DFT的共軛對(duì)稱性稻谷文苑

1、第十講3.2.5 dft的共軛對(duì)稱性的共軛對(duì)稱性3.3頻域抽樣理論頻域抽樣理論-抽樣抽樣z變換變換3.4.1 用用dft計(jì)算線性卷積計(jì)算線性卷積1優(yōu)質(zhì)薈萃3.2.5 dft的共軛對(duì)稱性與dtft對(duì)稱性的區(qū)別tdtft以(-,+)為變換空間，所以在討論對(duì)稱性質(zhì)中，以原點(diǎn)為對(duì)稱中心，序列的移位范圍無任何限制，因?yàn)闊o論如何不會(huì)移出變換區(qū)間；tdft以(0,n-1)為變換空間，所以在討論對(duì)稱性質(zhì)中，序列的移位會(huì)移出變換區(qū)間，所以要在區(qū)間(0,n-1)上定義有限長(zhǎng)序列的圓周共軛對(duì)稱有限長(zhǎng)序列的圓周共軛對(duì)稱有限長(zhǎng)序列的圓周共軛對(duì)稱有限長(zhǎng)序列的圓周共軛對(duì)稱有限長(zhǎng)序列的圓周共軛對(duì)稱有限長(zhǎng)序列的圓周共軛對(duì)稱序列

2、和反對(duì)稱序列；序列和反對(duì)稱序列；序列和反對(duì)稱序列；序列和反對(duì)稱序列；序列和反對(duì)稱序列；序列和反對(duì)稱序列；tdft以(0,n-1)為變換空間，所以在討論對(duì)稱性質(zhì)中，將會(huì)得出其對(duì)稱中心為n=n/2。2優(yōu)質(zhì)薈萃1.周期序列共軛對(duì)稱分量與共軛反對(duì)稱分量周期序列共軛對(duì)稱分量與共軛反對(duì)稱分量 周期為n的周期序列的共軛對(duì)稱分量與共軛反對(duì) 稱分量分別定義為 )()(21)()(21)()()(21)()(21)(*nnonnennxnxnxnxnxnnxnxnxnxnx同樣，有)()()()()()()(*nxnxnxnxnxnxnxooeeoe3優(yōu)質(zhì)薈萃*1( ) ( )()2ex nx nxn*1( )

3、( )()2ex nx nxn( )nx n*()nxnn4優(yōu)質(zhì)薈萃2.有限長(zhǎng)序列的圓周共軛對(duì)稱分量有限長(zhǎng)序列的圓周共軛對(duì)稱分量與圓周共軛反對(duì)稱分量與圓周共軛反對(duì)稱分量 有限長(zhǎng)序列的圓周共軛對(duì)稱分量與圓周共軛反對(duì)稱 分量分別定義為)()()(21)()()()()()(21)()()(*nrnnxnxnrnxnxnrnnxnxnrnxnxnnnnoopnnnneep由于)()()()()()()()()()(nrnxnrnxnrnxnxnrnxnxnonenoen所以)()()(nxnxnxopep 這表明長(zhǎng)為n的有限長(zhǎng)序列可分解為兩個(gè)長(zhǎng)度相同的兩個(gè)分量。5優(yōu)質(zhì)薈萃2.有限長(zhǎng)序列的圓周共軛對(duì)稱

4、與有限長(zhǎng)序列的圓周共軛對(duì)稱與圓周共軛反對(duì)稱性質(zhì)圓周共軛反對(duì)稱性質(zhì)( )() 01( )() 01epepopopxnxnnnnxnxnnnn*1( ) ( )()21( ) ( )()2epopxnx nxnnxnx nxnn 上式已給出有限長(zhǎng)序列x(n)的圓周共軛對(duì)稱分量與圓周共軛反對(duì)稱分量的對(duì)稱中心為n=n/2，其圓周共軛對(duì)稱分量與圓周共軛反對(duì)稱分量可簡(jiǎn)寫為：6優(yōu)質(zhì)薈萃共軛對(duì)稱與共軛反對(duì)稱序列示意圖()(),01222()(),01222epepopopnnnxnxnnnnnxnxnn 7優(yōu)質(zhì)薈萃3.有限長(zhǎng)序列有限長(zhǎng)序列x(n)的對(duì)稱分量分解的對(duì)稱分量分解及其及其dft表示表示: ( )(

