概率論隨機(jī)變量的函數(shù)及其分布PPT課件

1、).(,)(,)(XfYXYxfyxXYxXxf 記作記作的函數(shù)的函數(shù)變量變量為隨機(jī)為隨機(jī)則稱隨機(jī)變量則稱隨機(jī)變量的值的值的值而取的值而取取值取值隨著隨著若隨機(jī)變量若隨機(jī)變量的集合上的函數(shù)的集合上的函數(shù)的一切可能值的一切可能值是定義在隨機(jī)變量是定義在隨機(jī)變量設(shè)設(shè)問題?)(的分布的分布分布求得隨機(jī)變量分布求得隨機(jī)變量的的量量如何根據(jù)已知的隨機(jī)變?nèi)绾胃鶕?jù)已知的隨機(jī)變XfYX 一、離散型隨機(jī)變量的函數(shù)的分布第1頁/共39頁 Y 的可能值為 ;2,1,0,)1(2222 即 0, 1, 4.解0002 XPXPYP,41 .2的分布律的分布律求求的分布律為的分布律為設(shè)設(shè)XYX Xp2101 41414

2、141例1第2頁/共39頁)1()1(112 XXPXPYP11 XPXP,214141 2442 XPXPYP,41 故 Y 的分布律為Yp410412141由此歸納出離散型隨機(jī)變量函數(shù)的分布的求法.第3頁/共39頁離散型隨機(jī)變量的函數(shù)的分布的的分分布布律律為為若若也也是是離離散散型型隨隨機(jī)機(jī)變變量量其其函函數(shù)數(shù)是是離離散散型型隨隨機(jī)機(jī)變變量量如如果果XXfYX.)(, Xkpkxxx21kppp21的分布律為的分布律為則則)(XfY .,)(合合并并應(yīng)應(yīng)將將相相應(yīng)應(yīng)的的中中有有值值相相同同的的若若kkpxf)(XfY kp)()()(kxfxfxf21kppp21第4頁/共39頁解例2Xk

3、p211 616263 設(shè).52的分布律的分布律求求 XYXkp211 61626352 XY4 4 1 +Y 的分布律為Yp4 1 2121第5頁/共39頁二、連續(xù)型隨機(jī)變量的函數(shù)的分布,是是連連續(xù)續(xù)型型隨隨機(jī)機(jī)變變量量設(shè)設(shè) X)(XfY 1. 分布函數(shù)法)(:yFY先求先求).()(:yFypYY 再求再求例3.82., 0, 40,8)(的的概概率率密密度度求求隨隨機(jī)機(jī)變變量量其其它它的的概概率率密密度度為為設(shè)設(shè)隨隨機(jī)機(jī)變變量量 XYxxxpXX第6頁/共39頁1 先求Y=2X+8 的分布函數(shù)).(yFY)(yYPyFY 82yXP 解xxpyXd)(28 28 yXP)()(yFypY

4、Y 2 由分布函數(shù)求概率密度.d)(28 xxpyX )28)(28(yypX21)28( ypX第7頁/共39頁 ., 0, 4280,21)28(81其它其它yy ., 0,168,328其它其它yy21)28()( ypypXY ., 0, 40,8)(其其它它xxxpX第8頁/共39頁的定義域，的定義域，是是的反函數(shù)的反函數(shù)是是其中其中)(),( ,)()(11yfxfyf 其其他他，其其概概率率密密度度為為是是連連續(xù)續(xù)型型隨隨機(jī)機(jī)變變量量則則或或恒恒有有且且恒恒有有可可導(dǎo)導(dǎo)上上在在又又設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)其其中中的的具具有有概概率率密密度度設(shè)設(shè)隨隨機(jī)機(jī)變變量量0, )()()(,)(),0)

5、(0)(,),()(.),(11 yyfyfpypXfYxfxfbaxfxxpXXYX定理(例2.18)2. 公式法 時時當(dāng)當(dāng)時時當(dāng)當(dāng)0)(, )(0)(, )( )(111xfyfxfyfyf第9頁/共39頁證, 0)( xf若若單單調(diào)調(diào)增增加加，且且其其反反函函數(shù)數(shù)則則)(xfy .),()(1上上單單調(diào)調(diào)增增加加在在 yfx 時，時，當(dāng)當(dāng) y; 0)( yYPyFY時，時，當(dāng)當(dāng) y; 1)( yYPyFY. 0d)(d)( yyFypYY時，時，當(dāng)當(dāng) y)(yYPyFY 第10頁/共39頁yYPYP )(yYPyFY 0yYP 于是)(1yfXP )(1d)(yfXxxp)()( yyY

