概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)：5-2中心極限定理

1、概概率率論論與與數(shù)數(shù)理理統(tǒng)統(tǒng)計(jì)計(jì)第五章第五章 大數(shù)定律與中心極限定理大數(shù)定律與中心極限定理中心極限定理中心極限定理 概概率率論論與與數(shù)數(shù)理理統(tǒng)統(tǒng)計(jì)計(jì)我們通過前面的學(xué)習(xí)知道，正態(tài)分布在概率統(tǒng)計(jì)中我們通過前面的學(xué)習(xí)知道，正態(tài)分布在概率統(tǒng)計(jì)中 占有十分重要的地位。但在客觀實(shí)際中占有十分重要的地位。但在客觀實(shí)際中，各個(gè)相互獨(dú)立各個(gè)相互獨(dú)立 的隨機(jī)變量并不一定服從正態(tài)分布。的隨機(jī)變量并不一定服從正態(tài)分布。 概概率率論論與與數(shù)數(shù)理理統(tǒng)統(tǒng)計(jì)計(jì)中心極限定理正好揭示了隨機(jī)變量的這種規(guī)律性，中心極限定理正好揭示了隨機(jī)變量的這種規(guī)律性，即在某種條件下，大量隨機(jī)變量之和的分布近似服從即在某種條件下，大量隨機(jī)變量之和的

2、分布近似服從 正態(tài)分布。正態(tài)分布。 如果某個(gè)隨機(jī)變量是由大量的相互獨(dú)立的隨機(jī)因如果某個(gè)隨機(jī)變量是由大量的相互獨(dú)立的隨機(jī)因素素共同作用而形成的（即它是若干個(gè)隨機(jī)變量之和） ，共同作用而形成的（即它是若干個(gè)隨機(jī)變量之和） ，而其而其中每一個(gè)隨機(jī)因素所起的作用都很小， 則這種隨機(jī)中每一個(gè)隨機(jī)因素所起的作用都很小， 則這種隨機(jī)變量變量往往近似地服從正態(tài)分布。往往近似地服從正態(tài)分布。 概概率率論論與與數(shù)數(shù)理理統(tǒng)統(tǒng)計(jì)計(jì) nnXXDXEXYnkknkknknkkkn 1111)()(則隨機(jī)變量則隨機(jī)變量nY的分布函數(shù)滿足的分布函數(shù)滿足 dtexYPxFxtnnnn 2221lim)(lim 概概率率論論與與

3、數(shù)數(shù)理理統(tǒng)統(tǒng)計(jì)計(jì) nkkX1),(2 nnN概概率率論論與與數(shù)數(shù)理理統(tǒng)統(tǒng)計(jì)計(jì) 01lim122 nkkknnXES nnkknkknkknknkkknSXXDXEXY 11111)()( 的分布函數(shù)的分布函數(shù))(xFn對(duì)任意的對(duì)任意的x x，滿足，滿足 dtexYPxFxtnnnn 2221lim)(lim 概概率率論論與與數(shù)數(shù)理理統(tǒng)統(tǒng)計(jì)計(jì) nkkX1 ) ,(2n1SNnkk 概概率率論論與與數(shù)數(shù)理理統(tǒng)統(tǒng)計(jì)計(jì)dtexpnpnpPxtnn 2221)1(lim X)1( ,(pnpnpN 拉拉普普拉拉斯斯定定理理 設(shè)設(shè)隨隨機(jī)機(jī)變變量量), 2 , 1( nn 服服從從參參數(shù)數(shù)為為)10( ,

4、ppn的的二二項(xiàng)項(xiàng)分分布布，即即n),(pnb。則則對(duì)對(duì)于于 任任意意的的x x，有有 德莫佛德莫佛 概概率率論論與與數(shù)數(shù)理理統(tǒng)統(tǒng)計(jì)計(jì)證證 設(shè)設(shè)), 2 , 1(nkXk 都服從同一都服從同一(0(0- -1)1)分布分布，即有即有 X X 0 10 1 kP p 1 p 此此時(shí)時(shí)有有), 2 , 1( )1()( ,)(nkppXDpXEkk 。 并且并且，我們還有我們還有), 2 , 1( 1nkXnkkn 。 利用獨(dú)立同分布利用獨(dú)立同分布 的中心極限定理的中心極限定理( (林德貝格林德貝格- -勒維定理勒維定理) )，對(duì)任意的，對(duì)任意的x x，得，得 xpnpnpPnn)1(lim 概概

