數(shù)學(xué)建模培訓(xùn)(1)

1、數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型Mathematical Modeling主講教師：主講教師： 姜忠義姜忠義 E-mail: Telamp; 參考書目參考書目 (Reference)數(shù)學(xué)建模案例精選數(shù)學(xué)建模案例精選 朱道元朱道元 （科學(xué)出版社）（科學(xué)出版社）數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型 姜啟源等姜啟源等 （高教出版社）（高教出版社）數(shù)學(xué)模型習(xí)題參考解答數(shù)學(xué)模型習(xí)題參考解答 姜啟源等姜啟源等 （高教出版社）（高教出版社）Matlab 數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn) 胡良劍等胡良劍等 編著編著 (高等教育出版社高等教育出版社)大學(xué)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)大學(xué)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn) 姜啟源等姜啟源等 （清華大學(xué)出版社）（清華大學(xué)出版社）工程數(shù)學(xué)

2、學(xué)報(bào)工程數(shù)學(xué)學(xué)報(bào) 20012007（第一期）（第一期）CONTENTSCONTENTS1 Mathematical Model Mathematical Modeling2 China Undergraduates Mathematical Contest in Modeling3 初等模型初等模型4 線性規(guī)劃線性規(guī)劃5 微分方程微分方程6 層次分析層次分析玩具、照片、飛機(jī)、火箭模型玩具、照片、飛機(jī)、火箭模型 實(shí)物模型實(shí)物模型水箱中的艦艇、風(fēng)洞中的飛機(jī)水箱中的艦艇、風(fēng)洞中的飛機(jī) 物理模型物理模型地圖、電路圖、分子結(jié)構(gòu)圖地圖、電路圖、分子結(jié)構(gòu)圖 符號(hào)模型符號(hào)模型模型模型是為了一定目的，對(duì)客觀事物

3、的一部分是為了一定目的，對(duì)客觀事物的一部分進(jìn)行簡(jiǎn)縮、抽象、提煉出來的進(jìn)行簡(jiǎn)縮、抽象、提煉出來的原型原型的替代物的替代物模型模型集中反映了集中反映了原型原型中人們需要的那一部分特征中人們需要的那一部分特征一、數(shù)學(xué)建模一、數(shù)學(xué)建模常見的模型常見的模型1.1 1.1 數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型你碰到過的數(shù)學(xué)模型你碰到過的數(shù)學(xué)模型“航行問題航行問題”用用 x 表示船速，表示船速，y 表示水速，列出方程：表示水速，列出方程：75050)(75030)(yxyx答：船速每小時(shí)答：船速每小時(shí)20千米千米/ /小時(shí)小時(shí). .甲乙兩地相距甲乙兩地相距750千米，船從甲到乙順?biāo)叫行枨?，船從甲到乙順?biāo)叫行?0小時(shí)，小時(shí)

4、，從乙到甲逆水航行需從乙到甲逆水航行需50小時(shí)，問船的速度是多少小時(shí)，問船的速度是多少?x =20y =5求解求解航行問題航行問題建立數(shù)學(xué)模型的基本步驟建立數(shù)學(xué)模型的基本步驟 作出簡(jiǎn)化假設(shè)（船速、水速為常數(shù)）；作出簡(jiǎn)化假設(shè)（船速、水速為常數(shù)）； 用符號(hào)表示有關(guān)量（用符號(hào)表示有關(guān)量（x, y表示船速和水速）；表示船速和水速）； 用物理定律（勻速運(yùn)動(dòng)的距離等于速度乘以用物理定律（勻速運(yùn)動(dòng)的距離等于速度乘以 時(shí)間）列出數(shù)學(xué)式子（二元一次方程）；時(shí)間）列出數(shù)學(xué)式子（二元一次方程）； 求解得到數(shù)學(xué)解答（求解得到數(shù)學(xué)解答（x=20, y=5）；）； 回答原問題（船速每小時(shí)回答原問題（船速每小時(shí)20千米千米

5、/小時(shí)）。小時(shí)）。I數(shù)學(xué)模型 (Mathematical Model) 和數(shù)學(xué)建模（Mathematical Modeling)數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型: :對(duì)于一個(gè)現(xiàn)實(shí)對(duì)象對(duì)象，為了一個(gè)特定目的目的， 根據(jù)其內(nèi)在規(guī)律規(guī)律，作出必要的簡(jiǎn)化假設(shè)假設(shè)， 運(yùn)用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具數(shù)學(xué)工具，得到的一個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。數(shù)學(xué)建模數(shù)學(xué)建模：建立數(shù)學(xué)模型的全過程全過程（包括準(zhǔn)備、建立、求解、檢驗(yàn)、分析等）。Motivation,Formulation,Solution,Verification - 林家翹 （C. C. Lin）模型模型: :對(duì)現(xiàn)實(shí)對(duì)象抽象抽象、簡(jiǎn)化簡(jiǎn)化、突出本質(zhì)的突出本質(zhì)的描述。1.21.2數(shù)學(xué)建模的一