5、 ) ( ) dft ( )( )( )( )1 ( ) ( )( )21dft( )( )()( )21 ( ) ( )( )21dft ( )( )()( )2riepoprrepiiopx nx njx nx nx kxkxkx nx nx nx nx kxnkxkx nx nx nx nx kxnkxk若有則有：證明：8優(yōu)質(zhì)薈萃圓周共軛對(duì)稱分量。的該序列復(fù)數(shù)序列實(shí)部的dftdft *圓周共軛反對(duì)稱分量。的該序列的復(fù)數(shù)序列虛部乘以dftdftj*9優(yōu)質(zhì)薈萃4.有限長(zhǎng)序列有限長(zhǎng)序列x(n)的實(shí)虛分解的實(shí)虛分解及其及其dft表示表示)(im)()(21 )(dft)()(21)( )(re)

6、()(21)(dft)()(21)( :)()()()(dft:)( )()( :kxjkxkxnxnnxnxnxkxkxkxnxnnxnxnxkjxkxkxnxnxnxnxopopepepiropep證明則有若有10優(yōu)質(zhì)薈萃5.實(shí)、虛序列的對(duì)稱特性實(shí)、虛序列的對(duì)稱特性 當(dāng)x(n)為實(shí)序列時(shí)，則 x(k)=xep(k)又據(jù)xep(k)的對(duì)稱性：)()()(*krknxkxnnepep 當(dāng)x(n)為純虛序列時(shí)，則 x(k)=xop(k)又據(jù)xop(k)的對(duì)稱性：)()()(*krkxkxnnopop)()()(*krknxkxnn)()()(*krkxkxnn11優(yōu)質(zhì)薈萃 序列 dft共軛對(duì)稱性

7、總結(jié)1： 復(fù)數(shù)序列的共軛對(duì)稱性( )( )x nx kre ( )( )epx nxkim ( )( )opjx nxk( )re( )epxnx k( )im( )opxnjx k12優(yōu)質(zhì)薈萃 序列 dft共軛對(duì)稱性總結(jié)2: 實(shí)數(shù)序列的共軛對(duì)稱性re ( )( )( )epx nxkx kim ( )0( )0opjx nxk( )re( )epxnx k( )im( )opxnjx k13優(yōu)質(zhì)薈萃共軛對(duì)稱性總結(jié)3: 純虛序列的共軛對(duì)稱性 序列 dftre ( )0( )0epx nxkim ( )( )( )opjx nxkx k( )re( )epxnx k( )im( )opxnjx

8、k14優(yōu)質(zhì)薈萃 假設(shè) x1(n)和x2(n)都是n點(diǎn)的實(shí)數(shù)序列，可用一次n點(diǎn)dft運(yùn)算來計(jì)算它們各自的dft: 11 ( )( )dft x nx k22( )( )dft x nxk利用兩序列構(gòu)成一個(gè)復(fù)序列12( )( )( )w nx njx n12( ) ( )( )( )w kdft w ndft x njx n則12( )( )dft x njdft x n12( )( )x kjxk6.共軛對(duì)稱性的應(yīng)用舉例共軛對(duì)稱性的應(yīng)用舉例15優(yōu)質(zhì)薈萃1( )re ( )x nw n由得11( ) ( ( )epx kdft x nwk*1( )() ( )2nnnwkwnkrk2( )im (

