數(shù)學模型的課程設計——賽跑的速度

1、 數(shù)學模型的課程設計 設計題目：賽 跑 速 度 班級 ： 組員 ： 課程設計任務書專業(yè)： 班級： 課程名稱： 賽跑的速度 學生姓名： 發(fā)題時間： 2013 年 7 月 1 日一、 課題名稱：賽跑的速度二、 課題條件參考文獻：1張?zhí)煸斨虚L跑有氧訓練的生化基礎訓練原則及方法寶雞文理學院學報，19962衣春林，李美貞賽跑最優(yōu)速度的數(shù)學模型與應用山東工商學院學報，20013鄭壽炳中長跑最優(yōu)速度控制的數(shù)學模型體育與科學，19954姜啟源.數(shù)學模型(第三版).北京：高等教育出版社，20035趙靜，但琦.數(shù)學建模與數(shù)學實驗（第二版）. 北京：高等教育出版社，2003 賽跑的速度摘 要本文針對賽跑運動員賽跑過

2、程中如何安排各階段的速度才能取得最好的成績，進行了詳細的研究和分析，并對T.B.Keller提出的模型進行了改進。首先我們對美國著名數(shù)學家凱勒(TBKeller)提出的賽跑最優(yōu)速度模型進行學習和分析，指出模型存在的缺陷和問題產(chǎn)生的原因。在短跑過程中要以運動員的最大沖力跑完全程，然而運動員本身能提供的最大沖力并不能保持恒定，受到?jīng)_力限制系數(shù)的約束，因此在我們改進后的模型中將其考慮在內進行理論推導。在長跑過程中既需要有氧呼吸功能，又需要無氧呼吸功能，而且在加速跑過程中運動員始終保持最大沖力加速多久不能確定，且在加速跑過程中不減速，與實際情況不符；而且由于海拔不同而使運動員在賽跑過程中氧攝入量的差異

3、，從而導致單位時間提供的能量不同。鑒于原始模型的缺陷，我們改變了模型整體的推理方法并設計了新的基于參數(shù)實時采集的速度最優(yōu)模型，在短跑過程中將最大沖力恒定值替換為與事件有關的函數(shù)，并且將單位時間內提供的能量設定為海拔高度的一次函數(shù)，并根據(jù)前人的研究成果確定該函數(shù)。在長跑過程中為了避免傳統(tǒng)模型出現(xiàn)的弊端，我們對一些實際中長跑訓練進行了調查、分析和研究，保留了傳統(tǒng)理論的方程結構和參數(shù)擬合方法，以此為基礎提出了新的長跑最優(yōu)理論模型，將長跑分為：起步、加速跑、途中跑、沖刺跑四個階段，并且通過Matlab在計算機上進行最小二乘擬合，模擬仿真，分析仿真結果以優(yōu)化推理方法，最終得到了預期的理論結果，并驗證了模

4、型的可靠性。關鍵字：短跑、中長跑、最小二乘擬合、海拔高度一、問題重述與提出：賽跑運動員在參加賽跑時，要根據(jù)自己的生理狀況對賽程中各階段的速度做出最恰當?shù)陌才牛云讷@得最好的成績。賽跑運動員應該根據(jù)不同長度的比賽采用不同形式的功能方式，在比賽過程中由于海拔、阻力等因素的影響，比賽過程中的速度也會不同，如何合理的根據(jù)不同情況，采取不同的方式賽跑才能取得最好的成績。根據(jù)如下因素建立合理的數(shù)學模型，推導出速度安排的合理方案：1、運動員的生理參數(shù)（包括脈搏、體溫等與長跑有關的生理指標）；2、賽跑運動員賽跑適時速度；3、當前環(huán)境參數(shù)（包括溫度、風速、海拔等諸多影響速度的因素）；4、運動員不同程度賽跑的供能

