第五章定積分

1、第五章 定積分一、 內(nèi)容提要1概念與性質(zhì)定積分 設(shè)在上有界.(極限存在時(shí))其中是任意分割為個(gè)小區(qū)間，所得的第個(gè)小區(qū)間的長度，,是第個(gè)小區(qū)間上的任意一點(diǎn).設(shè)函數(shù)在a,b上可積，定積分有以下性質(zhì)：性質(zhì)1 =（為常數(shù)）.性質(zhì)2 .性質(zhì)3 =，規(guī)定.性質(zhì)4 =+.性質(zhì)5 若在上，則.性質(zhì)6 .性質(zhì)7 估值定理 若在上的最大值和最小值分別為和，則.性質(zhì)8（定積分中值定理）若在上連續(xù),則在上至少存在一點(diǎn)，使得，.無窮限的廣義積分 設(shè)在連續(xù)，若右邊極限存在，則稱無窮限廣義積分收斂，否則稱其發(fā)散（不收斂）.無界函數(shù)的廣義積分 設(shè)在連續(xù)，若右邊極限存在，則稱無界函數(shù)的廣義積分收斂，否則稱其發(fā)散（不收斂）.2.定

2、理與公式牛頓萊布尼茨公式 其中在 a ,b 上連續(xù)，是在a,b上的一個(gè)原函數(shù). 換元積分公式 式中在上單調(diào)，有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且，.分部積分公式=式中在上具有連續(xù)導(dǎo)數(shù). 變上限定積分求導(dǎo)公式式中是連續(xù)函數(shù)，在a,b皆可導(dǎo).二、例題分析1.定義與性質(zhì)例5.1 計(jì)算下列極限（1）；（2）；（3）.分析 由定積分定義知 由此可求一些和式的極限. 解 （1）（2） （3）例5.2 求（1998年數(shù)學(xué)考研試題）.分析 解此類題一般有兩種方法，一是夾逼定理，二是化為定積分的和式.本題是兩種方法的結(jié)合，先用夾逼定理，再將夾逼定理中不等式的左、右兩邊再化成定積分形式.解 由于所以 而 于是 例5.3 估計(jì)下列各積分

3、的值：（1）；（2）.分析 求出被積函數(shù)在積分區(qū)間上的最大、最小值.解 （1）在上單調(diào)遞增且大于零，所以在上也單調(diào)遞增，故，即 （2）記，則.令，得唯一駐點(diǎn).又，,所以 ， 即 例5.4 設(shè)及在上連續(xù)，證明 （1）若在上，且，則在上，；（2）若在上，且，則在上，.證明（1）（方法一） 用反證法 假設(shè)在上，則至少存在某點(diǎn)，使（不妨設(shè)，若是區(qū)間端點(diǎn)證明類似），由于在上連續(xù)，則存在的某個(gè)鄰域，使得對(duì)鄰域內(nèi)一切都有（是某個(gè)常數(shù)），因此這與假設(shè)矛盾，所以在上.（方法二）設(shè)，（），則，因?yàn)樵谏线B續(xù)，且，故 ，.又因 =，所以 （），因此 ，即 （）.（2）令，則在上，且，由上面的結(jié)論知，即在上.例5.5

4、設(shè)在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，且，求證:.分析 由已知的導(dǎo)數(shù)與m的不等關(guān)系，要證明的定積分與m之間的不等關(guān)系，首先用拉格朗日中值定理建立與其導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系，然后用定積分中性質(zhì)5的推論（1）證之.證明 在內(nèi)任取一點(diǎn)，因?yàn)樵谏线B續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，所以在上滿足拉格朗日中值定理的條件，則在內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使得又因，所以將上述不等式兩邊從到積分，得即 例5.6 設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，內(nèi)可導(dǎo)，且證明在內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使分析 在上連續(xù)，內(nèi)可導(dǎo)，證明在內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使成立，一般常用羅爾定理.但這里缺少條件，注意到由積分中值定理, 所以 其中，故羅爾定理的條件滿足.證明 由積分中值定理知，至少存在一點(diǎn)，使即，故在上滿足羅爾定理

5、的條件，于是在內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使例5.7 設(shè)在區(qū)間上連續(xù)，在區(qū)間上連續(xù)且不變號(hào)，證明至少存在一點(diǎn)，使下式成立：（積分第二中值定理）分析 ，所以只要證明其中分別為在上的最大、最小值.證明 由于在上連續(xù)，故可設(shè)分別為在上的最大、最小值.（1）若，則，即（2）若，則同樣有 由介值定理的推論知，必存在，使得故 例5.8 設(shè)在區(qū)間上均連續(xù)，證明：（1）（柯西-施瓦茨不等式）；（2）（閔可夫斯基不等式）.分析（1）將看作是二次多項(xiàng)式根的判別式.則相應(yīng)的二次多項(xiàng)式為因?yàn)?，所以只要證明 （2）兩邊平方整理得，由（1）的結(jié)論知上式成立.證明 （1）因?yàn)?即 上式左端是關(guān)于的二次多項(xiàng)式，從而有判別式，即 所以 （