5、率率論論與與數(shù)數(shù)理理統(tǒng)統(tǒng)計(jì)計(jì) xpnpnpXPnkkn)1(lim1dtext 2221 例例 1 1 統(tǒng)計(jì)資料表明統(tǒng)計(jì)資料表明，在我國近幾年內(nèi)的在我國近幾年內(nèi)的新生嬰兒中，男嬰與女嬰的比例為新生嬰兒中，男嬰與女嬰的比例為 102102：100100。假設(shè)某一地區(qū)在某一年內(nèi)共出生了。假設(shè)某一地區(qū)在某一年內(nèi)共出生了100000100000 個(gè)新生嬰兒，求本年度內(nèi)該地區(qū)個(gè)新生嬰兒，求本年度內(nèi)該地區(qū)新生嬰兒數(shù)在新生嬰兒數(shù)在 50200502005080050800 之間的概之間的概率。率。 概概率率論論與與數(shù)數(shù)理理統(tǒng)統(tǒng)計(jì)計(jì))100000, 2 , 1( , 0 , 1 kXk若新生嬰兒是女嬰若新生嬰

6、兒是女嬰若新生嬰兒是男嬰若新生嬰兒是男嬰解解 將將每每一一個(gè)個(gè)新新生生嬰嬰兒兒都都視視為為一一次次隨隨機(jī)機(jī)試試驗(yàn)驗(yàn)，并并記記 則各個(gè)則各個(gè)kX相互獨(dú)立且服從（相互獨(dú)立且服從（0 0- -1 1）分布）分布)10151 , 1(b。 設(shè)設(shè)X X為本年度的新生嬰兒總數(shù)，則有為本年度的新生嬰兒總數(shù)，則有 10000021XXXX 并且有，并且有，X X服從二項(xiàng)分布服從二項(xiàng)分布)10151 ,100000(b， 概概率率論論與與數(shù)數(shù)理理統(tǒng)統(tǒng)計(jì)計(jì)其分布律如下：其分布律如下： )100000, 2 , 1(1015010151100000100000 kkkXPkk所以，男嬰數(shù)在所以，男嬰數(shù)在 50200

7、50200- -5080050800 之間的概率是之間的概率是 508005020010000010150101511000005080050200kkkkXP直接計(jì)算上式將會(huì)非常煩，即使利用計(jì)算機(jī)。直接計(jì)算上式將會(huì)非常煩，即使利用計(jì)算機(jī)。 概概率率論論與與數(shù)數(shù)理理統(tǒng)統(tǒng)計(jì)計(jì) )1(50800)1()1(502005080050200 pnpnppnpnpXpnpnpPXP 9 . 1)1(9 . 1pnpnpXP)9 . 1()9 . 1( 1)9 . 1(2 19713. 02 9426. 0 概概率率論論與與數(shù)數(shù)理理統(tǒng)統(tǒng)計(jì)計(jì)利用契比雪夫不等式，可得利用契比雪夫不等式，可得 概概率率論論與與

8、數(shù)數(shù)理理統(tǒng)統(tǒng)計(jì)計(jì) 6 . 04 . 0nmP 1 . 05 . 0nmP9 . 041 . 011)(1 . 01122 nnmD取取250 n即可滿足要求。即可滿足要求。 概概率率論論與與數(shù)數(shù)理理統(tǒng)統(tǒng)計(jì)計(jì) 6 . 04 . 0nmP 1 . 05 . 0nmP 225 . 01 . 05 . 05 . 0nnnmP 55 . 05 . 02nnnmP)5()5(nn 9 . 01)5(2 n即有即有,95. 0)5( n查表得查表得,645. 15 n取取68 n即即可可。 概概率率論論與與數(shù)數(shù)理理統(tǒng)統(tǒng)計(jì)計(jì)習(xí)題：習(xí)題： 1.每次射擊若干發(fā)子彈，且每次命中目標(biāo)的每次射擊若干發(fā)子彈，且每次命中目

9、標(biāo)的子彈數(shù)的數(shù)學(xué)期望和均方差均為子彈數(shù)的數(shù)學(xué)期望和均方差均為2。若射擊。若射擊100次次，問有，問有200 20發(fā)子彈命中目標(biāo)的概率為發(fā)子彈命中目標(biāo)的概率為 2.若每發(fā)高射炮命中飛機(jī)的概率為若每發(fā)高射炮命中飛機(jī)的概率為0.001，則發(fā)射，則發(fā)射10000發(fā)高射炮至少有發(fā)高射炮至少有18發(fā)命中飛機(jī)的概率為發(fā)命中飛機(jī)的概率為概概率率論論與與數(shù)數(shù)理理統(tǒng)統(tǒng)計(jì)計(jì) 4.若某產(chǎn)品的廢品率為若某產(chǎn)品的廢品率為0.005，則每萬件產(chǎn)品，則每萬件產(chǎn)品中廢品不超過中廢品不超過33件的概率為件的概率為 3.有一批發(fā)芽率為有一批發(fā)芽率為95%的種子，從中任取的種子，從中任取200粒，則發(fā)芽粒數(shù)超過粒，則發(fā)芽粒數(shù)超過18