6、般步驟數(shù)學(xué)建模的一般步驟模型準(zhǔn)備模型準(zhǔn)備模型假設(shè)模型假設(shè)模型構(gòu)成模型構(gòu)成模型求解模型求解模型分析模型分析模型檢驗(yàn)?zāi)Ｐ蜋z驗(yàn)?zāi)Ｐ蛻?yīng)用模型應(yīng)用模模型型準(zhǔn)準(zhǔn)備備了解實(shí)際背景了解實(shí)際背景明確建模目的明確建模目的搜集有關(guān)信息搜集有關(guān)信息掌握對(duì)象特征掌握對(duì)象特征形成一個(gè)形成一個(gè)比較清晰比較清晰的的問題問題模模型型假假設(shè)設(shè)針對(duì)問題特點(diǎn)和建模目的針對(duì)問題特點(diǎn)和建模目的作出合理的、簡(jiǎn)化的假設(shè)作出合理的、簡(jiǎn)化的假設(shè)在合理與簡(jiǎn)化之間作出折中在合理與簡(jiǎn)化之間作出折中模模型型構(gòu)構(gòu)成成用數(shù)學(xué)的語言、符號(hào)描述問題用數(shù)學(xué)的語言、符號(hào)描述問題發(fā)揮想像力發(fā)揮想像力使用類比法使用類比法盡量采用簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)工具盡量采用簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)工具 數(shù)

7、學(xué)建模的一般步驟數(shù)學(xué)建模的一般步驟根據(jù)建模目的，建立數(shù)學(xué)模型根據(jù)建模目的，建立數(shù)學(xué)模型模型模型求解求解各種數(shù)學(xué)方法、各種數(shù)學(xué)方法、如結(jié)果的誤差分析、統(tǒng)計(jì)分析、如結(jié)果的誤差分析、統(tǒng)計(jì)分析、模型對(duì)數(shù)據(jù)的穩(wěn)定性分析模型對(duì)數(shù)據(jù)的穩(wěn)定性分析模型模型分析分析模型模型檢驗(yàn)檢驗(yàn)與實(shí)際現(xiàn)象、數(shù)據(jù)比較，與實(shí)際現(xiàn)象、數(shù)據(jù)比較，檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷暮侠硇?、適用性檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷暮侠硇?、適用性模型應(yīng)用模型應(yīng)用 數(shù)學(xué)建模的一般步驟數(shù)學(xué)建模的一般步驟1.4 數(shù)學(xué)建模的全過程數(shù)學(xué)建模的全過程現(xiàn)實(shí)對(duì)象的信息現(xiàn)實(shí)對(duì)象的信息數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型現(xiàn)實(shí)對(duì)象的解答現(xiàn)實(shí)對(duì)象的解答數(shù)學(xué)模型的解答數(shù)學(xué)模型的解答表述表述求解求解解釋解釋驗(yàn)證驗(yàn)證( (歸納歸納) )

8、( (演繹演繹) )表述表述求解求解解釋解釋驗(yàn)證驗(yàn)證 根據(jù)建模目的和信息將實(shí)際問題根據(jù)建模目的和信息將實(shí)際問題“翻譯翻譯”成數(shù)學(xué)問成數(shù)學(xué)問題題選擇適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)方法求得數(shù)學(xué)模型的解答選擇適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)方法求得數(shù)學(xué)模型的解答將數(shù)學(xué)語言表述的解答將數(shù)學(xué)語言表述的解答“翻譯翻譯”回實(shí)際對(duì)象回實(shí)際對(duì)象用現(xiàn)實(shí)對(duì)象的信息檢驗(yàn)得到的解答用現(xiàn)實(shí)對(duì)象的信息檢驗(yàn)得到的解答實(shí)踐實(shí)踐現(xiàn)現(xiàn)實(shí)實(shí)世世界界數(shù)數(shù)學(xué)學(xué)世世界界理論理論實(shí)踐實(shí)踐二、全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽（二、全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽（CUMCM）China Undergraduates Mathematical Contest in Modeling 1992 1992年年

