos27BOH=120 , ，/OBH=180 -120 ° -2X27° =6° , BH=18.9,BHsin OBH sin BOH18.86

16、sin 6得 OH=2.28 ,A28-6.9。，18.866.9 ° .sin120/ OPH=arctan OH =arctan PH塔高18.9米，塔的傾斜度為x y20.已知雙曲線C: 工2=1經(jīng)過點(2, 3),兩條漸近線的夾角為 60。，直線l交雙曲線a b于A、B兩點.(1)求雙曲線C的方程；(2)若l過原點，P為雙曲線上異于 A, B的一點，且直線 PA PB的斜率kPA, kPB均存在，求證：kPA, kPB為定值；若l過雙曲線的右焦點 Fi,是否存在x軸上的點M(m 0),使得直線l繞點Fi無論怎樣uuu uuur轉(zhuǎn)動，都有MA MB =0成立？若存在，求出 M的

17、坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.2 X解析：(1)利用雙曲線C:今 a2y2=1經(jīng)過點(2 , 3),兩條漸近線的夾角為60° ,建立方程,b即可求雙曲線C的方程；(2)設(shè)M(X0, y0),由雙曲線的對稱性，可得 N的坐標(biāo)，設(shè) P(x, y),結(jié)合題意，又由 M P 在雙曲線上，可得 yo2=3x02-3, y2=3x2-3 ,將其坐標(biāo)代入kpM-kpN中，計算可得答案.先假設(shè)存在定點 M,使MAL MB恒成立，設(shè)出M點坐標(biāo)，根據(jù)數(shù)量級為 0,求得結(jié)論.£ 3 12 .21_答案：(1)解：由題意得a b 解得a=1, b=J3b 3 a2雙曲線C的方程為x2 上=1；3(2

18、)證明：設(shè)A(X0, y0),由雙曲線的對稱性，可得 B(-x 0, -y 0).設(shè) P(x , y),22貝U kpA , kpB= 2,x xy02=3x02-3 , y2=3x2-3 ,22，kPA- kPB=y-y-=3x x解：由(1)得點F1為(2 , 0)當(dāng)直線l的斜率存在時，設(shè)直線方程 y=k(x-2) , A(x1, yj, B(x2, v2將方程y=k(x-2)與雙曲線方程聯(lián)立消去 y得：(k2-3)x 2-4k2x+4k2+3=0,4k24k2 3- x1+x2= - , xix2= -2k 3k3uur uuurMA MB假設(shè)雙曲線 C上存在定點 M,使MAL MB值成

19、立，設(shè)為 Mg n)則=(x1-m)(x 2-m)+k(x 1-2)-nk(x2-2)-n=(k2+1)x 1x2-(2k 2+kn+m)(x 1+x2)+m2+4k2+4kn+n2=22_2._22.二0,m n 4m 5 k 12nk 3 m n 1k2 3故得：(m2+n2-4m-5)k 2-12nk-3(m 2+n2-1)=0 對任意的 k2>3 恒成立， 22m n 4m 5 01- 12n 0,解得 m=-1, n=022m n 1 0，當(dāng)點M為(-1 , 0)時，MAL MB恒成立；當(dāng)直線l的斜率不存在時，由 A(2, 3), B(2, -3)知點M(-1 , 0)使得MA

20、L MB也成立.又因為點(-1 , 0)是雙曲線C的左頂點，所以雙曲線C上存在定點 M(-1 , 0),使MU MB值成立.21.如果一個數(shù)列從第 2項起，每一項與它前一項的差都大于2,則稱這個數(shù)列為“ H型數(shù)列”. 一 11 一, 一(1)右數(shù)列an為H型數(shù)列，且a1=-3, a2=, as=4,求頭數(shù)m的取值氾圍；m m(2)是否存在首項為1的等差數(shù)列an為"H型數(shù)列"，且其前n項和Sn滿足Sv n2+n(n £ N*) ?若存在，請求出an的通項公式；若不存在，請說明理由. 已知等比數(shù)列an的每一項均為正整數(shù)，且an為“H型數(shù)列"，bn=2an,C

21、n=n 5 ,3 n 1 2當(dāng)數(shù)列bn不是“ H型數(shù)列”時，試判斷數(shù)列Cn是否為“ H型數(shù)列”，并說明理由.112m 1解析：(1)由題意得，a2-a1=3>2, a3-a 2=4- - >2, IP 2- -L = _- >0,解得 m范圍即可得出.(2)假設(shè)存在等差數(shù)列an為“H型數(shù)列”，設(shè)公差為d,則d>2,由a=1,可得：2+n n 12d,由題意可得：n+n-n d< n2+n對n C N*都成立，即d v En_都成立.解出即可判斷出2n 1結(jié)論.(3)設(shè)等比數(shù)列an的公比為q,則an=a1qn-1 ,且每一項均為正整數(shù)，且an+1-an=an(q-1

