6講分布函數(shù)及概率密度

1、概率論與數(shù)理統(tǒng)計第六講主講教師：張冬梅博士副教授浙江工業(yè)大學(xué)理學(xué)院2.3隨機(jī)變量及其分布隨機(jī)變量的分布函數(shù);概率密度;幾種常見連續(xù)型隨機(jī)變量分布2.3.1隨機(jī)變量的分布函數(shù)定義1:設(shè)X(効是一個隨機(jī)變量，稱函數(shù) F(x) = PX<x, -oo< X <00 為隨機(jī)變量X的分布函數(shù)。性質(zhì)：(1) Va<6,總有FS) WF(b)(單調(diào)非減性)；(2) F (x)是一個右連續(xù)函數(shù)；(3) . VxgI?，總有OWF(QW1(有界性),且limF(x) = 0, lim F(x) = 1 ox-、oox-oo常記 lim F(x)為F(-oo), lim F(x)為F(oo

2、).XfgXS1 °證明：僅證。因a<X<b = X<jb -X<a,Pa<X<b = PX<b - PX<a=F(b) - F(a)又，因 Pa<X<b>09 故 F(a)<F(b).注意：一個重要公式：Pa<X<jb=F(b)-F(a).合1。氏即隨機(jī)變量落在區(qū)間S,刃上的概率可以通 過分布函數(shù)來計算。離散型隨機(jī)變量的分布函數(shù)設(shè)離散型隨機(jī)變量X的概率分布為幾=P X二兀氐，比=1，2,，X的分布函數(shù)為F(x) = PX <x = P YX =xk1必“丿XkSx工以XkSx故離散型隨機(jī)變量的

3、分布函數(shù)Fd）,在 （壯1，2,）處有跳躍值pk=PX=xk9如下圖 所示：Xix2X3X4n§ 23.2連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度連續(xù)型隨機(jī)變量所有可能取值充滿若干個區(qū)間O可用“概率分布函數(shù)”和“概率密度函數(shù)”表 示隨機(jī)變量的概率分布。概率密度函數(shù)P(a<X <b)-af(x)dx,(1)則稱X為連續(xù)型隨機(jī)變量，/（工）為X的概率密 度函數(shù)，簡稱概率密度或密度。定義"若存在非負(fù)可積函數(shù)/（兀）,使隨機(jī) 變量X取值于任一區(qū)間（偽方的概率可表示成_ . 一 rb是否為概率密度函數(shù)的充 要條件。(2).概率密度函數(shù)的性質(zhì)(1). /(%)>0；J這兩條性質(zhì)是判定

4、函數(shù)/(對 r必二1;-oo "/(兀)與兀軸所圍 面積等于1。oTol!Ax（3）.對/a）的進(jìn)一步理解: 若兀是/（兀）的連續(xù)點，貝!I十 P（x < X < x + Ax）limX的概率密度函數(shù)心）在兀這一點的值，恰好是 X落在區(qū)間X , X +Ax上的概率與區(qū)間長度AX 之比的極限。如果把概率理解為質(zhì)量，/（兀）相當(dāng)于物理學(xué)中 的線密度。=lim 心aAx=f(x)9注意：概率密度函數(shù)/（兀）在點。處取值，不 是事件X=a的概率。但是，該值越大，X 在a點附近取值的概率越大。fix ) AX在連續(xù)型隨機(jī)變量中所起的作用與 pk=PX=Xk在離散型隨機(jī)變量中所起的作

5、用 類似。若不計高階無窮小，有：Px < X <x + Ax q /(x)Ax.表示隨機(jī)變量X取值于(兀,x +兀上的概率 近似等于f(x ) X AX o合。區(qū)=hm心一>0 Ja由此得，對連續(xù)型隨機(jī)變量X，有P(a<X <b)P(a<X <b) = P(a<X<b) 二 P(a<X <b)(4).約定：連續(xù)型隨機(jī)變量取任意指定值的概 率為 0即：P(X=°) = O,因為：P(X =z) = Jim F(d Ax < X < a)AxtOrtz+Axf(x)dx = O.由P(X=a)=O,可推出而X=

6、a并非不可能事件， X R-a并非必然事件?？梢姡河蒔=0，不能推出A=0；由P(B)=1，不能推出B=floo|o|!Xji分布函數(shù)與概率密度函數(shù)之間的關(guān)系F(x) = J fWt00念)2.3.3常見的連續(xù)型隨機(jī)變量正態(tài)分布、均勻分布、指數(shù)分布1.正態(tài)分布由高斯(Gauss)正態(tài)分布是應(yīng)用最廣泛 的一種連續(xù)型分布。正態(tài)分布是十九世紀(jì)初,給出并推廣的一種分布(高斯分布)o高 爾 頓 釘紅色曲線近似于正態(tài)分布的概率密度曲線。I.正態(tài)分布的定義定義：若隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)為1(X-“)2/(x)= e 2， -oo < x < oo其中詢1哪是常數(shù)，“任意，a>0,則稱X服

