8第八講二維隨機變量函數(shù)的分布與數(shù)學(xué)期望(22)

1、第八講二維變量函數(shù)分布與數(shù)學(xué)期望本次課講授2.93.1 下次課講授第三章的3.1.43.3 o下次上課時交作業(yè)P31P32, P37P38重點:數(shù)學(xué)期望。難點：連續(xù)變量的數(shù)學(xué)期望。第八講二維變量函數(shù)分布與數(shù)學(xué)期望第八講復(fù)習(xí):，二維隨機變量函 離散函數(shù)值在先； 函數(shù)對應(yīng)自變量，聯(lián)合(既率和來算。 連續(xù)和函密度積一個代Z樣本變；Z定區(qū)間卷積分，另一變量上下限。求離散隨機變量X,Y) 的函數(shù)Z=g(X,Y)的 概率分布，需要先確定 z 的, Z2，乙k, ° ° °。連續(xù)變量和函數(shù)7 = X + Y的 密度/z則需要先用X = Z -兀 把(兀,刃樣本變成(兀,Z)樣本

2、f(Z =族潯于對應(yīng)的 =g(xi9yj), i1,2,的所有的(七，兒)聯(lián)合 概率&乞，兒)的和求Tz (z)的卷積分公式是聯(lián)合密度 不代Z的另一變量r的無窮積分。 因此，在痊間內(nèi)，Z確定相應(yīng) 的區(qū)間，而X確定卷積分的上下限。第八講二維變量函數(shù)分布與數(shù)學(xué)期望第八講二維變量函數(shù)分布與數(shù)學(xué)期望一、隨機變量函數(shù)分布31 商的分布注意：對V積分時，丁是常量第八講二維變量函數(shù)分布與數(shù)學(xué)期望第八講第八講二維變量函數(shù)分布與數(shù)學(xué)期望類整地可得:/（兀誠卩=I妙J冋-（網(wǎng)故有:巧=JJ/(x.刃血心+JJ/(x,y)dxdy=匚口擁（嚴加如血由概率密度定義可得Z=召的槪率密度為:r+ci：-fz)=

3、"l/g 刃令J-cc-當J與湘盍獨立時有:r+co族)=1 1 MyfvWy其中JQU）和斤0）分別為龍和F的概率密度例8-1-1設(shè)X與Y相互獨立，它們的概率密度分別為:求Z =的概率密度r+o："解：遲的槪率轄度公式為左?。?1$ 1/00力0）莎Jgfx（兀）=x>0其它y>0 其它變樣本：因為是對y積分，所以由（x, y）變?yōu)椋▃, y）樣本。 即由兀>0>（X變?yōu)閤 = yz>0,y >0o即z >0>0第八講二維變量函數(shù)分布與數(shù)學(xué)期望第八講二維變量函數(shù)分布與數(shù)學(xué)期望 因此 (乙Y)的樣本為(Z)平面的第一象限 當W

4、 > D時j定積分區(qū)間/U)= I*嚴2elydy =2當注口時，樣本職外，AU)=D 2r>02.平方和胡分布所以玄=善的攝聿密度為fz(z = ( Z0z<0設(shè)二維連續(xù)隨機變量(X,Y)的概率密度為尋求 乙十+廠的分布。考慮Z的分布函數(shù):三.Fz(z) = P(Z<z) = P(X2 +Y2 <z)當z < 0時，顯然有巧(z) = 0,從而有fz U) = 0.當沱0時，F(xiàn)z(z)= f(x,y)dxdy £(z) = F；X2+J2<z例8-1-2設(shè)二維連續(xù)隨機變量(x，y)的概率密度為Vf10，其它第八講二維變量函數(shù)分布與數(shù)學(xué)期望求

5、Z=X? +丫2的分布£解考慮z的分布函數(shù) rF.(z)=Pz<z)=P(X2 +Y2 <z)當z<0時，顯然有Fz(z) =。，從而有(z) = 0 z>0時，F(xiàn)z(z) =做極坐標變量代換第八講二維變量函數(shù)分布與數(shù)學(xué)期望第八講二維變量函數(shù)分布與數(shù)學(xué)期望x = rcos lz> 卻貝g小8(r2+l)3則：巧de-dr(Z+1)2當 z>O0t當z<0時.fz二30,當z>0時，當zso時.第八講二維變量函數(shù)分布與數(shù)學(xué)期望二.二維變量的最大值與最小值的分布設(shè)隨機變量X與Y獨立，它們的分布函數(shù)分別為心及耳(刃， 求max(X,Y)及mi

