平面幾何四心講義

1、14三角形四心競賽講義一、“四心”分類討論11、外心12、內心23、垂心34、重心55、外心與內心66、重心與內心67、外心與垂心78、外心與重心89、垂心與內心810、垂心、重心、外心8旁心9二、“四心”的聯想91、由內心、重心性質產生的聯想92、重心的巧用113、三角形“四心”與一組面積公式12三角形各心間的聯系15與三角形的心有關的幾何命題的證明16三角形的內心、外心、垂心及重心(以下簡稱“四心”)是新頒發(fā)的初中數學競賽大綱特別加強的內容。由于與四心有關的幾何問題涉及知識面廣、難度大、應用的技巧性強、方法靈活，是考查學生邏輯思維能力和創(chuàng)造思維能力的較佳題型，因此，它是近幾年來升學、競賽的

2、熱點。92、93、94、95連續(xù)四年的全國初中數學聯賽均重點考察了這一內容。本講擬分別列舉四心在解幾何競賽中的應用，以期幫助同學們掌握這類問題的思考方法，提高靈活運用有關知識的能力。一、“四心”分類討論1、外心三解形三條垂直平分線的交點叫做三角形的外心，即外接圓圓心。abc的外心一般用字母o表示，它具有如下性質：(1)外心到三頂點等距，即oa=ob=oc。(2)a=。如果已知外心或通過分析“挖掘”出外心，與外心有關的幾何定理，尤其是圓周角與圓心角關系定理，就可以大顯神通了。下面我們舉例說明。例2證明三角形三邊的垂直平分線相交于一點，此點稱為三角形的外心已知：abc中，xx，yy，zz分別是bc

3、，ac，ab邊的垂直平分線，求證：xx，yy，zz相交于一點(圖3111)例1、如圖9-1所示，在abc中，ab=ac，任意延長ca到p，再延長ab到q，使ap=bq，求證：abc的外心o與點a、p、q四點共圓。例2、如圖9-2所示，在abc的大邊ab上取an=ac，bm=bc，點p為abc 的內心，求證：mpn=a+b。 例3、ab為半圓o的直徑，其弦af、be相交于q，過e、f分別作半圓的切線得交點p，求證：pqab。2、內心三角形三條角平分線的交點叫做三角形的內心，即內切圓圓心。abc的內心一般用字母i表示，它具有如下性質：(1)內心到三角形三邊等距，且頂點與內心的連線平分頂角。(2)a

4、的平分線和abc的外接圓相交于點d，則d與頂點b、c、內心i等距(即d為bci的外心)。(3)bic=90º+a，cia=90+b，aib=90º+c。例1證明：三角形三內角平分線交于一點，此點稱為三角形的內心已知：abc中，ax，by，cz分別是a，b，c的平分線，求證：ax，by，cz交于一點(圖3110)說明若證明幾條直線共點，可先證其中兩條直線相交，再證這個交點分別在其余各條直線上，則這幾條直線必共點于此交點由于三角形三內角平分線的交點與三邊距離相等，所以以此交點為圓心，以此點到各邊的距離為半徑作圓，此圓必與三角形三邊內切，所以稱此交點為三角形內切圓圓心，簡稱內心例

5、1、如圖9-4所示，在abc中，ab=ac，有一個圓內切于abc的外接圓，且與ab、ac分別相切于p、q，求證：線段pq的中點o是abc的內心。說明：本題還可證明o到abc的三邊距離相等，得到o為abc的內心。例2、如圖9-5所示，i為abc的內心，求證：bic的外心o與a、b、c四點共圓。例3、 在圓內接四邊形abcd中，順次取abd，abc，cdb、cda的內心。求證：四邊形是一個矩形。3abc中，i是內心，過i作de直線交ab于d，交ac于e求證：de=db+ec3、垂心三角形三條高線所在的直線的交點叫做三角形的垂心。abc的垂心一般用字母h 表示，它具有如下的性質：(1)頂點與垂心連線

