2024年全國(guó)統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（新高考Ⅰ）含答案

2024年全國(guó)統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（新高考Ⅰ）一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是正確的，請(qǐng)把正確的選項(xiàng)填涂在答題卡相應(yīng)的位置上。1．已知集合，，，0，2，，則A．， B．， C．，， D．，0，2．若，則A． B． C． D．3．已知向量，，若，則A． B． C．1 D．24．已知，，則A． B． C． D．5．已知圓柱和圓錐的底面半徑相等，側(cè)面積相等，且它們的高均為，則圓錐的體積為A． B． C． D．6．已知函數(shù)為在上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的取值范圍是A．， B．， C．， D．，7．當(dāng)，時(shí)，曲線與的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為A．3 B．4 C．6 D．88．已知函數(shù)為的定義域?yàn)椋?，且?dāng)時(shí)，，則下列結(jié)論中一定正確的是A． B． C． D．二、選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共計(jì)18分。每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)的得6分，選對(duì)但不全得部分分，有選錯(cuò)的得0分。9．為了解推動(dòng)出口后的畝收入（單位：萬(wàn)元）情況，從該種植區(qū)抽取樣本，得到推動(dòng)出口后畝收入的樣本均值，樣本方差，已知該種植區(qū)以往的畝收入服從正態(tài)分布，，假設(shè)推動(dòng)出口后的畝收入服從正態(tài)分布，，則（若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則A． B． C． D．10．設(shè)函數(shù)，則A．是的極小值點(diǎn) B．當(dāng)時(shí)， C．當(dāng)時(shí)， D．當(dāng)時(shí)，11．造型可以做成美麗的絲帶，將其看作圖中的曲線的一部分，已知過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，且上的點(diǎn)滿足橫坐標(biāo)大于，到點(diǎn)的距離與到定直線的距離之積為4，則A． B．點(diǎn)，在上 C．在第一象限的縱坐標(biāo)的最大值為1 D．當(dāng)點(diǎn)，在上時(shí)，三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共計(jì)15分。12．設(shè)雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，過(guò)作平行于軸的直線交于，兩點(diǎn)，若，，則的離心率為．13．若曲線在點(diǎn)處的切線也是曲線的切線，則．14．甲、乙兩人各有四張卡片，每張卡片上標(biāo)有一個(gè)數(shù)字，甲的卡片上分別標(biāo)有數(shù)字1，3，5，7，乙的卡片上分別標(biāo)有數(shù)字2，4，6，8，兩人進(jìn)行四輪比賽，在每輪比賽中，兩人各自從自己持有的卡片中隨機(jī)選一張，并比較所選卡片上數(shù)字的大小，數(shù)字大的人得1分，數(shù)字小的人得0分，然后各自棄置此輪所選的卡片（棄置的卡片在此后輪次中不能使用）．則四輪比賽后，甲的總得分不小于2的概率為．四、解答題：本題共5小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。15．（13分）記的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，已知，．（1）求；（2）若的面積為，求．16．（15分）已知和為橢圓上兩點(diǎn)．（1）求的離心率；（2）若過(guò)的直線交于另一點(diǎn)，且的面積為9，求的方程．17．（15分）如圖，四棱錐中，底面，，，．（1）若，證明：平面；（2）若，且二面角的正弦值為，求．18．（17分）已知函數(shù)．（1）若，且，求的最小值；（2）證明：曲線是中心對(duì)稱圖形；（3）若當(dāng)且僅當(dāng)，求的取值范圍．