(word完整版)數(shù)列知識點(diǎn)總結(jié)及題型歸納(2),推薦文檔

1、數(shù)列一、數(shù)列的概念（ 1）數(shù)列定義：按一定次序排列的一列數(shù)叫做數(shù)列；數(shù)列中的每個數(shù)都叫這個數(shù)列的項(xiàng)。記作an ，在數(shù)列第一個位置的項(xiàng)叫第1 項(xiàng)（或首項(xiàng)），在第二個位置的叫第2 項(xiàng)，序號為n的項(xiàng)叫第 n 項(xiàng)（也叫通項(xiàng)）記作an ；數(shù)列的一般形式： a1 ， a2 ， a3 ， an ，簡記作an。（ 2）通項(xiàng)公式的定義：如果數(shù)列 an 的第 n 項(xiàng)與 n 之間的關(guān)系可以用一個公式表示，那么這個公式就叫這個數(shù)列的通項(xiàng)公式。例如： 1 ， 2 ，3，4， 5，1111：1， 2345說明： an 表示數(shù)列， an 表示數(shù)列中的第n 項(xiàng)， an = fn 表示數(shù)列的通項(xiàng)公式； 同一個數(shù)列的通項(xiàng)公式的形

2、式不一定唯一。例如， an = (n 1,n2k11) =2k(k Z) ；1,n不是每個數(shù)列都有通項(xiàng)公式。例如，1， 1.4 ， 1.41， 1.414 ，（ 3）數(shù)列的函數(shù)特征與圖象表示：從函數(shù)觀點(diǎn)看，數(shù)列實(shí)質(zhì)上是定義域?yàn)檎麛?shù)集N （或它的有限子集）的函數(shù)f (n) 當(dāng)自變量 n 從 1開始依次取值時對應(yīng)的一系列函數(shù)值f (1), f (2), f (3), ，f (n) ，通常用an 來代替fn ，其圖象是一群孤立點(diǎn) 。（ 4）數(shù)列分類：按數(shù)列項(xiàng)數(shù)是有限還是無限分：有窮數(shù)列和無窮數(shù)列；按數(shù)列項(xiàng)與項(xiàng)之間的大小關(guān)系分：遞增數(shù)列、遞減數(shù)列、常數(shù)列和擺動數(shù)列。例：下列的數(shù)列，哪些是遞增數(shù)列、遞

3、減數(shù)列、常數(shù)列、擺動數(shù)列？（ 1）1， 2， 3， 4， 5，6，(2)10, 9, 8, 7, 6, 5,(3) 1, 0, 1, 0, 1, 0,(4)a, a, a, a, a,S1( n 1)（ 5）數(shù)列 an 的前 n 項(xiàng)和 Sn 與通項(xiàng) a n 的關(guān)系： anSn 1 ( n 2)Sn二、等差數(shù)列( 一 ) 、等差數(shù)列定義：一般地，如果一個數(shù)列從第2 項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù) 列 就 叫 等 差 數(shù) 列 ， 這 個 常 數(shù) 叫 做 等 差 數(shù) 列 的 公 差 ， 公 差 通 常 用 字 母 d 表 示 。 用 遞 推 公 式 表 示 為anan 1d

4、(n 2) 或 an 1and ( n 1)例：等差數(shù)列 an2n1 ， anan1( 二 ) 、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式：ana1(n 1)d ；說明：等差數(shù)列（通?？煞Q為A P 數(shù)列）的單調(diào)性：d0 為遞增數(shù)列， d0 為常數(shù)列， d0 為遞減數(shù)列。例： 1.已知等差數(shù)列an中， a7a9 16， a41，則 a12等于（）A15 B 30C 31 D 642. an 是首項(xiàng) a11，公差 d3的等差數(shù)列，如果an2005 ，則序號 n 等于（ A） 667（ B） 668（ C） 669（D） 6703.等差數(shù)列 an2n1, bn2n 1 ，則 an為bn 為（填“遞增數(shù)列”或1“遞減數(shù)列”

