線(xiàn)性代數(shù)概念、性質(zhì)、定理、公式整理

1、 aE bAr(aE bA) (aE bA)x= a一bn有非零解向量組等價(jià) 矩陣等價(jià) 矩陣相似：具有 反身性、對(duì)稱(chēng)性、傳遞性矩陣合同；v關(guān)于e,e2,概念、性質(zhì)、定理、公式必須清楚，解法必須熟練，計(jì)算必須準(zhǔn)確A可逆rA nA的列行向量線(xiàn)性無(wú)關(guān)A的特征值全不為0Ax 只有零解x ，AxRn,Ax 總有唯一解ATA是正定矩陣A EA p1 p2 Ps 口是初等陣存在n階矩陣B,使得AB E或AB E注注：全體n維實(shí)向量構(gòu)成的集合Rn叫做n維向量空間A不可逆 rA nA的列行向量線(xiàn)性相關(guān)0是A的特征值0的特征向量Ax 有非零解,其根底解系即為A關(guān)于稱(chēng)為？n的標(biāo)準(zhǔn)基，？ n中的自然基，單位坐標(biāo)向量P

2、教材87 ； e,e2, ,en線(xiàn)性無(wú)關(guān); e，d， ，en 1 ; trE= n ； 任意一個(gè)n維向量都可以用e1,e2, q線(xiàn)性表示a11ai2Lai na2ia22La2nMMManian2Lann行列式的定義 Dn(1)jL jn(jL jn)aijia2j2 L anjnV行列式的計(jì)算:行列式按行列展開(kāi)定理：行列式等于它的任一行列的各元素與其對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子式的乘積之和推論：行列式某一行列的元素與另一行列的對(duì)應(yīng)元素的代數(shù)余子式乘積之和等于零假設(shè)A與B都是方陣不必同階A OAO BO BO AAB OB OA B拉普拉斯展開(kāi)式(1)mn A B上三角、下三角、主對(duì)角行列式等于主對(duì)角線(xiàn)上元

3、素的乘積關(guān)于副對(duì)角線(xiàn):aina2n 1NaniOON4iaina2n in(n i)(i)aina2n K ani (即:所有取自不同行不同列的n個(gè)元素的乘積的代數(shù)和范德蒙德行列式:XiX222XiX2MMn i n iX x2L1LXnL2XnMLn 1XnX Xji j i n矩陣的定義由m主L換位 副L變號(hào)ai1ai2Laina21a22La2n稱(chēng)為mMMMamiam2Lamnn個(gè)數(shù)排成的m行n列的表an矩陣.記作：A aH或Amnm nAiA21L代i八A TA,2AAjA22LAn2, Aj為A中各個(gè)元素的代數(shù)余子式伴隨矩陣jMMMjAnA2nLAnnV逆矩陣的求法ia bi d b

4、cd ad bc c a AIE初等行變換EMA iV 設(shè) Am n ' Bn s'A的列向量為1 ' 2' 'n , B的列向量為1 ,2 , s ,bnb12Lbisb?1b?2Lb2s那么 ABCm s1' 2 '> nG ' C2 ,L ' csA ici，(i 1,2,L ,s)i為MMMbn1bn2LbnsAx c的解A1 j2 >> sA 1, A 2,'A sC1，C2，L ，Csc1' c2,L ' c；S 可由1 '2''n線(xiàn)性表11a1

5、a21a31a311a1a21a31不V方陣的幕的性質(zhì)： AmAn Am n(Am)n (A)mn行向量;用對(duì)角矩陣用對(duì)角矩陣,相當(dāng)于用的對(duì)角線(xiàn)上的各元素依次乘此矩陣的示.即：C的列向量能由A的列向量線(xiàn)性表示， B為系數(shù)矩陣a11a12Lai n1qa11 1a122 La1n 2q即：a21a22La2n2C2a21 1a222 La2n 2C2MMMMMLLL3n13n2Lamnncmam1 13m22 Lamn 2Cm同理:C的行向量能由B的行向量線(xiàn)性表示,At為系數(shù)矩陣的對(duì)角線(xiàn)上的各元素依次乘此矩陣的,相當(dāng)于用V兩個(gè)同階對(duì)角矩陣相乘只用把對(duì)角線(xiàn)上的對(duì)應(yīng)元素相乘ABTatctCDbtdt

