第三章 剛體力學(xué)

1、第一篇第一篇 力力 學(xué)學(xué) 第三章剛體力學(xué)第三章剛體力學(xué) (6學(xué)時(shí)學(xué)時(shí)) 第一篇經(jīng)典力學(xué)第一篇經(jīng)典力學(xué)描述物體的運(yùn)動(dòng)描述物體的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)狀態(tài)運(yùn)動(dòng)學(xué)運(yùn)動(dòng)學(xué)尋求物體具有某種運(yùn)動(dòng)尋求物體具有某種運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的原因狀態(tài)的原因動(dòng)力學(xué)動(dòng)力學(xué)萬(wàn)萬(wàn)有有引引力力定定律律質(zhì)點(diǎn)質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)學(xué)學(xué)剛體剛體運(yùn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)學(xué)學(xué)靜力學(xué)靜力學(xué)動(dòng)力學(xué)動(dòng)力學(xué)質(zhì)點(diǎn)質(zhì)點(diǎn)力平力平衡衡剛體剛體力矩力矩平衡平衡質(zhì)點(diǎn)質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力動(dòng)力學(xué)學(xué)剛體剛體動(dòng)力動(dòng)力學(xué)學(xué)內(nèi)容結(jié)構(gòu)內(nèi)容結(jié)構(gòu)已學(xué)過已學(xué)過內(nèi)容結(jié)構(gòu)內(nèi)容結(jié)構(gòu)第三章剛體力學(xué)第三章剛體力學(xué)剛體運(yùn)動(dòng)學(xué)剛體運(yùn)動(dòng)學(xué)剛體動(dòng)力學(xué)剛體動(dòng)力學(xué)1. 建立物理模型建立物理模型剛體模型剛體模型2. 引入物理參量引入物理參量角參量角參量3.剛體

2、運(yùn)動(dòng)學(xué)規(guī)剛體運(yùn)動(dòng)學(xué)規(guī)律的應(yīng)用律的應(yīng)用瞬時(shí)效應(yīng)瞬時(shí)效應(yīng)時(shí)間累積時(shí)間累積空間累積空間累積1.保持轉(zhuǎn)動(dòng)狀態(tài)保持轉(zhuǎn)動(dòng)狀態(tài) 的原因的原因2. 改變轉(zhuǎn)動(dòng)狀態(tài)改變轉(zhuǎn)動(dòng)狀態(tài) 的原因的原因3. 剛體轉(zhuǎn)動(dòng)定律剛體轉(zhuǎn)動(dòng)定律 (相當(dāng)牛二律相當(dāng)牛二律)1.沖量矩沖量矩,角動(dòng)量角動(dòng)量 沖量矩定理沖量矩定理 (相當(dāng)沖量定理相當(dāng)沖量定理)2.角動(dòng)量定理、角動(dòng)量定理、 角動(dòng)量守恒角動(dòng)量守恒(相當(dāng)動(dòng)量定理相當(dāng)動(dòng)量定理)1.力矩作功、轉(zhuǎn)力矩作功、轉(zhuǎn) 動(dòng)動(dòng)能、勢(shì)能動(dòng)動(dòng)能、勢(shì)能 轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能定理轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能定理 轉(zhuǎn)動(dòng)勢(shì)能定理轉(zhuǎn)動(dòng)勢(shì)能定理 (與平動(dòng)對(duì)應(yīng)與平動(dòng)對(duì)應(yīng))2.機(jī)械能守恒機(jī)械能守恒內(nèi)容結(jié)構(gòu)內(nèi)容結(jié)構(gòu)請(qǐng)與平請(qǐng)與平動(dòng)對(duì)應(yīng)章節(jié)比較動(dòng)對(duì)應(yīng)章節(jié)比較A

3、.將剛體看作剛性連接的特殊質(zhì)點(diǎn)、質(zhì)點(diǎn)系，以質(zhì)點(diǎn)、質(zhì)點(diǎn)系將剛體看作剛性連接的特殊質(zhì)點(diǎn)、質(zhì)點(diǎn)系，以質(zhì)點(diǎn)、質(zhì)點(diǎn)系的運(yùn)動(dòng)規(guī)律來(lái)研究剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)規(guī)律。的運(yùn)動(dòng)規(guī)律來(lái)研究剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)規(guī)律。B.將一般剛體運(yùn)動(dòng)看作為平動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)的組合，而轉(zhuǎn)動(dòng)又看作為將一般剛體運(yùn)動(dòng)看作為平動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)的組合，而轉(zhuǎn)動(dòng)又看作為繞固定轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動(dòng)的組合。因此，研究剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)，繞固定轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動(dòng)的組合。因此，研究剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)，只需要研只需要研究繞固定轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)究繞固定轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)這樣簡(jiǎn)單的情形。這樣簡(jiǎn)單的情形。C.考慮到前面已反復(fù)處理由單質(zhì)點(diǎn)向質(zhì)點(diǎn)系過渡方法，本章我考慮到前面已反復(fù)處理由單質(zhì)點(diǎn)向質(zhì)點(diǎn)系過渡方法，本章我們直接按質(zhì)點(diǎn)系方法處理問題們直接按質(zhì)點(diǎn)系方

4、法處理問題)3.1力矩的瞬時(shí)效應(yīng)力矩的瞬時(shí)效應(yīng)剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)定律剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)定律 一繞固定轉(zhuǎn)軸的剛體轉(zhuǎn)動(dòng)定理一繞固定轉(zhuǎn)軸的剛體轉(zhuǎn)動(dòng)定理 1.改變物體轉(zhuǎn)動(dòng)狀態(tài)的原因改變物體轉(zhuǎn)動(dòng)狀態(tài)的原因力矩力矩 2.繞固定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體轉(zhuǎn)動(dòng)定理繞固定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體轉(zhuǎn)動(dòng)定理 二繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)定理的應(yīng)用二繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)定理的應(yīng)用 3.剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的求解剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的求解 研究方案研究方案一繞固定轉(zhuǎn)軸的剛體轉(zhuǎn)動(dòng)定理一繞固定轉(zhuǎn)軸的剛體轉(zhuǎn)動(dòng)定理 1.改變物體轉(zhuǎn)動(dòng)狀態(tài)的原因改變物體轉(zhuǎn)動(dòng)狀態(tài)的原因力矩力矩 力矩力矩：力與力臂的乘積，稱為力矩。：力與力臂的乘積，稱為力矩。FrM 或或 zyxFFFzyxkjiM 記記討論討論：A.力

