從系統(tǒng)動態(tài)方程求系統(tǒng)傳遞函數(shù)(陣)ppt課件

1、2.6 從系統(tǒng)動態(tài)方程求系統(tǒng)傳遞函數(shù)（陣）從系統(tǒng)動態(tài)方程求系統(tǒng)傳遞函數(shù)（陣）系統(tǒng)動態(tài)方程和系統(tǒng)傳遞函數(shù)（陣）是控制系統(tǒng)兩種經(jīng)常使用的數(shù)學(xué)模型。動態(tài)方程不但體現(xiàn)了系統(tǒng)輸入輸出的關(guān)系，而且還清楚地表達(dá)了系統(tǒng)內(nèi)部狀態(tài)變量的關(guān)系。相比較，傳遞函數(shù)只體現(xiàn)了系統(tǒng)輸入與輸出的關(guān)系。我們已知道，從傳遞函數(shù)到動態(tài)方程是個(gè)系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)的問題，這是一個(gè)比較復(fù)雜的并且是非唯一的過程。但從動態(tài)方程到傳遞函數(shù)（陣）卻是一個(gè)唯一的、比較簡單的過程。1;已知線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式為 式中 x(t)系統(tǒng)n維狀態(tài)向量；u(t)系統(tǒng)r維輸入向量；y(t)系統(tǒng)m維輸出向量。 )()()()()()(ttttttDuCxyBuAxx

2、 2;)()()()()()0()(ssssssDUCXYBUAXxsX)()()()()()(1ssssssBUAIXBUAXsX1Y( )C( IA) BDU( )( )U( )sssW ss 對上式兩端取拉氏變換，可得設(shè)初始條件x(0)=0，則有1( )C( IA) BDW ss 式中, ， mr 維。傳遞函數(shù)陣傳遞函數(shù)陣3;111212122212( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )rrmmmrwswswswswswsW swswsws W(S)為一個(gè)mr的傳遞函數(shù)陣，即：其中，wij(s)為一標(biāo)量傳遞函數(shù)，它表示第j個(gè)系統(tǒng)輸入 對第i個(gè)系統(tǒng)輸出的傳遞作用。4;

3、1adj()( )()|IAcIAbcbIAsW ssdds1011111( )( )( )nnnnnnnnb sb sbsbY sW sU ssa sasa 對于單輸入單輸出（SISO）系統(tǒng)，按上式求出的W(s)為系統(tǒng)的標(biāo)量傳遞函數(shù)，可表示為當(dāng)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)無零極點(diǎn)對消時(shí)，有5; (1)系統(tǒng)矩陣A的特征多項(xiàng)式等于傳遞函數(shù)的分母多項(xiàng)式； (2)傳遞函數(shù)的極點(diǎn)就是A的特征值。 由于系統(tǒng)狀態(tài)變量的選擇不惟一，故建立的系統(tǒng)狀態(tài)表達(dá)式也不是惟一的。但是同一系統(tǒng)的傳遞函數(shù)陣卻是惟一的。6; 補(bǔ)例補(bǔ)例 ：已知系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式為 試求其傳遞函數(shù)陣。)()(1101)()()(1101)()(3210)(

4、)(21212121txtxtytututxtxtxtx7; 解解: 傳遞函數(shù)陣為： 11( )()1011011231141(1)(2)(1)(2)2122G sC sIABsssssssss 8;【例2-14】求下列動態(tài)方程的傳遞函數(shù)。 1102010,1,462 ,00021ABCD 解：1( )()WsC sIABD 1110246201010021sss 3226452ssss 9;在MATLAB中，用SS2TF語句可以直接求出W(S)。A=-1 1 0;0 -1 0;0 0 -2;B=-2;1;1;C=4 6 2;D=0;NUM,DEN=ss2tf(A,B,C,D)end10;2.

