高中數(shù)學(xué)12應(yīng)用舉例教案教案2新人教A版必修5

1、§1.2解三角形應(yīng)用舉例 第一課時(shí)教學(xué)目標(biāo)知識(shí)與技能：能夠運(yùn)用正弦定理、余弦定理等知識(shí)和方法解決一些有關(guān)測(cè)量距離的實(shí)際問題，了解常用的測(cè)量相關(guān)術(shù)語過程與方法：首先通過巧妙的設(shè)疑，順利地引導(dǎo)新課，為以后的幾節(jié)課做良好鋪墊。其次結(jié)合學(xué)生的實(shí)際情況，采用“提出問題引發(fā)思考探索猜想總結(jié)規(guī)律反饋訓(xùn)練”的教學(xué)過程，根據(jù)大綱要求以及教學(xué)內(nèi)容之間的內(nèi)在關(guān)系，鋪開例題，設(shè)計(jì)變式，同時(shí)通過多媒體、圖形觀察等直觀演示，幫助學(xué)生掌握解法，能夠類比解決實(shí)際問題。對(duì)于例2這樣的開放性題目要鼓勵(lì)學(xué)生討論，開放多種思路，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題并進(jìn)行適當(dāng)?shù)闹更c(diǎn)和矯正情感態(tài)度與價(jià)值觀：激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣,并體會(huì)數(shù)學(xué)的應(yīng)用

2、價(jià)值；同時(shí)培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用圖形、數(shù)學(xué)符號(hào)表達(dá)題意和應(yīng)用轉(zhuǎn)化思想解決數(shù)學(xué)問題的能力教學(xué)重點(diǎn)實(shí)際問題中抽象出一個(gè)或幾個(gè)三角形，然后逐個(gè)解決三角形，得到實(shí)際問題的解教學(xué)難點(diǎn)根據(jù)題意建立數(shù)學(xué)模型，畫出示意圖教學(xué)過程.課題導(dǎo)入1、復(fù)習(xí)舊知復(fù)習(xí)提問什么是正弦定理、余弦定理以及它們可以解決哪些類型的三角形？2、設(shè)置情境請(qǐng)學(xué)生回答完后再提問：前面引言第一章“解三角形”中，我們遇到這么一個(gè)問題，“遙不可及的月亮離我們地球究竟有多遠(yuǎn)呢？”在古代，天文學(xué)家沒有先進(jìn)的儀器就已經(jīng)估算出了兩者的距離，是什么神奇的方法探索到這個(gè)奧秘的呢？我們知道，對(duì)于未知的距離、高度等，存在著許多可供選擇的測(cè)量方案，比如可以應(yīng)用全等三角形、相

3、似三角形的方法，或借助解直角三角形等等不同的方法，但由于在實(shí)際測(cè)量問題的真實(shí)背景下，某些方法會(huì)不能實(shí)施。如因?yàn)闆]有足夠的空間，不能用全等三角形的方法來測(cè)量，所以，有些方法會(huì)有局限性。于是上面介紹的問題是用以前的方法所不能解決的。今天我們開始學(xué)習(xí)正弦定理、余弦定理在科學(xué)實(shí)踐中的重要應(yīng)用，首先研究如何測(cè)量距離。.講授新課（1）解決實(shí)際測(cè)量問題的過程一般要充分認(rèn)真理解題意，正確做出圖形，把實(shí)際問題里的條件和所求轉(zhuǎn)換成三角形中的已知和未知的邊、角，通過建立數(shù)學(xué)模型來求解例題講解(2)例1、如圖，設(shè)a、b兩點(diǎn)在河的兩岸，要測(cè)量?jī)牲c(diǎn)之間的距離，測(cè)量者在a的同側(cè)，在所在的河岸邊選定一點(diǎn)c，測(cè)出ac的距離是5

4、5m，bac=，acb=。求a、b兩點(diǎn)的距離(精確到0.1m)啟發(fā)提問1：abc中，根據(jù)已知的邊和對(duì)應(yīng)角，運(yùn)用哪個(gè)定理比較適當(dāng)？啟發(fā)提問2：運(yùn)用該定理解題還需要那些邊和角呢？請(qǐng)學(xué)生回答。分析：這是一道關(guān)于測(cè)量從一個(gè)可到達(dá)的點(diǎn)到一個(gè)不可到達(dá)的點(diǎn)之間的距離的問題，題目條件告訴了邊ab的對(duì)角，ac為已知邊，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理很容易根據(jù)兩個(gè)已知角算出ac的對(duì)角，應(yīng)用正弦定理算出ab邊。解：根據(jù)正弦定理，得 = ab = = = = 65.7(m)答:a、b兩點(diǎn)間的距離為65.7米變式練習(xí)：兩燈塔a、b與海洋觀察站c的距離都等于a km,燈塔a在觀察站c的北偏東30，燈塔b在觀察站c南偏東60，則