9、, ,中國(guó)工業(yè)與應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)會(huì)中國(guó)工業(yè)與應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)會(huì)(CSIAM)(CSIAM)組織第一次競(jìng)賽組織第一次競(jìng)賽 1994 1994年年, ,由教育部高教司和由教育部高教司和CSIAMCSIAM共同舉辦，每年一次共同舉辦，每年一次(9 (9月月) ) 全國(guó)高校中規(guī)模最大的課外科技活動(dòng)全國(guó)高校中規(guī)模最大的課外科技活動(dòng) 每年賽題和優(yōu)秀答卷刊登于次年每年賽題和優(yōu)秀答卷刊登于次年“數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí)”第第1 1期；期；20012001年起刊登于次年年起刊登于次年“工程數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)工程數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)”第第1 1期期 全國(guó)競(jìng)賽組委會(huì)設(shè)在清華大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)系（全國(guó)競(jìng)賽組委會(huì)設(shè)在清華大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)系（1000841

10、00084） 網(wǎng)址：網(wǎng)址：http:/ 或或 http:/ 2.1數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽 (Mathematical Contest in Modeling)內(nèi)容 賽題：工程技術(shù)、管理科學(xué)中經(jīng)過簡(jiǎn)化的問題賽題：工程技術(shù)、管理科學(xué)中經(jīng)過簡(jiǎn)化的問題 答卷：一篇包含模型假設(shè)、建立、求解、方法設(shè)計(jì)和答卷：一篇包含模型假設(shè)、建立、求解、方法設(shè)計(jì)和計(jì)算機(jī)實(shí)現(xiàn)、結(jié)果分析和檢驗(yàn)、模型改進(jìn)等方面的論文計(jì)算機(jī)實(shí)現(xiàn)、結(jié)果分析和檢驗(yàn)、模型改進(jìn)等方面的論文形式 3 3名大學(xué)生組隊(duì)，在名大學(xué)生組隊(duì)，在3 3天內(nèi)完成的通訊比賽天內(nèi)完成的通訊比賽 可使用任何可使用任何“死死”材料（圖書、計(jì)算機(jī)、軟件、互材料（圖書、計(jì)算機(jī)、

11、軟件、互聯(lián)網(wǎng)等），但不得與隊(duì)外任何人討論聯(lián)網(wǎng)等），但不得與隊(duì)外任何人討論宗旨創(chuàng)新意識(shí)創(chuàng)新意識(shí) 團(tuán)隊(duì)精神團(tuán)隊(duì)精神 重在參與重在參與 公平競(jìng)爭(zhēng)公平競(jìng)爭(zhēng)標(biāo)準(zhǔn)假設(shè)的合理性，建模的創(chuàng)造性，結(jié)果的正假設(shè)的合理性，建模的創(chuàng)造性，結(jié)果的正確性，表述的清晰程度確性，表述的清晰程度l運(yùn)用學(xué)過的數(shù)學(xué)知識(shí)和計(jì)算機(jī)（包括選擇合運(yùn)用學(xué)過的數(shù)學(xué)知識(shí)和計(jì)算機(jī)（包括選擇合適的數(shù)學(xué)軟件）分析和解決實(shí)際問題的能力適的數(shù)學(xué)軟件）分析和解決實(shí)際問題的能力l面對(duì)復(fù)雜事物的想象力、洞察力、創(chuàng)造力和面對(duì)復(fù)雜事物的想象力、洞察力、創(chuàng)造力和獨(dú)立進(jìn)行研究的能力獨(dú)立進(jìn)行研究的能力l關(guān)心國(guó)家經(jīng)濟(jì)建設(shè)的意識(shí)和理論聯(lián)系實(shí)際的學(xué)風(fēng)關(guān)心國(guó)家經(jīng)濟(jì)建設(shè)的意識(shí)和理

12、論聯(lián)系實(shí)際的學(xué)風(fēng)l團(tuán)結(jié)合作精神和進(jìn)行協(xié)調(diào)的組織能力團(tuán)結(jié)合作精神和進(jìn)行協(xié)調(diào)的組織能力l勇于參與的競(jìng)爭(zhēng)意識(shí)和奮力攻關(guān)的頑強(qiáng)意志勇于參與的競(jìng)爭(zhēng)意識(shí)和奮力攻關(guān)的頑強(qiáng)意志l查閱文獻(xiàn)、收集資料及撰寫科技論文的表達(dá)能力查閱文獻(xiàn)、收集資料及撰寫科技論文的表達(dá)能力2.2數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽培養(yǎng)創(chuàng)新精神，提高綜合素質(zhì)數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽培養(yǎng)創(chuàng)新精神，提高綜合素質(zhì)2.3 CUMCM命題思路命題思路 實(shí)際背景實(shí)際背景/ /時(shí)代特征時(shí)代特征 ：激發(fā)大學(xué)生們?nèi)ニ伎家恍﹩栴}：激發(fā)大學(xué)生們?nèi)ニ伎家恍﹩栴} 綜合性：開拓知識(shí)結(jié)構(gòu)綜合性：開拓知識(shí)結(jié)構(gòu)不是一個(gè)純粹的單一問題不是一個(gè)純粹的單一問題（如需要（如需要應(yīng)用統(tǒng)計(jì)、優(yōu)化知識(shí)應(yīng)用統(tǒng)計(jì)、優(yōu)化知識(shí)