5、方式（包括有氧呼吸、無氧呼吸等）；根據(jù)以上方四方面內容，再結合實際訓練結果，設計合理的模型。二、問題分析：長跑歸根結底是一個體能消耗的問題，當專業(yè)運動員競技水平達到一定程度后，選手之問的體能總量差距已經(jīng)不是很明顯了，于是如何控制節(jié)奏以自身習慣合理分配體能，以最短的時間完成比賽就變成了長跑運動員取得優(yōu)異成績的關鍵所在。這和以專家提出的：“掌握比賽，控制節(jié)奏”的戰(zhàn)術思想是相一致的，經(jīng)過上述分析，在最優(yōu)速度運動模型的設計中考慮以下3點：1)運動員在每一時刻體能的變化由兩部分組成：糖的無氧酵解產(chǎn)生的能量和運動員在運動過程中所消耗的能量，其中認為運動員自身產(chǎn)生的能量在整個運動過程變化不是非常明顯可認為是

6、定值。2)根據(jù)牛頓第二定律：，即運動員所受的外力與加速度成正比。運動員在運動時受到自身向前的沖力和阻力共同作用，形成運動員向前的動力正比于加速度。其中：阻力又可以分為體內生成的阻力和體外由于自然原因形成的阻力(如：風阻)，這些阻力都與速度成正比。3)分析運動員單位時間消耗的能量可知，消耗能量的大小和運動的速度有關，另一方面還與速度的變化有關通俗點講就是跑的越快，耗能越大；跑速變化越頻繁，耗能也越大。而且可以根據(jù)實際訓練經(jīng)驗和已知的數(shù)據(jù)計算出兩者各自對于體能消耗的“邊際貢獻”各為多少，給兩者設定不同的權數(shù)，結合體內單位時間生產(chǎn)的能量即可列出體能變化方程。依據(jù)以上思路，長跑運動的最優(yōu)速度模型擬解決

7、的問題即可轉化為：“如何合理分配每一時段消耗的體能，使得完成規(guī)定賽跑路程所用時間最短，比賽成績越好”。而每一時段體能的變化又與當時的跑速及跑速變化情況有很大關系，運動員在不同的比賽中對于速度變化曲線的要求也是不相同的，當實際速度與理想速度之間存在速度差時采取什么方式加速(減速)，能夠以更合理的體能消耗方式完成比賽就成為重點研究的對象。使運動員在順利完成比賽的前提下，以最優(yōu)的體能消耗和最好的成績完成比賽，就是該模型需解決的問題。三、模型假設： 根據(jù)對傳統(tǒng)模型的分析得知，長跑運動是一項集力學，生物學，空氣動力學，機械學等多方面知識的綜合運動，最優(yōu)速度模型也是物理、生物、數(shù)學、計算機等多學科的有機結

8、合，而不是僅通過數(shù)學模型就可以完全描述的。但傳統(tǒng)模型卻試圖通過純粹的數(shù)學推導來描述這一整個運動過程，最終因為運用泛函求極值這樣復雜的數(shù)學方法使得實現(xiàn)性降低，同時由于無法顧及事物的多方面造成過于理論化的數(shù)學模型脫離實際，與實際情況嚴重不符。考慮到這些情況，我們對模型進行了一些有效的假設，通過假設使模型關注于解決對實際比賽更有意義的問題，這樣對模型的推導和實際的應用將有所幫助。假設1：跑步過程中的外部因素對速度的影響與當前速度成正比，比例系數(shù)為。由于其中風力為最主要影響因素，則可以根據(jù)實測風力修正系數(shù)；假設2：賽跑過程中的內部因素產(chǎn)生阻力對速度的影響與速度成正比，比例系數(shù)為。由于其中以體溫為主要衡

9、量指標，可以通過體溫變化修正系數(shù)；假設3：賽跑前運動員的體能總值為恒定值，賽跑時體內單位時間內生成的能量為海拔高度的函數(shù)，為處于海平面時體內單位時間內生成的能量，并且研究表明，每上升1000米最大攝氧量下降約6%，即。由于運動員初始能量和單位時間產(chǎn)生的能量所處的數(shù)量級與模型的正確與否關系不大，模型的精確性主要依靠體能模型中對于不同體能消耗原因的“邊際貢獻”定義合適的權值；假設4：根據(jù)具體訓練目標和訓練計劃，事先確定此次訓練的成績，即確定目標時間。由于不同的訓練目標對于運動員的要求不相同，即使相同訓練目標對于比賽的不同時期也不盡相同。速度最優(yōu)模型中的“最優(yōu)”一定基于某一個特定的比賽目標，放置比賽