5、a、b之間的距離為多少？老師指導(dǎo)學(xué)生畫圖，建立數(shù)學(xué)模型。解略：a km例2、如圖，a、b兩點(diǎn)都在河的對(duì)岸（不可到達(dá)），設(shè)計(jì)一種測(cè)量a、b兩點(diǎn)間距離的方法。分析：這是例1的變式題，研究的是兩個(gè)不可到達(dá)的點(diǎn)之間的距離測(cè)量問題。首先需要構(gòu)造三角形，所以需要確定c、d兩點(diǎn)。根據(jù)正弦定理中已知三角形的任意兩個(gè)內(nèi)角與一邊既可求出另兩邊的方法，分別求出ac和bc，再利用余弦定理可以計(jì)算出ab的距離。解：測(cè)量者可以在河岸邊選定兩點(diǎn)c、d，測(cè)得cd=a，并且在c、d兩點(diǎn)分別測(cè)得bca=，acd=，cdb=，bda =，在adc和bdc中，應(yīng)用正弦定理得 ac = = bc = = 計(jì)算出ac和bc后，再在abc

6、中，應(yīng)用余弦定理計(jì)算出ab兩點(diǎn)間的距離 ab = 分組討論：還沒有其它的方法呢？師生一起對(duì)不同方法進(jìn)行對(duì)比、分析。變式訓(xùn)練：若在河岸選取相距40米的c、d兩點(diǎn)，測(cè)得bca=60，acd=30，cdb=45，bda =60略解：將題中各已知量代入例2推出的公式，得ab=20評(píng)注：可見，在研究三角形時(shí)，靈活根據(jù)兩個(gè)定理可以尋找到多種解決問題的方案，但有些過程較繁復(fù)，如何找到最優(yōu)的方法，最主要的還是分析兩個(gè)定理的特點(diǎn)，結(jié)合題目條件來選擇最佳的計(jì)算方式。學(xué)生閱讀課本4頁，了解測(cè)量中基線的概念，并找到生活中的相應(yīng)例子。.課堂練習(xí)課本第14頁練習(xí)第1、2題.課時(shí)小結(jié)解斜三角形應(yīng)用題的一般步驟：（1）分析：

7、理解題意，分清已知與未知，畫出示意圖（2）建模：根據(jù)已知條件與求解目標(biāo)，把已知量與求解量盡量集中在有關(guān)的三角形中，建立一個(gè)解斜三角形的數(shù)學(xué)模型（3）求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得數(shù)學(xué)模型的解（4）檢驗(yàn)：檢驗(yàn)上述所求的解是否符合實(shí)際意義，從而得出實(shí)際問題的解.課后作業(yè)課本第22頁第1、2、3題板書設(shè)計(jì)授后記課題: §1.2解三角形應(yīng)用舉例第二課時(shí)授課類型：新授課教學(xué)目標(biāo)知識(shí)與技能：能夠運(yùn)用正弦定理、余弦定理等知識(shí)和方法解決一些有關(guān)底部不可到達(dá)的物體高度測(cè)量的問題過程與方法：本節(jié)課是解三角形應(yīng)用舉例的延伸。采用啟發(fā)與嘗試的方法，讓學(xué)生在溫故知新中學(xué)會(huì)正確識(shí)圖、畫圖、想

8、圖，幫助學(xué)生逐步構(gòu)建知識(shí)框架。通過3道例題的安排和練習(xí)的訓(xùn)練來鞏固深化解三角形實(shí)際問題的一般方法。教學(xué)形式要堅(jiān)持引導(dǎo)討論歸納，目的不在于讓學(xué)生記住結(jié)論，更多的要養(yǎng)成良好的研究、探索習(xí)慣。作業(yè)設(shè)計(jì)思考題，提供學(xué)生更廣闊的思考空間情感態(tài)度與價(jià)值觀：進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)、應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識(shí)及觀察、歸納、類比、概括的能力教學(xué)重點(diǎn)結(jié)合實(shí)際測(cè)量工具，解決生活中的測(cè)量高度問題教學(xué)難點(diǎn)能觀察較復(fù)雜的圖形，從中找到解決問題的關(guān)鍵條件教學(xué)過程.課題導(dǎo)入提問：現(xiàn)實(shí)生活中,人們是怎樣測(cè)量底部不可到達(dá)的建筑物高度呢？又怎樣在水平飛行的飛機(jī)上測(cè)量飛機(jī)下方山頂?shù)暮０胃叨饶?？今天我們就來共同探討這方面的問題.講授新課范例講解例