19．（17分）設(shè)為正整數(shù)，數(shù)列，，，是公差不為0的等差數(shù)列，若從中刪去兩項(xiàng)和后剩余的項(xiàng)可被平均分為組，且每組的4個(gè)數(shù)都能構(gòu)成等差數(shù)列，則稱數(shù)列，，是——可分?jǐn)?shù)列．（1）寫出所有的，，使數(shù)列，，，是——可分?jǐn)?shù)列；（2）當(dāng)時(shí)，證明：數(shù)列，，，是——可分?jǐn)?shù)列；（3）從1，2，，中一次任取兩個(gè)數(shù)和，記數(shù)列，，，是——可分?jǐn)?shù)列的概率為，證明：．

2024年全國(guó)統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（新高考Ⅰ）參考答案與試題解析一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是正確的，請(qǐng)把正確的選項(xiàng)填涂在答題卡相應(yīng)的位置上。1．已知集合，，，0，2，，則A．， B．， C．，， D．，0，【解析】：集合，，，0，2，，，，，，，則，．故選：．2．若，則A． B． C． D．【解析】解法一(常數(shù)分離)：由于，則，即，可得．故選：．解法二(解方程)：由題意可得，，解得。故選C。解法三(列方程組)：去分母得，令，則，得所以，解得a=1，b=-1.因此z=1-i。故選C。解法四(檢驗(yàn))：取，則，不合題意；取，則，不合題意；取，則，適合題意。故選C。解法五（取倒數(shù)分離法）因?yàn)?，所以，所以，所以。故選C。3．已知向量，，若，則A． B． C．1 D．2【解析】解法一：，，則，∵，∴，解得．故選：．解法二：，∴4．已知，，則A． B． C． D．【解析】解法一：(整體思想)：因?yàn)?，由，可得，所以，，則．故選：．解法二：增元化齊次式——化切技設(shè)，又兩式相除得：，注：由弦、切，可聯(lián)想化切技?；袝r(shí)要想方設(shè)法出現(xiàn)關(guān)于弦的齊次式——等式或分式。5．已知圓柱和圓錐的底面半徑相等，側(cè)面積相等，且它們的高均為，則圓錐的體積為A． B． C． D．【解析】：設(shè)圓錐的底面半徑為：，圓錐的母線長(zhǎng)為：，圓柱和圓錐的側(cè)面積相等，可得，解得，圓錐的體積為：．故選：．6．已知函數(shù)為在上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的取值范圍是A．， B．， C．， D．，【解析】：函數(shù)為在上單調(diào)遞增，可知：，可得，．故選：．7．當(dāng)，時(shí)，曲線與的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為A．3 B．4 C．6 D．8【解析】：令，則，又因?yàn)榭芍?，可取值分別為；令，則，又因?yàn)?，可知，可取值分別為；在同一坐標(biāo)系中，作出函數(shù)與在，上的圖象如下，由圖象可知，當(dāng)，時(shí)，曲線與的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為6個(gè)．故選：．8．已知函數(shù)為的定義域?yàn)椋?，且?dāng)時(shí)，，則下列結(jié)論中一定正確的是A． B． C． D．【解析】：設(shè)，，則，，，故，，，觀察可知，，，，，，，，，，，，……，則，即．故選：．二、選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共計(jì)18分。每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)的得6分，選對(duì)但不全得部分分，有選錯(cuò)的得0分。9．為了解推動(dòng)出口后的畝收入（單位：萬(wàn)元）情況，從該種植區(qū)抽取樣本，得到推動(dòng)出口后畝收入的樣本均值，樣本方差，已知該種植區(qū)以往的畝收入服從正態(tài)分布，，假設(shè)推動(dòng)出口后的畝收入服從正態(tài)分布，，則（若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則A． B． C． D．【解析】：依題意，，，，，對(duì)于，，由于，則，錯(cuò)；，對(duì)；對(duì)于，，由于，則，對(duì)；，錯(cuò)．故選：．10．