大一高等數(shù)學(xué)論文

1、20113564 胡騏薪 工商1112微分方程的基本應(yīng)用 微分方程是數(shù)學(xué)的重要分支, 用微分方程來(lái)刻畫(huà)許多自然科學(xué)、經(jīng)濟(jì)科學(xué)甚至社會(huì)科學(xué)領(lǐng)域中的一些規(guī)律,這是微分方程應(yīng)用的重要領(lǐng)域,也是其發(fā)展的動(dòng)力.在這里我重點(diǎn)介紹了幾個(gè)利用微分方程常來(lái)解決的問(wèn)題的例子,從中我們可以了解到微分方程用的廣泛性以及解決具體問(wèn)題時(shí)常采用的一般步驟. 微分方程是與微積分一起形成發(fā)展起來(lái)的重要數(shù)學(xué)分支,已有悠久的歷史,早在1718世紀(jì),牛頓、萊布尼茲、貝努里和拉格朗日等人在研究力學(xué)和幾何學(xué)中就提出了微分方程【1,2】.隨著科學(xué)的發(fā)展,它在力學(xué)、電學(xué)、天文學(xué)和其他數(shù)學(xué)物理領(lǐng)域內(nèi)的應(yīng)用不斷獲得成功,有力地推動(dòng)了這些學(xué)科的發(fā)

2、展,已成為研究自然科學(xué)和社會(huì)科學(xué)的一個(gè)強(qiáng)有力工具.如今,微分方程仍繼續(xù)保持著進(jìn)一步發(fā)展的活力,其主要原因是它的根源深扎在各種實(shí)際問(wèn)題之中,許多實(shí)際問(wèn)題可以通過(guò)建立微分方程模型得以解決. 常微分方程的形成與發(fā)展是和力學(xué)、天文學(xué)、物理學(xué)，以及其他科學(xué)技術(shù)的發(fā)展密切相關(guān)的. 數(shù)學(xué)的其他分支的新發(fā)展，如復(fù)變函數(shù)、李群、組合拓?fù)鋵W(xué)等，都對(duì)常微分方程的發(fā)展產(chǎn)生了深刻的影響，當(dāng)前計(jì)算機(jī)的發(fā)展更是為常微分方程的應(yīng)用及理論研究提供了非常有力的工具. 微分方程可以精確地表述事物變化所遵循的基本規(guī)律. 隨著微分方程的理論的逐步完善，只要列出相應(yīng)的微分方程并找到解方程的方法, 微分方程也就成了最有生命力的數(shù)學(xué)分支.

3、事實(shí)上，大部分的常微分方程求不出十分精確的解，而只能得到近似解. 當(dāng)然，這個(gè)近似解的精確程度是比較高的. 現(xiàn)在，常微分方程在很多學(xué)科領(lǐng)域內(nèi)有著重要的應(yīng)用，自動(dòng)控制、各種電子學(xué)裝置的設(shè)計(jì)、彈道的計(jì)算、飛機(jī)和導(dǎo)彈飛行的穩(wěn)定性的研究、化學(xué)反應(yīng)過(guò)程穩(wěn)定性的研究等. 這些問(wèn)題都可以化為求常微分方程的解，或者化為研究解的性質(zhì)的問(wèn)題. 應(yīng)該說(shuō)，應(yīng)用常微分方程理論已經(jīng)取得了很大的成就. 解常微分方程大致有分離變量法、變量替換法、常數(shù)變易法以及積分因子法等等，其中，積分因子法尤為重要，本論文主要討論積分因子存在條件及其解法，通過(guò)積分因子使常微分方程化為全微分方程形式來(lái)求解. 微分方程在科學(xué)技術(shù)和實(shí)際生活中都有著

4、廣泛的應(yīng)用。應(yīng)用微分方程解決實(shí)際問(wèn)題,其實(shí)就是建立微分方程數(shù)學(xué)模型,通過(guò)建立微分方程、確定定解條件、求解及對(duì)解的分析可以揭示許多自然界和科學(xué)技術(shù)中的規(guī)律.應(yīng)用微分方程解決具體問(wèn)題的主要步驟:(1)分析問(wèn)題,將實(shí)際問(wèn)題抽象,設(shè)出未知函數(shù)，建立微分方程,并給出合理的定解條件;(2)求解微分方程的通解及滿足定解條件的特解,或由方程討論解的性質(zhì);(3)由所求得的解或解的性質(zhì),回到實(shí)際問(wèn)題,解釋該實(shí)際問(wèn)題,得出客觀規(guī)律.微分方程的應(yīng)用舉例幾何問(wèn)題1.等角軌線我們來(lái)求這樣的曲線或曲線族,使得它與某已知曲線族的每一條曲線相交成給定的角度.這樣的曲線軌線已知曲線的等角軌線.當(dāng)所給定的角為直角時(shí),等角軌線就軌線

