3.7用導數(shù)求函數(shù)的極大值與極小值

1、6怨值XJB»HjobIbtw. imbm-、復習與引入:i=上節(jié)課，我們講了利用函數(shù)的導數(shù)來研究函數(shù)的單調(diào) 性這個問題其基本的步驟為：求函數(shù)的定義域；求函數(shù)的導數(shù)廣；i=i解不等式廣0得f (x)的單調(diào)遞增區(qū)間；解不等式廣v0得f (x)的單調(diào)遞減區(qū)間右下圖為函數(shù)y=2x3-6x2+7的圖象從圖象我們可以 看出下面的結(jié)論：函數(shù)在X=0的函數(shù)值比它附近所有各 點的函數(shù)值都大，我們說f(0)是函數(shù) 的一個極大值；函數(shù)在X=2葩函數(shù)值 比它附近所有各點的函數(shù)值都小，我 們說f是函數(shù)的一個極小值。* r 一* - w 廠一 ibnvOTBiwB > k9、八一八二T新課二函數(shù)的極值廠

2、一般地，設函數(shù)y=f (x)在X。及其附近有定義，如果f(X。) 的值比X。附近所肴各皆矗函藪值都大，我們說f區(qū))是函 數(shù)y=f (x)的一個極大值;如果f(X。)的值比X。附近嶄有各點 的函數(shù)值都小，我們說f(x°)是函數(shù)y=f(x)的一個極小值. 極大值與極小值統(tǒng)稱極直在定義中，取得極值的點稱為極值點，極值點是自變 量的值，極值指的是對應的函數(shù)值.請注意以下幾點：(1)極值是一個局部概念由定義，極值只是某個點的 函數(shù)值與它附近點的函數(shù)值比較是最大或最小并不意 味著它在函數(shù)的整個的定義域內(nèi)最大或最小也就是說 極值與最值是兩個不同的概念.或定義域內(nèi)極大值或極小值可以不止一個.(3)極

3、大值與極小值之間無確定的大小關(guān)系即一個 函數(shù)的極大值未必大于極小值，如下圖所示N是極大值 點兇是極小值點,Wf(X4)>f(X1)(4)函數(shù)的極值點一定出現(xiàn)在區(qū)間的內(nèi)部，區(qū)間的端 點不能成為極值點而使函數(shù)取得最大值、最小值的點 可能在區(qū)間的內(nèi)部，也可能在區(qū)間的端點.在上節(jié)課中，我們是利用函數(shù)的導數(shù)來研究函數(shù)的 單調(diào)性的下面我們利用函數(shù)的導數(shù)來研究函數(shù)的極值 問題.由上圖可以看出，在函數(shù)取得極值處，如果曲線有切線的話，則切線是水平的，從而有廣NT 0 但反過來不一定如函數(shù)y=x3,在x=0處,曲線的切線是水平的，但這點 的函數(shù)值既不比它附近的點的函數(shù)值大,也不比它附近 的點的函數(shù)值小假設X

4、。使那么在什么情況下X。 是f(x)的極值點呢？畑=0丨廣(*0)二0!I!|a X。 b xa X。 b x畑=0畑=0如上左圖所示，若X。是f(x)的極大值點，則X。兩側(cè)附近 點的函數(shù)值必須小于f(Xo) 因此,X。的左側(cè)附近f(x)只能 是增函數(shù)，即廣0; X。的右側(cè)附近f(x)只能是減函數(shù)，即 廣(兀)01=1同理,如上右圖所示，若X。是f(x)極小值點，則在X。的 左側(cè)附近f(x)只能是減函數(shù),即廣 0 ；在X。的右側(cè)附近 只能是增函數(shù)，即八對0的導數(shù)異號，則X。是f(x)的極值點,f(x°)是極值，并且如果 廣(兀)在X。兩側(cè)滴足“左正右負”，貝収0是f(x)的極大值 點

5、，八X)f(Xo)是極大值;如果在X。兩側(cè)滿足“左負右正”，則X。是兀曲繃僦鴻，度閒崗陵磁值點處切線的斜率為0,并且，曲線在極大值點左側(cè)切線的斜率為正,右側(cè)為負;曲線在極小值點左側(cè)切線的斜率為負，右側(cè)為正. 一般地當函數(shù)f(x)在X。處連續(xù)時，判別f(Xo)是極大(小)值的方法是：(1) :如果在X。附近的左側(cè)fr(x) > 0右側(cè)廣< 0,那么, f(Xo)是極大值；(2) ：如果在X。附近的左側(cè)f(x) < 0,右側(cè)f(x) > 0,那么, f(x°)是極小值.不可導函數(shù)也可能有極值點例如函數(shù)y=|x|,它在 點x=0處不可導，但x=0是函數(shù)的極小值點故函