6、A1A1BB1AC1A1A 1CB 1OBOBA1Bn,BA22B22A*BAB*ABV分塊矩陣的轉(zhuǎn)置矩陣:分塊矩陣的逆矩陣：分塊對(duì)角陣相乘：A分塊對(duì)角陣的伴隨矩陣:ABAi1B11A1A1B 1CA,AnA22 B22(1)mn B A(1)mn A B或II XA B精選V矩陣方程的解法A 0:設(shè)法化成I AX B(I)的解法：構(gòu)造(AMB)初等行變換(EMX)(II)的解法：將等式兩邊轉(zhuǎn)置化為atxtbt，用(I)的方法求出XT，再轉(zhuǎn)置得X零向量是任何向量的線(xiàn)性組合,零向量與任何同維實(shí)向量正交單個(gè)零向量線(xiàn)性相關(guān)；單個(gè)非零向量線(xiàn)性無(wú)關(guān)局部相關(guān)，整體必相關(guān)；整體無(wú)關(guān)，局部必?zé)o關(guān) (向量個(gè)數(shù)變

7、動(dòng))(向量維數(shù)變動(dòng))原向量組無(wú)關(guān)，接長(zhǎng)向量組無(wú)關(guān)；接長(zhǎng)向量組相關(guān)，原向量組相關(guān).兩個(gè)向量線(xiàn)性相關(guān)對(duì)應(yīng)元素成比例；兩兩正交的非零向量組線(xiàn)性無(wú)關(guān)P教材114 -向量組1, 2,n中任一向量i (1 < i w n)都是此向量組的線(xiàn)性組合向量組n線(xiàn)性相關(guān)向量組中至少有一個(gè)向量可由其余n1個(gè)向量線(xiàn)性表示向量組m維列向量組m維列向量組n線(xiàn)性無(wú)關(guān)向量組中每一個(gè)向量i都不能由其余2， n線(xiàn)性相關(guān)2， n線(xiàn)性無(wú)關(guān)n線(xiàn)性無(wú)關(guān)，而矩陣的行向量組的秩列向量組的秩r(A) n ；r(A) n.線(xiàn)性相關(guān)，那么可由n 1個(gè)向量線(xiàn)性表示.2，n線(xiàn)性表示，且表示法唯一 矩陣的秩.行階梯形矩陣的秩等于它的非零行的個(gè)數(shù)行階

8、梯形矩陣 可畫(huà)出一條階梯線(xiàn)，線(xiàn)的下方全為 0 ；每個(gè)臺(tái)階只有一行，臺(tái)階數(shù)即是非零行的行數(shù),階梯線(xiàn)的豎線(xiàn)后面的第一個(gè)元素非零當(dāng)非零行的第一個(gè)非零元為1,且這些非零元所在列的其他元素都是0時(shí),稱(chēng)為行最簡(jiǎn)形矩陣? 矩陣的行初等變換不改變矩陣的秩，且不改變列向量間的線(xiàn)性關(guān)系;矩陣的列初等變換不改變矩陣的秩，且不改變行向量間的線(xiàn)性關(guān)系即：矩陣的初等變換不改變矩陣的秩V矩陣的初等變換和初等矩陣的關(guān)系:對(duì)A施行一次初等(行行變換得到的矩陣，等于用相應(yīng)的初等矩陣 乘A；對(duì)A施行一次初等0列變換得到的矩陣，等于用相應(yīng)的初等矩陣 乘A.矩陣的秩|如果矩陣A存在不為零的r階子式，且任意r 1階子式均為零，那么稱(chēng)矩陣

9、A的秩為r.記作r (A) r向量組的秩向量組2,L , n的極大無(wú)關(guān)組所含向量的個(gè)數(shù)，稱(chēng)為這個(gè)向量組的秩.記作 r( 1,2,L , n)矩陣等價(jià) A經(jīng)過(guò)有限次初等變換化為B.記作：A%B向量組等價(jià)1,2, n 和n可以相互線(xiàn)性表示記作:? 矩陣A與B等價(jià) PAQP,Q 可逆 r(A)r(B), A,B為同型矩陣A,B作為向量組等價(jià)，即:秩相等的向量組不一定等價(jià).矩陣A與B作為向量組等價(jià)r( 1, 2,n) r(n) r( 1,21矩陣A與B等價(jià).? 向量組s可由向量組n線(xiàn)性表示AXB有解r(n)= r(2, s)r( 1, 2,s) w r(? 向量組2,s可由向量組n線(xiàn)性表示,且s n，