設(shè)函數(shù)，則A．是的極小值點(diǎn) B．當(dāng)時(shí)， C．當(dāng)時(shí)， D．當(dāng)時(shí)，【解析】解法一：對(duì)于，，易知當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，當(dāng)，，時(shí)，，則函數(shù)在，上單調(diào)遞增，故是函數(shù)的極小值點(diǎn)，選項(xiàng)正確；對(duì)于，當(dāng)時(shí)，，且，又在上單調(diào)遞增，則，選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于，由于，一方面，，另一方面，，則，選項(xiàng)正確；對(duì)于，由于，則，即，選項(xiàng)正確．故選：．解法二：利用函數(shù)圖像奇穿偶回技巧，可以直接得到函數(shù)草圖,直接判斷B錯(cuò)誤：對(duì)于，當(dāng)時(shí)，，且，又在上單調(diào)遞增，則，選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于，，∴，又是子集，∴C對(duì)或者：令，如圖，此時(shí)，∴C對(duì)11．造型可以做成美麗的絲帶，將其看作圖中的曲線的一部分，已知過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，且上的點(diǎn)滿足橫坐標(biāo)大于，到點(diǎn)的距離與到定直線的距離之積為4，則A． B．點(diǎn)，在上 C．在第一象限的縱坐標(biāo)的最大值為1 D．當(dāng)點(diǎn)，在上時(shí)，【解析】：對(duì)，因?yàn)樵谇€上，所以到的距離為，而，所以有，，那么曲線的方程為，對(duì)，因?yàn)榇胫獫M足方程；錯(cuò)，方法一：因?yàn)?，求?dǎo)得，那么有（2），，于是在的左側(cè)必存在一小區(qū)間，可以取無(wú)限小的數(shù)）上滿足，因此最大值一定大于1；解法二：由曲線的方程可得，取，則，故在第一象限內(nèi)點(diǎn)的縱坐標(biāo)的最大值大于1，故C錯(cuò).對(duì)，曲線的方程為，可化為，即，因?yàn)椋蔬x：．三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共計(jì)15分。12．設(shè)雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，過(guò)作平行于軸的直線交于，兩點(diǎn)，若，，則的離心率為．【解析】：方法一：由題意知，，，所以，解得；又時(shí)，，即，所以，所以，所以，所以雙曲線的離心率為．故答案為：．解法二：仿方法一得，由，，F(xiàn)2(-c,0)，得，且(2c)2+(b2a)2=132，又c2=a2+b解法三：∵AB⊥x軸，AB=10，AB過(guò)F2，∴由雙曲線的對(duì)稱性得AF2=B又F1(-c,0)，AF1=13，∴(2c)2+52=132，解得，從而A(6,5)，代入雙曲線的方程得，即，解得∴雙曲線的離心率方法四：∵AB⊥x軸，∴AB是通徑，又AB=10，∴AF2=BF又AF1=13，AB⊥x軸，∴由勾股定理得F1F2=12，由雙曲線的定義得2a=AF1-AF2=8，∴，∴解法五：因?yàn)椋?，由解法三可知，所以，解得，所以雙曲線的離心率.13．若曲線在點(diǎn)處的切線也是曲線的切線，則．【解析】：方法一：曲線，可得，在點(diǎn)處切線的斜率為：，切線方程為：，即．曲線在點(diǎn)處的切線也是曲線的切線，設(shè)的切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，可得切線的斜率為：，可得，代入，可得切點(diǎn)坐標(biāo)為：，，切點(diǎn)在曲線上，所以，解得．故答案為：．解法二：仿方法一得切線方程為y=2x+1，設(shè)切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x0，仿方法一得x0=-12，代入切線方程得y0=0，將之代入y=ln(x+1)+解法三：（切線重合）曲線，可得，在點(diǎn)處切線的斜率為：，切線方程為：，即．設(shè)切線與曲線y=ln(x+1)+a相切的切點(diǎn)為，由兩曲線有公切線得，解得，則切點(diǎn)為，切線方程為，根據(jù)兩切線重合，所以a-ln2=0，解得a=ln2．故答案為：ln214．