13、和和 實(shí)際調(diào)研、實(shí)際調(diào)研、文獻(xiàn)檢索、計(jì)算機(jī)應(yīng)用、論文寫作文獻(xiàn)檢索、計(jì)算機(jī)應(yīng)用、論文寫作等能力）等能力） 開放性：較大的靈活性，供參賽者發(fā)揮其創(chuàng)造能力開放性：較大的靈活性，供參賽者發(fā)揮其創(chuàng)造能力A A題題 連續(xù)模型，連續(xù)模型，B B題題 離散模型，但不局限于此離散模型，但不局限于此2.4 CUMCM評(píng)閱標(biāo)準(zhǔn)評(píng)閱標(biāo)準(zhǔn)表述清晰：摘要提綱挈領(lǐng)表述清晰：摘要提綱挈領(lǐng) 表達(dá)嚴(yán)謹(jǐn)、簡(jiǎn)捷，思路清新表達(dá)嚴(yán)謹(jǐn)、簡(jiǎn)捷，思路清新 不欣賞羅列一系列模型，又不作評(píng)價(jià)不欣賞羅列一系列模型，又不作評(píng)價(jià) 格式符合規(guī)范，反對(duì)暴露身份格式符合規(guī)范，反對(duì)暴露身份創(chuàng)造性：不強(qiáng)調(diào)與參考答案的一致性和結(jié)果的精度創(chuàng)造性：不強(qiáng)調(diào)與參考答案的一

14、致性和結(jié)果的精度 假設(shè)的合理性，建模的創(chuàng)造性，假設(shè)的合理性，建模的創(chuàng)造性，結(jié)果的正確性，表述的清晰程度結(jié)果的正確性，表述的清晰程度正確性：方法好的，結(jié)果一般比較好正確性：方法好的，結(jié)果一般比較好, , 但不一定是最好的但不一定是最好的2.5 CUMCM評(píng)閱標(biāo)準(zhǔn)評(píng)閱標(biāo)準(zhǔn): 一些問題一些問題l有的論文過于簡(jiǎn)單，該交代的內(nèi)容省略了，難以看懂有的論文過于簡(jiǎn)單，該交代的內(nèi)容省略了，難以看懂l有的隊(duì)羅列一系列模型或假設(shè)，又不作比較、評(píng)價(jià)，有的隊(duì)羅列一系列模型或假設(shè)，又不作比較、評(píng)價(jià)，希望碰上參考答案，弄巧成拙希望碰上參考答案，弄巧成拙數(shù)學(xué)模型最好數(shù)學(xué)模型最好明確、合理、簡(jiǎn)潔；明確、合理、簡(jiǎn)潔；l有些論文不

15、給出明確的模型，只是根據(jù)賽題的情況，有些論文不給出明確的模型，只是根據(jù)賽題的情況，實(shí)際上是用實(shí)際上是用“湊湊”的方法給出結(jié)果，雖然結(jié)果大致是的方法給出結(jié)果，雖然結(jié)果大致是對(duì)的，沒有一般性，不是數(shù)學(xué)建模的正確思路。對(duì)的，沒有一般性，不是數(shù)學(xué)建模的正確思路。l有的論文參考文獻(xiàn)不全，或引用他人結(jié)果不作交代有的論文參考文獻(xiàn)不全，或引用他人結(jié)果不作交代2.6 數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽期間的注意事項(xiàng)數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽期間的注意事項(xiàng) 吃透題意，確定題目；吃透題意，確定題目； 查閱資料、實(shí)際調(diào)查要適度；查閱資料、實(shí)際調(diào)查要適度； 把握好用現(xiàn)成的模型和方法，與自己創(chuàng)新的模型和把握好用現(xiàn)成的模型和方法，與自己創(chuàng)新的模型和方法之間的

