微積分課件：極限運算法則

1、 第二章 二、二、 極限的四則運算法則極限的四則運算法則 三、三、 復(fù)合函數(shù)的極限運算法則復(fù)合函數(shù)的極限運算法則 一一 、無窮小運算法則、無窮小運算法則 第四節(jié)機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 極限運算法則時時, 有有,min21一、一、 無窮小運算法則無窮小運算法則定理定理1. 有限個無窮小的和還是無窮小有限個無窮小的和還是無窮小 .證證: 考慮兩個無窮小的和考慮兩個無窮小的和 . 設(shè)設(shè),0lim0 xx,0lim0 xx,0,01當(dāng)當(dāng)100 xx時時 , 有有2, 02當(dāng)當(dāng)200 xx時時 , 有有2取取則當(dāng)則當(dāng)00 xx22因此因此.0)(lim0 xx這說明當(dāng)這說明當(dāng)0 xx 時時,

2、為無窮小量為無窮小量 .機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 說明說明: 無限個無限個無窮小之和不一定不一定是無窮小 !例如，例如，nnnnnn2221211lim1機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 類似可證類似可證: 有限個有限個無窮小之和仍為無窮小無窮小之和仍為無窮小 . 定理定理2 . 有界函數(shù)與無窮小的乘積是無窮小有界函數(shù)與無窮小的乘積是無窮小 . 證證: 設(shè)設(shè), ),(100 xNxMu 又設(shè)又設(shè),0lim0 xx即即,0,02當(dāng)當(dāng)),(200 xNx時時, 有有M取取,min21則當(dāng)則當(dāng)),(00 xNx時時 , 就有就有uuMM故故,0lim0uxx即即u是是0 xx 時的無窮小

3、時的無窮小 .推論推論 1 . 常數(shù)與無窮小的乘積是無窮小常數(shù)與無窮小的乘積是無窮小 .推論推論 2 . 有限個無窮小的乘積是無窮小有限個無窮小的乘積是無窮小 .機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 oyx例例1. 求求.sinlimxxx解解: 1sinx01limxx利用定理利用定理 2 可知可知.0sinlimxxxxxysin說明說明 : y = 0 是是xxysin的漸近線的漸近線 .機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 二、二、 極限的四則運算法則極限的四則運算法則,)(lim,)(limBxgAxf則有則有)()(limxgxf)(lim)(limxgxf證證: 因因,)(lim,)

4、(limBxgAxf則有則有BxgAxf)(,)(其中其中,為無窮小為無窮小) 于是于是)()()()(BAxgxf)()(BA由定理由定理 1 可知可知也是無窮小也是無窮小, 再利用極限與無窮小再利用極限與無窮小BA的關(guān)系定理的關(guān)系定理 , 知定理結(jié)論成立知定理結(jié)論成立 .定理定理 3 . 若機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 推論推論: 若若,)(lim,)(limBxgAxf且且),()(xgxf則則.BA ( P41 定理定理 6 )()()(xgxfx利用保號性定理證明利用保號性定理證明 .說明說明1: 定理定理 3 可推廣到有限個函數(shù)相加、減的情形可推廣到有限個函數(shù)相加、減的情形

5、.提示提示: 令機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 說明說明2: 類似數(shù)列的情形有類似數(shù)列的情形有:若若lim f(x)lim g(x),則在則在a的某個去心鄰域內(nèi)有的某個去心鄰域內(nèi)有f(x)g(x)。 ( P41 定理定理5 ）定理定理 4 . 若若,)(lim,)(limBxgAxf則有則有)()(limxgxf)(lim)(limxgxf提示提示: 利用極限與無窮小關(guān)系定理及本節(jié)定理利用極限與無窮小關(guān)系定理及本節(jié)定理2 證明證明 .說明說明: 定理定理 4 可推廣到有限個函數(shù)相乘的情形可推廣到有限個函數(shù)相乘的情形 .推論推論 1 .)(lim)(limxfCxfC( C 為常數(shù)為常數(shù) )

6、推論推論 2 .nnxfxf )(lim)(lim( n 為正整數(shù)為正整數(shù) )例例2. 設(shè)設(shè) n 次多項式次多項式,)(10nnnxaxaaxP試證試證).()(lim00 xPxPnnxx證證:)(lim0 xPnxx0axaxx0lim1nxxnxa0lim)(0 xPnBA機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 為無窮小為無窮小(詳見詳見P44)B2B1)(1xg)(0 xx定理定理 5 . ,)(lim,)(limBxgAxf且且 B0 , 則有則有)()(limxgxf)(lim)(limxgxf證證: 因因,)(lim,)(limBxgAxf有有,)(,)(BxgAxf其中其中,設(shè)設(shè)B