5、 ）( 三 ) 、等差中項(xiàng)的概念：定義：如果 a ， A ， b 成等差數(shù)列，那么 A 叫做 a 與 b 的等差中項(xiàng)。其中 Aab2a ， A ， b 成等差數(shù)列abanan 2（ 2ananman m ）A即： 2an 12例：1（全國 I ）設(shè) a 是公差為正數(shù)的等差數(shù)列，若 a1a2a315 ，a1a2a380 ，則 a11 a12 a13nA 120B 105C 90D 75( 四 ) 、等差數(shù)列的性質(zhì)：（ 1）在等差數(shù)列 an 中，從第 2 項(xiàng)起，每一項(xiàng)是它相鄰二項(xiàng)的等差中項(xiàng)；（ 2）在等差數(shù)列 an 中，相隔等距離的項(xiàng)組成的數(shù)列是等差數(shù)列；（ 3）在等差數(shù)列an中，對任意 m ，

6、nN， an am(nm) d ， danam(mn) ；nm（ 4）在等差數(shù)列an中，若 m ， n ， p ， qN且 mnpq ，則 amanapaq ；( 五 ) 、等差數(shù)列的前n 和的求和公式：Snn(a1an )na1n(n1) d1 n 2（ a1d ） n 。2222( Sn An 2Bn( A, B為常數(shù) )an是等差數(shù)列 )遞推公式： Sn(a1an )n(aman (m 1) )n22例： 1. 如果等差數(shù)列an 中， a3a4a512 ，那么 a1a2. a7（ A）14（ B）21（ C）28（D）352. （湖南卷文）設(shè) Sn 是等差數(shù)列a的前 n 項(xiàng)和，已知 a2

7、3 ， a611，則 S7 等于 ( )nA 13B 35C 49D 633. （全國卷）設(shè)等差數(shù)列an的前 n 項(xiàng)和為 Sn ，若 S972 , 則 a2a4a9 =4. 若一個等差數(shù)列前 3 項(xiàng)的和為 34，最后 3 項(xiàng)的和為 146，且所有項(xiàng)的和為 390，則這個數(shù)列有（A.13 項(xiàng)B.12 項(xiàng)C.11 項(xiàng)D.10 項(xiàng)5.已知等差數(shù)列an 的前 n 項(xiàng)和為 Sn ，若 S1221，則 a2a5a8 a116.（全國卷）設(shè)等差數(shù)列an的前 n 項(xiàng)和為 Sn ，若 a55a3 則S9S57.已知 an 數(shù)列是等差數(shù)列，a10 10，其前 10項(xiàng)的和 S1070，則其公差 d 等于 ( )A

8、2B 1C.1D.233338.（陜西卷文）設(shè)等差數(shù)列an的前 n 項(xiàng)和為sn, 若a6s312, 則an（）29（全國）設(shè)an為等差數(shù)列，n 為數(shù)列n的前n項(xiàng)和，已知7 7，15 75， n 為數(shù)列 Sn的SaSSTn前 n 項(xiàng)和，求 T 。n( 六 ). 對于一個等差數(shù)列：（ 1）若項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)，設(shè)共有2n 項(xiàng)，則 S 偶S 奇nd ； S奇an；S偶an 1（ 2）若項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)，設(shè)共有2n1項(xiàng)，則 S奇 S偶ana中 ； S奇n。S偶n11. 一個等差數(shù)列共2011 項(xiàng)，求它的奇數(shù)項(xiàng)和與偶數(shù)項(xiàng)和之比_2. 一個等差數(shù)列前20 項(xiàng)和為75，其中奇數(shù)項(xiàng)和與偶數(shù)項(xiàng)和之比1： 2，求公差 d3.

9、一個等差數(shù)列共有10 項(xiàng)，其偶數(shù)項(xiàng)之和是15，奇數(shù)項(xiàng)之和是25 ，則它的首項(xiàng)與公差分別是_2( 七 ) . 對與一個等差數(shù)列，Sn , S2 nSn , S3nS2 n 仍成等差數(shù)列。3m項(xiàng)和為（例： 1.等差數(shù)列 a 的前 m項(xiàng)和為 30，前 2m項(xiàng)和為 100，則它的前）nA.130B.170C.210D.2602. 一個等差數(shù)列前n 項(xiàng)的和為 48，前 2 n 項(xiàng)的和為 60，則前 3 n 項(xiàng)的和為。3已知等差數(shù)列an的前 10項(xiàng)和為 100，前 100 項(xiàng)和為 10，則前 110 項(xiàng)和為4. 設(shè) Sn 為等差數(shù)列an的前 n 項(xiàng)和， S414， S10S730，則 S9 =5（全國 I