10、那么s線(xiàn)性相關(guān).向量組2,s線(xiàn)性無(wú)關(guān)，且可由2, n線(xiàn)性表示,那么s w? 向量組1?2,s可由向量組n線(xiàn)性表示，且r(s)r(1, 2, n),那么兩向量組等價(jià);P教材94,例10? 任一向量組和它的極大無(wú)關(guān)組等價(jià)向量組的任意兩個(gè)極大無(wú)關(guān)組等價(jià)? 向量組的極大無(wú)關(guān)組不唯一，但極大無(wú)關(guān)組所含向量個(gè)數(shù)唯一確定假設(shè)兩個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的向量組等價(jià),那么它們包含的向量個(gè)數(shù)相等設(shè)A是m n矩陣,假設(shè)r(A)A的行向量線(xiàn)性無(wú)關(guān);假設(shè) r(A)A的列向量線(xiàn)性無(wú)關(guān)，即:n線(xiàn)性無(wú)關(guān).V矩陣的秩的性質(zhì):r(A)假設(shè) A O r(A)0 w r(Am n) w min( m,n) r(A)r(AT) r(ATA)P教材1

11、01,例15 r(kA)r(A)假設(shè) k 0假設(shè) Amn,Bns,假設(shè)(AB) 0r(A) r(B) nB的列向量全部是Ax r(AB) w min r(A),r(B)-假設(shè) A可逆r(AB) r(B)假設(shè) B 可逆r(AB) r(A)即：可逆矩陣不影響矩陣的秩假設(shè) r(Am n) nAx 只有零解r(AB) r(B)A在矩陣乘法中有左消去律AB O B OAB AC B C假設(shè) r(Bn s) nr(AB) r(B)B在矩陣乘法中有右消去律假設(shè)r(A) rA與唯一的ErOOO 等價(jià)，稱(chēng) EOr為矩陣A的等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)型r(AB)w r(A)r(B)max r(A),r(B) w r(A,B) w

12、r(A) r(B)p教材7。AOOAACrr(A)r(B)rr(A) r(B)OBBOOB可由1,2丄，n線(xiàn)性表示Ax 有解 r(A) r(AM )Ax 有無(wú)窮多解 表示法不唯一2,L , n線(xiàn)性相關(guān)當(dāng)A為方陣時(shí)Ax有唯一組解表示法唯一,.線(xiàn)性無(wú)關(guān)Ax當(dāng)A為方陣時(shí)Ax不可由2,L , n線(xiàn)性表示Ax 無(wú)解r(A)r(A)r(A)r(AM ) r(AM )1 r(AM )教材72講義87Ax有無(wú)窮多解其導(dǎo)出組有非零解Ax有唯一解其導(dǎo)出組只有零解0有非零解只有零解克萊姆法那么線(xiàn)性方程組的矩陣式Ax向里式X11X22LXn na11a12L31 n1jaa21a22La2nX2Jb22j.一A,xj

13、 M，j "L，nMMMMMam13m 2Lamnxmj1 > 2 丄，n)x2MXn矩陣轉(zhuǎn)置的性質(zhì)：(At)t A(AB)t btat(kA)TkATatIA(A B)t At Bt(A1)T (At) 1(AT ) (A )T矩陣可逆的性質(zhì)：1 1(A )A1 1 1(AB)B A1 1 1(kA)k AA1IA11 1 1(A B)AB(A1)k (Ak) 1 Ak伴隨矩陣的性質(zhì)：(A ) An 2 A(AB) B A(kA) kn1AA|IAn1* * *(A B) A B(A1) (A)1 十(Ak)(A)kn假設(shè) r(A)nr(A)1假設(shè) r(A)n10假設(shè) r(A

14、)n1|AB A bkA kn AAkIAka B IA IBAA AA |AE 無(wú)條件恒成立線(xiàn)性方程組解的性質(zhì):(1)1, 2 是 Ax的解，12也是它的解是Ax的解,對(duì)任意k, k也是它的解齊次方程組1, 2 ,L ,k是Ax的解，對(duì)任意k個(gè)常數(shù)1 , 2 ,L ,k,1 12 2 k k也是它的解是Ax的解，是其導(dǎo)出組Ax 的解，是Ax的解1, 2 是 Ax的兩個(gè)解，12是其導(dǎo)出組Ax 的解2是Ax的解,那么1也是它的解12是其導(dǎo)出組Ax 的解1, 2 , L ,k是Ax的解，那么1 1 2 2k k也是Ax的解12k11 12 2k k是Ax 0的解1 2k0定有解,r(A)r(AM