5、矩是使物體轉(zhuǎn)動(dòng)狀態(tài)發(fā)生改變的原因力矩是使物體轉(zhuǎn)動(dòng)狀態(tài)發(fā)生改變的原因(相當(dāng)于平動(dòng)問相當(dāng)于平動(dòng)問題中的合外力題中的合外力) B.力矩是矢量：大小：力矩是矢量：大?。?方向：按矢積定義，由右手螺旋法則決定方向：按矢積定義，由右手螺旋法則決定 運(yùn)算法則：矢量合成法則，并滿足獨(dú)立性原理。運(yùn)算法則：矢量合成法則，并滿足獨(dú)立性原理。 sinFrM LL2.繞固定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體轉(zhuǎn)動(dòng)定理繞固定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體轉(zhuǎn)動(dòng)定理 任意形狀剛體繞固定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，如圖，將剛體看作質(zhì)點(diǎn)系。設(shè)位任意形狀剛體繞固定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，如圖，將剛體看作質(zhì)點(diǎn)系。設(shè)位矢為矢為ri的質(zhì)點(diǎn)受到質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)點(diǎn)受到質(zhì)點(diǎn)j的內(nèi)力為的內(nèi)力為fij，受到合外力為，受到合外力為F

6、i，由牛頓，由牛頓第二定律：第二定律： x y z ri Fi i j fij i rj i iijiijiiamfF sinsin考慮到剛體繞固定考慮到剛體繞固定z 軸轉(zhuǎn)動(dòng)軸轉(zhuǎn)動(dòng) iira 將上式兩邊同時(shí)乘以將上式兩邊同時(shí)乘以ri并利用矢量矢并利用矢量矢積的定義有：積的定義有： 2iijijiiirmfrFr 考慮剛體中所有質(zhì)點(diǎn)、力矩的定義以及內(nèi)力考慮剛體中所有質(zhì)點(diǎn)、力矩的定義以及內(nèi)力 jijijifrfr 上式成為上式成為 iiiiirmM 2當(dāng)微元趨于無(wú)限小時(shí)當(dāng)微元趨于無(wú)限小時(shí) VdmrM2 定義定義轉(zhuǎn)動(dòng)慣量轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 VdmrI2繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)定理繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)定理 IM 討論討論：

7、A.關(guān)于轉(zhuǎn)動(dòng)慣量關(guān)于轉(zhuǎn)動(dòng)慣量轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的物理意義：保持剛體原有轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的物理意義：保持剛體原有轉(zhuǎn)動(dòng)狀態(tài)的原因，是轉(zhuǎn)動(dòng)慣性的量度。轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的求法：動(dòng)狀態(tài)的原因，是轉(zhuǎn)動(dòng)慣性的量度。轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的求法： 連續(xù)體連續(xù)體 VdmrM2 離散體離散體 iiirmI2(ri是質(zhì)點(diǎn)到轉(zhuǎn)軸的垂直距離，考察推導(dǎo)過程是質(zhì)點(diǎn)到轉(zhuǎn)軸的垂直距離，考察推導(dǎo)過程) B.關(guān)于繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)定律關(guān)于繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)定律剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律的地位等同于平動(dòng)問題中的牛頓第二定律剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律的地位等同于平動(dòng)問題中的牛頓第二定律適于研究剛體轉(zhuǎn)動(dòng)的瞬時(shí)效應(yīng)，對(duì)于有固定轉(zhuǎn)軸的剛體轉(zhuǎn)動(dòng)，適于研究剛體轉(zhuǎn)動(dòng)的瞬時(shí)效應(yīng)，對(duì)于有固定轉(zhuǎn)軸的剛體轉(zhuǎn)動(dòng)，

8、轉(zhuǎn)動(dòng)定理可以寫為標(biāo)量式，此時(shí)，外力、位矢應(yīng)當(dāng)分解到與轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)定理可以寫為標(biāo)量式，此時(shí)，外力、位矢應(yīng)當(dāng)分解到與轉(zhuǎn)軸垂直的平面內(nèi)。軸垂直的平面內(nèi)。(仔細(xì)考察推導(dǎo)過程仔細(xì)考察推導(dǎo)過程)。適用條件：慣性系。適用條件：慣性系 x y z ri Fi i j fij i rj i 3.剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的求解剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的求解 例：如圖，三個(gè)質(zhì)量相等的小球等間距地分布在例：如圖，三個(gè)質(zhì)量相等的小球等間距地分布在x-y平面的角平面的角平分線上，且繞平分線上，且繞y軸轉(zhuǎn)動(dòng)。軸轉(zhuǎn)動(dòng)。求：系統(tǒng)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量求：系統(tǒng)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 x y m a 解：由解：由 iiirmI2得得 2222222227)322()2()(maaaa

9、mrmIii 例：例：(連續(xù)體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量連續(xù)體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量)如圖，線密度為如圖，線密度為 、質(zhì)量為、質(zhì)量為m的均勻的均勻細(xì)桿與轉(zhuǎn)軸的夾角為細(xì)桿與轉(zhuǎn)軸的夾角為 .求求:其轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。其轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。 說明說明：A.本題的目的是要求能正確求解離散體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，本題的目的是要求能正確求解離散體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，理解轉(zhuǎn)動(dòng)慣量中理解轉(zhuǎn)動(dòng)慣量中r的物理含義的物理含義B.簡(jiǎn)單計(jì)算可知，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量依賴質(zhì)量大小，依賴質(zhì)量分布簡(jiǎn)單計(jì)算可知，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量依賴質(zhì)量大小，依賴質(zhì)量分布 。 x y m dm r l 解：由解：由 VdmrI2在桿上在桿上l 處任取微元處任取微元dm，顯然，顯然 :dldm 而桿的總長(zhǎng)度：而桿的總長(zhǎng)度： ml

10、 0，于是，于是 2230231022sin31)(sin)sin(0mlldlldmrIlV 說明說明：求解連續(xù)體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，關(guān)鍵問題是統(tǒng)一：求解連續(xù)體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，關(guān)鍵問題是統(tǒng)一r 和和dm 的積分的積分變量。并注意變量。并注意r 的物理含義。的物理含義。 例：例：(連續(xù)體與離散體的混合轉(zhuǎn)動(dòng)慣量連續(xù)體與離散體的混合轉(zhuǎn)動(dòng)慣量)。將上述兩個(gè)例題結(jié)合。將上述兩個(gè)例題結(jié)合起來(lái)，設(shè)桿上等間距地套上三個(gè)質(zhì)量相等的小球，且桿的質(zhì)起來(lái)，設(shè)桿上等間距地套上三個(gè)質(zhì)量相等的小球，且桿的質(zhì)量也與小球質(zhì)量相等。求：系統(tǒng)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量量也與小球質(zhì)量相等。求：系統(tǒng)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 解：如果系統(tǒng)中既有連續(xù)體，又有離散體，只需要將連續(xù)