16、關(guān)系；方法之間的關(guān)系； 保證基本模型和求解的完成，在此之上完善改進(jìn)；保證基本模型和求解的完成，在此之上完善改進(jìn)； 根據(jù)建模的要求，可以增加、刪除甚至修改題目的根據(jù)建模的要求，可以增加、刪除甚至修改題目的條件；條件； 論文主體由一人完成，并早些開始寫作。論文主體由一人完成，并早些開始寫作。 抓住核心，重點(diǎn)突破；抓住核心，重點(diǎn)突破； 完整摘要摘要；問題提出問題提出（用自己的語言）；問題問題分析分析；模型假設(shè)模型假設(shè)；模型建立模型建立；模型求解模型求解（算法設(shè)計(jì)和計(jì)算機(jī)實(shí)現(xiàn)）；結(jié)果結(jié)果（數(shù)據(jù)、圖形）；結(jié)果分析結(jié)果分析和檢驗(yàn)和檢驗(yàn)（如誤差分析、統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)、靈敏性檢驗(yàn)）；優(yōu)缺點(diǎn)優(yōu)缺點(diǎn)，改進(jìn)方向改進(jìn)方向等；

17、參考文獻(xiàn)參考文獻(xiàn)；附錄附錄（程序、更多的計(jì)算結(jié)果、復(fù)雜的推導(dǎo)、證明等）；2.7 2.7 寫好論文（答卷）的注意事項(xiàng)寫好論文（答卷）的注意事項(xiàng) 摘要主要模型（名稱）、方法和結(jié)果，解決了什么問題，有何特色等； 表述清晰、簡(jiǎn)明，給出數(shù)學(xué)符號(hào)的確切含義、模型假設(shè)的理由等。3.1 商人們?cè)鯓影踩^河商人們?cè)鯓影踩^河問題問題( (智力游戲智力游戲) ) 3名商人名商人 3名隨從名隨從隨從們密約隨從們密約, , 在河的任一在河的任一岸岸, , 一旦隨從的人數(shù)比商一旦隨從的人數(shù)比商人多人多, , 就殺人越貨就殺人越貨. .但是乘船渡河的方案由商人決定但是乘船渡河的方案由商人決定. .商人們?cè)鯓硬拍馨踩^河商

18、人們?cè)鯓硬拍馨踩^河?問題分析問題分析多步?jīng)Q策過程多步?jīng)Q策過程決策決策 每一步每一步( (此岸到彼岸或彼岸到此岸此岸到彼岸或彼岸到此岸) )船上的人員船上的人員要求要求在安全的前提下在安全的前提下( (兩岸的隨從數(shù)不比商人多兩岸的隨從數(shù)不比商人多),),經(jīng)有經(jīng)有限步使全體人員過河限步使全體人員過河. .河河小船小船(至多至多2人人)三、初等模型三、初等模型S=(x , y) 模型構(gòu)成模型構(gòu)成xk第第k次渡河前此岸的商人數(shù)次渡河前此岸的商人數(shù)yk第第k次渡河前此岸的隨從數(shù)次渡河前此岸的隨從數(shù)xk, yk=0,1,2,3; k=1,2, sk=(xk , yk)過程的狀態(tài)過程的狀態(tài)S 允許狀態(tài)集合

19、允許狀態(tài)集合uk第第k次渡船上的商人數(shù)次渡船上的商人數(shù)vk第第k次渡船上的隨從數(shù)次渡船上的隨從數(shù)dk=(uk , vk)決策決策D=(u , v) u+v=1, 2 允許允許決策決策集合集合uk, vk=0,1,2; k=1,2, sk+1=sk dk +(-1)k狀態(tài)轉(zhuǎn)移律狀態(tài)轉(zhuǎn)移律求求dk D(k=1,2, n), 使使sk S, 并并按按轉(zhuǎn)移律轉(zhuǎn)移律由由 s1=(3,3)到達(dá)到達(dá) sn+1=(0,0).多步?jīng)Q策多步?jīng)Q策問題問題x = 1,2x=0, y=0,1,2,3; x=3, y=0,1,2,3;y=模型求解模型求解xy3322110 窮舉法窮舉法 編程上機(jī)編程上機(jī) 圖解法圖解法狀態(tài)