6、n( X,Y)的分布(1)最大值的分布(最大小于號，小于都小于)Fmax = P(max(X,y)<z)=P（=p（x<z,y<z）=P（x < Z） P（Y <z） =FX（Z）FY （2）最小值的分布（最小大于號，大于都大于）血= P（min（X,y）<z） =l-P（min（X,y）>z） =i-P（x >y>z）v（y> x > z）= 1-P（XZ,Y >z）二 1-F（Xz） P（yZ）=1-l-P（X<z）l-P（y<z） =1-1-Fy（z）.l-Fy（z）推廣到有限多個獨立隨機變量的情形，有1

7、1 "=口巴九=1 - 口1 -兀_ £ 特別地，若X；X2,X”獨立同分布,設(shè)它們的分布函數(shù)為F(z), 則= P " 臨=1-1-F (z)p例8如某儀器由六個相互獨立的部件5 i = 1.2J = 1,2,3組成，5厶2厶35厶2 厶23聯(lián)接方式如圖所示。設(shè)各部件的使用壽命乙服從相同的指數(shù) 分布鞏刃，求儀器使用壽命的概率密度。解各部件的使用壽命一X. , 1=1,2J = 1,23的分布函數(shù)l-e, x > 0 0 , x<0加兀>°耳(兀)= 0 ，x<0"fx M =Yi =min("Xi2,先求兩個

8、串聯(lián)組的壽命y. (i = 1,2)的分布函數(shù) 串聯(lián)：最小壽命的一個就龕串聯(lián)組閔禱命，所以:FYi(y) =<y) = HminXwXu，X3)<y由最小大于號：Fy (j) = l-Pminarn,X12,X13) > yFKi(j) = X-P(Xn > J,x12 > J,x13 > J)=1-P(Xn > y)P(Xl2 > y)P(X13 > y)=1-l-P(Xn < ：V)1-P(X12 < j)l-P(X13 <J.) =1-1-FXii(j)1-FXi2(j)1-FXi3(j) = 1-l-FXii(j)

9、f1-宀 j>00,j<0第八講二維變量函數(shù)分布與數(shù)學(xué)期望 即：PYi (y)=再求儀器使用壽命z的分布函數(shù)儀器是丫1，嶺的并聯(lián)，并聯(lián)組的最席命的一個就是儀器 的壽命，SPZ =max$z1,y2),_a因為K >0,所以Z>0FZ(z) = P(Z <z) = HmaxEZ)= P(Yy <z,Y2 <z)(1-e )2,z>00,z<0z>00,z < 0=眄 Vz)P(丫2 <z) = FYi(z)FY2(Z)=FYi(Z)2Fz=z的概率密度為 fz (z)=概括：串聯(lián)最小都大于，并聯(lián)最大都小于。二維變量函數(shù)分布與

10、數(shù)學(xué)期望第八講例題8-2-2 (2008數(shù)學(xué)一，4分)設(shè)隨機變量獨立且同分布，X的分布函數(shù)為F(x),則 Z=max¥,yW分布函數(shù)為：(A)F2(x);(B)F(x)F(j);(Ol-tl-FCx)2;(D)l-F(x)l-F(j)分析：設(shè)Z的分布函數(shù)為巧(兀),則：由定義：Fz(x) = P(Z <x) = Pmax(¥,y)<x = PX < x,Y < x 因為工與y獨立同分布，所以：Fz(x) = PX < x,Y <x = Px(X< x)Py(Y < x)= Fx(x)Ff(x) = F2(x)由同分布：Fx(x

11、) = Fy(x) = F(x)例詡滋數(shù)臂齬函數(shù)分布與數(shù)學(xué)期望設(shè)隨機變量X和Y的聯(lián)合分布為正方形G =(xy)/l<x <31<y< 3，上的均勻分布，試求: 隨機變量D = |x 一 Y|的概率密gp(u)分析：為求密度/(可求分布F(u)并求導(dǎo)解之。為求F(M根據(jù)定義 F(w) = P(U <u) = P(X y| < w) = P (-u <Y-X <u) = P(x, y) g D 通過F(u) = P(X,r)w D = JJ7(x,y)dxd)求解結(jié)果，f(x,y)是均勻的D解：由條件知X與Y的聯(lián)合密度為：f(x,y) = <4