6、必垂直對邊，即ahbc，bhac，chab。(2)若h在abc內，且ah、bh、ch分別與對邊相交于d、e、f，則a、f、h、e；b、d、h、f；c、e、h、d；b、c、e、f；c、a、f、d；a、b、d、e共六組四點共圓。(3)abh的垂心為c，bhc的垂心為a，ach的垂心為b。(4)三角形的垂心到任一頂點的距離等于外心到對邊距離的2倍。例4證明：三角形三條高線交于一點，這點稱為三角形的垂心已知：如圖3114，abc中，三邊上的高線分別是ax，by，cz，x，y，z為垂足，求證：ax，by，cz交于一點分析要證ax，by，cz相交于一點，可以利用前面的證明方法去證，也可以轉化成前面幾例的條

7、件利用已證的結論來證明為此，可以考慮利用三角形三邊垂直平分線交于一點的現有命題來證，只須構造出一個新三角形abc，使ax，by，cz恰好是abc的三邊上的垂直平分線，則ax，by，cz必然相交于一點例1、設h是等腰三角形abc的垂心。在底邊bc保持不變的情況下，讓頂點a至底邊bc的距離變小，問這時乘積的值變大？變?。窟€是不變？證明你的結論。例2、設h為銳角abc的三條高ad、be、cf的交點，若bc=a，ac=b，ab=c，則ah·ad+bh·be+ch·cf等于( )(a)(ab+bc+ca)； (b)；(c)(ab+bc+ca)； (d)。例3、求證：銳角三角

8、形的垂心h必為其垂足三角形的內心。分析、由性質不難得到證明。由本例結論，可得到下述命題的簡捷證明：已知abc中，h為垂心，ad、be、cf是高，ef交ad于g，求證：。例4、如圖9-8所示，已知abc的高ad、be交于h，abc、abh的外接圓分別為o和o1，求證：o與o1的半徑相等。4設g為abc的垂心，d，e分別為ab，ac邊的中點，如果sabc=1，那么sgde=？4、重心三角形三條中線的交點叫三角形的重心。abc的重心一般用字母g表示，它有如下的性質：(1)頂點與重心g的連線必平分對邊。(2)重心定理：三角形重心與頂點的距離等于它與對邊中點的距離的2倍。(3)。例3證明：三角形的三條中

9、線相交于一點，此點稱為三角形的重心重心到頂點與到對邊中點的距離之比為21已知：abc中，ax，by，cz分別是bc，ac，ab邊上的中線，求證：ax，by，cz相交于一點g，并且aggx=21(圖3112)明為什么稱g點為abc的重心呢？這可以從力學得到解釋設abc為一個質量均勻的三角形薄片，并設其重量均勻集中于a，b，c三點，如果把b，c兩點的重量集中于bc邊中點x時，那么abc的三頂點a，b，c的集中重量作了重新分配若a點為1，則x點為2，因此在ax上的重心支撐點必在aggx=21處的g點這樣一來，如果在g點支起三角形，那么abc必保持平衡，所以g點為三角形的重心(圖3113)例1、已知g

10、是abc的中心，過a、g的圓與bg切于g，cg的延長線交圓于d，求證：。分析、構造以重心g為頂點的平行四邊形gbfc，并巧用a、d、f、c四點共圓巧證乘積。延長gp至f，使pf=pg，邊f(xié)b、fc、ad(圖9-9)。例2、設g是等腰abc底邊上的高、ad與腰ac上的中線be的交點。若ad=18，be=15，則這個等腰三角形的面積為多少？例3、平行四邊形abcd的面積是60，e、f分別是ab、bc的中點，af分別與ed、bd交于g、h，則四邊形bhge的面積是_。例7如圖3118設g為abc的重心，從各頂點及g向形外一直線l引垂線aa，bb，cc，gg(其中a，b，c，g為垂足)求證：aa+bb