10、不顧而空談最優(yōu)速度，只會使模型脫離實際而無法實際應用；假設5：根據(jù)經(jīng)驗，事先確定加速跑階段的運動員跑步?jīng)_力范圍，通過終端監(jiān)測運動員速度變化，和阻力參數(shù)的變化得出實時沖力，假設運動員在起跑后的一段時間內以接近最大沖力進行加速跑，當沖力下降到預期值并達到一定速度之后過渡進入途中跑階段；假設6：根據(jù)教練員實際經(jīng)驗結合運動員具體情況，事先確定進入沖刺跑階段所需要剩余的能量。和計劃沖刺時所剩余的距離?；蛘邲_刺開始時刻。同樣道理，沖刺跑階段運動員將在何時加速，以何種加速度進行加速是應該事先有所準備，依據(jù)當時的體能情況和對手情況分別對待，一味將最后的沖刺階段引入模型效果往往適得其反；假設7：由于以上參數(shù)因人

11、而異，特別是與運動員的體重有關，為了消除這個因素的影響，我們對運動員進行單位建模，即以下設運動員質量。四、符號約定： ：外部阻力系數(shù)；：內部阻力系數(shù)；： 體能總和； ： 海拔高度；：處于海平面時體內單位時間內生成的能量；：不同海拔高度單位時間生成的能量；：目標時間；：加速階段跑步?jīng)_力；：實時沖力；：最大沖力；：賽跑前體能總量；：沖刺跑階段所需要剩余的能量；：計劃沖刺時所剩余的距離；： 沖刺開始時刻；：儲存于體內的能量；：沖力限制系數(shù)；：速度函數(shù)；：帶量綱比例系數(shù)； ：途中跑過程中理想速度。五、模型建立與求解：<一>、短跑模型當賽程較短時運動員可以用每一時刻的最大沖力跑完全程，這必然

12、會取得最佳成績。至于多長的賽程才能用這種方法跑，應以儲存于體內的能量不小于零為標準，由參數(shù)決定。假設運動員克服生理限制后能發(fā)揮的最大沖力滿足，其中，是沖力限制系數(shù)，為初始時的最大沖力；因此通過解該微分方程組可以得到，（1）又由于短跑時持續(xù)時間較短，運動員體內溫度變化可以忽略不計，因此短跑時的內部阻力可以近似看作零，只有外部阻力的作用。則由Newton第二定律得，求解得，（2）再考慮運動員體內能量的變化，其變化率為單位時間提供的能量與消耗的能量之差，即：再聯(lián)合（1）（2）解得， （3）設當時，則在這種情況下運動員所能跑的最遠距離為 計算得， （4）根據(jù)某屆奧運會男子百米決賽前六名在比賽中到達距離

13、s與所用時間t（詳表見附錄一），運用Matlab軟件的最小二乘擬合（代碼見附錄二）求出參數(shù)：1.845；43.4；7.32；由于賽跑前運動員的體能總值和處于海平面單位時間體能恢復值的大小對最終建模的結果影響不大，可以根據(jù)傳統(tǒng)模型所描述的設定關于體能的兩個值： =3000 =41.1877將以上參數(shù)代入（3）式，令，針對不同比賽地點可直接將其海拔高度代入求解，在這里我們不妨取=0，運用Matlab工具求解此非線性方程（代碼見附錄三）得：22.8568再將其代入（4）式可以求得：215.26m即在海平面上，當賽跑距離小于215.26m時，用每一時刻的最大沖力跑完全程是可行的，并且能夠取得最佳成績。

14、而當賽跑距離大于215.26m時，則需要將其看作中長跑進行進一步的研究。<二>、中長跑模型1、修正后的速度模型建立：針對傳統(tǒng)模型體能變化的不合理之處，保留傳統(tǒng)模型中的方程結構和模型中一些初始參數(shù)擬合方法，重新評估體能模型并做出修正，新的模型推導如下：由積分學理論知，比賽距離： （5）現(xiàn)在問題歸結為，當和已知的情況下，如何分配不同時刻的，使得公式(5)成立，模型以運動員速度與體能變化率的影響因素為基礎展開討論。1)速度的變化情況受賽跑時運動員自身的沖力和來自體內和體外阻力、的影響，設運動員的沖力為，由牛頓第二定律，即得： （6）其中：和為內部、外部阻力系數(shù)；式中是由運動員自身控制的，