6、數(shù)f(x)在 極值點處不一定存在導數(shù).可導函數(shù)的極值點一定是它導數(shù)為零的點仮之 函數(shù)的導數(shù)為零的點，不一定是該函數(shù)的極值點例如， 函數(shù)y=x3,在點x=0處的導數(shù)為零，但它不是極值點，原 因是函數(shù)在點x=0處左右兩側(cè)的導數(shù)都大于零因此導 數(shù)為零的點僅是該點為極值點的必要條件，其充分條件 是在這點兩側(cè)的導數(shù)異號.因此，利用求導的方法，求函數(shù)的極值時，在函數(shù)的 定義域內(nèi)尋求可能取到極值的“可疑點”，除了確定其 導數(shù)為零的點外，還必須確定函數(shù)定義域內(nèi)所有不可導 的點，這兩類點構(gòu)成了函數(shù)定義域內(nèi)所有的可能取到極值» MB. (rMB WtMto MH WHWWMNf! I三、例題選講:rMX

7、fB。MLVWVfl 社 .XI ：*M |»* WR- HBOT.4 b - _L廠bLrwMt例1:求y=x3/3-4x+4的極值.解：丁'=兀2一4 =（兀一2）（兀 + 2） 令/ = °,解得乂1=2以2=2X(8,2)2(-2,2)2(2,+ 8)y,+00+y/極大值28/3X極小值-4/3/當X變化時，口 y的變化情況如下表:因此當x=2時有極大值，并且，y極大值=28/3; 而，當x=2時有極小值，并且，y極小值= 4/3.總結(jié):求可導函數(shù)f(x)的極值的步驟如下:求導數(shù)八兀)求方程八工)=0的根.(3)檢査T在方程根左右的值的符號如果左正右負,

8、那么f(x)在這個根處取得極大值;如果左正右負，那 么f(x)在這個根處字得極大值.例2：求函數(shù)/(兀)= X + («>0)的極值.解涵數(shù)的定義域為(- gO) Y (0,+8),(X«)(x+«)令八兀)=0，解得x1=-a5x2=a(a>0).當x變化時,廣(兀),f(x)的變化情況如下表:n i1 r -' P rr. 乙 i -«» 戶Igfmkjwb .2* J L 0 * - » - - - -f m i> 4 g laufwaL* U .«Ji4 rFT- _* _.rL、>!

9、_ L 十“.1 - «1 F1 r J»i-1 r>«kajjilh aa itf> p 丁1 廠L11、 0M« J 4 - 4*X ” V5IFX(8,-a)-a(a,0)(0,a)a-(a,+8)霄f'(x)+00+f(x)7極大值-2a極小值2a/故當x=a時，f(x)有極大值f(a)=2a;當x=a時，f(x)有極 小值 f(a)=2a.說明:本題中的極大值是小于極小值的，這充分表明極值與最值是完全不同的兩個概念.令 y'=0,解得 Xi=-1,X2=1當x變化時,J ；y的變化情況如下表:X-1(-U)1(2,心

10、)y'0+0yX極大值3/極小值3練習1:求函數(shù)X1 + x2的極值.解汀6(1-x2)(1 + x2)2因此，當x=時有極大值，并且，y極大值=3； 而，當x=1時有極小值，并且，y極小值= 3.(1)若函數(shù)f(x)在x=0,x=4處取得極值，且極小值為-1,求a、b的值.(2)若x g 0,1,函數(shù)f(x)圖象上的任意一點的切線斜 率為k,試討論成立的充要條件.解：(1)由廣(兀) =3兀 2 + 2mx = 0 得 x=0 或 x=4a/3 故 4a/3=4,a=6.由于當xvO時f (工)< 0,當x>0時,f (x) > 0 故當x=0時, f(x)達到極小

11、值f(O)=b,所以b=-1(2) 等價于當 x g 0,1時,-3x2+2ax>-1 恒成立，即 g(x)= 3x2-2ax-1<0對一切 x g 0,lg成立.由于 g(0)=-l<0,a 只需 g(l)=2-2a<0,BPa>l.反之，當aX時,g(x)<0對一切x g 0粗成立.第二課時1 設函數(shù)y=f(x)在X。及其附近有定義如果f(x°)的值比X。附近所有各點的函數(shù)值都大，我們說f(Xo)是函數(shù)y=f(x)的一個極大值;如果f(X。)的值比X。附近所有各點的函數(shù)值都小，我們說f(x(j)是函數(shù)y=f(x)的一個極小值極 大值與極小值統(tǒng)稱