22、) >2>0,可得 an+1-a n=an(q-1) >an-a n-1,即在數(shù)列an-a n-1 (n。2)中,“a2-a1” 為最小項.同理在數(shù) 列bn-bn-1(n R2)中，“b2-b 1”為最小項.由an為“H型數(shù)列”，可知只需a2-a2,即a1(q-1) >2,又因為bn不是“ H型數(shù)列”，且“ b2-b1”為最小項，可得b2-b1<2,即a1(q-1) < 3,由數(shù)列an的每一項均為正整數(shù)，可得 a 1(q-1)=3 , a1=1, q=4或a二3, q=2,通過分類討論 即可判斷出結(jié)論.1_1 2m 1-1 八答案：(1)由題息得，a2-a

23、1=3>2, a3-a 2=4>2,即 2= >0,解得 m> 或 m<0.1，實數(shù)m的取值范圍時(-8, 0) U ( - , +oo).(2)假設(shè)存在等差數(shù)列an為“H型數(shù)列”，設(shè)公差為d,則d>2,由a1,可得：Sn=n+n n 12d,由題意可得：n+n-n d< n2+n對nC N(都成立，即dv 2n者B成立.= 2n =2+ 22n 1n 1 n 1>2,且lim 包 =2,dW2,與d>2矛盾，因此不存在等差數(shù)列an為“H型數(shù)列”.n n 1(3)設(shè)等比數(shù)列an的公比為q,則an=a1qn-1 ,且每一項均為正整數(shù)，且an+

24、1-an=an(q-1) >2>0,1. a1>0, q>1.an+1-a n=an(q-1) > an-a n-1,即在數(shù)列a n-a n-1 (n 丁 2)中,“%-a為最小項.同理在數(shù)列b n-b n-1 (n >2)中，“b2-bi”為最小項.由an為“H型數(shù)列”，可知只需a2-a2,即a i(q-1) >2,又因為bn不是“H型數(shù)列”<3,由數(shù)列an的每一項均為正整數(shù)，可得n-14n 1當(dāng) ai=1, q=4 時,an=4 ,貝U Cn=-n 1 2n,且 “b2-bJ 為最小項，b2-b1<2,即 a1(q-1)a 1(q-1)

25、=3 , a1=1, q=4 或 a1=3, q=2,2n 3 人一 * 2n 42n 3，令 dn=Cn+1-C n(n £ N)，貝U dn= n 1n 2 n 1n+3n*n+4n 1n+3n=2' , v en=dn+1-d n(n C N),貝U en =2-2,2n 3n 1 n 2n 2 n 3 n 1 n 2>0, .d n為遞增數(shù)列,即 d n>dn-1 > dn-2>>d ,即 C n+1-C n > Cn-C n-1 > Cn-1 -C n-2 > > C2-C 1 ,. C2-C1= 32-8= 8

26、 >2,所以，對任意的 nC N*都有 Cn+1-Cn>2,n-1即數(shù)列Cn為 H型數(shù)列 .當(dāng)a1=3, q=2時，an=3 2 ,39n 148.則 Cn= ,顯然，Cn為遞減數(shù)列，C2-C 1<0< 2,n 1 2 n 1故數(shù)列C n不是“ H型數(shù)列”；綜上：當(dāng)an=4n-1時，數(shù)列Cn為“H型數(shù)列”， 當(dāng)an=3 - 2n-1時，數(shù)列Cn不是"H型數(shù)列”.考試高分秘訣是什么？試試這四個方法，特別是中考和高考生誰都想在考試中取得優(yōu)異的成績，但要想取得優(yōu)異的成績，除了要 掌握好相關(guān)的知識定理和方法技巧之外，更要學(xué)會一些考試技巧。因為一 份試卷的題型有選擇題、

27、填空題和解答題，題目的難易程度不等，再加上 時間的限制，更需要考生運用考試技巧去合理安排時間進(jìn)行考試，這樣才 能獲得一個優(yōu)異的成績。在每次考試結(jié)束之后，我們總會發(fā)現(xiàn)這樣有趣的情形：有的學(xué)生能超常發(fā)揮，考個好成績，而有的學(xué)生卻出現(xiàn)粗心大意的狀況，令人惋惜。有的學(xué)生會說這是“運氣”的原因，其實更深次的角度來說，這是說明考試 準(zhǔn)備不足，如知識掌握不扎實或是考試技巧不熟練等，這些正是考前需要調(diào)整的重點。讀書學(xué)習(xí)終究離不開考試，像中考和高考更是重中之重，影響著很多 人的一生，下面就推薦一些與考試有關(guān)的方法技巧，希望能幫助大家提高 考試成績。一是學(xué)會合理定位考試成績你能在一份卷子當(dāng)中考幾分，很大程度上取決于你對知識定理的掌握 和熟練程度。像最后一道選擇題和填空題，以及最后兩道大題，如果你沒 有很大把握一次性完成，就要先學(xué)會暫時“放一放”，把那些簡單題和中 等題先解決，再回過頭去解決剩下的難題。因此，在考試來臨之前，每位考生必須對自身有一個清晰的了解，面對考試內(nèi)容，自己處于什么樣的知識水平，進(jìn)而應(yīng)采取什么樣的考試方式，這樣才能幫助自己順利完成考試，獲得理想的成績。像壓軸題的最后一個小題總是比較難，目的是提高考試的區(qū)分度，但是一般只有4 分左右，很多考生都可以把前面兩小題都做