15、運動員可以通過速度的變化調整沖力，但是受到運動員自身所能發(fā)揮的最大沖力的限制，即有， 。2)體能的變化率為單位時間體內恢復能量與消耗能量之差，單位時間消耗體能取決于：沖力與速度的乘積，和運動員的速度變化有關，假設帶量綱比例系數(shù)分別為和，可得： （7）速度模型的建立和傳統(tǒng)模型相似，借鑒了傳統(tǒng)模型中運用牛頓第二定律的思路，建立速度變化和體能變化兩個方程，但與其他研究不同的地方在于：速度模型中引入外部阻力參數(shù)和海拔高度的影響，并且通過實現(xiàn)外部環(huán)境參數(shù)采集的方法將外部阻力參數(shù)應用到模型中。體能模型增加速度變化大小對體能消耗的影響，并增加兩個量綱權值系數(shù)以表述不同因素對體能消耗的影響。2、最優(yōu)速度模型的

16、推導：根據(jù)中長跑的特點將整個比賽過程分為加速跑，途中跑和沖刺跑三個階段：加速跑和沖刺跑階段視具體情況采用不同的加速度，途中跑階段占整個賽程的絕大部分，理論上應以勻速跑為主，但根據(jù)實際訓練情況來看：運動員在整個途中跑階段速度不是一成不變的，會根據(jù)當時所處的賽程和實際情況速度上存在變化，示意圖如下：圖（1）中長跑比賽三個階段實際上途中跑階段是整個長跑比賽中的關鍵，運動員將會把大部分精力投入到這一占整個長跑過程90以上的賽程中，這一階段對運動員體能、心理、技戰(zhàn)術等多方面的要求都比較高，運動輔助訓練器將把主要精力放在途中跑階段，試圖通過合理的速度建議讓運動員在該階段的成績有所提高，能在途中跑階段合理分

17、配體力，牽制對手，為最后的沖刺跑打下堅實基礎，下面根據(jù)各個階段對模型進行分析。3、加速跑階段：加速跑階段是指時間為的階段，運動員在加速跑階段應該迅速加速，搶占有利位置順利過渡到途中跑階段。為了計算得方便我們根據(jù)Keller模型中所述，運動員在前291m內可以認為以最大沖力加速跑，代入（6）可得： （8） 解此微分方程可得的變化函數(shù)為： （9）根據(jù)公式解出的該階段速度變化情況，可以為何時過渡到途中跑階段提供參考，在實際應用時可以根據(jù)測速器測出的運動員當前速度與該計算值進行比較，并參考事先擬定的訓練計劃，確定何時過渡到途中跑階段，開始提供速度建議。4、沖刺跑階段：依據(jù)假設(6)，設定如下參數(shù)：1)

18、沖刺階段初始時刻運動員所需剩余的體能；2)進入沖刺階段時所剩余的沖刺距離；3)沖刺階段擬需要的沖刺時間；運動員應該在此階段結束后將所有體能消耗至最小值，全力進行沖刺，在教練期望時間內沖刺跑完整個賽程。5、途中跑過程：該模型最重要的是最佳的速度建議，這里設為，公式形如： （10） 式中即為模型所求的建議速度值。已知離散函數(shù)中差分的方法表示微分求導，將公式（8）中的加速度用當前時刻的速度和前一采樣點的速度差來表示，公式可變?yōu)椋?由于長跑中速度變化不遵循單一連續(xù)函數(shù)所以，模型將整個途中跑階段的速度抽樣成為離散函數(shù)，記每個采樣點代表一個時刻運動員的速度，根據(jù)實時測速與計算可獲得當前速度、巨以及一些輔助