11、體看解：如果系統(tǒng)中既有連續(xù)體，又有離散體，只需要將連續(xù)體看作為若干離散體中的一個(gè)，再用求離散體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的方法作為若干離散體中的一個(gè)，再用求離散體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的方法就可以求出系統(tǒng)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。就可以求出系統(tǒng)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。 桿的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量桿的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 2221sin31mldmrIV 三個(gè)小球的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量三個(gè)小球的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 2227marmIii 系統(tǒng)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量系統(tǒng)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 22221sin317mlmaIII l Ic I l rc r 證明：首先，繞固定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體模證明：首先，繞固定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體模型都可以轉(zhuǎn)化為圖示模型，因?yàn)橹恍投伎梢赞D(zhuǎn)化為圖示模型，因?yàn)橹挥写怪庇谵D(zhuǎn)軸的作用力才對(duì)剛體轉(zhuǎn)有垂直于轉(zhuǎn)軸

12、的作用力才對(duì)剛體轉(zhuǎn)動(dòng)狀態(tài)的變化有影響。動(dòng)狀態(tài)的變化有影響。 例：例：轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的平行軸定理轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的平行軸定理：其中，其中，Ic是轉(zhuǎn)軸過質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。是轉(zhuǎn)軸過質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。l是與過質(zhì)心轉(zhuǎn)軸相距為是與過質(zhì)心轉(zhuǎn)軸相距為l且與之平行的另一轉(zhuǎn)軸。且與之平行的另一轉(zhuǎn)軸。 2mlIIc 因因 VVdmrrdmrI)(2 VccVccdmlrlrdmlrlr)2()(22 VccdmrlmlI22考慮到質(zhì)心坐標(biāo)的求解方法考慮到質(zhì)心坐標(biāo)的求解方法 dmrrVc 且且Ic是轉(zhuǎn)軸過質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，于是是轉(zhuǎn)軸過質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，于是 2mlIIc 定理得證定理得證 例：例：轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的垂直軸定理轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的垂直軸定理：

13、一個(gè)平面薄板剛體對(duì)垂直于平面：一個(gè)平面薄板剛體對(duì)垂直于平面的任一轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，等于剛體對(duì)在平面內(nèi)并與該垂直軸的任一轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，等于剛體對(duì)在平面內(nèi)并與該垂直軸相交的任二正交軸轉(zhuǎn)動(dòng)慣量之和。相交的任二正交軸轉(zhuǎn)動(dòng)慣量之和。 yxIII xyz證明：因證明：因 VVdmrrdmrI)(2 Vdmj yi xj yi x)(yxVIIdmyx )(22定理得證定理得證例：求均勻分布、質(zhì)量為例：求均勻分布、質(zhì)量為m的球體繞其直徑作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的的球體繞其直徑作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的I.解：球體的質(zhì)量密度解：球體的質(zhì)量密度 343RmVm 采用球坐標(biāo)系采用球坐標(biāo)系 :drddrdVdm sin2 于是于是 drdrd

14、drdrrdmrIVV34222sin2sin)sin(52158)322(52cos)cos1(52255025mRRRdR 二繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)定理的應(yīng)用二繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)定理的應(yīng)用 剛體轉(zhuǎn)動(dòng)定律的應(yīng)用與平動(dòng)問題中牛頓定律的應(yīng)用的完全相似剛體轉(zhuǎn)動(dòng)定律的應(yīng)用與平動(dòng)問題中牛頓定律的應(yīng)用的完全相似主要類型：主要類型：A.已知?jiǎng)傮w所受力力矩求剛體轉(zhuǎn)動(dòng)狀態(tài)已知?jiǎng)傮w所受力力矩求剛體轉(zhuǎn)動(dòng)狀態(tài) B.已知?jiǎng)傮w轉(zhuǎn)動(dòng)狀態(tài)求剛體所受力矩已知?jiǎng)傮w轉(zhuǎn)動(dòng)狀態(tài)求剛體所受力矩 C.已知?jiǎng)傮w部分轉(zhuǎn)動(dòng)狀態(tài)和部分力矩求解未知力矩和未知轉(zhuǎn)已知?jiǎng)傮w部分轉(zhuǎn)動(dòng)狀態(tài)和部分力矩求解未知力矩和未知轉(zhuǎn)動(dòng)狀態(tài)。動(dòng)狀態(tài)。 剛體轉(zhuǎn)動(dòng)定律應(yīng)用的解題步驟剛

15、體轉(zhuǎn)動(dòng)定律應(yīng)用的解題步驟 A.確定研究對(duì)象，分析剛體所受力、力矩確定研究對(duì)象，分析剛體所受力、力矩B.建立坐標(biāo)系，列轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)力學(xué)方程及必要的平動(dòng)動(dòng)力學(xué)方程建立坐標(biāo)系，列轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)力學(xué)方程及必要的平動(dòng)動(dòng)力學(xué)方程C.解算及討論解算及討論 例：電風(fēng)扇開啟電源時(shí)，經(jīng)例：電風(fēng)扇開啟電源時(shí)，經(jīng)t1時(shí)間達(dá)到額定轉(zhuǎn)速時(shí)間達(dá)到額定轉(zhuǎn)速 0，關(guān)閉電源，關(guān)閉電源時(shí)經(jīng)時(shí)間時(shí)經(jīng)時(shí)間t2停止。設(shè)電風(fēng)扇的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為停止。設(shè)電風(fēng)扇的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為I，且電機(jī)的電磁力，且電機(jī)的電磁力矩與摩擦力矩為恒量。矩與摩擦力矩為恒量。求：電機(jī)的電磁力矩求：電機(jī)的電磁力矩 解：設(shè)電風(fēng)扇的電磁力矩、摩擦力矩分別為解：設(shè)電風(fēng)扇的電磁力矩、摩擦力矩分別為M、