9、 )x nw n由得221( )( )( )opxkdft x nwkj*1( )() ( )2nnnwkwnkrkj16優(yōu)質(zhì)薈萃 3.3頻域抽樣理論-抽樣z變換討論： 時(shí)域抽樣: 對(duì)一個(gè)頻帶有限的信號(hào),根據(jù)抽樣定理對(duì)其進(jìn)行抽樣,所得抽樣信號(hào)的頻譜是原帶限信號(hào)頻譜的周期延拓,因此,完全可以由抽樣信號(hào)恢復(fù)原信號(hào)。 頻域抽樣: 對(duì)一有限序列(時(shí)間有限序列)進(jìn)行dft所得x(k)就是序列傅氏變換的采樣.所以dft就是頻域抽樣。17優(yōu)質(zhì)薈萃問題:t能否由頻域抽樣x(k)恢復(fù)序列x(n)t能否由頻域抽樣x(k)恢復(fù)序列x(z)或t若能恢復(fù)其條件是什么？如何推導(dǎo)內(nèi)插恢復(fù)公式?()jx e回憶時(shí)域內(nèi)插恢復(fù)公

10、式回憶時(shí)域內(nèi)插恢復(fù)公式!18優(yōu)質(zhì)薈萃 ( )()( )knnknz wnx knwznxx zx對(duì)在單位圓上 點(diǎn)等間隔抽樣，得周期序列：( )( )?x kx n分析：( )z( )( )nnx nx zx n z任意絕對(duì)可和的非周期序列，其 變換： 一一.由由頻域抽樣恢復(fù)原序列頻域抽樣恢復(fù)原序列19優(yōu)質(zhì)薈萃( )( )nxnx kidfs令為的：101( )( )( )nnknnkxnidfs x kx k wn101( )nmknknnkmx m wwn 1()01( )nm n knmkx mwn()rx nrn1()0110nm n knkmnrnwmn其它r為任意整數(shù)20優(yōu)質(zhì)薈萃tx

11、(n)為無限長(zhǎng)序列混疊失真tx(n)為有限長(zhǎng)序列，長(zhǎng)度為m( )x k由頻域抽樣序列 還原得到的周期序列是原非周期序列 的周期延拓序列，其周期為頻域抽樣點(diǎn)數(shù)n。( )x n所以：時(shí)域抽樣造成頻域周期延拓同樣，頻域抽樣造成時(shí)域周期延拓1 nm），不失真2nm），混疊失真討論：21優(yōu)質(zhì)薈萃頻率采樣定理若序列長(zhǎng)度為m，則只有當(dāng)頻域采樣點(diǎn)數(shù):時(shí)，才有即可由頻域采樣 不失真地恢復(fù)原信號(hào) ，否則產(chǎn)生時(shí)域混疊現(xiàn)象。nm( )( )( )( )( )nnnxn rnidfs x k rnx n( )x k( )x n22優(yōu)質(zhì)薈萃1101( )1n nkknzx knw z( )mx nnnm點(diǎn)有限長(zhǎng)序列，頻域

12、 點(diǎn)等間隔抽樣，且 1100( )( )( )mnnnnnx zx n zx n z11001( )nnnknnnkx k wzn11001( )nnnknnknx kwzn11011( )1nknnnkknwzx knwz內(nèi)插恢復(fù)和表示二、由-)()()(jexzxkx1.由x(k)恢復(fù)x(z)則：23優(yōu)質(zhì)薈萃1101( )( )1n nkknzx kx znwz內(nèi)插公式：111( )1nkknzznwz內(nèi)插函數(shù)：10( )( )( )nkkx zx kz則內(nèi)插公式簡(jiǎn)化為： 內(nèi)插公式與內(nèi)插函數(shù)內(nèi)插公式與內(nèi)插函數(shù)24優(yōu)質(zhì)薈萃內(nèi)插函數(shù)的特性內(nèi)插函數(shù)的特性 將內(nèi)插函數(shù)寫成如下式:)(11)(1kn

