微積分授課課件：旋度和散度

1、2021-11-21 作業(yè)作業(yè) P159 習題習題 2 3(1). 4. P164 習題習題 3 1(2)(3).2021-11-22二、格林公式的其他形式二、格林公式的其他形式第十七講第十七講 三、平面向量場三、平面向量場一、平面向量場的旋度與散度一、平面向量場的旋度與散度2021-11-23可可以以得得到到則則利利用用格格林林公公式式若若令令特特別別,xYyX AdxdyxdyydxDL22 的的面面積積區(qū)區(qū)域域D區(qū)區(qū)域域面面積積的的公公式式利利用用曲曲線線積積分分計計算算平平面面 LxdyydxA21 DDdxdyyXxYYdyXdx)(格林公式格林公式2021-11-24的的面面積積求

2、求橢橢圓圓例例142222 byax解解橢橢圓圓參參數(shù)數(shù)方方程程 tbytaxsincos LxdyydxA21)20( t 2021abdtab 20)sin(sin21tatbdttbta)cos(cos 2021-11-25的的環(huán)環(huán)流流量量與與旋旋度度（一一）平平面面向向量量場場 Lldv的的環(huán)環(huán)流流量量沿沿曲曲線線稱稱為為向向量量場場Lv有有無無旋旋渦渦所所圍圍的的區(qū)區(qū)域域內(nèi)內(nèi)在在曲曲線線環(huán)環(huán)量量描描述述向向量量場場Lv第二型曲線積分第二型曲線積分一、平面向量場的旋度與散度一、平面向量場的旋度與散度2021-11-26（旋旋度度）定定義義 1場場是是連連續(xù)續(xù)可可微微的的平平面面向向量量

3、設設jyxYiyxXv),(),( kyyxXxyxY),(),(0000 向向量量稱稱為為平平面面向向量量場場處處的的旋旋度度在在點點0),(),(MjyxYiyxXv kyyxXxyxYyxvrot),(),(),(000000 即即。記記作作),(00yxvrot2021-11-27繞繞該該點點旋旋轉轉的的一一個個量量。處處是是度度量量向向量量場場在在點點旋旋度度000),(Myxvrot 0MaL存存在在，設設環(huán)環(huán)量量面面密密度度20limaldvaLa aD根根據(jù)據(jù)格格林林公公式式2020)(limlimadxdyyXxYaldvaaDaLa 中值定理中值定理 0)()(lim220

4、MayXxYaayXxY ），（2021-11-280)(MyXxY 的的方方向向和和強強度度旋旋轉轉繞繞點點刻刻畫畫了了向向量量場場0Mv0,)(0 MyXxY逆逆時時針針旋旋轉轉順順時時針針旋旋轉轉0,)(0 MyXxY0)(MyXxY 旋旋轉轉強強度度2021-11-29光光滑滑有有向向封封閉閉曲曲線線是是向向量量場場是是連連續(xù)續(xù)可可微微設設LjzyxYizyxXv,),(),( Ldlnv第二型曲線積分第二型曲線積分稱稱為為向向量量場場的的通通量量。過過曲曲線線 Lv為為流流速速場場時時，向向量量場場 v的的流流量量。單單位位時時間間內(nèi)內(nèi)通通過過曲曲線線L表表示示 Ldlnv的的通通量

5、量與與散散度度（二二）平平面面向向量量場場2021-11-210（散散度度）定定義義 2場場是是連連續(xù)續(xù)可可微微的的平平面面向向量量設設jyxYiyxXv),(),( 為為該該向向量量場場的的散散度度稱稱yYxX Mvdiv記記作作的的流流量量散散度度刻刻畫畫了了流流體體在在一一點點,0 Mvdiv是是發(fā)發(fā)散散通通量量的的“正正源源”點點 M,0 Mvdiv有有發(fā)發(fā)散散通通量量的的“負負源源”點點 M)(吸吸收收通通量量的的“洞洞”,0 Mvdiv處處“無無源源”點點 M2021-11-2112020limlimadluadlnvaaLaLa jyxYiyxXv),(),( 設設jyxXiyx

6、Yu),(),( 20)(limadxdyyYxXaDa 中值定理中值定理 0)()(lim220MayYxXaayYxX ），（2021-11-212處處源源的的強強度度刻刻畫畫了了點點 MyYxXvdivMM)( v nuyxoDD 2021-11-213 DDdxdyyXxYYdyXdx)(格林公式格林公式jYiXv 平面向量場平面向量場kyXxYv)(rot YdyXdxldv 格林公式格林公式可以寫成：可以寫成： DDdxdykvrotl dv格林公式的旋度形式格林公式的旋度形式二、格林公式的其他形式二、格林公式的其他形式2021-11-214得得到到格格林林公公式式運運用用在在區(qū)區(qū)