甲、乙兩人各有四張卡片，每張卡片上標(biāo)有一個(gè)數(shù)字，甲的卡片上分別標(biāo)有數(shù)字1，3，5，7，乙的卡片上分別標(biāo)有數(shù)字2，4，6，8，兩人進(jìn)行四輪比賽，在每輪比賽中，兩人各自從自己持有的卡片中隨機(jī)選一張，并比較所選卡片上數(shù)字的大小，數(shù)字大的人得1分，數(shù)字小的人得0分，然后各自棄置此輪所選的卡片（棄置的卡片在此后輪次中不能使用）．則四輪比賽后，甲的總得分不小于2的概率為．【解析】：方法一：甲出1一定輸，所以甲最多得3分，若得3分，就只有一種組合、、、；若得2分有三類，分別列舉如下：①出3和出5的贏，其余輸：，，，；②出3和出7的贏，其余輸：，，，；，，，；，，，；③出5和出7的贏，其余輸：，，，；，，，；，，，；，，，；，，，；，，，；，，，；共12種組合滿足要求，而所有組合為種，所以甲得分不小于2的概率為．故答案為：．解法二：甲、乙出卡片共有種可能，四輪結(jié)束后甲的總得分小于2，則甲得0分或者1分。如果甲得0分，則甲出1，3，5，7分別對(duì)應(yīng)著乙出2，4，6，8，只有一種情況；如果甲得1分，則甲出1，3，5，7時(shí)，乙有以下11種情況與之對(duì)應(yīng)：(固定甲：1，3，5，7，對(duì)應(yīng)擺乙的2，4，6，8，保證只有一個(gè)滿足甲的數(shù)>乙的數(shù)。)所以四輪結(jié)束后甲的得分小于2的概率為，四輪結(jié)束后甲的得分不小于2的概率為。解法三：甲、乙出卡片共有A44=24種可能，四輪結(jié)束后甲的總得分為0，1，2，3，注意到甲得0分與得3分是相對(duì)應(yīng)的，都是一種極端情形：甲全小(13577對(duì)2468)與甲除1外全大(13577對(duì)8246)；甲得1分與得2分是相對(duì)應(yīng)的，如甲出卡片順序?yàn)?357，乙出卡片順序?yàn)?648，甲得1分(5贏)，調(diào)整乙出卡片的順序?yàn)?264(5負(fù))，因此，甲得0、1分與甲得2，3分各占一半，故四輪結(jié)束后甲的得分不小于2的概率為四、解答題：本題共5小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。15．（13分）記的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，已知，．（1）求；（2）若的面積為，求．【解析】：（1）因?yàn)?，所以，結(jié)合為三角形的內(nèi)角，可得．因?yàn)?，所以，結(jié)合，得；（2）解法一：由（1）可知，設(shè)的外接圓半徑為，由正弦定理得，，由，得，即，解得，所以（舍負(fù)），可得．解法二：（平面幾何法）如圖，過(guò)A作，垂足為D,設(shè)BD=m(m>0),則，，16．（15分）已知和為橢圓上兩點(diǎn)．（1）求的離心率；（2）若過(guò)的直線交于另一點(diǎn)，且的面積為9，求的方程．【解析】：（1）依題意，，解得，則離心率；（2）方法一：由（1）可知，橢圓的方程為，當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線的方程為，易知此時(shí)，點(diǎn)到直線的距離為3，則，與已知矛盾；當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，即，設(shè)，，，，聯(lián)立，消去整理可得，，則，由弦長(zhǎng)公式可得，，點(diǎn)到直線的距離為，則，解得或，則直線的方程為或．解法二：，則直線的方程為，即，，由（1）知，設(shè)點(diǎn)到直線的距離為，則，則將直線沿著與垂直的方向平移單位即可，此時(shí)該平行線與橢圓的交點(diǎn)即為點(diǎn)，設(shè)該平行線的方程為：，則，解得或，當(dāng)時(shí)，聯(lián)立，解得或，即或，當(dāng)時(shí)，此時(shí)，直線的方程為，即，當(dāng)時(shí)，此時(shí)，直線的方程為，即，當(dāng)時(shí)，聯(lián)立得，，此時(shí)該直線與橢圓無(wú)交點(diǎn).綜上直線的方程為或.解法三：因?yàn)?，，且的面積為9，故點(diǎn)到直線的距離為，故可知點(diǎn)在直線上，將其與橢圓方程聯(lián)立，可以解得，或者，對(duì)應(yīng)的直線，或者.解法四：（三角設(shè)點(diǎn)+面積坐標(biāo)公式）設(shè).。(這里用了面積坐標(biāo)公式).。.or.?；?無(wú)解舍去)。oror。方程:或.