13、nnkwzzznz20,1,.,1jrnzern零點(diǎn)：，20 (-1)jknzen極點(diǎn)：， 階 極點(diǎn) 與一零點(diǎn)相消。這樣只有(n-1)個(gè)零點(diǎn),抽樣點(diǎn) 稱作本抽樣點(diǎn)。因此說，內(nèi)插 函數(shù)僅在本抽樣點(diǎn)處不為零,其他(n-1)個(gè)抽樣點(diǎn)均為零。knjez2knje225優(yōu)質(zhì)薈萃2()( )()jjkkz eezkn ()jx e用頻域采樣 表示 的內(nèi)插公式( )x k10()( )( )()jnjjkz ekx ex zx ke12sin12 ( )sin2njnen內(nèi)插函數(shù)：2.26優(yōu)質(zhì)薈萃27優(yōu)質(zhì)薈萃102 ()( ) ()njkx ex kkn 內(nèi)插恢復(fù)過程描述：212 ()20kiknkniik

14、n 28優(yōu)質(zhì)薈萃3.4 dft的應(yīng)用舉例29優(yōu)質(zhì)薈萃3.4.1 用用dft計(jì)算線性卷積計(jì)算線性卷積 112120( )( )( )( )()( )lllmy nx nx nx m xnmrn1122( )( )( )( )x kdft x nxkdft x n0kl-1則由時(shí)域循環(huán)卷積定理有 y(k)=dfty(n)=x1(k)x2(k), 0kl-1如果1.用dft計(jì)算循環(huán)卷積30優(yōu)質(zhì)薈萃t 由此可見， 循環(huán)卷積既可在時(shí)域直接計(jì)算，在頻域計(jì)算。 由于dft有快速算法fft， 當(dāng)n很大時(shí)， 在頻域計(jì)算的速度快得多， 因而常用dft(fft)計(jì)算循環(huán)卷積。 圖 3.4.1 用dft計(jì)算循環(huán)卷積

15、31優(yōu)質(zhì)薈萃 在實(shí)際應(yīng)用中， 為了分析時(shí)域離散線性非移變系統(tǒng)或者對(duì)序列進(jìn)行濾波處理等， 需要計(jì)算兩個(gè)序列的線性卷積，為了提高運(yùn)算速度，也希望用dft(fft)計(jì)算線性卷積。 為此需導(dǎo)出線性卷積和循環(huán)卷積之間的關(guān)系以及循環(huán)卷積與線性卷積相等的條件。 假設(shè)h(n)和x(n)都是有很長(zhǎng)序列， 長(zhǎng)度分別是n和m。 它們的線性卷積和循環(huán)卷積分別表示如下： 1010( )( )( )( ) ()( )( )( )( ) ()( )nlmlcllmy nh nx nh m x nmy nh nx nh m x nmrn2.循環(huán)卷積與線性卷積循環(huán)卷積與線性卷積32優(yōu)質(zhì)薈萃t其中， lmaxn, m 1010(

16、 )( )()( )( ) ()( )nclmqnlqmy nh mx nmql r nh m x nmql r n ( )(),lqx nx nql可以看出， 上式中 10( ) ()()( )()( )nlmcllqh m x nqlmy nqly ny nql r n33優(yōu)質(zhì)薈萃圖 3.4.2 線性卷積與循環(huán)卷積 0123451234h(n) x(n)nl 60123451234nl 867h(n) x(n)0123451234nl 1067h(n) x(n)（ d ）（ e ）( f )0123451234nn m1 867h(n) x(n)*nm 5012341x(n)nn 401231h(n)（ a ）（ b ）（ c ）89* * 189 1034優(yōu)質(zhì)薈萃圖 3.4.3 用dft計(jì)算線性卷積框圖 補(bǔ)l n個(gè)零點(diǎn)l點(diǎn)dft補(bǔ)l m個(gè)零點(diǎn)l點(diǎn)dftl點(diǎn)idfty(n)h(n)x(n)35優(yōu)質(zhì)薈萃 設(shè)序列h(n)長(zhǎng)度為n， x(n)為無限長(zhǎng)序列。 將x(n)均勻分段， 每段長(zhǎng)度取m，