格林公式及其應用基本功課

1、1教書育人一、格林公式一、格林公式二、平面上曲線積分與路徑無關(guān)的條件二、平面上曲線積分與路徑無關(guān)的條件三、二元函數(shù)的全微分求積三、二元函數(shù)的全微分求積2教書育人 )()(afbfxfdxba xf)(xf一、格林公式一、格林公式在一元積分學中，牛頓-萊布尼茨公式 ：表示:在區(qū)間a,b上的積分可以通過它的原函數(shù)在這個區(qū)間端點上的值來表達。下面介紹的格林公式告訴我們，在平面閉區(qū)域d上的二重積分可以通過沿閉區(qū)域d的邊界曲線 l 上的曲線積分來表達。3教書育人yx22yx22 設(shè)d為平面區(qū)域，如果d內(nèi)任一閉曲線所圍的部分都屬d則稱d為平面單連通區(qū)域單連通區(qū)域，否則稱為復連通區(qū)域復連通區(qū)域 。通俗的說，

2、平面單連通區(qū)域就是不含“洞”（包括點“洞”）的區(qū)域，復連通區(qū)域是含有“洞”（包含“洞”的區(qū)域）。例如，平面上的圓形區(qū)域（x,y） |14 或 2都是復連通區(qū)域。（x,y）| 00 ，作為于d內(nèi)的圓周 l :記 l 和 l 所圍得閉區(qū)域為 d1 (如圖)。對復連通區(qū)域 d1 應用格林公式應用格林公式，得 l xyd1l011教書育人llyxyxydxxdyydxxdy2222drrr2022222sincos2 其中 l 的方向取逆時針方向，于是：02222llyxyxydxxdyydxxdy12教書育人),(),(2211yxbyxa 一般來說，曲線積分的值除了與被積函數(shù)有外，還與積分的路徑有

3、關(guān)，但在自然界中許多問題的曲線積分是與路徑無關(guān)的。如重力場、靜電場中研究力問題時遇到的曲線積分，通常屬于這種情況。 設(shè) g 是一個開區(qū)域，且 p (x,y) , q(x,y) 在g內(nèi)具有一階連續(xù)偏導數(shù)。如果對于 g 內(nèi)任意指定的兩個點 ： 二 平面曲線積分與路徑無關(guān)13教書育人lqdypdxbaqdypdx),(),(2211yxyxqdypdx 以及 g 內(nèi)從點 a 到點 b 的任意兩段曲線 l1，l2等式：12llqdypdxqdypdx恒成立，則稱 曲線積分曲線積分在 g 內(nèi)與路徑內(nèi)與路徑無關(guān)無關(guān)，否則就稱該曲線積分與路徑有關(guān)，此時，從 a 到 b 的曲線積分可記為或14教書育人 定理定

4、理2 設(shè)二元函數(shù)p (x,y),q(x,y)在單連通區(qū)域g 具有一階連續(xù)偏導數(shù)，則在單連通區(qū)域 g 內(nèi)下列條件等價： ypxqlqdypdx0lqdypdx（1）（2）沿任意分段光滑的有向（3）曲線積分與路徑無關(guān)。閉曲線 l ，有15教書育人),(),(00),(yxyxqdypdxyxuqdypdxdu滿足滿足注意：注意： (1) 定理中的等價關(guān)系是建立在單連通區(qū)域定理中的等價關(guān)系是建立在單連通區(qū)域內(nèi)的，并且要求內(nèi)的，并且要求 p (x,y) ,q(x,y) 在在g上具有有一階連續(xù)偏導數(shù)，當這兩個上具有有一階連續(xù)偏導數(shù)，當這兩個條件之一不滿足時，等價關(guān)系都可能不成立。條件之一不滿足時，等價關(guān)

5、系都可能不成立。(2) 定理中命題定理中命題(2)和和(3)的等價區(qū)域可以的等價區(qū)域可以不是單連通的。不是單連通的。 (3) 若函數(shù)若函數(shù) p (x,y), q(x,y) 滿足定理滿足定理2條件條件16教書育人ldyyxqxydy),(2)1 ,()0, 0(), 1()0, 0(),(2),(2ttdyyxqxydxdyyxqxydxyxyxq)2(例例 4 設(shè)函數(shù) q(x,y) 在xoy面上具有一階連續(xù)偏導數(shù)，曲線積分與路徑無關(guān)，且對任意實數(shù) t ，恒有求函數(shù) q (x,y).解：解： 由題意知曲線積分與路徑無關(guān)曲線積分與路徑無關(guān)，因而有17教書育人.2xxq)(),(2yyxqx)(yx

6、yo 1 tt 1即于是其中為任意可導函數(shù)。如圖所示，取點 a (t,0) , b (t,1) , c (1,0) , d (1,t) . 對所給等式 左端沿折線 oab ,右端沿折線 ocd直線進行曲線積分，得 18教書育人ttdyyqdxdyytqdx010100.), 1 (0),(0將前面得到的 q (x,y) 代入上式，得1002)(1 )(tdyydyyt即1002)()(tytdyyt兩段對 t 求導數(shù) ， 得 )(12tt或12)( tt故12),(2xyxqx19教書育人三、二元函數(shù)的全微分求積三、二元函數(shù)的全微分求積給定 u(x,y)，dy.yudxxudu(x,y)-求二