20、狀態(tài)s=(x,y) 16個(gè)格點(diǎn)個(gè)格點(diǎn) 10個(gè)個(gè) 點(diǎn)點(diǎn)允許決策允許決策 移動(dòng)移動(dòng)1或或2格格; k奇奇,左下移左下移; k偶偶,右上移右上移.s1sn+1D1,d11給出安全渡河方案給出安全渡河方案評(píng)注和思考評(píng)注和思考規(guī)格化方法規(guī)格化方法, ,用計(jì)算機(jī)求解用計(jì)算機(jī)求解, ,易于推廣易于推廣 設(shè)置狀態(tài)和決策設(shè)置狀態(tài)和決策, ,確定狀態(tài)轉(zhuǎn)確定狀態(tài)轉(zhuǎn)移律移律, ,建立多步?jīng)Q策模型建立多步?jīng)Q策模型, ,是有效是有效地解決很廣泛一類問題的方法地解決很廣泛一類問題的方法考慮考慮4名商人各帶一名商人各帶一隨從的情況隨從的情況d1d11允許狀態(tài)允許狀態(tài)S=(x , y) x=0, y=0,1,2,3; x=3,

21、 y=0,1,2,3; x=y=1,22d墻墻室室內(nèi)內(nèi) T1室室外外 T2dd墻墻l室室內(nèi)內(nèi) T1室室外外 T2問問題題雙層玻璃窗與同樣多材料的單層雙層玻璃窗與同樣多材料的單層玻璃窗相比，減少多少熱量損失玻璃窗相比，減少多少熱量損失假假設(shè)設(shè)熱量傳播只有傳導(dǎo)，沒有對(duì)流熱量傳播只有傳導(dǎo)，沒有對(duì)流T1,T2不變，熱傳導(dǎo)過程處于穩(wěn)態(tài)不變，熱傳導(dǎo)過程處于穩(wěn)態(tài)材料均勻，熱傳導(dǎo)系數(shù)為常數(shù)材料均勻，熱傳導(dǎo)系數(shù)為常數(shù)建建模模熱傳導(dǎo)定律熱傳導(dǎo)定律dTkQQ1Q2Q 單位時(shí)間單位面積傳導(dǎo)的熱量單位時(shí)間單位面積傳導(dǎo)的熱量 T溫差溫差, d材料厚度材料厚度, k熱傳導(dǎo)系數(shù)熱傳導(dǎo)系數(shù)3.2 雙層玻璃窗的功效雙層玻璃窗的功

22、效dd墻墻l室室內(nèi)內(nèi) T1室室外外 T2Q1TaTb記雙層玻璃窗傳導(dǎo)的熱量記雙層玻璃窗傳導(dǎo)的熱量Q1Ta內(nèi)層玻璃的外側(cè)溫度內(nèi)層玻璃的外側(cè)溫度Tb外層玻璃的內(nèi)側(cè)溫度外層玻璃的內(nèi)側(cè)溫度k1玻璃的熱傳導(dǎo)系數(shù)玻璃的熱傳導(dǎo)系數(shù)k2空氣空氣的熱傳導(dǎo)系數(shù)的熱傳導(dǎo)系數(shù)dTTklTTkdTTkQbbaa212111dlhkkhssdTTkQ,)2(212111建模建模記單層玻璃窗傳導(dǎo)的熱量記單層玻璃窗傳導(dǎo)的熱量Q2dTTkQ221122d墻墻室室內(nèi)內(nèi) T1室室外外 T2Q2雙層與單層窗傳導(dǎo)的熱量之比雙層與單層窗傳導(dǎo)的熱量之比dlhkkhssQQ,22212121QQ k1=4 10-3 8 10-3, k2=2

23、.5 10-4, k1/k2=16 32對(duì)對(duì)Q1比比Q2的減少量的減少量作最保守的估計(jì)，作最保守的估計(jì)，取取k1/k2 =16dlhhQQ,18121)2(2111sdTTkQ建模建模hQ1/Q24200.060.030.026模型應(yīng)用模型應(yīng)用取取 h=l/d=4, 則則 Q1/Q2=0.03即雙層玻璃窗與同樣多即雙層玻璃窗與同樣多材料的單層玻璃窗相比，材料的單層玻璃窗相比，可減少可減少97%的熱量損失。的熱量損失。結(jié)果分析結(jié)果分析Q1/Q2所以如此小，是由于層間空氣極低的熱傳所以如此小，是由于層間空氣極低的熱傳導(dǎo)系數(shù)導(dǎo)系數(shù) k2 2, , 而這要求空氣非常干燥、不流通。而這要求空氣非常干燥、