5、7 離散時(shí)間系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式離散時(shí)間系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式 離散時(shí)間系統(tǒng)就是系統(tǒng)的輸入和輸出信號只在某些離散時(shí)刻取值的系統(tǒng)。 與離散時(shí)間系統(tǒng)相關(guān)的數(shù)學(xué)方法有差分方程，信號Z變換，以及系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù)。 離散時(shí)間系統(tǒng)一般用差分方程表示其輸入和輸出信號的關(guān)系。11;設(shè)系統(tǒng)n階差分方程為：110110()(1)(1)( )()(1)(1)( )nmmy knay kna y ka y kb u kmbu kmb u kb u k 表示時(shí)刻 為采樣周期；， 分別為時(shí)刻 的輸入、輸出； 表征系統(tǒng)特征的常系數(shù)。 kkTT)(ky)(kukTiaib系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù)為輸出信號的Z變換與輸入信號的Z變換之比

6、: 11101110( )mmmmnnnb zbzb zbW zzaza za 與連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)傳遞函數(shù)在形式上相同 .mn 其 中 12; 同連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)一樣，由離散時(shí)間系統(tǒng)差分方程或脈沖傳遞函數(shù)求取離散狀態(tài)空間表達(dá)式的過程叫做離散系統(tǒng)的實(shí)現(xiàn)。 離散系統(tǒng)動態(tài)方程一般形式為：)()()()()()()()()() 1(kkkkkkkkkkuDxCyuHxGx 式中 x(k)系統(tǒng)的n維狀態(tài)向量；u(k)系統(tǒng)的r維輸入向量（控制向量）；y(k)系統(tǒng)的m維輸出向量；G(k)nn線性離散系統(tǒng)的系統(tǒng)矩陣；H(k)nr線性離散系統(tǒng)的控制矩陣；C(k)mn線性離散系統(tǒng)的輸出矩陣；D(k)mr線性離散系統(tǒng)的直接

7、傳輸矩陣。 13; 如果G(k)，H(k)，C(k)，D(k)均為常數(shù)矩陣，上式就變?yōu)榫€性定常離散系統(tǒng)，其狀態(tài)空間表達(dá)式為： )()()()()() 1(kkkkkkDuCxyHuGxx14;方塊圖表示如圖：單位延遲環(huán)節(jié)，具單位延遲環(huán)節(jié)，具有有T秒的時(shí)間延遲。秒的時(shí)間延遲。15;u差分方程式化為狀態(tài)空間表達(dá)式差分方程式化為狀態(tài)空間表達(dá)式 1差分方程的輸入函數(shù)為差分方程的輸入函數(shù)為bu(k)時(shí)時(shí) 設(shè)系統(tǒng)的差分方程為 選取狀態(tài) 110()(1)(1)( )( )ny knay kna y ka y kbu k ) 1()() 1()()()(21nkykxkykxkykxn16;則高階差分方程可化

8、為一階差分組 1223101121(1)( )(1)( )(1)( )(1)( )( )( )( )nnnnnx kx kx kx kxkxkxka x ka x kaxkbu k 17;寫成向量方程形式，得1122110121121(1)0100( )0(1)0010( )0( )(1)0001( )0(1)( )( )( )( )1000( )( )nnnnnnnx kx kx kx ku kxkxkx kaaaax kbx kx ky kxkx k 18; 或 其中： )()()()() 1(kkykukkcxhGxx0121010000100001nGaaaa000hb 1000c 1

9、9;2差分方程的輸入函數(shù)包含差分方程的輸入函數(shù)包含u(k) u(k+1)， 時(shí)時(shí) 設(shè)系統(tǒng)差分方程為110110()(1)(1)( )()(1)(1)( )nmmy knay kna y ka y kb u kmbu kmb u kb u k .mn 其 中 20;21;可選擇如下一組狀態(tài)變量 1223101121(1)( )(1)( )(1)( )(1)( )( )( )( )nnnnnx kx kx kx kxkxkxka x ka x kaxku k 01121( )( )( )( )mmy kb xkb xkb xk22;01( )0.0( )mny kbbbX k 個(gè)1210121(1

10、)01000(1)00100( )( )(1)00010(1)1nnnx kx kX ku kxkx kaaaa )()()()()() 1(kdukkykukkcxhGxx或：23;例：例：已知離散系統(tǒng)的差分方程為： 試求系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式。 解：解：選狀態(tài)變量)(4) 1()() 1(3)2(2)3(kukukykykyky123( )( )( )(1)( )(2)x ky kx ky kx ky k 24;則狀態(tài)空間表達(dá)式 112233123(1)010( )0(1)001( )0(1)132( )1( )( )410( )( )x kx kx kx kux kx kx ky kx k