15、)Axm設(shè)A為m n矩陣,假設(shè)r(A)當(dāng)m n時(shí),一定不是唯一解方程個(gè)數(shù) 向量維數(shù)未知數(shù)的個(gè)數(shù)向量個(gè)數(shù)那么該向量組線(xiàn)性相關(guān)m是r(A)和r (AM )的上限.V 判斷 1, 2,L , s是 Ax的根底解系的條件: 1, 2丄，s線(xiàn)性無(wú)關(guān)； 1, 2,L , s都是Ax 的解; s n r(A)每個(gè)解向量中自由未知量的個(gè)數(shù)V 一個(gè)齊次線(xiàn)性方程組的根底解系不唯一.V假設(shè) 是Ax的一個(gè)解，1, ,L , s是Ax的一個(gè)解1, ,L , s,線(xiàn)性無(wú)關(guān)V Ax與Bx同解(代B列向量個(gè)數(shù)相同)，那么： 它們的極大無(wú)關(guān)組相對(duì)應(yīng)，從而秩相等； 它們對(duì)應(yīng)的局部組有一樣的線(xiàn)性相關(guān)性； 它們有相同的內(nèi)在線(xiàn)性關(guān)系

16、.AV兩個(gè)齊次線(xiàn)性線(xiàn)性方程組 Ax 與Bx 同解 rr(A) r(B).BV兩個(gè)非齊次線(xiàn)性方程組 Ax 與Bx都有解，并且同解r AM r(A) r(B).BM"矩陣Amn與Bl n的行向量組等價(jià)齊次方程組 Ax 與Bx 同解 PA B (左乘可逆矩陣 P ); p教材仙矩陣Amn與Bl n的列向量組等價(jià)AQ B (右乘可逆矩陣Q ).V關(guān)于公共解的三中處理方法： 把(I)與(II)聯(lián)立起來(lái)求解； 通過(guò)(I)與(II)各自的通解，找出公共解；當(dāng)(I)與(II)都是齊次線(xiàn)性方程組時(shí)，設(shè)1, 2, 3是的根底解系，4, 5是(II)的根底解系，那么(I)與(II)有公共解根底解系個(gè)數(shù)少的

17、通解可由另一個(gè)方程組的根底解系線(xiàn)性表示即：r( 1,2,3) r( 1,2,3MC1 4 勺 5)當(dāng)(l)與(II)都是非齊次線(xiàn)性方程組時(shí)，設(shè)11c2 2是(I)的通解，2c3 3是(II)的通解，兩方程組有公共解 2 Cs 3 i可由i, 2線(xiàn)性表示.即卩：r( i, 2) r ( 1, 2M 2 C3 31) 設(shè)(I)的通解，把該通解代入(II)中，找出(I)的通解中的任意常數(shù)所應(yīng)滿(mǎn)足(II)的關(guān)系式而求出公共解。n) aib . aQ a?b2 Li 1標(biāo)準(zhǔn)正交基 n個(gè)n維線(xiàn)性無(wú)關(guān)的向量，兩兩正交，每個(gè)向量長(zhǎng)度為1.亠=TT向量aj,a2,L ,an 與b1,b2,L , bn 的內(nèi)積(

18、n2 12 2 . 2ai a1a2 L an與正交(，)0 記為:向量ai,a2,L , an的長(zhǎng)度 II II L1.即長(zhǎng)度為1的向量(,)0,且(，)0(,)(,)(,12) ( , 1)(,2)(12,)(1,)(2,)(C,)C(,)(,c )i 1是單位向量丨I 17(-)V內(nèi)積的性質(zhì)：正定性: 對(duì)稱(chēng)性: 雙線(xiàn)性:A的特征矩陣 E A.A的特征多項(xiàng)式 E A ().V ()是矩陣A的特征多項(xiàng)式(A) OA的特征方程 E A 0.Ax x ( x為非零列向量)Ax與x線(xiàn)性相關(guān)tr A , tr A稱(chēng)為矩陣A的跡.V上三角陣、下三角陣、對(duì)角陣的特征值就是主對(duì)角線(xiàn)上的n各元素.V假設(shè)A

19、0,那么0為A的特征值，且Ax的根底解系即為屬于0的線(xiàn)性無(wú)關(guān)的特征向量aia2V r(A) 1A一定可分解為 A= 2 b, b2, L , 0M2A(aibi a?b2 Land) A,從而A的特征值為:1 tr Aa1b1a2b2L anbn,23 Ln 0 P 指南 358.迸 a1,a2,LTan為A各行的公比,b|,b2,L ,bn為A各列的公比V假設(shè)A的全部特征值1, 2,L , n, f (A)是多項(xiàng)式，那么:f( 1)f( 2)L f( n). 假設(shè)A滿(mǎn)足f(A) O A的任何一個(gè)特征值必滿(mǎn)足 f( i)0f(A)的全部特征值為f( 1), f( 2)丄,f( n) ； I f