10、5粒的概率為粒的概率為 5.有有100臺(tái)機(jī)器同時(shí)獨(dú)立工作，每臺(tái)停機(jī)的概臺(tái)機(jī)器同時(shí)獨(dú)立工作，每臺(tái)停機(jī)的概率為率為1/2，則有，則有4060臺(tái)同時(shí)停機(jī)的概率為臺(tái)同時(shí)停機(jī)的概率為概概率率論論與與數(shù)數(shù)理理統(tǒng)統(tǒng)計(jì)計(jì) 6.某保險(xiǎn)公司多年的統(tǒng)計(jì)資料表明：在索賠某保險(xiǎn)公司多年的統(tǒng)計(jì)資料表明：在索賠戶中被盜索賠戶占戶中被盜索賠戶占20%，以，以X表示在隨機(jī)抽查的表示在隨機(jī)抽查的100個(gè)索賠戶中因被盜向保險(xiǎn)公司索賠的戶數(shù)。個(gè)索賠戶中因被盜向保險(xiǎn)公司索賠的戶數(shù)。 （1）寫出）寫出X的概率分布；的概率分布； （2）求被盜索賠戶不少于）求被盜索賠戶不少于14戶且不多于戶且不多于30戶戶的概率（利用中心極限定理的概率（利

11、用中心極限定理3）。）。概概率率論論與與數(shù)數(shù)理理統(tǒng)統(tǒng)計(jì)計(jì) 8.假設(shè)某種電子元器件的壽命服從均值為假設(shè)某種電子元器件的壽命服從均值為100小小時(shí)的指數(shù)分布，并且相互獨(dú)立。先從一批這種元時(shí)的指數(shù)分布，并且相互獨(dú)立。先從一批這種元器件中隨機(jī)地抽取器件中隨機(jī)地抽取16只，求這只，求這16只元器件總壽命只元器件總壽命大于大于1920小時(shí)的概率。小時(shí)的概率。概概率率論論與與數(shù)數(shù)理理統(tǒng)統(tǒng)計(jì)計(jì) 9.計(jì)算器在進(jìn)行加法運(yùn)算時(shí)，將每一個(gè)數(shù)取整為最計(jì)算器在進(jìn)行加法運(yùn)算時(shí)，將每一個(gè)數(shù)取整為最靠近它的整數(shù)。設(shè)所有取整誤差是獨(dú)立的且在靠近它的整數(shù)。設(shè)所有取整誤差是獨(dú)立的且在 （-0.5，0.5）上均勻分布。）上均勻分布。

12、（1）若將）若將1500個(gè)數(shù)相加，問總誤差量的絕對(duì)值超個(gè)數(shù)相加，問總誤差量的絕對(duì)值超過過15的概率是多少？的概率是多少？ （2）最多允許多少個(gè)數(shù)相加，使得誤差總合的絕）最多允許多少個(gè)數(shù)相加，使得誤差總合的絕對(duì)值小于對(duì)值小于10的概率不小于的概率不小于0.90？概概率率論論與與數(shù)數(shù)理理統(tǒng)統(tǒng)計(jì)計(jì) 10.某種機(jī)器部件由某種機(jī)器部件由10部分組成，每部分的長度均是部分組成，每部分的長度均是 相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，其數(shù)學(xué)期望為相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，其數(shù)學(xué)期望為2mm，均方差為，均方差為 0.05mm。按規(guī)定，總長度為（。按規(guī)定，總長度為（20 0.1）mm為合格為合格 產(chǎn)品，求產(chǎn)品合格的概率。產(chǎn)品，求產(chǎn)品合