11、x k 25;脈沖脈沖傳遞函數(shù)化為狀態(tài)空間表達(dá)式傳遞函數(shù)化為狀態(tài)空間表達(dá)式 線性離散系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)為 它可仿照連續(xù)系統(tǒng)的部分分式法來建立離散系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式。dazazazbzbzbzUzYzGnnnnnnn111111)()()(26;2.8 MATLAB在狀態(tài)空間分析法中的應(yīng)用27;一、系統(tǒng)的模型 設(shè)單輸入單輸出（SISO）連續(xù)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為 nnnnnnnnnasasasasabsbsbsbsUsY 12211012211 )()(G(s)= 28;,den, ,num110121nnnnaaaabbbb 在MATLAB中,可用傳遞函數(shù)分子、分母多項(xiàng)式按s的降冪系數(shù)排列的行向量

12、,即 來描述上式所示傳遞函數(shù)G(s)的多項(xiàng)式模型。而由命令函數(shù)tf( )則可建立系統(tǒng)的傳遞函數(shù)模型TF，其調(diào)用格式為 sys=tf(num,den) 其中, num、den分別是傳遞函數(shù)分子、分母多項(xiàng)式系數(shù)行向量,且系數(shù)均按s的降冪排列。 29; 設(shè)單輸入單輸出離散系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)為 01110111)()(azazazaczczczczUzYnnnnmmmm G(z)= 在MATLAB中,對于離散系統(tǒng)同樣可用tf( ) 命令建立其脈沖傳遞函數(shù)模型，調(diào)用格式為 num=cm,cm-1, ,c1,c0;den=an,an-1, ,a1,a0;sys=tf(num,den,Ts) 其中, Ts

13、為系統(tǒng)采樣周期。 30;另外,系統(tǒng)的傳遞函數(shù)還可表示成零極點(diǎn)形式,即 G(s)= )()()()(2121nmpspspszszszsk 在MATLAB中，可用傳遞函數(shù)的零點(diǎn)向量、極點(diǎn)向量及增益,即 ;,;,2121kkpppzzznmpz描述傳遞函數(shù)G(s)的零極點(diǎn)模型。而由命令函數(shù)zpk( )則可建立零極點(diǎn)模型ZPK，其調(diào)用格式為 ),(zpksyskpz31;2. 狀態(tài)空間模型狀態(tài)空間模型 r維輸入、m維輸出的MIMO系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式為 DuCxyBuAxx 式中，x、y、u分別為n1、m1、r1的列向量，A、B、C、D 分別為nn、nr、mn 、mr的常數(shù)矩陣。 32; 在MATL

14、AB中,只要按照矩陣輸入方式建立式系統(tǒng)相應(yīng)的系數(shù)矩陣，即 A=a11,a12, ,a1n;a21,a22, ,a2n; ;an1,an2 ,ann；B= b11,b12, ,b1r;b21,b22, ,b2r; ;bn1,bn2 ,bnr;C= c11,c12, ,b1n;c21,c22, ,c2n; ;cm1,cm2 ,cmm;D= d11,d12, ,d1r;d21,d22, ,d2r; ;dm1,bm2 ,bmr; 即可描述系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型。而由命令函數(shù)ss( )則可建立系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型SS，其調(diào)用格式為 ),(sssysDCBA33; 對定常離散系統(tǒng) )()()()()() 1(k

15、kkkkkDuCxyHuGxx在按常數(shù)矩陣輸入方式建立系數(shù)矩陣G，H，C，D 后,同樣調(diào)用 ),(sssyssTDCHG則可建立離散系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型。其中, Ts 為系統(tǒng)采樣周期。 34;二、 系統(tǒng)模型的轉(zhuǎn)換 MATLAB提供了模型轉(zhuǎn)換函數(shù),可以完成系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的相互轉(zhuǎn)換,利用ss2tf( )函數(shù)可由系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式求其傳遞函數(shù)(陣)。 對SISO系統(tǒng), ss2tf( )的調(diào)用格式為 num,den=ss2tf(A,B,C,D) 執(zhí)行以上語句,可實(shí)現(xiàn)將描述為(A,B,C,D)的系統(tǒng)狀態(tài)空間模型中各系數(shù)矩陣轉(zhuǎn)換為傳遞函數(shù)模型中分子、分母多項(xiàng)式系數(shù)行向量num、den。 35; 對多輸入系統(tǒng),