20、(A)V初等矩陣的性質(zhì):|E(i,j)|1|Ei(k)| k|Ei,j(k)| 1E(i, j)T E(i, j)Ei(k)T Ei(k)Ei, j(k)T Ej,i(k)1E(i, j)E(i,j)Ei(k) 1Ei(4)1Ei, j(k)Ei, j( k)E(i, j)*E(i, j)Ei(k)*kEi(QEi, j(k)* Ei, j( k)V 設(shè) f(x) amXm am 1xm 1 La°，對(duì) n 階矩陣 A規(guī)定：f (A) amAm am 1Am 1 LaA a°E 為 A的一個(gè)多項(xiàng)式kAkaA bEa batV 是A的特征值，那么:A 1分別有特征值丄AA1

21、2L 3A22AmmkAaA bE關(guān)于的特征向量A 1V x是A關(guān)于 的特征向量 那么x也是AA2V A2,Am的特征向量不 -定是 A的特征向量V A與A有相同的特征值，但特征向量不一定相同A與B相似1P AP B P為可逆矩陣記為：A: B 1A與B正交相似 P AP BP為正交矩陣A可以相似對(duì)角化A與對(duì)角陣相似.記為：A:稱(chēng)是A的相似標(biāo)準(zhǔn)形V A可相似對(duì)角化n r iE A kik為i的重?cái)?shù)A恰有n個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的特征向量.這時(shí)，P為A的特征向量拼成的矩陣,P 1AP為對(duì)角陣，主對(duì)角線(xiàn)上的元素為A的特征值設(shè)i為對(duì)應(yīng)于i的線(xiàn)性無(wú)關(guān)的特征向量那么有:A 1, 2 丄，n A 1，A 2丄，A n

22、 1 1,1 44 2 4 43P2 2丄,n n 1，2,L ， n2O1 44 2 4 43pn14 442 4 4 3迸：當(dāng)i 0為A的重的特征值時(shí)，A可相似對(duì)角化i的重?cái)?shù) n r(A) Ax根底解系的個(gè)數(shù)假設(shè)n階矩陣A有n個(gè)互異的特征值A(chǔ)可相似對(duì)角化假設(shè)A可相似對(duì)角化，那么其非零特征值的個(gè)數(shù)(重根重復(fù)計(jì)算)r(A).假設(shè)A:Ak=P kP 1, g(A)Pg( )P 1 P相似矩陣的性質(zhì):tr Atr Bg(i)g( 2)Og(n)B ,從而 代B有相同的特征值，但特征向量不一定相同0的特征向量，P 是B關(guān)于0的特征向量 A B 從而代B同時(shí)可逆或不可逆 r(A) r(B) At :

23、Bt ; A1 : B 1 (假設(shè)代 B 均可逆)；A* : B* Ak : Bk( k 為整數(shù))；f (A) : f (B) , | f (A) |f (B) A: B,C : D曾前四個(gè)都是必要條件V數(shù)量矩陣只與自己相似V實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣的性質(zhì)： 特征值全是實(shí)數(shù)，特征向量是實(shí)向量； 不同特征值對(duì)應(yīng)的特征向量必定正交；對(duì)于普通方陣，不同特征值對(duì)應(yīng)的特征向量線(xiàn)性無(wú)關(guān); 一定有n個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的特征向量假設(shè)A有重的特征值，該特征值i的重?cái)?shù)=n r( iE A)； 必可用正交矩陣相似對(duì)角化，即：任一實(shí)二次型可經(jīng)正交變換化為標(biāo)準(zhǔn)形; 與對(duì)角矩陣合同，即：任一實(shí)二次型可經(jīng)可逆線(xiàn)性變換化為標(biāo)準(zhǔn)形; 兩個(gè)實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣

24、相似有相同的特征值正交矩陣| AA EV A為正交矩陣A的n個(gè)行列向量構(gòu)成 ？n的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基V正交矩陣的性質(zhì)： A A 1 ； aA A a e ； 正交陣的行列式等于 i或-1 ； A是正交陣,那么A , A 1也是正交陣； 兩個(gè)正交陣之積仍是正交陣； A的行列向量都是單位正交向量組nna xxii i j j iay aji，即A為對(duì)稱(chēng)矩陣，xA; B A,B為實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣,C為可逆矩陣p負(fù)慣性指數(shù)二次型的標(biāo)準(zhǔn)形中負(fù)項(xiàng)項(xiàng)數(shù)xz丄r P,XnTV兩個(gè)矩陣合同它們有相同的正負(fù)慣性指數(shù)他們的秩與正慣性指數(shù)分別相等V兩個(gè)矩陣合同的充分條件是：A: BV兩個(gè)矩陣合同的必要條件是：rA rB:正交變換V fXi,X