16、Mf 電風(fēng)扇開啟時(shí)受電磁力矩與摩擦力矩的作用，即電風(fēng)扇開啟時(shí)受電磁力矩與摩擦力矩的作用，即 當(dāng)電風(fēng)扇達(dá)到額定轉(zhuǎn)速時(shí)當(dāng)電風(fēng)扇達(dá)到額定轉(zhuǎn)速時(shí) 110t 電風(fēng)扇關(guān)閉過程中，只受到摩擦力矩的作用，即電風(fēng)扇關(guān)閉過程中，只受到摩擦力矩的作用，即 1 IMMf 2 IMf 達(dá)到停止時(shí)達(dá)到停止時(shí) 0220 t 解此聯(lián)立方程組，得解此聯(lián)立方程組，得 )11(210ttIM 例例6-6(p143)：(已知運(yùn)動(dòng)狀態(tài)求力矩已知運(yùn)動(dòng)狀態(tài)求力矩)說明說明：A.如果系統(tǒng)中既有物體平動(dòng)又有物體轉(zhuǎn)動(dòng)，那么，對(duì)轉(zhuǎn)如果系統(tǒng)中既有物體平動(dòng)又有物體轉(zhuǎn)動(dòng)，那么，對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)物體，存在線量與角量的自然連接條件。動(dòng)物體，存在線量與角量的自然連接條

17、件。B.如果系統(tǒng)中既有物體平動(dòng)又有物體轉(zhuǎn)動(dòng)，那么，轉(zhuǎn)動(dòng)如果系統(tǒng)中既有物體平動(dòng)又有物體轉(zhuǎn)動(dòng)，那么，轉(zhuǎn)動(dòng)物體與平動(dòng)物體連接處，存在摩擦力。如本題中，滑輪左右物體與平動(dòng)物體連接處，存在摩擦力。如本題中，滑輪左右兩邊繩子的張力不再相等。兩邊繩子的張力不再相等。 例例6-7(p144)：(已知力矩求運(yùn)動(dòng)狀態(tài)已知力矩求運(yùn)動(dòng)狀態(tài)) 說明說明：A.可作定理使用的重要結(jié)論：可作定理使用的重要結(jié)論：對(duì)于有固定轉(zhuǎn)軸的剛體，對(duì)于有固定轉(zhuǎn)軸的剛體，重力對(duì)轉(zhuǎn)軸的力矩，等于將重力集中在重力對(duì)轉(zhuǎn)軸的力矩，等于將重力集中在質(zhì)心對(duì)轉(zhuǎn)軸所產(chǎn)生的力矩。質(zhì)心對(duì)轉(zhuǎn)軸所產(chǎn)生的力矩。B.重要的數(shù)學(xué)技巧重要的數(shù)學(xué)技巧 dddtddddddtd

18、dtd C.熟悉關(guān)于轉(zhuǎn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)公式熟悉關(guān)于轉(zhuǎn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)公式 RMmTmg 例：質(zhì)量為例：質(zhì)量為M、半徑為、半徑為R的勻質(zhì)柱體可繞通過其中心軸線的光的勻質(zhì)柱體可繞通過其中心軸線的光滑水平固定軸轉(zhuǎn)動(dòng)；柱體邊緣繞有一根不能伸長(zhǎng)的細(xì)繩，繩滑水平固定軸轉(zhuǎn)動(dòng)；柱體邊緣繞有一根不能伸長(zhǎng)的細(xì)繩，繩子下端掛一質(zhì)量為子下端掛一質(zhì)量為m的物體，如圖所示。的物體，如圖所示。求：柱體的角加速度及繩中的張力。求：柱體的角加速度及繩中的張力。解：對(duì)柱體解：對(duì)柱體 ImgR 該式對(duì)嗎？該式對(duì)嗎？錯(cuò)錯(cuò)! 因：因：mgT 正確的解法是用隔離體法正確的解法是用隔離體法maTmg 對(duì)對(duì)m對(duì)柱對(duì)柱 RaITR ，解得解得)2/(2R

19、Mmmg )2/(MmMmgT 求解聯(lián)立方程，代入數(shù)據(jù)，可得：求解聯(lián)立方程，代入數(shù)據(jù)，可得：T1T1T2mgm1m2mRr 1 2例：質(zhì)量例：質(zhì)量m1=24kg的勻質(zhì)圓盤可繞水平光滑軸轉(zhuǎn)動(dòng)，一輕繩纏的勻質(zhì)圓盤可繞水平光滑軸轉(zhuǎn)動(dòng)，一輕繩纏繞于盤上，另一端通過質(zhì)量為繞于盤上，另一端通過質(zhì)量為m2=5kg的具有水平光滑軸的圓的具有水平光滑軸的圓盤形定滑輪后掛有盤形定滑輪后掛有m=10kg的物體。的物體。求：物體求：物體m由靜止開始下落由靜止開始下落h=0.5m時(shí)，物體的速度及時(shí)，物體的速度及 繩的張力繩的張力 解：各物體受力情況如圖所示解：各物體受力情況如圖所示1211121 RmRTm ：2221

20、2221 rmrTrTm ：maTmgm 2：ahvrRa2221 ， NTNTsmv5848/221 ，例：一根質(zhì)量為例：一根質(zhì)量為m、長(zhǎng)為、長(zhǎng)為l的均勻細(xì)棒的均勻細(xì)棒AB，可繞一水平光滑軸，可繞一水平光滑軸o在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)，在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)，o軸離軸離A端的距離為端的距離為 l/3。今使棒從靜止開。今使棒從靜止開始由水平位置繞始由水平位置繞o軸轉(zhuǎn)動(dòng)軸轉(zhuǎn)動(dòng)求：棒轉(zhuǎn)過角求：棒轉(zhuǎn)過角 時(shí)的角加速度和角速度。時(shí)的角加速度和角速度。 ABo Cmg cos6lmgMo 22291)6(121mllmmlIo cos23lgIMoo cos23lgdddtddddtd 又因又因解：各物體受力情況如圖

21、所示。解：各物體受力情況如圖所示。所以所以 dlgdcos2300 完成積分得完成積分得lg sin3 lglg/3090).2(0)2/(30).1(0 ，時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng)，時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng)討論討論:解：摩擦力分布在整個(gè)盤面上，計(jì)算摩擦力的力矩時(shí)，應(yīng)將圓解：摩擦力分布在整個(gè)盤面上，計(jì)算摩擦力的力矩時(shí)，應(yīng)將圓盤分為無(wú)限多個(gè)半徑為盤分為無(wú)限多個(gè)半徑為r、寬為、寬為dr 的圓環(huán)積分。故摩擦力矩：的圓環(huán)積分。故摩擦力矩：例：一質(zhì)量為例：一質(zhì)量為m、半徑為、半徑為R的勻質(zhì)圓盤繞通過盤心且垂直于盤的勻質(zhì)圓盤繞通過盤心且垂直于盤面的光滑軸正以面的光滑軸正以 o的角速度轉(zhuǎn)動(dòng)。現(xiàn)將盤置于粗糙的水平桌的角速度轉(zhuǎn)動(dòng)?，F(xiàn)將