11、+cc=3gg分析由于圖中有許多可以利用的梯形，故可考慮利用梯形中位線定理來證明 說明當本題中aa，bb，cc，gg不垂直于l，但仍保持互相平行時，本題結論是否還成立？試作出你的猜想，并加以證明5、外心與內心例1、已知abc中，o為外心，i為內心，且ab+ac=2bc。求證：oiai(圖9-10)。2如圖3119在abc中，o為外心，i為內心，且abbcca求證：(1)oaiobi；(2)oaioci6、重心與內心例1、如圖9-11所示，已知abc的重心g與內心i的連線gibc。求證：ab、bc、ca成等差數列。7、外心與垂心例1、如圖9-12所示，在abc中，h為垂心，o為外心，bac=60

12、º，求證：ah=ao。例2、證明：三角形任一頂點至垂心的距離等于外心到它的對邊的距離的2倍。把條件改寫一下：已知ad、be為abc的兩高線，其交點為h，om、on分別為bc、ca的中垂線且交于o。須證：ah=2om，bh=2on。例6如圖3116已知h是abc的垂心，o是外心，olbc于l求證：ah=2ol8、外心與重心例1、如圖9-14所示，已知rtabc中，ah為斜邊bc上的高，m為bc 中點，o為abc外心，ob交ah于d。求證：ad=2dh。 5 在abc中，a=60°，o是外心，h是垂心求證：aoah9、垂心與內心例1、如圖9-15所示，已知o為正三角形abc 的

13、高ad、be、cf的交點，p是abc所在平面上的任一點，作plad于l，pmbe于m，pncf于n。試證：pl、pm、pn中較大的一條線段等于其它兩條線段的和。10、垂心、重心、外心例題、證明：abc的垂心h、重心g和外心o在同一條直線上。旁心例5證明：三角形兩外角平分線和另一內角平分線交于一點，此點稱為三角形的旁心已知：bx，cy分別是abc的外角dbc和ecb的平分線，az為bac的平分線(圖3115)，求證：az，bx，cy相交于一點二、“四心”的聯想1、由內心、重心性質產生的聯想內心性質：在abc中，ad是角平分線，i是內心，則。重心性質：在abc中，ad是一條中線，g是重心，則。聯想

14、：若p是abc內的任意一點，是否有通用的類似性質？性質：設p為abc內任意一點(稱p為abc 的內點)，ap交bc于d，令bpc，cpa，apb的面積分別為，則。()證明：如圖9-19所示，作bc于，bc于，并設abc面積為s。則，從而，即。()式中，當p為內心時，(r為內切圓半徑)，于是；當p為重心時，于是。故()式是三角形內心。重心性質的推廣，我們不妨稱之為三角形內點性質。利用它，許多數學競賽題都可求解。例1、已知r為銳角abc外接圓半徑，o是外心，ao、bo、co分別交對邊于 (圖9-20)。求證：。例2、設oabc內任意一點，ao，bo，co分別交對邊于a1，b1，c1，令。求證：w1

15、2。2、重心的巧用重心，在物理學中指質點的重心，所謂“他山之石可以攻玉”，這一概念在解決數學問題，尤其是比值問題上，也大有“用武之地”。關于質點重心，我們結合圖形給出幾個真命題(證明過程略去)。命題1：設質點的質量分別為，它們的重心為g，則g在的連線上，且滿足(這里指質點g的質量)。命題2：在如圖9-21所示的abc中，若e為質點b、a的重心，f為質點b、c的重心，ec與af相交于g，則g必為三個質點a、b、c的重心。連接bg，延長交ac于h，則h必為質點a、c的重心。命題3：如果平面上有n個質點，它們的質量為，則這些質點的重心g的坐標為。這幾個命題看似簡單，但它卻為解平面幾何問題提供了一種嶄

16、新的思路。例1、三只蒼蠅沿abc的三邊爬行，使由這三只蒼蠅構成的三角形的與abc的重心保持不變，求證：如果某只蒼蠅爬過了三角形的三條邊，那么三只蒼蠅構成的三角形的重心與原三角形的重心重合。例2、如圖9-23所示，已知p1p2p3和其內任一點p，直線p1p、p2p和p3p分別與對邊交于q1，q2，q3。證明：在比值中至少有一個不大于2。例3、從三角形的一個頂點到對三等分點作線段，過第二頂點的中線被這些線段分成邊比xyz，設xyz，求xyz (圖9-24)。例4、如圖9-25所示，在abc中d、e分別為bc、ca上一點，且bddc= m1，ceea=n1，ad與be相交于f，求的幾倍？。3、三角形