12、"1<x<3,1<j<3其它第八講二維變量函數(shù)分布與數(shù)學(xué)期望若MVO,貝爐(L/ = |X_Y|<uvO) = O若 “ > 2,貝= |X-F|<w>2) = 0,vx-j<3-1 = 2.m的定義區(qū)間:即樣本)為在樣本內(nèi)積分求F(m) F(u) = P(U <u) = P(X-Y <u) = P-u <Y-X <u = P(X,y)eD= f(x9y)dxd例如 =圖，如圖)(x,y)GD=2s uF(u)= f(x,y)dxdy(x.y)eD(1,1+=JJ xdy= | dxdyx-y<u r

13、x-y<u0<u<20<w<2(3,3-w)yru123 x第八講 二維變量函數(shù)分布與數(shù)學(xué)期望F(u)= jjf(x,y)dxdy= dxdyx-y<u0<u<2= 4-(2-W)2 = l-i(2-M)244F(m) = « 1 (2 w)2 0<u < 24u>2f(u) = Fu) = 2(2U)，0<M<20,其它XX X 2 兀' p(X =xz)Pl P2 p設(shè)X是一離散型隨機變量,其分布列為:三、離散型隨機變量的數(shù)學(xué)期望(均值)1定義:當級數(shù)E(X)xiPi絕對收斂時。稱E(X) =

14、xiPiii為隨機變量X的數(shù)學(xué)期望，又稱均值2 均值背景與說明(1)期望源自平均值之意：例如，某班20名學(xué)生，英語成 績按照5分計，該班學(xué)生成績分布為成績12345人數(shù)14762概率147622020202020則平均成績?yōu)?£' = (1x1 + 2x4 + 3x74-4x64-5x2)14762=1 x + 2 x 3 x4 x5 x = 3.22020202020均值2嚴乞)的計算中心，兀2，的順序變化在無窮宙可能影響求和，為保gxzP(xz)的值不因求和次序改夜I改變，要疫乞P(七)絕對收斂衛(wèi)(X)才有意義，由于常貝I不去艇絕對收斂*的隨機變量都滿足這要求，因第八講

15、二維變量函數(shù)分布與數(shù)學(xué)期望3例題講解例&3J設(shè)隨機變量X服從“01”分布，求數(shù)學(xué)期望E(X) = Ox + lx p = p例832設(shè)隨機變量X仏p),求數(shù)學(xué)期望E(X)區(qū) p(x =m)=C；：p"qi,加=0，1，2,，0 v p < 1，p + g = 1，E(X) =pmqll-m =mC：p'nqtl-mm=0n、廠r 加_1 ni-ln-m= np2CH-iP qrn=l n-1=np &仁”-屮-1"-1) in-1=0E(X) = np=np(p + q)nl = np二維變量函數(shù)分布與數(shù)學(xué)期望第八講例8-3-3設(shè)隨機變量XP0

16、),求數(shù)學(xué)期望Ed).解P(X=m)=e (加=0,1,2,)./n-l=O00 < x <+00)二維變量函數(shù)分布與數(shù)學(xué)期望二維變量函數(shù)分布與數(shù)學(xué)期望=Ac = X E(X)=入例8-3-4:幾何分布G(P)試求幾何分布(P)的數(shù)學(xué)期童解：P(X = m) = pQ-pym = 2 第八講二維變量函數(shù)分布與數(shù)學(xué)期望00 00E(X) = md-pyp =卩2>(l p)心771 = 1由級數(shù)結(jié)論7/1 = 100=£日兩邊求導(dǎo)：m=l00 1 mxmX =-771 = 1(1 兀)m1丄= (-),即送/w=l1 eVm=l. E(X) = p±m(l-

17、p)-1 = p -_=- 心l-(l-p)pX - B(n.p)E(X) = np;XF(2),E(X) = 2;XG(p),E(X) = -概括：離散變量乘概率必然蒙和是均值；泊松,幾何級數(shù)倒概率。第八講 二維變量函數(shù)分布與數(shù)學(xué)期望四.連續(xù)型隨機變量的數(shù)學(xué)期望1 定義背景因為連續(xù)型隨機變量起義在區(qū)間上的，所瀕要利用區(qū)間 概率近似定義點的概率，再求的和即可設(shè)X g密度為f (x),/(x) = Fx),劃分a=x.<x,<-<xn =b令jP(£ < X <+ Ar)» P(£),則:4-oo4-ooEX) = xiPxi) = x