7、元函數(shù)全微分問題求二元函數(shù)全微分問題,qdypdx 給定),(yxu求qdypdxyxdu),(使得-二元函數(shù)的全微分求積分題二元函數(shù)的全微分求積分題討論以下兩個問題：討論以下兩個問題：是某滿足什么條件、qdypdxyxqyxp),(),() 1 (的全微分？二元函數(shù)),(yxu20教書育人？如何求這樣的),()2(yxu定理定理 3 設(shè)區(qū)域g 是一個單連通域，函數(shù)p(x,y)+q(x,y) ， 在 g內(nèi)具有一階連續(xù)偏導數(shù)，則 在 g內(nèi)是某個函數(shù) 的全微分的充分必要條件是：yqxp在g內(nèi)恒成立。證明略。 推論：推論：內(nèi)具有一階連續(xù)在，是單連通區(qū)域，設(shè)gyxqyxpg),(),(的充要條件是內(nèi)與

8、路徑無關(guān)在偏導數(shù)，則曲線積分lgqdypdx.),(),(),(dyyxqdxyxpyxdu21教書育人 說明：說明： 件是某函數(shù)的全微分的條給出了定理qdypdx3) 1 (ypxq(2) 推論給出了全微分求積得方法，即 ：可用積分法求),(g00yxmqdypdxdu內(nèi)的原函數(shù)取定起點在及動點m(x,y)，22教書育人o0 x0yyx),(),(00),(),(),(yxyxdyyxqdxyxpyxuyxydyyxqdxxxpy00,),(),(0.),(),(),(000dxyxpdyyxqyxuxxyy或23教書育人例例 ：并求出這個函數(shù)。是某個函數(shù)的全微分，驗證ydyxdxxy22證

9、：證：可知，存在函數(shù)有定理則設(shè)2,2p,22xqxyyyxqxypydyxdxxyduyxu22),(使22020022),()0, 0(2210yxydyxydyxdxxydyxdxxyyxyyx),(yxu24教書育人小結(jié)小結(jié) 內(nèi)容內(nèi)容 應用應用1、格林公式、格林公式常用來將較復雜的曲線積分的計算轉(zhuǎn)化為較常用來將較復雜的曲線積分的計算轉(zhuǎn)化為較簡單的二重積分的計算簡單的二重積分的計算.2、曲線積分與路徑無關(guān)的條件、曲線積分與路徑無關(guān)的條件ldqdypdxdxdyypxq)(ypxq25教書育人3.等價條件等價條件設(shè)設(shè) p, q 在在 d 內(nèi)具有一階連續(xù)偏導數(shù)內(nèi)具有一階連續(xù)偏導數(shù), 則有則有l(wèi)

10、qdypdx在在 d 內(nèi)與路徑無關(guān)內(nèi)與路徑無關(guān).對對 d 內(nèi)任意閉曲線內(nèi)任意閉曲線 l 有有 l;qdypdx0在在 d 內(nèi)有內(nèi)有.xqyp 在在 d 內(nèi)有內(nèi)有.qdypdxdu 26教書育人 lqdypdxixqyp xqyp 閉合閉合非閉非閉0 lqdypdxi ),(),(00yxyxqdypdxi閉合閉合非閉非閉 補充曲線或用公式補充曲線或用公式dxdyypxqid )(求第二類曲線積分的思路求第二類曲線積分的思路:27教書育人 1 . 計算下面曲線積分，并驗證格林公式的正確性：計算下面曲線積分，并驗證格林公式的正確性：dyxdxxyyxl)()2(22xy2xy2解：解：dyxdxx

11、yyxl)()2(22)()2()(2212dyxdxxyyxll其中 l 是由拋物線及所圍成的區(qū)域的正向邊界曲線；28教書育人dyydxxxyyyyxxx01224310423)(2)2(2)()2(0124510235)242()22(dydxyyyxxx301)323431()312131(,),(,2),(22yxxyxqxyyxpdxdyxdxdyypxqdd)21 ()(dxxydyxydxxxy2210210)21 ( 故 用二重積分計算：用二重積分計算： 29教書育人dxxxxx104221)(30151312132ldqdypdxdxdyypxq)(2. 利用曲線積分，求下面

12、曲線所圍成的圖形面積： 圓 ：axyx222 解：解： ayax222)(,20 ,sin,cosayaax正確。的參數(shù)方程為：所以格林公式：所以格林公式：圓 ：30教書育人aaddaaaaydxxdyal220220)cos1 (2)sin(sincos)cos1 (2121 3 . 證明下面曲線積分在整個xoy 面內(nèi)與路徑無關(guān)，并計算積分值：)3 , 2()1 , 1()()(dyyxdxyx31教書育人 解解:, 1, 1xqypxqyp在整個xoy平面內(nèi)成立，所 以積分與路徑無關(guān)。選取特殊的積分路徑為從(1,1)到(2,1)到(2,3)的折線，則25)2() 1()()(2121)3 , 2