12、祓值.2當函數(shù)f(x)在X。處連續(xù)時，判別f(x°)是極大(小)值的方 法是.(1) ：如果在X。附近的左側(cè)廣 0,右側(cè)廣 0,那么, f(x°)是極大值;(2) ：如果在X。附近的左側(cè)f (Q 0,右側(cè) 0,那么, f(Xo)是極小值.3 理解函數(shù)極值的定義時應注意以下幾點：士駐gg肇耋r | 丁 環(huán)| m頁空兩趣啊斕曲j卜局部性的概急極值點是區(qū)間內(nèi)r部的點而不會是端點.(2) 若f(x)在某區(qū)間內(nèi)有極值，那么f(x)在某區(qū)間內(nèi)一定 不是單調(diào)函數(shù)，即在區(qū)間上單調(diào)的函數(shù)沒有極值.(3) 極大值與極小值沒有必然的大小關(guān)系即極大值不 一定比極力、值大，極小值不一定比極大值k(4

13、) 函數(shù)f(x)在某區(qū)間內(nèi)有極值,它的極值點的分布是 有規(guī)律的，相鄰兩個極大值點之間必有一個極小值 皆,同樣相鄰兩個極小值點之間必有一個極頭值點.一般地，當函數(shù)f(x)在某區(qū)間上連續(xù)且有有限極值點時，函數(shù)f(x)在該區(qū)間內(nèi)的極大值點與極小值點是交替出現(xiàn)的.(5) 導數(shù)為零的點是該點為極值點的必要條件，而不是 充分條件.4 確定函數(shù)的極值應從幾何直觀入手，理解可導函數(shù)在 其定義域上的單調(diào)性與函數(shù)極值的相互關(guān)系,掌握利 用導數(shù)判斷函數(shù)極值的基本方法.伽:已知歯數(shù)f(x)滿足條件:當x>2BOW40 ;當 xv2時Z(x)<0 ;廣=0.求證:函數(shù)y=f(x2)在兀=Vi處有極小值.證:

14、設g(x)=f(x2)側(cè) gx) = /f(x2)-2x.故當工>血 時,x2>2,由條件可知廣(兀2)>0,即:g,(x) = /,(x2)-2x>0;當0<x<72時於<2,由條件更聊 g'(x) = /,(x2)-2x<0;又當"血 時,g41) =廣(2)-272 = 0.°°所以當2 "時，函數(shù)y=f(x2)取得極小值.4,極小值為0 試確定a,b,c的值.解：fr(x) = 5ax4 - 3bx2 = x2(5ax2 - 3b).由題意J'Cr) = O應有根工二±1,

15、故5a=3b,于是: ff(x) = 5ax2(x2 1).設a>0,列表如下：XYl)-1(-1,1)1+0<00f(x)/極大值X極小值由表可彳4=/(-1)o=/(i)，即-a+b+c =4a-b+c =0又 5a=3b，解得 a=3,b=5，c=2.(2)設avO,列表如下：X(一可1)-1fM0f(x)極小值(-1,1)1d,+ 8)>007極大值由表可初”，即嚴"40 = /(-!)5 卜a+b+c = O又 5a=3b，解得 a=3，b=5，c=2.10,求a、b的值.：/V)=3x2+2ax+b=0 有一個根 x=1,故 3+2a+b=0.®

16、; 又 f(1 )=10,故 1 +a+b+a2=10 當a=-3,b=3時 JU) = 3(if > 0，此時f(x)在x=1 處無 極值，不合題意.當 a=4,b=-11 時,廣=3/ +8x-ll = (3x + ll)(x-l).-3/11<x<1 時;x>1 時,r(x)>0，此時x=1 是極 值點.從而所求的解為a=4,b=-11；L 4-* - « w . r« “ r 廠 :rJ llkAIU*I *r r1 ! «Nf MWpiaMtf aMfHlHpNr Mi“、ax+b f 血例3:已知：幾小茄(">°)(1) 證明:f(x)恰有一個極大值點和一個極小值點；(2) 當f(x)的極大值為1、極小值為*!時，求a、b的值. 血 /4、小(A_a(x2+l)-2x(ax + />) _ -ax2-2bx+a解:/小 171?(x2+l)2*令T(兀)=0,得ax2-2bx+a=0, A =4b2+4a2>0,故廣d) = O有不相等的兩實根a、卩，設av卩.又設g(x)=-ax2-2bx+a,由于-a<O,g(x)的圖象開 口 向下,g(x)的值在