5、正交軌線.等角軌線在很多學(xué)科（如天文,氣象等）中都有應(yīng)用.下面就來(lái)介紹等角軌線的方法.首先把問(wèn)題進(jìn)一步提明確一些.設(shè)在（x,y）平面上,給定一個(gè)單參數(shù)曲線族（c）:求這樣的曲線,使得與(c)中每一條曲線的交角都是定角 .設(shè)的方程為=.為了求,我們先來(lái)求出所對(duì)應(yīng)滿足的微分方程,也就是要求先求得, ,的關(guān)系式.條件告訴我們與（c）的曲線相交成定角,于是,可以想象,和必然應(yīng)當(dāng)與（c）中的曲線=及其切線的斜率有一個(gè)關(guān)系.事實(shí)上,當(dāng)時(shí),有或 當(dāng)=時(shí),有 又因?yàn)樵诮稽c(diǎn)處,=,于是,如果我們能求得, ,的關(guān)系采用分析法.設(shè)=為（c）中任一條曲線,于是存在相應(yīng)的c,使得 因?yàn)橐?y, 的關(guān)系,將上式對(duì)x求導(dǎo)

6、,得 這樣,將上兩式聯(lián)立,即由 消去c,就得到所應(yīng)當(dāng)滿足的關(guān)系這個(gè)關(guān)系稱為曲線族（c）的微分方程.于是,等角軌線（）的微分方程就是 而正交軌線的微分方程為 為了避免符號(hào)的繁瑣,以上兩個(gè)方程可以不用,而仍用y,只要我們明確它是所求的等角軌線的方程就行了.為了求得等角軌線或正交軌線,我們只需求上述兩個(gè)方程即可.例1 求直線束的等角軌線和正交軌線.解 首先求直線束的微分方程.將對(duì)求導(dǎo),得=c,由消去c,就得到的微分方程當(dāng)時(shí),由（2.16）知道,等角軌線的微分方程為或及即積分后得到或如果=,由（2.17）可知,正交軌線的微分方程為即 或 故正交軌線為同心圓族.例2 拋物線的光學(xué)問(wèn)題在中學(xué)平面解析幾何中

7、已經(jīng)指出,汽車前燈和探照燈的反射鏡面都取為旋轉(zhuǎn)拋物面,就是將拋物線繞對(duì)稱軸旋轉(zhuǎn)一周所形成的曲面.將光源安置在拋物線的焦點(diǎn)處,光線經(jīng)鏡面反射,就成為平行光線了.這個(gè)問(wèn)題在平面解析幾何中已經(jīng)作了證明,現(xiàn)在來(lái)說(shuō)明具有前述性質(zhì)的曲線只有拋物線,由于對(duì)稱性,只有考慮在過(guò)旋轉(zhuǎn)軸的一個(gè)平面上的輪廓線,如圖,rn以旋轉(zhuǎn)軸為ox軸,光源放在原點(diǎn)o(0,0).設(shè)的方程為y=y(x,y).由o點(diǎn)發(fā)出的光線經(jīng)鏡面反射后平行于ox軸.設(shè)m(x,y)為上任一點(diǎn),光線om經(jīng)反射后為mr.mt為在m點(diǎn)的切線,mn為在m點(diǎn)的法線,根據(jù)光線的反射定律,有omn=nmr從而tanomn=tannmr因?yàn)閙t的斜率為,mn的斜率為-

8、,所以由正切公式,有tanomn=, tannmr=從而=-即得到微分方程+2x-y=0由這方程中解出,得到齊次方程=-令=u,即y=xu,有=u+代入上式得到=分離變量后得令1+上式變?yōu)?積分后得ln或.兩端平方得化簡(jiǎn)后得以.這是一族以原點(diǎn)為焦點(diǎn)的拋物線.2動(dòng)力學(xué)問(wèn)題動(dòng)力學(xué)是微分方程最早期的源泉之一.我們都知道動(dòng)力學(xué)的基本定律是牛頓第二定律這也是用微分方程來(lái)解決動(dòng)力學(xué)的基本關(guān)系式.它的右端明顯地含有加速度a,a是位移對(duì)時(shí)間的二階導(dǎo)數(shù).列出微分方程的關(guān)鍵就在于找到外力f和位移對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)速度的關(guān)系.只要找到這個(gè)關(guān)系,就可以由列出微分方程了.在求解動(dòng)力學(xué)問(wèn)題時(shí),要特別注意力學(xué)問(wèn)題中的定解條件,如