6、2） 由（1）的結(jié)論知 即 于是 即 所以 2微積分基本公式例5.9 計(jì)算下列各導(dǎo)數(shù)：（1）；（2）.解 （1）（2）例5.10 計(jì)算（1）；（2）；（3）.解（1）定積分對(duì)于變量來說，是一個(gè)常數(shù)，所以（2）定積分對(duì)于變量來說，是變上限的定積分，因此，=（3）定積分對(duì)于變量來說，是變下限的定積分，因此，=例5.11 設(shè)連續(xù)，則. ; ; ; .(1998年數(shù)學(xué)考研試題)分析 欲求，將通過變量代換，把被積函數(shù)中的轉(zhuǎn)化到積分限上,再求導(dǎo).解 令，則，故選.例5.12 設(shè)函數(shù)連續(xù)，且（a為常數(shù)），求并討論在處的連續(xù)性.(1997年數(shù)學(xué)考研試題)分析 與例5.11類似，當(dāng)時(shí)，將通過變量代換，把被積函數(shù)

7、中的轉(zhuǎn)化到積分限上,再求.當(dāng)時(shí)，由的定義知.根據(jù)知.由導(dǎo)數(shù)定義求出.再根據(jù)函數(shù)連續(xù)性的定義判斷在處的連續(xù)性.解 令，則 = 由及的連續(xù)性知:，從而.由導(dǎo)數(shù)定義得 故 又 所以在處連續(xù).例5.13 求下列極限（1）；（2）.解 (1) .(2) .例5.14（1）求；（2）設(shè)，求.分析 被積函數(shù)出現(xiàn)根式、絕對(duì)值、分段函數(shù)等形式，計(jì)算時(shí)首先去掉根式、絕對(duì)值記號(hào)或分段記號(hào)，這時(shí)特別要注意被積函數(shù)在不同區(qū)間上的正負(fù)號(hào)或不同表達(dá)式，以免導(dǎo)致錯(cuò)誤.解 （1）=（2）, 所以+=+=7例5.15 設(shè),求在上的表達(dá)式，并討論在內(nèi)的連續(xù)性.分析 由于的定義域被分成兩段，故的表達(dá)式也要相應(yīng)地分成兩段來討論.解 當(dāng)

8、時(shí)，；當(dāng)時(shí)，=+.所以 顯然，在內(nèi)連續(xù)，只需討論它在處的連續(xù)性.因?yàn)?故在處連續(xù)，從而在內(nèi)處處連續(xù).例5.16 設(shè),求在內(nèi)的表達(dá)式.分析 由于的定義域被分成三段，故的表達(dá)式也要相應(yīng)地分成三段來討論.解 當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，=+所以 例5.17 設(shè)在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，且，證明在內(nèi)有.證明 （方法一） （方法二）例5.18 設(shè)，證明.分析 注意到，.所以，只要證明時(shí)，即可.證明 因?yàn)闀r(shí)，所以 及 , 即 因此 而 所以 3.定積分的換元法例5.19 計(jì)算.解（方法一）（方法二）.注意 換元積分中，新的變量不寫出，則上、下限不能變；新的變量一旦寫出，則上、下限一定要變.例5.20 計(jì)算.解 (方法一

9、) 用三角代換（對(duì)于三角變換，通常取反三角函數(shù)的主值，以保證單值，滿足換元積分的條件）令 ，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，=（方法二） 令，則，且當(dāng)時(shí)，；時(shí)， 例5.21 計(jì)算解 作變換，則， .例5.22 求（1）；（2）.解 （1）常見錯(cuò)解 (1) 作代換，則，且當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.由=，移項(xiàng)得 .錯(cuò)誤原因 代換在處不連續(xù)，當(dāng)然也不可導(dǎo)，在引用變量代換時(shí)，必須滿足單值且有連續(xù)導(dǎo)數(shù)的條件.（2）因，所以注意 遇到對(duì)稱區(qū)間上的定積分時(shí)，首先要考慮被積函數(shù)的奇偶性.例5.23 設(shè)，則（ ）. （1994年數(shù)學(xué)考研試題）解 考察被積函數(shù)的奇偶性得，故 ，選.例5.24 證明 .分析 本題由上、下限易看出所作的變量代換

10、為證明 令，則例5.25 證明 分析 本題由上、下限可想到先將左邊分為積分區(qū)間為和的積分，然后再通過變量代換（由上、下限易看出）將上的積分化為上的積分.證明 令，則由同濟(jì)四版上冊(cè)第300頁例6知所以 例5.26 設(shè)，求.解 令，則例5.27 計(jì)算.分析 本題考慮用變量代換使得原積分再現(xiàn)，即將上、下限分別為的積分化為上、下限分別為的積分.由積分上、下限知所作變換應(yīng)滿足.解 令，則所以 例5.28 若是連續(xù)函數(shù)且為奇函數(shù)，證明是偶函數(shù)；若是連續(xù)函數(shù)且為偶函數(shù)，證明是奇函數(shù).分析 記，要證明是偶函數(shù)，只要證,即（所需變換由上、下限易看出）.證明 記，則.若為奇函數(shù)，則,所以是偶函數(shù)；若為偶函數(shù)，則所