7、Axgxf)()(BABA)(1BB)(AB無窮小有界BA因此因此由極限與無窮小關(guān)系定理由極限與無窮小關(guān)系定理 , 得得BAxgxf)()(lim)(lim)(limxgxfBAxgxf)()(為無窮小為無窮小,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 x = 3 時分母為時分母為 0 !31lim3xxx例例3. 設(shè)有分式函數(shù)設(shè)有分式函數(shù),)()()(xQxPxR其中其中)(, )(xQxP都是都是多項式多項式 ,0)(0 xQ試證試證: . )()(lim00 xRxRxx證證: )(lim0 xRxx)(lim)(lim00 xQxPxxxx)()(00 xQxP)(0 xR說明說明: 若若,

8、0)(0 xQ不能直接用商的運算法則不能直接用商的運算法則 .例例4.934lim223xxxx)3)(3() 1)(3(lim3xxxxx6231 若若機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例5 . 求求.4532lim21xxxx解解: x = 1 時時3245lim21xxxx0312415124532lim21xxxx分母分母 = 0 , 分子分子0 ,但因但因機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例6 . 求.125934lim22xxxxx解解: x時時,分子分子.22111125934limxxxxx分子分母同除以分子分母同除以,2x則則54分母分母“ 抓大頭抓大頭”原式原式機動

9、 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 一般有如下結(jié)果：一般有如下結(jié)果：為非負(fù)常數(shù)為非負(fù)常數(shù) )nmba,0(00mn 當(dāng)mmmxaxaxa110limnnnbxbxb110,00ba,0,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 mn 當(dāng)mn 當(dāng)三、三、 復(fù)合函數(shù)的極限運算法則復(fù)合函數(shù)的極限運算法則定理定理7. 設(shè)設(shè),)(lim0axxx且且 x 滿足滿足100 xx時時,)(ax 又又,)(limAufau則有則有 )(lim0 xfxxAufau)(lim證證: Aufau)(lim,0,0當(dāng)當(dāng)au0時時, 有有 Auf)(axxx)(lim0,0,02當(dāng)當(dāng)200 xx時時, 有有ax)(對上述對上述

10、取取,min21則當(dāng)則當(dāng)00 xx時時ax )(au 故故0Axf)(Auf)(,因此因此式成立式成立.機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 定理定理7. 設(shè)設(shè),)(lim0axxx且且 x 滿足滿足100 xx時時,)(ax 又又,)(limAufau則有則有 )(lim0 xfxxAufau)(lim 說明說明: 若定理中若定理中,)(lim0 xxx則類似可得則類似可得 )(lim0 xfxxAufu)(lim機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例7. 求求解解: 令令.93lim23xxx932xxu已知已知ux3lim61 原式原式 =uu61lim6166機動 目錄 上頁 下頁 返

11、回 結(jié)束 例例8 . 求求解解: 方法方法 1.11lim1xxx,xu 則則, 1lim1ux令11112uuxx1 u 原式原式) 1(lim1uu2方法方法 211lim1xxx1) 1)(1(lim1xxxx) 1(lim1xx2機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例9 . 求求.sinsin2coslim222/xxxlx解解: 作代換作代換,sin xt 當(dāng)當(dāng)時2x,1t于是于是22121limtttlt)2)(1() 1)(1(lim1ttttt21lim1ttt32內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)1. 極限運算法則極限運算法則(1) 無窮小運算法則無窮小運算法則(2) 極限四則運算法則極限四

12、則運算法則(3) 復(fù)合函數(shù)極限運算法則復(fù)合函數(shù)極限運算法則注意使用條件注意使用條件2. 求函數(shù)極限的方法求函數(shù)極限的方法(1) 分式函數(shù)極限求法分式函數(shù)極限求法0) 1xx 時時, 用代入法用代入法( 分母不為分母不為 0 )0)2xx 時時, 對對00型型 , 約去公因子約去公因子x)3時時 , 分子分母同除最高次冪分子分母同除最高次冪(2) 復(fù)合函數(shù)極限求法復(fù)合函數(shù)極限求法設(shè)中間變量設(shè)中間變量Th1Th2Th3Th4Th5Th7機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 思考及練習(xí)思考及練習(xí)1.,)(lim,)(lim不存在存在若xgxf)()(limxgxf是否存在是否存在 ? 為什么為什么 ?

13、答答: 不存在不存在 . 否則由否則由)()()()(xfxgxfxg利用極限四則運算法則可知利用極限四則運算法則可知)(limxg存在存在 , 與已知條件與已知條件矛盾矛盾.?321lim2222nnnnnn解解: 原式22) 1(limnnnn)11(21limnn212.問問機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 3. 求求. )1(lim2xxxx解法解法 1 原式原式 =xxxx1lim21111lim2xx21解法解法 2 令令,1xt tttt1111lim2021則則原式原式 =22011limttt111lim20tt 0t機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 4. 試確定常數(shù)試確定常數(shù) a .0)1(lim33xaxx解解 : 令令,1xt 則則tatt33011lim001atatt3301lim01lim