18、iPxi <X<xt + Ax)i=li=l+00=zi=lw =工心/(兀i=lP(x. <X <x. + Ax)x IAr;第八講 二維變量函數(shù)分布與數(shù)學(xué)期望 根據(jù)離散變量數(shù)學(xué)期望定義：£ 乞尸(兀 J = 1 i m" xz f (xt. )Ar1=1"T8 £=1+800E(X) =00+8由定積分定義>limyx,/(x,)zx = J xf(x)dxAx>0 /J8BP： E(X)=fxf(x)dxJOO2.定義：設(shè)x為連續(xù)型隨機變量，其概率密度為/G),則x的數(shù)學(xué)期望為:E(X)= r°

19、6;x/(xkrJ8注假定廣義積分絕對收斂，即門對(兀張存在.二維變量函數(shù)分布與數(shù)學(xué)期望3.例題講f«8-4-1設(shè)隨機變量X Ua,b,求數(shù)學(xué)期望E(X). a < x <b;解X的密度函數(shù)為：/&) =其它« b _a、0，E(x)= (bdx =.Ja b-a2例842設(shè)隨機變量服從指數(shù)分布X e(九)求數(shù)學(xué)期望E(X)亟X的密度函數(shù)為：=0,丄廠2 Jo222+ 1) = ar(a)?r(w) = (w-1)! 求和變成樣本積；均勻一半加b,指數(shù)參數(shù)分之一。xaexdxx > 0;其它.5=血如丄/. E(X) = °°x

20、'ke-u dx t=kx 瞬J0連續(xù)概率換第八講 二維變量函數(shù)分布與數(shù)學(xué)期望五、隨機變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望1 離散型一維變量函數(shù)的均值定義設(shè)離散隨機變量X的函數(shù)Y =貝収 -x./jz=g(x.)P(yi) =工HgEJ則由均值定義：E(Y) = Eg(X) =(七)戸(七)=g(QP(Q 2丿X即g( x則定義隨機變量函數(shù)F = g(x)的數(shù)學(xué)期望為： E(Y) = Eg(X) = g(x)P(x)2連續(xù)型一維變量函數(shù)的均值定義用離散變量函數(shù)的定義形式，并用區(qū)間概率恥弋點概率第八講二維變量函數(shù)分布與數(shù)學(xué)期望P(x < X < x + /x)AxAr+oog(x)/(x)Zr

21、 = | g(x)f(x)dxQQX的分布密度另/(邊 旋義隨機變量函數(shù)Y = g(x)E(y)= Eg(X) = y(x)P(x) = g(x)XX的數(shù)學(xué)期望為:砂)=鞏g(x) =j二 gG”G)必 注:假定積分匚g&)/6)必絕對收斂。例851設(shè)隨機變量X的概率分布為:X-2-10123P(X = xz)0.100.200.250.200.150.10求隨機變量函數(shù)丫 =疋的數(shù)學(xué)期望.S E(y)=£gg)p(£)=i=-2i=-2二= (-2)2 x0.10+(-l)2 xO.20+ 02 X 0.25+12 x 0.20+ 22 xO.15+32 xO.1

22、0= 2.30例852 已知¥P")，試求解：實際Jr = x2e(y)8 瀘00 E(X) = XkeA=繭=2k=o kA=o ( 1)!QO00冰 E(X2) = £g仏)P(Q =春需/c=ok=o k!-2k00來8 處=£伉2 _£+£)"=丸仗_氓宀乞k冷嚴zkSkS k第八講二維變量函數(shù)分布與數(shù)學(xué)期望oo ?k2=A2 工一入 + E (X) = 2%-%' + A = A2 + 2臺仇一2)!例85-3設(shè)X久刃,試求班計)解：由已知：/(x) =x > 0;,0,E(Y) = f+C°

23、;yf(y)dy = (+°°g(x)f(x)dxW00J00亠亠，Y=g(X) = X2 其它=f °° x 2Ae dx訐80Jo= Axdx = dt 則 E(X2)= fdt =2 Jo 22 2= r(3) = r(2+1) = r(2) = 7f(a) = xalexdxT (a +1) = aT (a), T(") = (w -1)!第八講二維變量函數(shù)分布與數(shù)學(xué)期望-5-4對球的直徑作近似測量，設(shè)其值均勻分布在區(qū)間a, 內(nèi)，求球體積的數(shù)學(xué)期望設(shè)隨機變量X表示球的直徑，Y表示球的體積，依題意，X的概率密度為設(shè)球的體積為Y,則：y =