7、域域?qū)ο蛳蛄苛繄鰣?DjXiYu DDdxdykurotl du的的關關系系和和注注意意到到vu格林公式形式為格林公式形式為 DdxdyyYxX)( Ddlnv Ddxdyvdivv nuyxoDD nvu 格林公式的散度形式格林公式的散度形式2021-11-215用格林公式研究平面向量場有關概念有關概念: : 保守場保守場 有勢場有勢場 無旋場無旋場 勢函數(shù)勢函數(shù) 原函數(shù)原函數(shù) 研究哪些問題研究哪些問題? 在一般區(qū)域上保守場、有勢場、在一般區(qū)域上保守場、有勢場、無旋場的關系無旋場的關系 在單連通域上保守場、有勢場、在單連通域上保守場、有勢場、無旋場的關系無旋場的關系 如何判斷向量場是保守場

8、？如何判斷向量場是保守場？ 如果某個向量場有勢函數(shù)如果某個向量場有勢函數(shù), ,如何如何求它的勢函數(shù)求它的勢函數(shù)? ?2021-11-216一、幾個概念一、幾個概念？什什麼麼叫叫積積分分與與路路徑徑無無關關. 1.,本本身身的的路路線線無無關關而而與與曲曲線線有有關關和和終終點點與與曲曲線線的的起起點點的的值值只只曲曲線線積積分分BAdyYdxXl dvLL AB2021-11-217)1, 1(BAE1解解 222)2(LdyxxydxW 1022)22(dxxxxx1 xy0).(:)3( ;:)2(;:)1(:.),1 , 1()0 , 0(,232212如圖如圖折線折線拋物線拋物線直線直

9、線是是其中路徑其中路徑做的功做的功對質(zhì)點所對質(zhì)點所求力求力運動到點運動到點從點從點徑徑沿路沿路的作用下的作用下一質(zhì)點在變力一質(zhì)點在變力例例AEBLxyLxyLLWFBALjxixyF 122)1(LdyxxydxW1)2(102 dxxxx2021-11-218在此例中曲線積分的值只依賴在此例中曲線積分的值只依賴于兩條路徑的起點與終點而與于兩條路徑的起點與終點而與積分路徑無關！積分路徑無關！ 322)3(LdyxxydxW110210210 dydxx EBAEdyxxydxdyxxydx22222021-11-219什什麼麼是是保保守守場場？. 2.,),(),(的的保保守守場場內(nèi)內(nèi)則則稱稱

10、這這個個向向量量場場是是區(qū)區(qū)域域與與路路徑徑無無關關內(nèi)內(nèi)的的曲曲線線積積分分在在區(qū)區(qū)域域若若連連續(xù)續(xù)向向量量場場DdyYdxXldvDjyxYiyxXvLL 2021-11-220什什麼麼是是有有勢勢場場？.3),(),(yxfyxv ,),(),(jyxYiyxXvD 上上的的向向量量場場對對于于Dyx ),(是是有有勢勢場場在在區(qū)區(qū)域域則則稱稱向向量量場場DjYiXv yfyxYxfyxX ),(,),(即即使使得得如如果果存存在在可可微微函函數(shù)數(shù)),(yxfDjYiXvyxf在在區(qū)區(qū)域域為為向向量量場場稱稱 ),(上的一個勢函數(shù)上的一個勢函數(shù)2021-11-221如如果果存存在在連連續(xù)續(xù)

11、在在區(qū)區(qū)域域設設,),(,),(DyxYyxXdyyxYdxyxXyxf),(),(),( 使使得得可可微微函函數(shù)數(shù)YdyXdxyxfyxf 是是則則稱稱的的全全微微分分是是),(,),(的的一一個個原原函函數(shù)數(shù)什什麼麼是是原原函函數(shù)數(shù)？. 4什什麼麼是是無無旋旋場場？. 5上上處處處處有有如如果果在在可可微微向向量量場場上上的的連連續(xù)續(xù)是是設設DDjyxYiyxXv,),(),( .上上的的無無旋旋場場是是則則稱稱DvDyxyXxY ),(02021-11-222的的原原函函數(shù)數(shù)是是dyyxYdxyxXyxf),(),(),( 的的勢勢函函數(shù)數(shù)是是向向量量場場jYiXvyxf ),(),()

