四邊形復(fù)習(xí) 初二

1、一、旋轉(zhuǎn)【例1】 （2009平谷一模改編）如圖，在直角梯形中，是上一點(diǎn)，且，求的長(zhǎng) 【解析】 延長(zhǎng)到，使，連接，容易得到四邊形是正方形再延長(zhǎng)到，使，連接，易證，設(shè)，則 在中， ，解得， 的長(zhǎng)為4或6【例2】 如圖，正方形被兩條與邊平行的線段分割成個(gè)小矩形，是與的交點(diǎn)，若矩形的面積恰是矩形面積的倍，試確定的大小，并證明你的結(jié)論 【解析】 設(shè)，連接，由四邊形都是矩形，可知，則由是正方形，可知由得，平方得，將代入得，得，即延長(zhǎng)到，使得，連接，則，那么，即（2009房山二模） 如圖1，在四邊形中，分別是邊上的點(diǎn)，且求證：； 如圖2，在四邊形中，分別是邊上的點(diǎn)，且，中的結(jié)論是否仍然成立？不用證明 如圖3

2、，在四邊形中，分別是邊延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，且，中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)寫出它們之間的數(shù)量關(guān)系，并證明【解析】 延長(zhǎng)到，使，連接， 中的結(jié)論仍然成立 結(jié)論不成立，應(yīng)該是在上截取，使，連接，【例3】 如圖，正方形內(nèi)有一點(diǎn)，. （1）求的長(zhǎng)；（2）求的大??；（3）求正方形的邊長(zhǎng).【解析】（1）由例5可知， 又，故 （2）將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使于重合. 設(shè)此時(shí)點(diǎn)位于點(diǎn)處，則有 ， （此時(shí)有、共線） （3）過(guò)點(diǎn)作，垂足為. ， 【例4】 （2008湖北羅田改編）在中，以斜邊為一邊作正方形，正方形的中心為，求的長(zhǎng)【解析】 在作正方形的過(guò)程中，并沒(méi)有說(shuō)明是向哪個(gè)方向作，所以此題需分類討論

3、以為邊向外作正方形，如圖 延長(zhǎng)到，使，連結(jié) 可證 則，是等腰直角三角形 所以 以為邊向內(nèi)作正方形，如圖 在上截取，連結(jié) 可證 則， 所以【補(bǔ)充】已知正方形，在邊上取一點(diǎn)，作交的外角平分線于，求證：【解析】 解法一：如圖，連接，過(guò)作，交于，又為等腰直角三角形，又，故解法二：如圖，過(guò)作，交的延長(zhǎng)線于，連接，則，而，又，有，【補(bǔ)充】已知正方形和等腰，按圖甲放置，使點(diǎn)在上，取 的中點(diǎn)，連接 探索的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并說(shuō)明理由； 將圖甲中繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得圖乙，連接，取的中點(diǎn)，問(wèn)中的結(jié)論是否成立？并說(shuō)明理由； 將圖甲中繞點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)任意角度（旋轉(zhuǎn)角在到之間）得圖丙，連接，取的中點(diǎn)，問(wèn)中的結(jié)論是否成立，請(qǐng)說(shuō)明理

4、由 【解析】 且利用直角三角形斜邊中線等于斜邊一半可很容易證明 仍然成立延長(zhǎng)交于點(diǎn)先證明是等腰直角三角形，進(jìn)而可得結(jié)論 仍然成立證法一：如圖丙，延長(zhǎng)到，使，連結(jié)可證明，又，在中，是中點(diǎn)，證法二：如圖，以為邊向下作正方形，延長(zhǎng)到使容易得到：，因此只要證明即可由輔助線易得是等腰直角三角形，接下來(lái)可先證明，然后再證明即可或先證明，再證明也可此證法將要證線段通過(guò)中位線都擴(kuò)大了兩倍，然后再通過(guò)全等證明線段相等，觀察圖形其本質(zhì)也是利用旋轉(zhuǎn)在構(gòu)造全等三角形證法三：如圖，分別取中點(diǎn)為，連結(jié)觀察后很容易發(fā)現(xiàn)：只要證明，問(wèn)題馬上就可以解決而且不難發(fā)現(xiàn)證明全等的條件也是夠的：，且，同時(shí)也很容易證明此證法利用了中位線

5、和直角三角形斜邊中線的性質(zhì)構(gòu)造線段相等，【補(bǔ)充】?jī)蓮埓笮∵m當(dāng)?shù)恼叫渭埰?，如圖所示重疊放在一起，重疊部分是一個(gè)凸八邊形對(duì)角線，分這個(gè)八邊形為四個(gè)小的凸四邊形請(qǐng)你證明且【解析】 延長(zhǎng)，相交于點(diǎn)，延長(zhǎng)，相交于點(diǎn)，延長(zhǎng)相交與點(diǎn)，延長(zhǎng)相交于點(diǎn)則四邊形、都是平行四邊形，易知,作于；作于；在Rt與中，,所以RTRt，因此，作于；作于；同理可證RtRt,從而，易證(SAS)所以再由RtRt，推得,又所以，即二、平移【例5】 （2007年101中學(xué)期中考試）如圖（1），四邊形中，若，則必然等于.請(qǐng)運(yùn)用結(jié)論證明下述問(wèn)題：如圖（2），在平行四邊形中取一點(diǎn)，使得，求證：.【解析】觀察圖（1）可知，如果四邊形中，同一

6、條邊對(duì)應(yīng)的兩個(gè)張角相等，則 其他邊對(duì)應(yīng)的兩個(gè)張角也相等.這就是對(duì)已知條件的一種“翻譯”.然后再根據(jù)這個(gè)“翻譯”去解題.圖（2）中沒(méi)有可以直接運(yùn)用該條件的圖形，我們可以通過(guò)輔助線來(lái)構(gòu)造出這樣的環(huán)境. 分別過(guò)點(diǎn)、作，交于點(diǎn)，連接. ， ， ， ， 為平行四邊形 在四邊形中， 【例6】 如圖，向的外側(cè)作正方形、過(guò)作于，與交于 求證：【解析】(法1):如下左圖，延長(zhǎng)至點(diǎn)，使得連接 ， ， ，同理 ， ， ，即(法2): 過(guò)點(diǎn)、分別作的垂線，垂足為、 證明，即可(法3): 如上右圖，過(guò)點(diǎn)作的平行線，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，連接，又，又，又，四邊形是平行四邊形，故【例7】 (07年北達(dá)資源期中試題)分別以的三邊長(zhǎng)為邊長(zhǎng)，在形外作正方形，連接，若為任意三角形時(shí)，以，為邊能否構(gòu)成三角形？為什么？如果能，試探究以，為邊構(gòu)成的三角形