11、以是奇函數(shù).例5.29 設(shè)是以為周期的連續(xù)函數(shù)，證明的值與無關(guān).分析 （方法一）由定積分的幾何意義直觀地可看出，與無關(guān).為證得上式，須將分成再證明（所需變換由上、下限易看出）.（方法二）要證與無關(guān)，只要證.證明 （方法一）因?yàn)?,而所以,即的值與無關(guān).（方法二）因?yàn)椋缘闹蹬c無關(guān).例5.30 設(shè)，則(a) 為正常數(shù) (b) 為負(fù)常數(shù)(c) 恒為零 (d) 不為常數(shù)（1997年數(shù)學(xué)考研試題）解 因?yàn)楸环e函數(shù)以為周期，故故選（a）.4定積分的分部積分公式例5.31 計(jì)算解 利用定積分的分部積分公式得 +移項(xiàng)整理,得=+=+=+注意 本題也可以作代換，利用換元積分法來計(jì)算，但是換元后要求出的原函數(shù)

12、，計(jì)算就復(fù)雜的多.例5.32 計(jì)算定積分（為自然數(shù)）.解（方法一）（用分部積分法得出遞推公式，再求之.） .記，則而 ， 所以為正偶數(shù)時(shí)，；為大于1的奇數(shù)時(shí)，.即 （方法二）令，則由同濟(jì)四版上冊(cè)第305頁例3知 例5.33 計(jì)算解 由同濟(jì)四版上冊(cè)第300頁例6（2）與第303頁習(xí)題5-4.8得.又由同濟(jì)四版上冊(cè)第305頁例3得又當(dāng)時(shí)，.當(dāng)時(shí)，.例5.34 計(jì)算；解 .例5.35 設(shè)，求.分析 （方法一）因?yàn)榈脑瘮?shù)不能用初等函數(shù)表示，直接求定積分有困難.對(duì)積分用分部積分法.而由，可知， ，問題便得到解決.（方法二）將看作二重積分，交換積分次序即可求得.解 （方法一）圖5-1=.（方法二）.例5

13、.36 設(shè)為連續(xù)函數(shù)，證明.證明 （方法一）由分部積分公式得所以 （方法二）令，則所以（常數(shù)）,又因?yàn)?，?所以 圖5-2（方法三）時(shí)，將右邊看作二重積分，交換積分次序得；當(dāng)時(shí)，二重積分 圖5-3所以 當(dāng)時(shí)，結(jié)論顯然成立.綜上所述知 .5廣義積分例5.37 計(jì)算解 例5.38 計(jì)算解 例5.39 計(jì)算解 例5.40 計(jì)算解 因?yàn)?所以發(fā)散.常見錯(cuò)解 因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以.例5.41 討論的收斂性.分析 如果忽略是的無窮間斷點(diǎn)，而把它誤認(rèn)為定積分來計(jì)算，就會(huì)得到錯(cuò)誤的結(jié)果.解 因?yàn)?所以發(fā)散，從而發(fā)散.例5.42 計(jì)算解 例5.43 討論的收斂性.解 因?yàn)槭堑臒o窮間斷點(diǎn)，所以+又因?yàn)?所以發(fā)散，從

14、而發(fā)散.注意 對(duì)于例5.43這種類型廣義積分要化成上、下限只有一個(gè)是無窮或無窮間斷點(diǎn)的廣義積分之和討論.和式中每一個(gè)廣義積分都收斂，則原廣義積分收斂，否則原廣義積分發(fā)散.例5.44 當(dāng)為何值時(shí)，廣義積分收斂？當(dāng)為何值時(shí)，這廣義積分發(fā)散？又當(dāng)為何值時(shí)，這廣義積分取得最小值？解 當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)， 故當(dāng)時(shí)，廣義積分發(fā)散；當(dāng)時(shí)，廣義積分收斂 收斂時(shí)廣義積分的值為：則 令，得唯一的駐點(diǎn).當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，所以當(dāng)時(shí)，.例5.45 利用遞推公式計(jì)算廣義積分.解 由洛必達(dá)法則,對(duì)，有因而 依次類推得 而 故 三、自測(cè)題（滿分100分，時(shí)間 90分鐘）；一、 填空題 1. 設(shè)在上連續(xù)，則+ ；2. ；3. ，則 ；4. ； ；5. 設(shè)，且，則 ；6. 對(duì)于函數(shù)在閉區(qū)間上應(yīng)用定積分中值定理，則定理結(jié)論中的 .二、 選擇題 1. =（ ）（a）；（b）；（c）；（d）2. （ ）（a）；（b）；（c）；（d）發(fā)散3. （ ）（a）；（b）；（c）；（d）4. 若，則（ ）（a）；（b）；（c）；（d）5. 設(shè)在上連續(xù)，則下列積分正確的是（