7、 從參數(shù)為“和 勵正態(tài)分布。記作 X N(»q2)(Normal)/(兀)所確定的曲線叫作正態(tài)曲線。II.正態(tài)分布N(“,b2)的圖形特點關(guān)于X二“對稱的鐘形曲線，并在x*處 達(dá)到最大值/(“) = =-72兀b特點“兩頭低，中間高，左右對稱”。正態(tài)分布的圖形特點嚴(yán)“決定了圖形的中心位置,O決定了圖形峰的陡悄程度。合1。區(qū)當(dāng) X> ±8 時，f(x) Oo這說明：曲線/（兀）向左右伸展時，越來越貼 近兀軸。即/（x）以x軸為漸近線。求導(dǎo)的方法可以證明：x =/ ± a知（兀）的兩個拐點的橫坐標(biāo)。(X-/)2e & -oo < x < 00

8、Ill-正態(tài)分布N(“q2)的分布函數(shù)X(“)2F(x)= f e 2cy2 dt. -oo<x<oo.cr J-°°IV.標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布稱N（O,1）為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，其密度函數(shù) 和分布函數(shù)常用0（兀）和（兀）來表示。（附錄）標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的重要性在于，任何一個 般的正態(tài)分布都可以通過線性變換轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。依據(jù)？ 定理1:設(shè)兀Ng cr2),貝!JY =N(O,1).根據(jù)定理1,只要將標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù) 制成表，就可以解決一般正態(tài)分布的概率計算問題。V.正態(tài)分布表附錄(P289)附有標(biāo)準(zhǔn)正 態(tài)分布函數(shù)數(shù)值表，可以 解決一般正態(tài)分布的概率 計算問題。x&qu

9、ot;dr-oO表中給出的是兀0時，(兀)的取值;當(dāng)兀 0時,(x) = 1 (一兀).o|o|!Xji二=PQ<a a < a _ /、G丿若 X N(0,1),Pa<X <bPa<X <b 二(b) (a)；若 X N(“, er2),服從N(O,1)I b丿PavX<ba 一 / < x 一 jd < b 一 /a解：設(shè)車門高度為乩 按設(shè)計要求P(X> /|)<0.01,或 P(X< h)> 0.99,求滿足上式的最小的力。例1：公共汽車車門的高度是按成年男性與車 門頂頭碰頭機(jī)會在001以下來設(shè)計的。設(shè)某地 區(qū)

10、成年男性身高(單位:cm) XN(17Q, 7.692), 問車門高度應(yīng)如何確定？求滿足P（x< h）> 0.99的最小力。心> 0.99,I 7.69 丿故，當(dāng)汽車門高度為188厘米時，可使男子與 車門碰頭機(jī)會不超過001。,，-,4 170、PX<h = P"X-170170因為X2V (170, 7.砂2),X 二 170 ,故7.697.697.69 J查表，得(2.33) =0.9901 >0.99, 所以'將規(guī)33,即"1.88.2.均勻分布(Uniform)若隨機(jī)變量X的概率密度為：f(x)二 <1 7,a<x

11、<b, b-a0, 其他.則稱X服從區(qū)間°,方上的均勻分布,記作:XUa,b(注:也記作XU(a,6)o3.指數(shù)分布定義：若隨機(jī)變量X具有概率密度砂卩宀%-0?0,x<0.(2>0)則稱X服從參數(shù)為入的指數(shù)分布，記成x E(X)O指數(shù)分布常用于可靠性統(tǒng)計研究中，如 元件的壽命服從指數(shù)分布。解：PX >3000=/(%) dxJ 3000J、7=r 0.0002 e-dxJ 3000c_06=eq 0.5488.例2：設(shè)某電子管的使用壽命X（單位：小時） 服從參數(shù)2=0.0002的指數(shù)分布，求電子管使 用壽命超過3000小時的概率。由上式，#:在/(兀)的連續(xù)點，有 警W.ax即分布函數(shù)是密度函數(shù)的變上限積分。2.3.4連續(xù)型隨機(jī)變量的分布函數(shù)回憶：若X是連續(xù)型隨機(jī)變量，/(x)是X的密 度函數(shù)，F(xiàn)(Q是分布函數(shù)，則對任意VR,總 有F(x) = J/(0 dt.o|o|!Xji求F(x)解：F(x) = PX<x = f(t)dt.求連續(xù)型隨機(jī)變量的分布函數(shù) 例4：設(shè)隨機(jī)變量X的密度函數(shù)J1 -兀 2， 1 W 兀 W 1,710, 其他.對兀 v-l, &