24、不流通。房間通過天花板、墻壁房間通過天花板、墻壁 損失的熱量更多。損失的熱量更多。dlhhQQ,18121雙層窗的功效不會(huì)如此之大雙層窗的功效不會(huì)如此之大 現(xiàn)實(shí)世界中普遍存在著優(yōu)化問題現(xiàn)實(shí)世界中普遍存在著優(yōu)化問題 靜態(tài)優(yōu)化問題指最優(yōu)解是數(shù)靜態(tài)優(yōu)化問題指最優(yōu)解是數(shù)(不是函數(shù)不是函數(shù)) 建立靜態(tài)優(yōu)化模型的關(guān)鍵之一是根建立靜態(tài)優(yōu)化模型的關(guān)鍵之一是根據(jù)建模目的確定恰當(dāng)?shù)哪繕?biāo)函數(shù)據(jù)建模目的確定恰當(dāng)?shù)哪繕?biāo)函數(shù) 求解靜態(tài)優(yōu)化模型一般用微分法求解靜態(tài)優(yōu)化模型一般用微分法四、靜態(tài)優(yōu)化模型四、靜態(tài)優(yōu)化模型4.1 存貯模型存貯模型問問 題題配件廠為裝配線生產(chǎn)若干種產(chǎn)品，輪換產(chǎn)品時(shí)因更換設(shè)配件廠為裝配線生產(chǎn)若干種產(chǎn)品

25、，輪換產(chǎn)品時(shí)因更換設(shè)備要付生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)，產(chǎn)量大于需求時(shí)要付貯存費(fèi)。該廠備要付生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)，產(chǎn)量大于需求時(shí)要付貯存費(fèi)。該廠生產(chǎn)能力非常大，即所需數(shù)量可在很短時(shí)間內(nèi)產(chǎn)出。生產(chǎn)能力非常大，即所需數(shù)量可在很短時(shí)間內(nèi)產(chǎn)出。已知某產(chǎn)品日需求量已知某產(chǎn)品日需求量100件，生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)件，生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)5000元，貯存費(fèi)元，貯存費(fèi)每日每件每日每件1元。試安排該產(chǎn)品的生產(chǎn)計(jì)劃，即多少天生產(chǎn)元。試安排該產(chǎn)品的生產(chǎn)計(jì)劃，即多少天生產(chǎn)一次（生產(chǎn)周期），每次產(chǎn)量多少，使總費(fèi)用最小。一次（生產(chǎn)周期），每次產(chǎn)量多少，使總費(fèi)用最小。要要 求求不只是回答問題，而且要建立生產(chǎn)周期、產(chǎn)量與不只是回答問題，而且要建立生產(chǎn)周期、產(chǎn)量與需求量、準(zhǔn)

26、備費(fèi)、貯存費(fèi)之間的關(guān)系。需求量、準(zhǔn)備費(fèi)、貯存費(fèi)之間的關(guān)系。問題分析與思考問題分析與思考 每天生產(chǎn)一次每天生產(chǎn)一次，每次，每次100件，無貯存費(fèi)，準(zhǔn)備費(fèi)件，無貯存費(fèi)，準(zhǔn)備費(fèi)5000元。元。日需求日需求100件，準(zhǔn)備費(fèi)件，準(zhǔn)備費(fèi)5000元，貯存費(fèi)每日每件元，貯存費(fèi)每日每件1元。元。 10天生產(chǎn)一次天生產(chǎn)一次，每次，每次1000件，貯存費(fèi)件，貯存費(fèi)900+800+100 =4500元，準(zhǔn)備費(fèi)元，準(zhǔn)備費(fèi)5000元，總計(jì)元，總計(jì)9500元。元。 50天生產(chǎn)一次天生產(chǎn)一次，每次，每次5000件，貯存費(fèi)件，貯存費(fèi)4900+4800+100 =122500元，準(zhǔn)備費(fèi)元，準(zhǔn)備費(fèi)5000元，總計(jì)元，總計(jì)12750

27、0元。元。平均每天費(fèi)用平均每天費(fèi)用950元元平均每天費(fèi)用平均每天費(fèi)用2550元元1010天生產(chǎn)一次平均每天費(fèi)用最小嗎天生產(chǎn)一次平均每天費(fèi)用最小嗎? ?每天費(fèi)用每天費(fèi)用5000元元 這是一個(gè)優(yōu)化問題，關(guān)鍵在建立目標(biāo)函數(shù)。這是一個(gè)優(yōu)化問題，關(guān)鍵在建立目標(biāo)函數(shù)。顯然不能用一個(gè)周期的總費(fèi)用作為目標(biāo)函數(shù)顯然不能用一個(gè)周期的總費(fèi)用作為目標(biāo)函數(shù)目標(biāo)函數(shù)目標(biāo)函數(shù)每天總費(fèi)用的平均值每天總費(fèi)用的平均值 周期短，產(chǎn)量小周期短，產(chǎn)量小 周期長(zhǎng)，產(chǎn)量大周期長(zhǎng)，產(chǎn)量大問題分析與思考問題分析與思考貯存費(fèi)少，準(zhǔn)備費(fèi)多貯存費(fèi)少，準(zhǔn)備費(fèi)多準(zhǔn)備費(fèi)少，貯存費(fèi)多準(zhǔn)備費(fèi)少，貯存費(fèi)多存在最佳的周期和產(chǎn)量，使總費(fèi)用（二者之和）最小存在最佳的