22、盤置于粗糙的水平桌面上，圓盤與桌面間的摩擦系數(shù)為面上，圓盤與桌面間的摩擦系數(shù)為求：圓盤經(jīng)多少時(shí)間、轉(zhuǎn)幾圈將停下來(lái)？求：圓盤經(jīng)多少時(shí)間、轉(zhuǎn)幾圈將停下來(lái)？rdr omgRrdrRmgrMR 32202 RgIM34 于是得：于是得：221mRI 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：gRtOo 43 gRNoo 1632222 ，得：，得：00 t 又由又由，所以停下來(lái)前轉(zhuǎn)過的圈數(shù)為，所以停下來(lái)前轉(zhuǎn)過的圈數(shù)為 2202一沖量矩一沖量矩 二角動(dòng)量定理、角動(dòng)量守恒定律二角動(dòng)量定理、角動(dòng)量守恒定律 3.2力矩的時(shí)間累積效應(yīng)力矩的時(shí)間累積效應(yīng)剛體的角動(dòng)量守恒定律剛體的角動(dòng)量守恒定律三角動(dòng)量定理、角動(dòng)量守恒定理的應(yīng)用三角動(dòng)量

23、定理、角動(dòng)量守恒定理的應(yīng)用 內(nèi)容結(jié)構(gòu)、內(nèi)容結(jié)構(gòu)、請(qǐng)與平請(qǐng)與平動(dòng)對(duì)應(yīng)章節(jié)比較動(dòng)對(duì)應(yīng)章節(jié)比較一沖量矩一沖量矩 沖量矩沖量矩：力矩在時(shí)間上的累計(jì)矢量，稱為沖量矩。：力矩在時(shí)間上的累計(jì)矢量，稱為沖量矩。dtMJd 21ttdtMJ或或 記記討論討論：沖量矩的討論完全類似于沖量的討論，：沖量矩的討論完全類似于沖量的討論，(略，自己補(bǔ)充略，自己補(bǔ)充) 二角動(dòng)量定理、角動(dòng)量守恒定律二角動(dòng)量定理、角動(dòng)量守恒定律 推導(dǎo)：這一推導(dǎo)過程類似于由牛頓第二定律推導(dǎo)動(dòng)量定理推導(dǎo)：這一推導(dǎo)過程類似于由牛頓第二定律推導(dǎo)動(dòng)量定理 由剛體轉(zhuǎn)動(dòng)定律由剛體轉(zhuǎn)動(dòng)定律 )()()( IdJdIddtMIMdtId 定義角動(dòng)量定義角動(dòng)量

24、IL 于是得到于是得到角動(dòng)量定理：角動(dòng)量定理：微分形式微分形式 )( IdLdJd 積分形式積分形式 1221LLdtMJtt 討論討論：A.適用條件：慣性系，所有質(zhì)點(diǎn)相對(duì)于同一參考系；有適用條件：慣性系，所有質(zhì)點(diǎn)相對(duì)于同一參考系；有固定轉(zhuǎn)軸的剛體運(yùn)動(dòng)。固定轉(zhuǎn)軸的剛體運(yùn)動(dòng)。B.推導(dǎo)過程中，沒有強(qiáng)調(diào)力矩是內(nèi)力矩還是外力矩，主要因?yàn)橥茖?dǎo)過程中，沒有強(qiáng)調(diào)力矩是內(nèi)力矩還是外力矩，主要因?yàn)樵谕茖?dǎo)剛體轉(zhuǎn)動(dòng)定律時(shí)已經(jīng)證明剛體內(nèi)力矩之矢量和為零。在推導(dǎo)剛體轉(zhuǎn)動(dòng)定律時(shí)已經(jīng)證明剛體內(nèi)力矩之矢量和為零。角動(dòng)量定理中的力矩只有外力矩。角動(dòng)量定理中的力矩只有外力矩。I 是系統(tǒng)的總轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。是系統(tǒng)的總轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。 C. 角

25、動(dòng)量定義的其它表述形式角動(dòng)量定義的其它表述形式 vmrL (因因 ， ， 右手螺旋法則右手螺旋法則) 2rvr 大小大小 sin2mrvmrIL 夾角是夾角是 r 與與 v之間的夾角之間的夾角方向：與角速度方向一致方向：與角速度方向一致 矢量性與獨(dú)立性：其合成滿足矢量合成法則，獨(dú)立性表現(xiàn)為矢量性與獨(dú)立性：其合成滿足矢量合成法則，獨(dú)立性表現(xiàn)為 021xxttxLLdtM 021yyttyLLdtM 021zzttzLLdtM D.剛體的角動(dòng)量守恒定律剛體的角動(dòng)量守恒定律：當(dāng)當(dāng) 時(shí)，時(shí)， 或或 210ttdtM0LL 0 II 例例：當(dāng)當(dāng)I=I0時(shí)，時(shí)， 0 ，剛體做勻角速度轉(zhuǎn)動(dòng)，剛體做勻角速度轉(zhuǎn)

26、動(dòng) 當(dāng)當(dāng)I變化時(shí)，變化時(shí)， ，表明轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與剛體轉(zhuǎn)動(dòng)狀態(tài)之間，表明轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與剛體轉(zhuǎn)動(dòng)狀態(tài)之間的關(guān)系的關(guān)系(現(xiàn)象解釋現(xiàn)象解釋) 00 II三三 角動(dòng)量定理、角動(dòng)量守恒定律的應(yīng)用角動(dòng)量定理、角動(dòng)量守恒定律的應(yīng)用 解：小球所受的力中，重力和桌面的支持力抵消，只有繩的解：小球所受的力中，重力和桌面的支持力抵消，只有繩的拉力影響小球的運(yùn)動(dòng)。這個(gè)拉力的作用線通過拉力影響小球的運(yùn)動(dòng)。這個(gè)拉力的作用線通過O點(diǎn)，對(duì)點(diǎn)，對(duì)O點(diǎn)點(diǎn)的力矩為零，故小球在運(yùn)動(dòng)中對(duì)的力矩為零，故小球在運(yùn)動(dòng)中對(duì)o點(diǎn)的角動(dòng)量守恒，于是有點(diǎn)的角動(dòng)量守恒，于是有例：如圖，一細(xì)繩穿過光滑水平桌面上的小孔例：如圖，一細(xì)繩穿過光滑水平桌面上的小孔O，繩