解法五：（化橢圓為圓+設(shè)角）橢圓的方程為令,則點(diǎn)變?yōu)樽優(yōu)榱?則化簡(jiǎn)后得,故或，所以或orB。方程:或解法六：畫圖+口算因?yàn)?所以橢圓上點(diǎn)到直線的距離為,從而滿足題意的點(diǎn)最多只有兩個(gè),下頂點(diǎn)滿足.作則..易得與關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱,。or均符合題意?；?。17．（15分）如圖，四棱錐中，底面，，，．（1）若，證明：平面；（2）若，且二面角的正弦值為，求．【解析】：（1）證明：因?yàn)槊妫?，所以，又因?yàn)?，，，面，所以面，又面，所以，在中，，所以，因?yàn)?，，，四點(diǎn)共面，所以，又因?yàn)槊?，面，所以面．?）以，為，軸，過(guò)點(diǎn)作平面垂直的線為軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系令，則，0，，，0，，，0，，，，，，設(shè)平面的法向量，，，所以，設(shè)，則，，所以，，，設(shè)平面的法向量為，，，所以，設(shè)，則，，所以，0，，因?yàn)槎娼堑恼抑禐?，則余弦值為，又二面角為銳角，所以，，解得，所以．18．（17分）已知函數(shù)．（1）若，且，求的最小值；（2）證明：曲線是中心對(duì)稱圖形；（3）若當(dāng)且僅當(dāng)，求的取值范圍．【解析】：（1）解法一：由，解得，所以函數(shù)的定義域?yàn)椋?dāng)時(shí)，，所以，對(duì)恒成立，又，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“”，所以只需，即，所以的最小值為．解法二：，所以，因?yàn)?，又，所以?dāng)時(shí)，取得最大值1，故，下同解法一。（2）證明（方法一）：，，所以關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱．解法三：的定義域?yàn)椋?因此圖像關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，所以曲線是中心對(duì)稱圖形。（3）因?yàn)楫?dāng)且僅當(dāng)，因?yàn)槭沁B續(xù)的，所以（1），又（1），解得，因?yàn)?，?），端點(diǎn)恒成立：①時(shí)，恒成立的必要條件為，在處，成立，所以（1），又（1）恒成立，所以（1），因?yàn)椋郑?）恒成立，所以（1），因?yàn)?，又?）恒成立，所以（1），因?yàn)?，所以?），解得，所以為時(shí)，恒成立的必要條件，②下面證明的充分性：思路因?yàn)?，令，則上式，思路因?yàn)?，令，則，令，則，因?yàn)?，又因?yàn)椋?，則在上單調(diào)遞減，，則，又因?yàn)?，所以，所以在上單調(diào)遞增，則（1），所以在上單調(diào)遞增，則（1），所以在上單調(diào)遞增，即時(shí)，（1）恒成立，所以為時(shí)，恒成立的充分條件，綜上所述，為時(shí)，恒成立的充要條件，所以的取值范圍為，．19．（17分）設(shè)為正整數(shù)，數(shù)列，，，是公差不為0的等差數(shù)列，若從中刪去兩項(xiàng)和后剩余的項(xiàng)可被平均分為組，且每組的4個(gè)數(shù)都能構(gòu)成等差數(shù)列，則稱數(shù)列，，是——可分?jǐn)?shù)列．（1）寫出所有的