10、I）設(shè) S 是等差數(shù)列 a 的前 n項(xiàng)和，若S31，則S6nnS63S12A 3B 1C 1D 110389( 八 ) 判斷或證明一個數(shù)列是等差數(shù)列的方法：定義法：an1and (常數(shù)）（ nN ）an是等差數(shù)列中項(xiàng)法：2an 1anan2（ nN)an 是等差數(shù)列通項(xiàng)公式法：ankn b(k,b為常數(shù) )an是等差數(shù)列前 n 項(xiàng)和公式法：SnAn 2BnA B為常數(shù))an是等差數(shù)列(,例： 1.已知數(shù)列 an 滿足 anan 12 ，則數(shù)列 an 為 （）A. 等差數(shù)列B.等比數(shù)列C.既不是等差數(shù)列也不是等比數(shù)列D.無法判斷2.已知數(shù)列 an 的通項(xiàng)為 an2n5 ，則數(shù)列 an 為 （）A

11、. 等差數(shù)列B.等比數(shù)列C.既不是等差數(shù)列也不是等比數(shù)列D.無法判斷3. 已知一個數(shù)列 an 的前 n 項(xiàng)和 sn2n 24 ，則數(shù)列 an 為（）A. 等差數(shù)列B.等比數(shù)列C.既不是等差數(shù)列也不是等比數(shù)列D.無法判斷4. 已知一個數(shù)列 an 的前 n 項(xiàng)和 sn2n2 ，則數(shù)列 an 為（）3A. 等差數(shù)列B.等比數(shù)列C.既不是等差數(shù)列也不是等比數(shù)列D.無法判斷5. 已知一個數(shù)列 an 滿足 an 22an 1 an 0 ，則數(shù)列 an 為（）A. 等差數(shù)列B.等比數(shù)列C.既不是等差數(shù)列也不是等比數(shù)列D.無法判斷6. 數(shù)列 an滿足 a1 =8， a42，且 an 22an 1an0 （ n

12、 N）求數(shù)列an 的通項(xiàng)公式；7（天津理， 2）設(shè) Sn 是數(shù)列 an 的前 n 項(xiàng)和，且 Sn=n2，則 an 是（）A. 等比數(shù)列，但不是等差數(shù)列B.等差數(shù)列，但不是等比數(shù)列C. 等差數(shù)列，而且也是等比數(shù)列D.既非等比數(shù)列又非等差數(shù)列( 九) . 數(shù)列最值（ 1） a1 0， d 0 時， Sn 有最大值； a10 ， d 0 時， Sn 有最小值；（ 2） Sn 最值的求法：若已知 Sn ， Sn 的最值可求二次函數(shù)Snan 2bn 的最值；可用二次函數(shù)最值的求法（n N ）；或者求出an中的正、負(fù)分界項(xiàng)，即：若已知 an ，則 Sn 最值時 n 的值（ nN ）可如下確定an0an0a

13、n 10或。an 10例： 1等差數(shù)列 an 中， a10，S9S12 ，則前項(xiàng)的和最大。2 設(shè)等差數(shù)列 an 的前 n 項(xiàng)和為 Sn ，已知a312， S120， S130求出公差 d 的范圍，指出 S1， S2， ， S12 中哪一個值最大，并說明理由。3（上海）設(shè) an（ nN* ）是等差數(shù)列，Sn 是其前 n 項(xiàng)的和，且S5 S6， S6 S7 S8，則下列結(jié)論錯誤的是（）A. d 0B. a7 0C. S9 S5D. S6 與 S7 均為 Sn 的最大值4已知數(shù)列an 的通項(xiàng) n98 （ n N ），則數(shù)列 an 的前 30 項(xiàng)中最大項(xiàng)和最小項(xiàng)分別是n995. 已知 an 是等差數(shù)列

14、，其中a131 ，公差 d8。（ 1）數(shù)列 an 從哪一項(xiàng)開始小于0？（ 2）求數(shù)列 an 前 n 項(xiàng)和的最大值，并求出對應(yīng)n 的值( 十 ). 利用 anS1(n1)SnSn 1 (n求通項(xiàng)2)41.數(shù)列annn211）試寫出數(shù)列的前52 an 是等差數(shù)列嗎？（3 的前 n 項(xiàng)和 S（項(xiàng)；（ ）數(shù)列）你能寫出數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式嗎？2. 設(shè)數(shù)列 an 的前 n 項(xiàng)和為 Sn=2n2，求數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式；3. （安徽文）設(shè)數(shù)列 n 的前n項(xiàng)和 Snn2 ，則a8 的值為（）a（A） 15(B) 16(C)49（D） 644、北京卷）數(shù)列 a 的前 n 項(xiàng)和為 S ，且 a =1，1an