27、的一端系，繩的一端系有一質(zhì)量為有一質(zhì)量為m的小球并放在桌面上；另一端用力往下拉住。的小球并放在桌面上；另一端用力往下拉住。設(shè)開始時(shí)小球以角速度設(shè)開始時(shí)小球以角速度 0 繞孔繞孔O 作半徑作半徑r 的勻速圓周運(yùn)動(dòng)的勻速圓周運(yùn)動(dòng),現(xiàn)在向下緩慢拉繩，直到小球作圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為現(xiàn)在向下緩慢拉繩，直到小球作圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為r/2時(shí)止時(shí)止求：這一過程中拉力的功。求：這一過程中拉力的功。202202222321)2(21 mrmrrmA 02024)2/( rmmr由動(dòng)能定理，由動(dòng)能定理，拉力的功為拉力的功為F 0rom解：解：(1)對(duì)桿和兩小球組成的系統(tǒng)：由于有摩擦外力矩的存在對(duì)桿和兩小球組成的系統(tǒng)：由于

28、有摩擦外力矩的存在 碰撞過程中好象角動(dòng)量不守恒。但由于碰撞時(shí)間極短，摩碰撞過程中好象角動(dòng)量不守恒。但由于碰撞時(shí)間極短，摩擦外力矩與桿和兩小球碰撞過程中的內(nèi)力矩比較起來(lái)，完全擦外力矩與桿和兩小球碰撞過程中的內(nèi)力矩比較起來(lái)，完全可以忽略，系統(tǒng)角動(dòng)量仍守恒?？梢院雎裕到y(tǒng)角動(dòng)量仍守恒。.ommvv例：如圖，粗糙的水平桌面上，有一長(zhǎng)為例：如圖，粗糙的水平桌面上，有一長(zhǎng)為2L、質(zhì)量為、質(zhì)量為m的勻質(zhì)的勻質(zhì)細(xì)桿，可繞通過其中點(diǎn)且垂直于桿的豎直光滑固定軸細(xì)桿，可繞通過其中點(diǎn)且垂直于桿的豎直光滑固定軸O自由自由轉(zhuǎn)動(dòng)，桿與桌面間的摩擦系數(shù)為轉(zhuǎn)動(dòng)，桿與桌面間的摩擦系數(shù)為，起初桿靜止。桌面上有，起初桿靜止。桌面上有

29、兩個(gè)質(zhì)量均為兩個(gè)質(zhì)量均為m的小球，各自在垂直于桿的方向上，正對(duì)著的小球，各自在垂直于桿的方向上，正對(duì)著桿的一端，以相同的速率桿的一端，以相同的速率v相向運(yùn)動(dòng)，并與桿的兩端同時(shí)發(fā)相向運(yùn)動(dòng)，并與桿的兩端同時(shí)發(fā)生完全非彈性碰撞生完全非彈性碰撞(設(shè)碰撞時(shí)間極短設(shè)碰撞時(shí)間極短)。求：求：(1)兩小球與桿剛碰后，這一系統(tǒng)的角速度為多少？?jī)尚∏蚺c桿剛碰后，這一系統(tǒng)的角速度為多少？ (2)桿經(jīng)多少時(shí)間停止轉(zhuǎn)動(dòng)？桿經(jīng)多少時(shí)間停止轉(zhuǎn)動(dòng)？(不計(jì)兩小球重力造成的摩擦力矩）不計(jì)兩小球重力造成的摩擦力矩） )2(22mLImvL 解得解得Lv76 其中其中2231)2(121mLLmI (2)摩擦力矩為摩擦力矩為2220

30、LmgxgdxLmML dmOx dxfrLgIM23 由由 = o+ t 得：得：gvt 74 oR/2例：勻質(zhì)園盤例：勻質(zhì)園盤(m、R)與一人與一人(m/10,視為視為質(zhì)點(diǎn)質(zhì)點(diǎn))一起以角速度一起以角速度 o繞通過其盤心的豎繞通過其盤心的豎直光滑固定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，如果此人相對(duì)于盤直光滑固定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，如果此人相對(duì)于盤以速率以速率v、沿半徑為、沿半徑為R/2的園周運(yùn)動(dòng)的園周運(yùn)動(dòng)(方向方向與盤轉(zhuǎn)動(dòng)方向相反與盤轉(zhuǎn)動(dòng)方向相反), 求求:(1)圓盤對(duì)地的角速度圓盤對(duì)地的角速度(2)欲使園盤對(duì)地靜止，人相對(duì)園盤的欲使園盤對(duì)地靜止，人相對(duì)園盤的速度大小和方向？速度大小和方向？(1).外力外力(重力和軸的支撐力重力和

31、軸的支撐力)對(duì)轉(zhuǎn)軸的力矩為零，所以系統(tǒng)角對(duì)轉(zhuǎn)軸的力矩為零，所以系統(tǒng)角動(dòng)量守恒，于是有：動(dòng)量守恒，于是有： oR/2解：系統(tǒng)：圓盤解：系統(tǒng)：圓盤+人。人。2/)(0vRmIII人人盤盤人人盤盤 系統(tǒng)角動(dòng)量守恒嗎？系統(tǒng)角動(dòng)量守恒嗎？否！否！角動(dòng)量守恒定律只適用于慣性系。角動(dòng)量守恒定律只適用于慣性系。 所以應(yīng)用角動(dòng)量守恒求解所以應(yīng)用角動(dòng)量守恒求解問題時(shí)，應(yīng)代入人相對(duì)于慣性系問題時(shí)，應(yīng)代入人相對(duì)于慣性系(地面地面)的角速度。的角速度。 oRmmR )21(102122)2()2(102122RvRmmR 解出解出Rvo212 (2) 欲使盤靜止，可令欲使盤靜止，可令0212 Rvo 得得oRv 221