24、 |3=g(x)6所以，E(Y) = Eg(X) = E(-3)= rg(x)f(x)dx6 J-°°亦»一厶Ja 6 ba第八講 二維變量函數(shù)分布與數(shù)學(xué)期望六.二維隨機變量條件下的單變量數(shù)學(xué)期望1已知離散變量（X,Y）的P（七，兒）： Px （xz）=藝P（x,兒）,由均值定義：E（X）=工 xtpx （旺）=工工 xiPxi,兒） 類似地,E（Y）=工兒（兀）=丫兒卩（七，兒） JJ Z2已知連續(xù)變量（x,y）的/（“）：v fx（x）=f+f（x,y）dy9:.由均值定義：J"J+8J+8 J+8+8+8E(X)= xfx(x)dx= x( f(x

25、,y)dy)dx= xf(x,y)dxdyW00W00 JCOJ00 J00戶+00F+8同理：E(Y)= yfY(y)dy= J yf(x,y)dxdyJ00J00 J003已知離散變量（x，y）的p（心，兒）和函數(shù)z=g（x，y）： Zk = g（xi，兒），其中：I = 1，2, J = 1，2,:卩£） = YP（xi，兒），由函數(shù)的均值定義 e g（x,y）=d（z）=工就憶）=工工工忑pg,兒）kk i j=兒）卩（兀?。?必） 4已知連變量（X,Y）的TCrJ）諾其函數(shù)Z=g（X）:£g（x，丫）=8（小，兒）卩（乞，兒）=丫8（兀）"（兀）P(AD

26、)ADAD =g(x,y)f(x,y)AD =X Ji jX y.Eg(X,Y)卜匚匸 g(x,y)f(x,y)dxdy=M=i f(x,y) =+oo2例盤礙井二維變量函數(shù)分布與數(shù)學(xué)期望 例 8-6-1設(shè)二維隨機變量(X, Y)服從區(qū)域D=(x，刃| 0<l,0<y 上的均勻分布，求込(X), E(y), E(XY)解:SD = f1 dx 1 dy = i； 由均勻分布定義!2，0< x < 1,0< j < x0.其它.十8廣+ 8E(X)= f xf(x,y)dxdy-ooJoo J00D-+8= jj2xdxdy=jjxdxdy= J2x2tZx

27、= |E(Y)=r°°yf(xfy)dxdy = JJ 2ydxdy= J： Zdx ydy = |0000DJ第八就E維變量函數(shù)分布與數(shù)學(xué)期望 £T(Xy)= f xyf(x,y)dxdyJ8 J OO=| 2xydxdy= ( 2xdx ydy =D°°4復(fù)習(xí)1:離散變量乘概率，必然求和期望值；泊松;匸wp幾何級數(shù)倒概率。復(fù)習(xí)2：連續(xù)概率換密度，卿變成樣本積; 均勻一半a加b9指數(shù)參數(shù)分之一o復(fù)習(xí)3：函數(shù)期望代變量，糠出現(xiàn)伽馬積;二維要用一維推，兩汝求和二重積。二維變量函數(shù)分布與數(shù)學(xué)期望第八講七、關(guān)于數(shù)學(xué)期望的定理1 定理與公式Y(jié)=a+bX

28、 = g(X),貝山定理(1,2) E(a+bX) = a+bE(X) 證血若X是一離散型隨機變量,E(a +bX) = E(Y)=g(X)p(X)=藝(a +肚加七) =ap(x)+bxip(xi) =a +bE(X) 若X是一雑續(xù)型隨機蠶量，則有：E(a +bX) = Eg(x) = |+ g(X)f(x)dx = (a+bx)f(x)dx=a f(x)dx+b+xf(x)dx =a+bE(X)J00J00二維變量函數(shù)分布與數(shù)學(xué)期望第八講推論(1) Ea=a (2) E(bX)=bE(X) 定理 3 E(X +Y) = E(X) + E(Y)區(qū)若x與y為離散隨機變量:E(X+Y)=工工 g+""(“) 1 J=SE XiP(Xi 仍)+ 工 Y yjP(Xi，yj) I JI J=工?；?兒)iJ= E(X) +