12、,(),(yxfdyyxYdxyxX的的原原函函數(shù)數(shù)求求 ),(yxfjYiXv的的勢勢函函數(shù)數(shù)求求向向量量場場 注意問題提法的等價性注意問題提法的等價性dyyxYdxyxX),(),( 微微分分形形式式jYiXv 與與向向量量場場對應關系對應關系1. .形式對應形式對應2.問題提法對應問題提法對應3.結論對應結論對應2021-11-223則則下下列列命命題題等等價價：上上的的連連續(xù)續(xù)向向量量場場是是是是平平面面區(qū)區(qū)域域設設定定理理,),(),(.:12DjyxYiyxXvRD 有有曲曲線線內(nèi)內(nèi)任任一一分分段段光光滑滑的的封封閉閉對對,)2(LD0),(),( LdyyxYdxyxX;),()

13、,()1(上上的的保保守守場場是是DjyxYiyxXv .),(),()3(上上是是有有勢勢場場在在DjyxYiyxXv .),(vfyxf 使使得得即即存存在在可可微微函函數(shù)數(shù)二、保守場、有勢場、無旋場的關系二、保守場、有勢場、無旋場的關系2021-11-224) 1 () 3() 2() 1 (只只需需: )2() 1 (DBEC)1(由由0 LYdyXdx1,LACBBAL 記記、上上任任取取兩兩點點在在A證證 12LLYdyXdxYdyXdx 1LYdyXdx012 LLYdyXdxYdyXdx閉閉曲曲線線內(nèi)內(nèi)任任意意一一條條分分段段光光滑滑封封是是設設DL1L2LL,2LAEB 20

14、21-11-225: ) 3() 2(D1L2LM0M 有有向向曲曲線線的的任任意意兩兩條條分分段段光光滑滑和和終終點點內(nèi)內(nèi)有有相相同同起起點點是是設設MMDLL021,閉閉曲曲線線是是一一條條分分段段光光滑滑有有向向封封則則 21LLL)2(由由021 LLLYdyXdxYdyXdx 12LLYdyXdxYdyXdx曲曲線線積積分分與與路路徑徑無無關關內(nèi)內(nèi)即即在在區(qū)區(qū)域域,D.),(,),(000的的坐坐標標終終點點則則積積分分只只依依賴賴于于固固定定若若起起點點yxMyxM2021-11-226記記作作的的函函數(shù)數(shù)即即曲曲線線積積分分是是點點,),(yxM ),(),(00),(yxyxY

15、dyXdxyxfvff 且且可可微微下下面面證證明明,首首先先證證明明),(yxXxf ),(yxYyf 0M),(yxxN ),(yxMxoyD ),(),(),(),(0000),(),(yxyxyxxyxYdyXdxYdyXdxyxfyxxf ),(),(yxxyxYdyXdx xxxXdx xyX ),( 積分中值定理積分中值定理2021-11-227的的連連續(xù)續(xù)性性知知于于是是由由則則令令),(, 0yxXxx ),(),(lim),(),(lim0yxXyXxyxfyxxfxfxx 同同理理可可證證),(yxYyf 內(nèi)內(nèi)可可微微在在下下面面證證明明Dyxf),(內(nèi)連續(xù)內(nèi)連續(xù)在在的連

16、續(xù)性知的連續(xù)性知由由DyfxfyxYyxX ,),(),(內(nèi)內(nèi)可可微微在在因因此此函函數(shù)數(shù)Dyxf),(vjYiXjyfixfgradf 2021-11-228: ) 1 () 3(vfyxf 使使得得存存在在函函數(shù)數(shù)由由),()3(),(yxXxf ),(yxYyf 即即設設其其參參數(shù)數(shù)方方程程為為有有向向曲曲線線為為終終點點的的逐逐段段光光滑滑以以為為起起點點對對任任意意一一條條以以,LBA)()(),( ttyytxx)(),(),(),( yxByxA 并并且且 dttytytxYtxtytxXYdyXdxL)()(),()()(),( dtdtdf)()(AfBf 即積分與路徑無關！