15、 1Sn，n， ，求a ，a ，a 的值及數(shù)列annn13234的通項(xiàng)公式三、等比數(shù)列等比數(shù)列定義一般地， 如果一個數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫做等比數(shù)列，這個常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比；公比通常用字母q 表示 (q0) ，即： an 1 ： anq(q0)( 一 ) 、遞推關(guān)系與通項(xiàng)公式遞推關(guān)系： an 1 an q通項(xiàng)公式： ana1 qn 1推廣： anamq n m1 在等比數(shù)列an 中 , a14, q2 ，則 an2 在等比數(shù)列an 中 , a712,q3 2 , 則 a19_.3. （ 07 重慶文）在等比數(shù)列 an 中， a2 8， a16

16、4，則公比 q 為（）（ A）2（B） 3（C）4（D）84.在等比數(shù)列an中， a22 ， a5 54 ，則a8 =5. 在各項(xiàng)都為正數(shù)的等比數(shù)列 an 中，首項(xiàng) a13，前三項(xiàng)和為 21，則 a3 a4a5 （）A 33B 72C 84D 189( 二 ) 、等比中項(xiàng)：若三個數(shù)a,b, c 成等比數(shù)列，則稱b 為 a與 c的等比中項(xiàng)，且為 bac，注： b 2ac 是成等比數(shù)列的必要而不充分條件 .例：1. 23 和 23 的等比中項(xiàng)為 ()( A)1(B)1(C) 1(D)252.（重慶卷文） 設(shè) a是公差不為0 的等差數(shù)列， a12 且 a1, a3, a6成等比數(shù)列， 則 a的前 n

17、 項(xiàng)和 Sn =nn（）A n27nB n25nC n23nD n2n443324( 三 ) 、等比數(shù)列的基本性質(zhì)，1. （ 1） 若 m n pq，則 am ana p aq (其中 m, n, p, q N )（ 2） q n man ， an 2an m an m (n N )am（ 3） an為等比數(shù)列，則下標(biāo)成等差數(shù)列的對應(yīng)項(xiàng)成等比數(shù)列.（ 4） an既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列an是各項(xiàng)不為零的常數(shù)列 .例： 1在等比數(shù)列an中 , a1 和 a10 是方程 2 x25x10 的兩個根 , 則 a4a7 ()( A)5(B)2(C)1(D) 122222.在等比數(shù)列an，已知 a15

18、， a9 a10100，則 a18 =3. 等比數(shù)列 an 的各項(xiàng)為正數(shù)，且a5a6 a4 a718,則 log 3 a1log 3 a2Llog 3 a10（）A 12B10C 8D 2+ log3 54. （廣東卷）已知等比數(shù)列 an 滿足 an0, n1,2,L ，且 a5a2 n 522 n ( n3) ，則當(dāng) n1 時，log 2 a1log 2 a3 Llog 2 a2n 1（）A.n(2 n1)B.(n1)2C.n2D.(n1)2( 四 ) 、等比數(shù)列的前n 項(xiàng)和，na1( q1)Sna1 (1 q n ) a1an q(q 1)1q1q例： 1. 已知等比數(shù)列 an 的首相 a

19、15 ，公比 q2 ，則其前 n 項(xiàng)和 Sn2（北京卷）設(shè)f (n)22427210L23n 10 (nN ) ，則 f (n) 等于（）A 2 (8n1)B 2 (8n 1 1)C 2 (8n 3 1)D 2 (8 n 41)77773（全國文， 21）設(shè)等比數(shù)列 an 的前 n 項(xiàng)和為 Sn ，若 S3 S6 2S9，求數(shù)列的公比q；( 五 ).等比數(shù)列的前n 項(xiàng)和的性質(zhì)6若數(shù)列 an 是等比數(shù)列， Sn 是其前 n 項(xiàng)的和， kN * ，那么 Sk ， S2 kSk ， S3kS2 k 成等比數(shù)列 .S6S9例： 1. （遼寧卷）設(shè)等比數(shù)列an 的前 n項(xiàng)和為Sn，若S3=3，則S6=7