9、1、ab是底部b不可到達(dá)的一個(gè)建筑物，a為建筑物的最高點(diǎn)，設(shè)計(jì)一種測(cè)量建筑物高度ab的方法。分析：求ab長(zhǎng)的關(guān)鍵是先求ae，在ace中，如能求出c點(diǎn)到建筑物頂部a的距離ca，再測(cè)出由c點(diǎn)觀察a的仰角，就可以計(jì)算出ae的長(zhǎng)。解：選擇一條水平基線hg，使h、g、b三點(diǎn)在同一條直線上。由在h、g兩點(diǎn)用測(cè)角儀器測(cè)得a的仰角分別是、，cd = a，測(cè)角儀器的高是h，那么，在acd中，根據(jù)正弦定理可得ac = ab = ae + h = ac+ h = + h例2、如圖，在山頂鐵塔上b處測(cè)得地面上一點(diǎn)a的俯角=54，在塔底c處測(cè)得a處的俯角=50。已知鐵塔bc部分的高為27.3 m,求出山高cd(精確到1

10、 m)師:根據(jù)已知條件,大家能設(shè)計(jì)出解題方案嗎？（給時(shí)間給學(xué)生討論思考）若在abd中求cd，則關(guān)鍵需要求出哪條邊呢？生：需求出bd邊。師：那如何求bd邊呢？生：可首先求出ab邊，再根據(jù)bad=求得。解:在abc中, bca=90+,abc =90-,bac=- ,bad =.根據(jù)正弦定理, = 所以 ab =解rtabd中,得 bd =absinbad=將測(cè)量數(shù)據(jù)代入上式,得 bd = = 177 (m)cd =bd -bc177-27.3=150(m)答:山的高度約為150米.師：有沒有別的解法呢？生：若在acd中求cd，可先求出ac。師：分析得很好，請(qǐng)大家接著思考如何求出ac？生：同理，在

11、abc中，根據(jù)正弦定理求得。（解題過程略）例3、如圖,一輛汽車在一條水平的公路上向正東行駛,到a處時(shí)測(cè)得公路南側(cè)遠(yuǎn)處一山頂d在東偏南15的方向上,行駛5km后到達(dá)b處,測(cè)得此山頂在東偏南25的方向上,仰角為8,求此山的高度cd.師：欲求出cd，大家思考在哪個(gè)三角形中研究比較適合呢？生：在bcd中師：在bcd中，已知bd或bc都可求出cd,根據(jù)條件,易計(jì)算出哪條邊的長(zhǎng)？生：bc邊解:在abc中, a=15,c= 25-15=10,根據(jù)正弦定理, = , bc = 7.4524(km)cd=bctandbcbctan81047(m)答:山的高度約為1047米.課堂練習(xí)課本第17頁練習(xí)第1、2、3題

12、.課時(shí)小結(jié)利用正弦定理和余弦定理來解題時(shí)，要學(xué)會(huì)審題及根據(jù)題意畫方位圖,要懂得從所給的背景資料中進(jìn)行加工、抽取主要因素，進(jìn)行適當(dāng)?shù)暮?jiǎn)化。.課后作業(yè)1、 課本第23頁練習(xí)第6、7、8題2、 為測(cè)某塔ab的高度，在一幢與塔ab相距20m的樓的樓頂處測(cè)得塔頂a的仰角為30，測(cè)得塔基b的俯角為45，則塔ab的高度為多少m？答案：20+(m)板書設(shè)計(jì)授后記課題: §1.2解三角形應(yīng)用舉例第三課時(shí)授課類型：新授課教學(xué)目標(biāo)知識(shí)與技能：能夠運(yùn)用正弦定理、余弦定理等知識(shí)和方法解決一些有關(guān)計(jì)算角度的實(shí)際問題過程與方法：本節(jié)課是在學(xué)習(xí)了相關(guān)內(nèi)容后的第三節(jié)課，學(xué)生已經(jīng)對(duì)解法有了基本的了解，這節(jié)課應(yīng)通過綜合訓(xùn)

13、練強(qiáng)化學(xué)生的相應(yīng)能力。除了安排課本上的例1，還針對(duì)性地選擇了既具典型性有具啟發(fā)性的2道例題，強(qiáng)調(diào)知識(shí)的傳授更重能力的滲透。課堂中要充分體現(xiàn)學(xué)生的主體地位，重過程，重討論，教師通過導(dǎo)疑、導(dǎo)思讓學(xué)生有效、積極、主動(dòng)地參與到探究問題的過程中來，逐步讓學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)規(guī)律，舉一反三。情感態(tài)度與價(jià)值觀：培養(yǎng)學(xué)生提出問題、正確分析問題、獨(dú)立解決問題的能力，并在教學(xué)過程中激發(fā)學(xué)生的探索精神。教學(xué)重點(diǎn)能根據(jù)正弦定理、余弦定理的特點(diǎn)找到已知條件和所求角的關(guān)系教學(xué)難點(diǎn)靈活運(yùn)用正弦定理和余弦定理解關(guān)于角度的問題教學(xué)過程.課題導(dǎo)入創(chuàng)設(shè)情境提問：前面我們學(xué)習(xí)了如何測(cè)量距離和高度，這些實(shí)際上都可轉(zhuǎn)化已知三角形的一些邊和角求其