6、PyFY第11頁/共39頁 )(1d)()(yfXYxxpyF)( yyyFypYYd)(d)( ydd d)()(1 yfXxxp )()(11 yfyfpX.0)(的的情情形形可可作作類類似似的的證證明明對對于于 xf時，時，當(dāng)當(dāng) y第12頁/共39頁證X 的概率密度為.,)()( xexpxX22221,)(baxxfy 設(shè)設(shè),)(1abyyfx 得得.01 )(1 ayf知知.)(, ),(也服從正態(tài)分布也服從正態(tài)分布性函數(shù)性函數(shù)的線的線試證明試證明設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量02 abaXYXNX例4第13頁/共39頁222)(211abyea .,2122)(2)( yeaaaby.),(

7、1)( abyabypaypXY的的概概率率密密度度為為得得baXY )( ,(2abaNbaXY 得得 )()()(11 yfyfpypXY由公式由公式第14頁/共39頁例5.),1 , 0(的分布密度的分布密度求求設(shè)設(shè)XeYUX 解)1 , 0(UX的的分分布布密密度度為為X )1 , 0(, 0)1 , 0(, 1)(xxxpX方法1 (公式法)上可導(dǎo)，單調(diào)增加上可導(dǎo)，單調(diào)增加在在),( xey,ln)(1yyfx yyf1 )(1 第15頁/共39頁 )(ypY 其他其他，00, )()(11yyfyfpX 其他其他, 01)(0, )(111yfyf 其他其他, 01ln0,11yy

8、 其他其他, 01,1eyy第16頁/共39頁方法2 (分布函數(shù)法)(yYPyFY yePX 0,ln0),(yyXPyP 0,)(0, 0lnydxxpyyX yXdxxpyln)(0時，時，當(dāng)當(dāng) 1ln,)(1ln0,)(0ln, 01lnydxxpydxxpyXyX第17頁/共39頁 1ln,)(1ln0,)(0ln, 010ln0ydxxpydxxpyXyX 1ln,11ln0,10ln,010ln0ydxydxyy eyeyyy, 11,ln1,0第18頁/共39頁 )(yFY eyeyyyy, 11,ln10, 00, 0dyydFypYY)()( 從從而而 其他其他, 01,1e

9、yy第19頁/共39頁.),2,2(,sin的概率密度的概率密度試求電壓試求電壓且有且有是一個隨機(jī)變量是一個隨機(jī)變量相角相角常數(shù)常數(shù)是一個已知的正是一個已知的正其中其中設(shè)電壓設(shè)電壓VUAAV 解上恒有上恒有在在因為因為)2,2(sin)( Afv, 0cos)( Af),(,arcsin)(1AAvAvvf 所以反函數(shù)為所以反函數(shù)為,1 )(221vAvf 例6第20頁/共39頁的概率密度為的概率密度為知知又由又由 ),2,2( U ., 0,22,1)(其它其它 p的概率密度為的概率密度為由定理得由定理得AVsin 其他其他，0, )()()(11AyAvfvfpvpV ., 0,11)(2

10、2其他其他AvAvAvpV 第21頁/共39頁,. 1, 110,2, 0, 0)( yyyyYFYY的分布函數(shù)為的分布函數(shù)為故故.)(,)(,)(,1)(也也不不是是離離散散型型隨隨機(jī)機(jī)變變量量故故不不是是階階梯梯函函數(shù)數(shù)又又因因為為隨隨機(jī)機(jī)變變量量不不是是連連續(xù)續(xù)型型故故處處間間斷斷在在因因為為XfYyFXfYyyFYY第22頁/共39頁例7：求求下下列列函函數(shù)數(shù)的的分分布布密密度度設(shè)設(shè)),1 , 0( NX.)2(;)1(2XYXY 分析內(nèi)不單調(diào)，內(nèi)不單調(diào)，在在),(2 xy處處不不可可導(dǎo)導(dǎo)，在在0 xxy.故不能直接用定理故不能直接用定理解)()1(yYPyFY 2yXP 0,0),(