32、 負(fù)號(hào)表示人的運(yùn)動(dòng)方向與負(fù)號(hào)表示人的運(yùn)動(dòng)方向與 o方向相同方向相同3.3力矩的空間累積效應(yīng)力矩的空間累積效應(yīng)剛體的機(jī)械能守恒定律剛體的機(jī)械能守恒定律 一力矩的功、功率一力矩的功、功率 二繞固定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的動(dòng)能定理二繞固定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的動(dòng)能定理 三剛體的勢(shì)能三剛體的勢(shì)能 四剛體系的機(jī)械能守恒四剛體系的機(jī)械能守恒 內(nèi)容結(jié)構(gòu)、內(nèi)容結(jié)構(gòu)、請(qǐng)請(qǐng)與平動(dòng)對(duì)應(yīng)章與平動(dòng)對(duì)應(yīng)章節(jié)比較節(jié)比較一力矩的功、功率一力矩的功、功率 設(shè)設(shè) r d dm F FrFFr 0 rdrd 質(zhì)點(diǎn)在合外力作用下所作的功：質(zhì)點(diǎn)在合外力作用下所作的功： dMdrFrdFrdFdA sin 微分形式微分形式 21 dMA積分形式積分形式 討論

33、討論：A.在上述討論過程中，沒有記及剛體內(nèi)力所作的功，在上述討論過程中，沒有記及剛體內(nèi)力所作的功， 原因是內(nèi)力所作功之和為零原因是內(nèi)力所作功之和為零(內(nèi)力是作用力和反作用力的關(guān)內(nèi)力是作用力和反作用力的關(guān)系且任意質(zhì)點(diǎn)都沒有相對(duì)位移系且任意質(zhì)點(diǎn)都沒有相對(duì)位移) 。B.力矩作功的正負(fù)符號(hào)規(guī)定：如果力矩方向與剛體轉(zhuǎn)動(dòng)方向力矩作功的正負(fù)符號(hào)規(guī)定：如果力矩方向與剛體轉(zhuǎn)動(dòng)方向 一致，則為正，反之為負(fù)。這一點(diǎn)可由積分形式或微分形一致，則為正，反之為負(fù)。這一點(diǎn)可由積分形式或微分形 式數(shù)學(xué)表述式得到。式數(shù)學(xué)表述式得到。 C.力矩作功的功率力矩作功的功率 MdtdMdtdAp二繞固定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的動(dòng)能定理二繞固定軸轉(zhuǎn)

34、動(dòng)剛體的動(dòng)能定理 2122212121 IIdIA 積分形式積分形式 )21(2 IddIdAdtdtdIdIdAdMdA 微分形式微分形式 定義繞固定轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體動(dòng)能：定義繞固定轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體動(dòng)能： 221 IEk 繞固定轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體的動(dòng)能定理繞固定轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體的動(dòng)能定理 kdEdA 討論討論：A.繞固定轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體，其動(dòng)能的改變只與剛體所受繞固定轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體，其動(dòng)能的改變只與剛體所受的合外力矩作功有關(guān)。的合外力矩作功有關(guān)。B.當(dāng)合外力矩作功為零時(shí)，剛體動(dòng)能的守恒。當(dāng)合外力矩作功為零時(shí)，剛體動(dòng)能的守恒。 三剛體的勢(shì)能三剛體的勢(shì)能 如果剛體受到保守力作用，那么，對(duì)該保守力，象質(zhì)點(diǎn)系一

35、如果剛體受到保守力作用，那么，對(duì)該保守力，象質(zhì)點(diǎn)系一樣，可以引入剛體的勢(shì)能。樣，可以引入剛體的勢(shì)能。 剛體的勢(shì)能定理剛體的勢(shì)能定理：保守力對(duì)剛體所作的功，等于剛體勢(shì)能增量：保守力對(duì)剛體所作的功，等于剛體勢(shì)能增量的負(fù)值。的負(fù)值。 這一結(jié)論，只要將剛體看作為特殊質(zhì)點(diǎn)系，那么，結(jié)論成立是這一結(jié)論，只要將剛體看作為特殊質(zhì)點(diǎn)系，那么，結(jié)論成立是顯然的。顯然的。 重要結(jié)論：剛體的勢(shì)能，等于將剛體質(zhì)量全部集中于其質(zhì)心所重要結(jié)論：剛體的勢(shì)能，等于將剛體質(zhì)量全部集中于其質(zhì)心所得到的質(zhì)點(diǎn)的勢(shì)能相等。得到的質(zhì)點(diǎn)的勢(shì)能相等。例：重力勢(shì)能例：重力勢(shì)能 cVpmghmhdmmgmdmmghghdVE 四剛體系的機(jī)械能守恒

36、四剛體系的機(jī)械能守恒 剛體系的機(jī)械能守恒定律剛體系的機(jī)械能守恒定律：如果剛體系運(yùn)動(dòng)過程中只有保守力：如果剛體系運(yùn)動(dòng)過程中只有保守力做功，則剛體系機(jī)械能守恒。做功，則剛體系機(jī)械能守恒。(同樣，這一結(jié)論，只要將剛體同樣，這一結(jié)論，只要將剛體看作為特殊質(zhì)點(diǎn)系，那么，結(jié)論成立是顯然的看作為特殊質(zhì)點(diǎn)系，那么，結(jié)論成立是顯然的)。 例：在光滑的桌面上，有一質(zhì)量為例：在光滑的桌面上，有一質(zhì)量為M、長(zhǎng)、長(zhǎng)2l的細(xì)桿，質(zhì)量為的細(xì)桿，質(zhì)量為m、速度為速度為v0的小球沿桌面垂直撞在桿上，設(shè)碰撞是完全彈性的小球沿桌面垂直撞在桿上，設(shè)碰撞是完全彈性求：碰撞后求和桿的運(yùn)動(dòng)狀況以及什么條件下，細(xì)桿運(yùn)行半求：碰撞后求和桿的運(yùn)

37、動(dòng)狀況以及什么條件下，細(xì)桿運(yùn)行半圈后又與小球相撞？圈后又與小球相撞？ 2l m v0 M 解：設(shè)碰撞后小球、桿的質(zhì)心的速度分別為解：設(shè)碰撞后小球、桿的質(zhì)心的速度分別為v1、v2，桿繞質(zhì)心，桿繞質(zhì)心的角速度為的角速度為 ，選擇小球、桿為系統(tǒng)。，選擇小球、桿為系統(tǒng)。 動(dòng)量守恒動(dòng)量守恒 210Mvmvmv 角動(dòng)量守恒角動(dòng)量守恒(以桿的質(zhì)心為參考點(diǎn)以桿的質(zhì)心為參考點(diǎn)) cIvvml )(10動(dòng)能守恒動(dòng)能守恒 222212021212121 cIMvmvmv 細(xì)桿繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：細(xì)桿繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：231MlIc 聯(lián)立求解上述方程組聯(lián)立求解上述方程組)4(60Mmlmv 0144vMmMmv