14、余邊的問題。然而在實(shí)際的航海生活中,人們又會(huì)遇到新的問題，在浩瀚無垠的海面上如何確保輪船不迷失方向，保持一定的航速和航向呢？今天我們接著探討這方面的測(cè)量問題。.講授新課范例講解例1、如圖，一艘海輪從a出發(fā)，沿北偏東75的方向航行67.5 n mile后到達(dá)海島b,然后從b出發(fā),沿北偏東32的方向航行54.0 n mile后達(dá)到海島c.如果下次航行直接從a出發(fā)到達(dá)c,此船應(yīng)該沿怎樣的方向航行,需要航行多少距離?(角度精確到0.1,距離精確到0.01n mile)學(xué)生看圖思考并講述解題思路教師根據(jù)學(xué)生的回答歸納分析：首先根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出ac邊所對(duì)的角abc，即可用余弦定理算出ac邊，再根

15、據(jù)正弦定理算出ac邊和ab邊的夾角cab。解：在abc中，abc=180- 75+ 32=137，根據(jù)余弦定理，ac= = 113.15根據(jù)正弦定理, = sincab = = 0.3255,所以 cab =19.0, 75- cab =56.0答:此船應(yīng)該沿北偏東56.1的方向航行,需要航行113.15n mile例2、在某點(diǎn)b處測(cè)得建筑物ae的頂端a的仰角為，沿be方向前進(jìn)30m，至點(diǎn)c處測(cè)得頂端a的仰角為2，再繼續(xù)前進(jìn)10m至d點(diǎn)，測(cè)得頂端a的仰角為4，求的大小和建筑物ae的高。師：請(qǐng)大家根據(jù)題意畫出方位圖。生：上臺(tái)板演方位圖（上圖）教師先引導(dǎo)和鼓勵(lì)學(xué)生積極思考解題方法，讓學(xué)生動(dòng)手練習(xí)，

16、請(qǐng)三位同學(xué)用三種不同方法板演，然后教師補(bǔ)充講評(píng)。解法一：（用正弦定理求解）由已知可得在acd中， ac=bc=30， ad=dc=10， adc =180-4， = 。 因?yàn)?sin4=2sin2cos2cos2=,得 2=30=15，在rtade中，ae=adsin60=15答：所求角為15，建筑物高度為15m解法二：（設(shè)方程來求解）設(shè)de= x，ae=h 在 rtace中,(10+ x) + h=30 在 rtade中,x+h=(10) 兩式相減，得x=5,h=15在 rtace中,tan2=2=30,=15 答：所求角為15，建筑物高度為15m解法三：（用倍角公式求解）設(shè)建筑物高為ae=

17、8，由題意，得bac=， cad=2，ac = bc =30m , ad = cd =10m在rtace中，sin2= - 在rtade中，sin4=, - 得 cos2=,2=30,=15，ae=adsin60=15答：所求角為15，建筑物高度為15m例3、某巡邏艇在a處發(fā)現(xiàn)北偏東45相距9海里的c處有一艘走私船，正沿南偏東75的方向以10海里/小時(shí)的速度向我海岸行駛，巡邏艇立即以14海里/小時(shí)的速度沿著直線方向追去，問巡邏艇應(yīng)該沿什么方向去追？需要多少時(shí)間才追趕上該走私船？師：你能根據(jù)題意畫出方位圖？教師啟發(fā)學(xué)生做圖建立數(shù)學(xué)模型分析：這道題的關(guān)鍵是計(jì)算出三角形的各邊，即需要引入時(shí)間這個(gè)參變量。解：如圖，設(shè)該巡邏艇沿ab方向經(jīng)過x小時(shí)后在b處追上走私船，則cb=10x, ab=14x,ac=9,acb=+= (14x) = 9+ (10x) -2910xcos化簡(jiǎn)得32x-30x-27=0，即x=,或x=-(舍去)所以bc = 10x =15,ab =14x =21,又因?yàn)閟inbac =bac =38,或bac =141（鈍角不合題意，舍去），38+=83答：巡邏艇應(yīng)該沿北偏東83方向去追，經(jīng)過1.4小時(shí)才追趕上該走私船.評(píng)注：在求解三角形中，我們可以根據(jù)正弦函數(shù)的定義得到兩個(gè)解，但作為有關(guān)現(xiàn)實(shí)生活的應(yīng)用題，必須檢驗(yàn)上述所求的解