9、初值條件等.例：物體由高空下落,除受重力作用外,還受到空氣阻力的作用,在速度不太大的情況下,空氣阻力可看做與速度的平方成正比試證明在這種情況下,落體存在極限速度.解 設(shè)物體質(zhì)量為m,空氣阻力系數(shù)為k,又設(shè)在時(shí)刻t物體下落的速度為v,于是在時(shí)刻t物體所受的合外力為（重力-空氣阻力）從而,根據(jù)牛頓第二定律可得出微分方程 因?yàn)槭亲杂陕潴w,所以有 積分得或解出v,得當(dāng)時(shí),有 據(jù)測(cè)定,其中為與物體形狀有關(guān)的常數(shù),為介質(zhì)密度,s為物體在地面上的投影面積.人們正是根據(jù)公式 ,來(lái)為跳傘者設(shè)計(jì)保證安全的降落傘的直徑大小的.在落地速度,m, ,與 一定時(shí),可定出s來(lái).3.流體混合問(wèn)題中學(xué)代數(shù)中有這樣一類問(wèn)題：某容

10、器中裝有濃度為的含某種物質(zhì)a的液體v升,從其中取出升后,加入濃度為的液體升,要求混合后的液體的濃度以及物質(zhì)a的含量.這類問(wèn)題用初等代數(shù)就可以解決了. 但是,在實(shí)際中還經(jīng)常碰到如下的問(wèn)題：如圖,容器內(nèi)裝有含物質(zhì)a的流體.設(shè)時(shí)刻t=0時(shí),流體的體積為,物質(zhì)a的質(zhì)量為.今以速度（單位時(shí)間的流量）放出流體,而同時(shí)又以速度注入濃度為的流體,試求時(shí)刻t時(shí)容器中物質(zhì)a的質(zhì)量及流體的濃度. 這類問(wèn)題稱為流體混合問(wèn)題.它是不能用初等數(shù)學(xué)解決的,必須用微分方程來(lái)計(jì)算.首先,我們用微元發(fā)來(lái)列方程.設(shè)在時(shí)刻t,容器內(nèi)物質(zhì)a的質(zhì)量為x=x(t),濃度為,經(jīng)過(guò)時(shí)間dt后,容器內(nèi)物質(zhì)a的質(zhì)量增加了dx.于是,有關(guān)系式因?yàn)?

11、代入上式有或這是一個(gè)線性方程.求物質(zhì)a在時(shí)刻t的質(zhì)量的問(wèn)題就歸結(jié)為求方程滿足初始條件x(0)= 的解的問(wèn)題.例: 某廠房容積為45m×15m×6m,經(jīng)測(cè)定,空氣中含有0.2的.開(kāi)通通風(fēng)設(shè)備,以360的速度輸入含有0.05的的新鮮空氣,同時(shí)又排出同等數(shù)量的室內(nèi)空氣.問(wèn)30min后室內(nèi)所含的百分比.解 設(shè)在時(shí)刻t,車間內(nèi)的百分比為x(t) ,當(dāng)時(shí)間經(jīng)過(guò)dt后,室內(nèi)的該變量為45×15×6×dx=360×0.05×dt-360×x×dt于是有關(guān)系式4050dx=360(0.05-x)dt或初值條件為x(0)=0

12、.2.將方程分離變量并積分,初值解滿足求出x,有x=0.05+0.15以t=30min=1800s代入,得x0.05.即開(kāi)動(dòng)通風(fēng)設(shè)備30min后,室內(nèi)的含量接近0.05,基本上已是新鮮空氣了.4.變化率問(wèn)題若某未知函數(shù)的變化率的表達(dá)式為已知,那么據(jù)此列出的方程常常是一階微分方程.例：在某一個(gè)人群中推廣技術(shù)是通過(guò)其中已掌握新技術(shù)的人進(jìn)行的,設(shè)該人群的總?cè)藬?shù)為n,在t=0時(shí)刻已掌握新技術(shù)的人數(shù)為,在任意時(shí)刻t已掌握新技術(shù)的人數(shù)為x(t)(將x(t)視為連續(xù)可微變量),其變化率與已掌握新技術(shù)人數(shù)和未掌握新技術(shù)人數(shù)之積成正比,比例系數(shù)k0,求x(t).解 由題意立即有按分離變量法解之,即積分并化簡(jiǎn)的通解由初值條件得特解總結(jié)：通過(guò)以上幾個(gè)簡(jiǎn)單的例子，我們發(fā)現(xiàn)用微分方程解決一些實(shí)際問(wèn)題其實(shí)很方便，也很普遍，所以在以后的學(xué)習(xí)中，