38、 0242vMmmv 欲使細(xì)桿運(yùn)動(dòng)半圈后與小球再次相碰，須使欲使細(xì)桿運(yùn)動(dòng)半圈后與小球再次相碰，須使 21vv (即兩者運(yùn)動(dòng)一樣快即兩者運(yùn)動(dòng)一樣快)，條件為：，條件為：M=2m 討論討論：A. 對(duì)于既有平動(dòng)，又有轉(zhuǎn)動(dòng)的物體，將其運(yùn)動(dòng)分解為質(zhì)對(duì)于既有平動(dòng)，又有轉(zhuǎn)動(dòng)的物體，將其運(yùn)動(dòng)分解為質(zhì)心的平動(dòng)和剛體繞過質(zhì)心的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)。運(yùn)用動(dòng)量定理時(shí)，剛心的平動(dòng)和剛體繞過質(zhì)心的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)。運(yùn)用動(dòng)量定理時(shí)，剛體可以看作為質(zhì)量全部集中于質(zhì)心的質(zhì)點(diǎn)。體可以看作為質(zhì)量全部集中于質(zhì)心的質(zhì)點(diǎn)。B.細(xì)桿與小球相碰后，一方面，細(xì)桿以質(zhì)心速度細(xì)桿與小球相碰后，一方面，細(xì)桿以質(zhì)心速度v2平平 移，同時(shí)，細(xì)桿繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動(dòng)。移，同時(shí)，細(xì)桿繞

39、質(zhì)心轉(zhuǎn)動(dòng)。 例：質(zhì)量、半徑相同的例：質(zhì)量、半徑相同的a.圓柱圓柱b.薄球殼薄球殼c. 球體從相同光滑斜面球體從相同光滑斜面的相同高度由靜止無(wú)相對(duì)滑動(dòng)下滑。的相同高度由靜止無(wú)相對(duì)滑動(dòng)下滑。求：質(zhì)心所獲得的速度求：質(zhì)心所獲得的速度 h m vc 解：將地球、斜面、解：將地球、斜面、m看作為系統(tǒng)，看作為系統(tǒng)，由機(jī)械能守恒由機(jī)械能守恒 222121 ccImvmgh 無(wú)滑動(dòng)的條件無(wú)滑動(dòng)的條件 Rvc 對(duì)對(duì)a 221mRIc 對(duì)對(duì)b 232mRIc 對(duì)對(duì)c252mRIc 質(zhì)心獲得的速度分別為質(zhì)心獲得的速度分別為 ghvc34 ghvc56 ghvc710 例：光滑的水平面上，有一輕彈簧，倔強(qiáng)系數(shù)為例：光

40、滑的水平面上，有一輕彈簧，倔強(qiáng)系數(shù)為k=100N/m，一，一端固定于端固定于O點(diǎn)，另一端連接一質(zhì)量為點(diǎn)，另一端連接一質(zhì)量為m=1kg的滑塊，如圖所的滑塊，如圖所示。設(shè)開始時(shí)，彈簧的長(zhǎng)度為示。設(shè)開始時(shí)，彈簧的長(zhǎng)度為l0=0.2m(自然長(zhǎng)度自然長(zhǎng)度), 滑塊速度滑塊速度v0=5m/s, 方向與彈簧垂直。當(dāng)彈簧轉(zhuǎn)過方向與彈簧垂直。當(dāng)彈簧轉(zhuǎn)過900時(shí)，其長(zhǎng)度時(shí)，其長(zhǎng)度l=0.5m求：此時(shí)滑塊速度求：此時(shí)滑塊速度v的大小和方向。的大小和方向。 20220)(212121llkmvmv vOl0lv0d解得解得 v =4m/s， =300解：對(duì)滑塊運(yùn)動(dòng)有影響的力只有解：對(duì)滑塊運(yùn)動(dòng)有影響的力只有彈力，故角動(dòng)

41、量和機(jī)械能守恒彈力，故角動(dòng)量和機(jī)械能守恒 sin0mvlmvl 例：質(zhì)量為例：質(zhì)量為m的火箭的火箭A，以水平速度，以水平速度v0沿地球表面發(fā)射出去，如沿地球表面發(fā)射出去，如圖。地軸圖。地軸oo與與v0平行，火箭平行，火箭A的運(yùn)動(dòng)軌道與地軸的運(yùn)動(dòng)軌道與地軸oo相交于距相交于距o為為3R的的C點(diǎn)。不考慮地球的自轉(zhuǎn)和空氣阻力，點(diǎn)。不考慮地球的自轉(zhuǎn)和空氣阻力，求：火箭求：火箭A在在C點(diǎn)的速度點(diǎn)的速度v與與v0之間的夾角之間的夾角 。(設(shè)地球的質(zhì)量為設(shè)地球的質(zhì)量為 M、半徑為、半徑為R) RMmGmvRMmGmv32121220 由對(duì)由對(duì)o點(diǎn)的角動(dòng)量守恒，有點(diǎn)的角動(dòng)量守恒，有vv0MROmACO 3R解

42、火箭運(yùn)動(dòng)過程中只受引力解火箭運(yùn)動(dòng)過程中只受引力(保守力保守力)作用，機(jī)械能守恒作用，機(jī)械能守恒 )43(3sin2020GMRvRv 解得解得 sin30RmvRmv 例：一質(zhì)量為例：一質(zhì)量為m、長(zhǎng)為、長(zhǎng)為l的均勻細(xì)直棒可繞其一端且與棒垂直的的均勻細(xì)直棒可繞其一端且與棒垂直的水平光滑固定軸水平光滑固定軸o轉(zhuǎn)動(dòng)。開始時(shí)，棒靜止在豎直位置轉(zhuǎn)動(dòng)。開始時(shí)，棒靜止在豎直位置求：棒轉(zhuǎn)到與水平面成求：棒轉(zhuǎn)到與水平面成 角時(shí)的角速度和角加速度。角時(shí)的角速度和角加速度。221sin22 Ilmglmg 22231)2(121mllmmlI 由此得由此得lg/ )sin1(3 cos23lgdddtddddtd 解：解： 棒在轉(zhuǎn)動(dòng)的過程中，只有保守力棒在轉(zhuǎn)動(dòng)的過程中，只有保守力(重力重力)作功，故機(jī)械能作功，故機(jī)械能守恒。取水平面為零勢(shì)面，于是有守恒。取水平面為零勢(shì)面，于是有討論討論：本題也