17、“四心”與一組面積公式有這樣一道競賽題：abc為銳角三角形，過a、b、c分別作此三角形外接圓三條直徑，求證：。該題中，三直徑之交點即為abc的外心，若就外心這一條件進行一些聯想和變化，經探索可得一系列與面積有關的結果。我們歸納如下(證明略去)。定理：設p為abc平面內的點，ap、bp、cp所在直線分別交abc的外接圓于，那么(1)若p為abc的外心，則對銳角三角形，有。對非銳角三角形(不妨設a90º，下同)，有。(2)若p為abc的垂心，則對銳角三角形，有式成立，對非銳角三角形，有式成立。(3)若p為abc的重心，則有。當且僅當abc為正三角形的時等號成立。(4)若p為abc的內心，

18、則有式成立，當且僅當abc為正三角形時等號成立。據以上定理，可得以下若干推論：推論1、已知o的內接銳角三角形abc，是o的三角條直徑，且bc=a，ca=b，ab=c，=，則有。若，則又可得，它等于三角恒等tga+tgb+tgc=tgatgbtgc。推論2、設abc的重心為g，ag、bg、cg的延長線分別交三邊bc、ca、ab于d、e、f，交abc的外接圓于，則。(若將“重心”改為“內心”，其他條件不變，可知該結論仍成立)。例1、已知銳角abc內接于圓o，作abc的bc邊上的高，ca邊上的中線，c的平分線并延長，分別交圓o于a1、b2、c2。求證：。例2、如圖9-27所示，銳角abc中，a的平分

19、線與三角形的外接圓交于另一點a1，點b1，c1與此類似，直線aa1與b、c兩角的外角平分線相交于a0，點b0、c0與此類似。求證：a0b0c0的面積是六邊形ac1ba1cb1面積的2倍；a0b0c0的面積至少是abc面積的4倍。練習題1、在abc中，a=20º，ab=ac，在ab、ac上各取一點d、e，滿足bd=bc，ae=be，求bed的度數。2、如圖9-28所示，已知ace=cde=90º，點b在ce上，ca=bc=cd，過a、c、d三點的圓交ab于f，求證：f為cde的內心。3、在abc中，c=90º，a和b的平分線相交于p點，又peab于e點。若bc=2，

20、ac=3，則ae·be=_。4、abc中，g 為重心，l是過g的一條動直線，且分別交ab、ac于點e、f，設，問l在何處時，所截得的aef面積取到最大值或最小值。5、銳角三角形abc的三邊長滿足不等式ab<ac<bc，如果i為abc的內心，o為外心，求證：直線io與線段ab及bc相交。6、已知abc中，a=60º，h為垂心，o為外心，i是內心，直線ai交o于f，交bh于g。求證：(1)ao=ah；(2)oag=hag；(3)b、o、i、h、c五點共圓。7、(同圖9-11)已知重心g，內心i，且ab+ac=2bc，求證：gibc。8、已知abc中，h為垂心，ad、

21、be、cf是高，ef交adg，求證：。9、abc的a、b、c的內角平分線分別與外接圓交于a1，b1，c1，證明：。10、已知bdef，b、d分別在ae、af上，de、bf交于點c，ac交ef于點m，求證：em=mf。11、設h是abc的垂心，求證：。12、設o是abc的外心，ab=ac，d為ab的中點，e是acd的重心。證明：oecd。三角形各心間的聯系四心定理的證明具有統(tǒng)一性利用塞瓦定理可以簡便地證明重心定理、內心定理和垂心定理：如果ad，be，cf是abc的中線，則bd=dc，ce=ae，af=fb。，因此ad，be，cf三條中線交于一點。如果ad，be，cf是abc的內角平分線，則。，因此ad，