19、參數(shù)和。根據(jù)對途中跑階段的分析，已經(jīng)確定途中跑末端的體能值和時間，則在時間段至過程中，體能由下降到。由實際經(jīng)驗可得途中跑階段需要運動員狀態(tài)穩(wěn)定，體能的理想變化率應為恒定值（即體能均勻消耗），每一時刻產(chǎn)生的體能和消耗的體能差值應控制在一定范圍內，易得理想體能變化率為。 由于體能變化率一定時間內持續(xù)穩(wěn)定，將理想體能變化率代入體能變化方程（7）得: (11)可以解出速度為： (12)式中的為理想速度，因為速度是不可能無限增加，勢必會受到體能和沖力的約束。該速度的實際意義在于：如果運動員以的速度進行整個長跑過程，所產(chǎn)生的體能扣除由于速度變化和運動沖力消耗的體能，可以使得運動員在剩余的途中跑階段的總體體

20、能消耗更加均勻，速度變化更加吻合理想的曲線，最終使得整個比賽過程達到預定目標。為了求出理想速度，可以通過模擬測試，記錄下時刻的速度以及，并且將代入(3) 式求出，然后通過最小二乘擬合出參數(shù)（代碼見附錄四、附錄五），數(shù)值如下：1.648；2.817；0.5087；現(xiàn)在利用在時刻的連續(xù)性，由（9）（12）式得到。綜上所述，在中長跑過程中，在時間小于時，運動員可以按照最大的沖力比賽，到達時，就將速度調整為，直至剩余距離為教練賽前安排的時，進行最后的沖刺，這樣在理論上就可以取得最佳的成績。六、模型推廣：通過前面的數(shù)學模型理論推導，結合人體生理上的其他因素，可在Windows平臺上模擬運行，能在中長跑訓

21、練科學化的運動輔助訓練器上起到一定的作用。通過訓練器配置的生理傳感器和GPS測速系統(tǒng)在運動員訓練過程中對運動員的當前速度、生理參數(shù)和外界環(huán)境因素進行數(shù)據(jù)采集、處理，經(jīng)過運算最終給出佩帶者當前運動理想速度建議。對于賽跑運動員平時鍛煉起到科學訓練的作用。 此外，本模型還可進一步改進，用于游泳、皮劃艇等比賽項目的速度安排，使運動員取得最好的成績。七、附錄附錄一：某屆奧運會男子百米決賽前六名在比賽中到達距離s與所用時間ts（m）05152535455565758595t（s）00.9552.4353.4354.3355.2306.0856.9457.8158.6909.575附錄二：M-file：fu

22、nction f=curvefun1(x,tdata)f=(x(1)*x(2)*x(3)./(x(2)-x(1)*(x(1)*exp(-(tdata./x(1)-x(2)*exp(-(tdata./x(2) 命令代碼：tdata=0 0.955 2.435 3.345 4.355 5.230 6.085 6.945 7.815 8.690 9.575;cdata=0 5 15 25 35 45 55 65 75 85 95 ;x0=1.5 40 7.0;x=lsqcurvefit('curvefun1',x0,tdata,cdata);f=curvefun1(x,tdata)附

23、錄三：M-file：function ft=funt(t)ft=2.2405*2.71828.(-0.046.*t)-182.7*2.71828.(-0.565.*t)+41.1877.*t-942.2;命令代碼：>> z=fzero('funt',27.63)附錄四：編寫程序定義數(shù)據(jù)，其中自變量x與應變兩y分別代表擬合參數(shù)的時間t和距離S：xydataMfunction Ix，y=xydaxydataM;x=632 749 1127 2321;y=50 60 100 200;附錄五：編寫最小二乘擬合函數(shù)paraInparamx，y=xydata；a0=1 11；optionsTolX=O01；optionsDisplay=off；a=fminsearch(twoexps，a0,options，x，y)；課程設計綜合成績評定表課程名稱數(shù)學建模課程設計報告設計題目賽跑的速度指導教師評語指導教師簽字：年 月 日設計報告成績綜合評定項 目等 級1、計算和繪圖能力2、綜合運用專業(yè)知識能力3、運用計算機能力和外語能力4、查閱資料、運用工具書的能力5、獨立完成設計能力6、書寫情況（文字能力、整潔度）7、表述能力（邏輯性、條理性）學生姓名學生班級平時考