17、保守場即積分與路徑無關！保守場2021-11-229上上的的連連續(xù)續(xù)可可微微是是是是單單連連通通域域設設定定理理DjyxYiyxXvRD),(),(.:22 ;),(),()1(上上是是保保守守場場在在DjyxYiyxXv .),(),()2(上上是是無無旋旋場場在在DjyxYiyxXv ),(0DyxyXxY 即即則則下下列列命命題題等等價價：向向量量場場,2021-11-230)1(由由是是保保守守場場jYiXv ),(yxfjYiXv有有勢勢函函數(shù)數(shù) yfYxfX ,yXxyfyxfxY 22證證)2()1(1由定理由定理),(0DyxyXxY 即即2021-11-231)1()2(LD

18、的的有有向向閉閉曲曲線線中中任任意意取取一一條條逐逐段段光光滑滑在在,所包圍的區(qū)域所包圍的區(qū)域表示表示用用LDL由由格格林林公公式式得得到到0)( LDLdxdyyXxYYdyXdx都有都有有向閉曲線有向閉曲線于是沿任意逐段光滑的于是沿任意逐段光滑的L0 LYdyXdx為為保保守守場場推推出出由由定定理理jYiXv 12021-11-232（2）湊微分湊微分（3）求不定積分）求不定積分 （1）利用積分與路徑無關）利用積分與路徑無關三、求原函數(shù)的方法三、求原函數(shù)的方法2021-11-233xyo),(000yxM),(0yxB),(yxM),(0yxA(1) 取折線路徑取折線路徑,計算曲線積分求

19、原函數(shù)計算曲線積分求原函數(shù) ),(),(00),(yxyxYdyXdxyxu yyxxdyyxYdxyxX00),(),(0 xxyydxyxXdyyxY00),(),(02021-11-234?),(的的全全微微分分是是否否為為某某個個二二元元函函數(shù)數(shù)yxu),(,yxu求求出出若若是是: 1驗驗證證例例xYyexyyXx sin4有有,),(2Ryx 或者等價地或者等價地jyeyxixyyexx)sin2()2cos(22 ?),(的的梯梯度度場場是是否否為為某某個個二二元元函函數(shù)數(shù)yxu解解dyyeyxdxxyyexx)sin2()2cos(22 所所以以的的全全微微分分是是某某個個二二

20、元元函函數(shù)數(shù)),(yxudyyeyxdxxyyexx)sin2()2cos(22 2021-11-235利利用用曲曲線線積積分分求求原原函函數(shù)數(shù)方方法法: 1 ),()0,0(2)2cos(),(yxxdxxyyeyxudyyeyxx)sin2(2 ?),(yxu如如何何求求,因因為為積積分分與與路路線線無無關關選選一一條條特特殊殊的的路路線線 xxdxe0 yxdyyeyx02)sin2(yxxxyeyxe0220)cos( 1cos22 yeyxxxyo),(yxM)0 ,(xA2021-11-236函函數(shù)數(shù)利利用用不不定定積積分分法法求求原原方方法法: 2)1(2cos2xyyexux

21、因因為為)()2cos(),(2ydxxyyeyxux )3()(cos22yyxyex )2()sin2(2yeyxyux )2(代代入入cy )( cyxyeyxux 22cos),(積積分分)1()( )sin2(2yyeyxyux 2021-11-237利利用用湊湊微微分分法法求求原原函函數(shù)數(shù)方方法法: 3dyyeyxdxxyyexx)sin2()2cos(22 )22()sincos(22ydyxdxxyydyeydxexx )()cos(22yxdyedx )cos(22yxyedx cyxyeyxux 22cos),(2021-11-238計計算算曲曲線線積積分分例例 2 Ldy

22、yxdxyxI)6()62(2.)4, 2()0, 0(2的的一一段段弧弧到到點點從從點點為為拋拋物物線線其其中中BxyL 解解,622yxX ,6yxY 經(jīng)經(jīng)計計算算知知066 xYyX2),(Ryx 首先考察向量場是否為保守場首先考察向量場是否為保守場jYiXv 上上與與路路徑徑無無關關所所以以曲曲線線積積分分在在2R2021-11-2392xy xyo)4 , 2(B)0 , 2(A路路徑徑計計算算曲曲線線積積分分取取折折線線 OAB 40202)12(2dyydxx3136)212(32402203 yyx OAdyyxdxyxI)6()62(2 ABdyyxdxyx)6()62(22021-11-240取取何何值值時時問問封封閉閉曲曲線線點點的的簡簡單單正正向向是是平平面面上上任任一一條條不不過過原原設設例例aL,30422 Lyxaydyxdx.并并說說明明理理由由,4),(22yxxyxX 224),(yxayyxY 解解,