20、8A. 2B.3C.3D.32. 一個等比數(shù)列前n 項(xiàng)的和為48，前 2 n 項(xiàng)的和為60，則前3 n 項(xiàng)的和為（）A 83B 108C75D 633. 已知數(shù)列 an是等比數(shù)列，且 Sm10， S2 m30，則 S3 m( 六 ) 、等比數(shù)列的判定法（ 1）定義法： an 1q（常數(shù)）an為等比數(shù)列；an（ 2）中項(xiàng)法： an2an(an0)an1an2為等比數(shù)列；（ 3）通項(xiàng)公式法：ank q n (k, q為常數(shù)）an為等比數(shù)列；（ 4）前 n 項(xiàng)和法：Snk(1qn ) （ k ,q為常數(shù)）an為等比數(shù)列。Snkkqn （ k, q為常數(shù)）an為等比數(shù)列。例： 1. 已知數(shù)列 an 的

21、通項(xiàng)為a2 n ，則數(shù)列 an 為 （）nA. 等差數(shù)列B.等比數(shù)列C.既不是等差數(shù)列也不是等比數(shù)列D.無法判斷2. 已知數(shù)列 an 滿足an 12ann 2( an0)，則數(shù)列 an 為 （）aA. 等差數(shù)列B.等比數(shù)列C.既不是等差數(shù)列也不是等比數(shù)列D.無法判斷3. 已知一個數(shù)列 an 的前 n 項(xiàng)和 sn22n1 ，則數(shù)列 an 為（）A. 等差數(shù)列B.等比數(shù)列C.既不是等差數(shù)列也不是等比數(shù)列D.無法判斷四、求數(shù)列通項(xiàng)公式方法（ 1）公式法（定義法）根據(jù)等差數(shù)列、等比數(shù)列的定義求通項(xiàng)例： 1 已知等差數(shù)列 an 滿足： a37, a5a726 ， 求 an ；2. 等比數(shù)列 a n 的各

22、項(xiàng)均為正數(shù)，且2a13a21， a3 29a2 a6 ，求數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式3. 已知數(shù)列 an 滿足 a12， a24且 an 2 an2N ），求數(shù)列an 的通項(xiàng)公式；an 1 （ n4. 已知數(shù)列 an 滿足 a12，且 an 15n 12(an5n ) （ nN ），求數(shù)列an 的通項(xiàng)公式；75. 數(shù)列已知數(shù)列an 滿足 a11 , an4an 11(n1). 則數(shù)列an 的通項(xiàng)公式 =2（ 2）累加法1、累加法適用于： an 1anf (n)a2a1f (1)若 an 1an f (n) ( na3a2f (2)2) ，則LLan 1anf (n)n兩邊分別相加得an 1a1f

23、(n)k11, an 1an1，求數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式。例： 1.已知數(shù)列 an 滿足 a14n2212. 已知數(shù)列 an 滿足 an 1an2n1， a11 ，求數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式。3. 已知數(shù)列 an 滿足 an 1an23n1， a13 ，求數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式。（ 3）累乘法適用于： an 1 f (n)an若an 1f ( n) ，則a2a3f (2)，Lan1f (n)ana1f (1)，L ，a2anan 1n兩邊分別相乘得，a1f (k )a1k1例： 1.已知數(shù)列 an 滿足 an 12( n 1)5na ， a3 ，求數(shù)列 an的通項(xiàng)公式。n12.已知數(shù)列an 滿足

24、 a12， an 1nan ，求 an 。3n183.已知 a13 ， an 13n1 an (n 1) ，求 an 。3n2（ 4）待定系數(shù)法適用于 an 1 qanf (n)例： 1. 已知數(shù)列 an 中， a11,an2an 11(n2) ，求數(shù)列an的通項(xiàng)公式。2.（重慶 ,文 ,14）在數(shù)列an 中，若 a11,an 12an 3(n1) ，則該數(shù)列的通項(xiàng) an _3.已知數(shù)列 a滿足 a11, an 12an1(n N * ). 求數(shù)列a的通項(xiàng)公式；nn（ 5）遞推公式中既有SnS1, n 1轉(zhuǎn)化為數(shù)列an 或 Sn 的遞推關(guān)系，然后采用相應(yīng)的方法求解。分析：把已知關(guān)系通過 anSn Sn 1, n21. （北京卷）數(shù)列 an 的前 n 項(xiàng)和為 Sn，且 a1=1， an 11a2，a3，a4 的值及數(shù)列Sn ， n=1， 2，3，