16、 ss2tf( )的調(diào)用格式為 num,den=ss2tf(A,B,C,D,iu) 其中,iu用于指定變換所使用的輸入量, iu默認(rèn)則為單輸入情況。 36; 與ss2tf( )類似,應(yīng)用MATLAB函數(shù)ss2zp( )可由系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式求其零極點(diǎn)模型的參數(shù)(z,p,k)。 對SISO系統(tǒng), ss2zp( )的調(diào)用格式為 z,p,k=ss2zp(A,B,C,D) 而對多輸入系統(tǒng),其調(diào)用格式為 z,p,k=ss2zp(A,B,C,D,iu) 37;2. 傳遞函數(shù)到狀態(tài)空間表達(dá)式的變換傳遞函數(shù)到狀態(tài)空間表達(dá)式的變換 利用MATLAB函數(shù)tf2ss( )、zp2ss( )可分別由多項(xiàng)式形式、零極點(diǎn)

17、形式的傳遞函數(shù)求其狀態(tài)空間模型中的各系數(shù)矩陣。其調(diào)用格式分別為 A，B，C，D=tf2ss(num,den)A,B,C,D=zp2ss(z, p, k) 上面兩條語句分別由已知的(num,den)、(z, p,k)經(jīng)模型轉(zhuǎn)換返回狀態(tài)空間表達(dá)式中各系數(shù)矩陣(A,B,C,D) 。 38;三、 系統(tǒng)的非奇異變換與標(biāo)準(zhǔn)型狀態(tài)空間表達(dá)式 MATLAB中函數(shù)ss2ss( )可實(shí)現(xiàn)對系統(tǒng)的非奇異變換。其調(diào)用格式為 GT=ss2ss(G,T) 其中G、GT分別為變換前、后系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型，T為非奇異變換陣。 或?yàn)?At,Bt,Ct,Dt =ss2ss(A,B,C,D,T) 其中, (A,B,C,D) 、(A

18、t,Bt,Ct,Dt) 分別為變換前、后系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型的系數(shù)陣, T為非奇異變換陣。 39; MATLAB提供了標(biāo)準(zhǔn)型狀態(tài)空間表達(dá)式的實(shí)現(xiàn)函數(shù)canon( ) ,其調(diào)用格式為 G1=canon(sys, type) 40; 若系統(tǒng)模型sys為對應(yīng)狀態(tài)向量x的狀態(tài)空間模型,可應(yīng)用函數(shù)canon( )將其變換為在新的狀態(tài)向量 下的標(biāo)準(zhǔn)型狀態(tài)空間表達(dá)式,其調(diào)用格式為 xG1,P=canon(sys, type) 其中，sys為原系統(tǒng)狀態(tài)空間模型，P是返回的非奇異變換陣，滿足 Pxx 關(guān)系?；?yàn)?At,Bt,Ct,Dt,P=canon(A,B,C,D, type) 其中, (A,B,C,D)為對應(yīng)x的原系統(tǒng)狀態(tài)空間模型的系數(shù)陣,(At,Bt,Ct,Dt)則為對應(yīng)新狀態(tài)向量 (仍滿足 )的標(biāo)準(zhǔn)型狀態(tài)空間模型的系數(shù)陣。 xPxx 41; 以上函數(shù)canon( ) 調(diào)用中的字符串type確定標(biāo)準(zhǔn)型類型, 它可以是模態(tài)（modal）標(biāo)準(zhǔn)型,也可以是伴隨（companion）標(biāo)準(zhǔn)型形式。 42;本章總結(jié)本章總結(jié)1、介紹了有關(guān)狀態(tài)空間描述的基本概念（介紹了有關(guān)狀態(tài)空間描述的基本概念（狀態(tài)變量、狀狀態(tài)變量、狀 態(tài)矢量、狀態(tài)空間、狀態(tài)方程、輸出方程、狀態(tài)空間態(tài)矢量、狀態(tài)空間