11、yyXPyP第23頁/共39頁 0,0, 0yyXyPy 0),()(0, 0yyyy 0, 1)(20, 0yyy )(yFY即即 0, 1)(20, 0yyy第24頁/共39頁dyydFypYY)()( 0,1)(20, 0yyy 0,21)(20, 0yyyy 0),(10, 0yyyy 第25頁/共39頁 0,2110, 02)(2yeyyy 0,210,02yeyyy )(ypY即即 0,210,02yeyyy 第26頁/共39頁)()2(yYPyFY yXP 0,0),(yyXyPyP 0, 1)(20, 0yyydyydFypYY)()( 0),(20, 0yyy 0),(20,

12、 0yyy 0,2120, 022yeyy 第27頁/共39頁例8.10)()(上服從均勻分布上服從均勻分布，在在明：明：單調(diào)的連續(xù)函數(shù)，試證單調(diào)的連續(xù)函數(shù)，試證是嚴(yán)格是嚴(yán)格分布函數(shù)分布函數(shù)設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量XFYxFX 證是是分分布布函函數(shù)數(shù))(xF單單調(diào)調(diào)不不減減且且)(, 1)(0 xFxF 嚴(yán)嚴(yán)格格單單調(diào)調(diào)增增加加又又知知依依題題意意，)(xF,Ry 故故)(yYPyFY )(yXFP 第28頁/共39頁 1, 110),(0, 01yyyFXPy)(yYPyFY )(yXFP 1),(10,)(0),(yPyyXFPyP 1, 110),(0, 01yyyFFy 1, 110,0,

13、 0yyyy第29頁/共39頁 )()( yFypYY 其他其他, 010, 1y.10)(上上的的均均勻勻分分布布，服服從從即即XFY 第30頁/共39頁三、內(nèi)容小結(jié)1. 離散型隨機(jī)變量的函數(shù)的分布)(XfY kp)()()(kxfxfxf21kppp21的分布律為的分布律為則則)(XfY 的分布律為的分布律為若若也是離散型隨機(jī)變量也是離散型隨機(jī)變量其函數(shù)其函數(shù)是離散型隨機(jī)變量是離散型隨機(jī)變量如果如果XXfYX.)(,Xkpkxxx21kppp21第31頁/共39頁2. 連續(xù)型隨機(jī)變量的函數(shù)的分布方法2 . , )()()(其其它它011yyfyfpypXY注意條件.方法1.)()()()(

14、)()(的的密密度度函函數(shù)數(shù)求求導(dǎo)導(dǎo)得得到到再再對對YyFxdxxpyXfPyYPyFYyxfXY 第32頁/共39頁?)(,)(型型的的又又怎怎樣樣是是連連續(xù)續(xù)若若也也是是離離散散型型隨隨機(jī)機(jī)變變量量嗎嗎則則是是離離散散型型隨隨機(jī)機(jī)變變量量若若是是連連續(xù)續(xù)函函數(shù)數(shù)設(shè)設(shè)XXfYXxf .,.,量量不一定是連續(xù)型隨機(jī)變不一定是連續(xù)型隨機(jī)變那末那末續(xù)型隨機(jī)變量續(xù)型隨機(jī)變量是連是連若若是離散型隨機(jī)變量是離散型隨機(jī)變量因此因此列無限多個列無限多個的取值也是有限個或可的取值也是有限個或可因此因此或可列無限多個或可列無限多個它的取值是有限個它的取值是有限個是離散型隨機(jī)變量是離散型隨機(jī)變量若若YXYYX答思

15、考題第33頁/共39頁概率密度為概率密度為上服從均勻分布上服從均勻分布在在設(shè)設(shè),)2 , 0(X例如例如 .,)(其他其他02021xxp,)( 21110 xxxxfy又設(shè)連續(xù)函數(shù)又設(shè)連續(xù)函數(shù):)()(可以計算出來可以計算出來的分布函數(shù)的分布函數(shù)則則yFXfYY 第34頁/共39頁; 0)(,0 yYPyFyY時時當(dāng)當(dāng); 1)(,1 yYPyFyY時時當(dāng)當(dāng))()(,yXfPyYPyFyY 時時當(dāng)當(dāng)10.dd)(221yxxxpyy ,1 , 0的取值為的取值為由于由于Y所以第35頁/共39頁)(yYPyFY 2yXP yXyP )()(yFyFXX .32. 0, 0, 0)(232的概率密度的概率密度和和求隨機(jī)變量求隨機(jī)變量的概率密度為的概率密度為設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量 XYXYxexxxpXxX解,2分布函數(shù)分布函數(shù)先求隨機(jī)變量先求隨機(jī)變量XY 備用題)0(時時當(dāng)當(dāng) y第36頁/共39頁.d)