13、格的概率。概概率率論論與與數(shù)數(shù)理理統(tǒng)統(tǒng)計(jì)計(jì) 11.某保險(xiǎn)公司有某保險(xiǎn)公司有10000人參加保險(xiǎn)，每人每年付人參加保險(xiǎn)，每人每年付12元保險(xiǎn)費(fèi)，在一年內(nèi)這些人死亡的概率均為元保險(xiǎn)費(fèi)，在一年內(nèi)這些人死亡的概率均為0.006，死亡后家屬可向保險(xiǎn)公司領(lǐng)取，死亡后家屬可向保險(xiǎn)公司領(lǐng)取1000元，試求元，試求： （1）保險(xiǎn)公司一年的利潤不少于）保險(xiǎn)公司一年的利潤不少于6萬元的概率萬元的概率; （2）保險(xiǎn)公司虧本的概率。）保險(xiǎn)公司虧本的概率。概概率率論論與與數(shù)數(shù)理理統(tǒng)統(tǒng)計(jì)計(jì) 12.甲乙兩個(gè)戲院在競爭甲乙兩個(gè)戲院在競爭1000名觀眾，假設(shè)每個(gè)名觀眾，假設(shè)每個(gè)觀眾完全隨機(jī)地選擇與戲院，且觀眾之間選擇是彼觀眾完全

14、隨機(jī)地選擇與戲院，且觀眾之間選擇是彼此獨(dú)立的，問每個(gè)戲院應(yīng)該設(shè)多少個(gè)座位才能保證此獨(dú)立的，問每個(gè)戲院應(yīng)該設(shè)多少個(gè)座位才能保證因缺少座位而使觀眾離去的概率小于因缺少座位而使觀眾離去的概率小于1%。概概率率論論與與數(shù)數(shù)理理統(tǒng)統(tǒng)計(jì)計(jì) 13.某單位設(shè)置一電話總機(jī)，共有某單位設(shè)置一電話總機(jī)，共有200臺(tái)電話分機(jī)，臺(tái)電話分機(jī)，每個(gè)分機(jī)是否使用外線通話是相互獨(dú)立的。設(shè)每時(shí)刻每個(gè)分機(jī)是否使用外線通話是相互獨(dú)立的。設(shè)每時(shí)刻每個(gè)分機(jī)有每個(gè)分機(jī)有5%的概率使用外線通話。問該單位總機(jī)的概率使用外線通話。問該單位總機(jī)至少需要安裝多少條外線，才能使以至少需要安裝多少條外線，才能使以90%以上的概率以上的概率保證每臺(tái)分機(jī)電

15、話需要使用外線時(shí)不占線？保證每臺(tái)分機(jī)電話需要使用外線時(shí)不占線？ 14.求求5.2節(jié)例節(jié)例1中男嬰人數(shù)與女嬰人數(shù)相差小于中男嬰人數(shù)與女嬰人數(shù)相差小于50的概率。的概率。概概率率論論與與數(shù)數(shù)理理統(tǒng)統(tǒng)計(jì)計(jì) 15.（1）一復(fù)雜的系統(tǒng)，由）一復(fù)雜的系統(tǒng)，由100個(gè)相互獨(dú)立起個(gè)相互獨(dú)立起作用的部件組成，在整個(gè)運(yùn)行期間每個(gè)部件損壞作用的部件組成，在整個(gè)運(yùn)行期間每個(gè)部件損壞的概率為的概率為0.10，為了使整個(gè)系統(tǒng)起作用，至少必，為了使整個(gè)系統(tǒng)起作用，至少必須有須有85個(gè)部件工作。求整個(gè)系統(tǒng)起作用的概率。個(gè)部件工作。求整個(gè)系統(tǒng)起作用的概率。 （2）一復(fù)雜的系統(tǒng)由）一復(fù)雜的系統(tǒng)由n個(gè)相互獨(dú)立起作用個(gè)相互獨(dú)立起作用

16、的部件組成，每個(gè)部件的可靠性（即部件正常工的部件組成，每個(gè)部件的可靠性（即部件正常工作的概率）為作的概率）為0.90，且必須至少有，且必須至少有80%的部件正的部件正常工作才能使整個(gè)系統(tǒng)工作。問常工作才能使整個(gè)系統(tǒng)工作。問n至少為多大，至少為多大，才能使系統(tǒng)的可靠性不低于才能使系統(tǒng)的可靠性不低于0.95。概概率率論論與與數(shù)數(shù)理理統(tǒng)統(tǒng)計(jì)計(jì) 16.某宿舍有學(xué)生某宿舍有學(xué)生500人，每人在傍晚大約有人，每人在傍晚大約有10%的時(shí)間要占用一個(gè)水龍頭，設(shè)每人占用水龍的時(shí)間要占用一個(gè)水龍頭，設(shè)每人占用水龍頭是相互獨(dú)立的，問該宿舍至少需要安裝多少個(gè)頭是相互獨(dú)立的，問該宿舍至少需要安裝多少個(gè)水龍頭，才能以水龍頭，才能以95%以上概率保證用水的需要？以上概率保證用水的需要？概概率率論論與與數(shù)數(shù)理理統(tǒng)統(tǒng)計(jì)計(jì) 答案：