28、周期和產(chǎn)量，使總費(fèi)用（二者之和）最小模模 型型 假假 設(shè)設(shè)1. 產(chǎn)品每天的需求量為常數(shù)產(chǎn)品每天的需求量為常數(shù) r；2. 每次生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)為每次生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)為 c1, 每天每件產(chǎn)品貯存費(fèi)為每天每件產(chǎn)品貯存費(fèi)為 c2；3. T天生產(chǎn)一次（周期）天生產(chǎn)一次（周期）, 每次生產(chǎn)每次生產(chǎn)Q件，當(dāng)貯存量件，當(dāng)貯存量 為零時(shí)，為零時(shí)，Q件產(chǎn)品立即到來（生產(chǎn)時(shí)間不計(jì)）；件產(chǎn)品立即到來（生產(chǎn)時(shí)間不計(jì)）；建建 模模 目目 的的設(shè)設(shè) r, c1, c2 已知，求已知，求T, Q 使每天總費(fèi)用的平均值最小。使每天總費(fèi)用的平均值最小。4. 為方便起見，時(shí)間和產(chǎn)量都作為連續(xù)量處理。為方便起見，時(shí)間和產(chǎn)量都作為連續(xù)量處理。模模

29、 型型 建建 立立0tq貯存量表示為時(shí)間的函數(shù)貯存量表示為時(shí)間的函數(shù) q(t)TQrt=0生產(chǎn)生產(chǎn)Q件，件，q(0)=Q, q(t)以以需求速率需求速率r遞減，遞減，q(T)=0.一周期一周期總費(fèi)用總費(fèi)用TQccC221每天總費(fèi)用平均每天總費(fèi)用平均值（目標(biāo)函數(shù)）值（目標(biāo)函數(shù)）2)(21rTcTcTCTC離散問題連續(xù)化離散問題連續(xù)化AcdttqcT202)(一周期貯存費(fèi)為一周期貯存費(fèi)為A=QT/22221rTcc rTQ 模型求解模型求解Min2)(21rTcTcTC求求 T 使使0dTdC212crcrTQ212rccT 模型分析模型分析QTc,1QTc,2QTr,模型應(yīng)用模型應(yīng)用c1=500

30、0, c2=1，r=100T=10(天天), Q=1000(件件), C=1000(元元) 回答問題回答問題 經(jīng)濟(jì)批量訂貨公式經(jīng)濟(jì)批量訂貨公式（EOQ公式公式）212rccT 212crcrTQ每天需求量每天需求量 r，每次訂貨費(fèi)，每次訂貨費(fèi) c1,每天每件貯存費(fèi)每天每件貯存費(fèi) c2 ，用于訂貨、供應(yīng)、存貯情形用于訂貨、供應(yīng)、存貯情形不允許缺貨的存貯模型不允許缺貨的存貯模型 問：為什么不考慮生產(chǎn)費(fèi)用？在什么條件下才不考慮？問：為什么不考慮生產(chǎn)費(fèi)用？在什么條件下才不考慮？T天訂貨一次天訂貨一次(周期周期), 每次訂貨每次訂貨Q件，當(dāng)貯存量降到件，當(dāng)貯存量降到零時(shí)，零時(shí)，Q件立即到貨。件立即到貨。

31、允許缺貨的存貯模型允許缺貨的存貯模型AB0qQrT1t當(dāng)貯存量降到零時(shí)仍有需求當(dāng)貯存量降到零時(shí)仍有需求r, 出現(xiàn)缺貨，造成損失出現(xiàn)缺貨，造成損失原模型假設(shè)：貯存量降到零時(shí)原模型假設(shè)：貯存量降到零時(shí)Q件件立即生產(chǎn)出來立即生產(chǎn)出來(或立即到貨或立即到貨)現(xiàn)假設(shè)：允許缺貨現(xiàn)假設(shè)：允許缺貨, 每天每件缺貨損失費(fèi)每天每件缺貨損失費(fèi) c3 , 缺貨需補(bǔ)足缺貨需補(bǔ)足T1rTQ AcdttqcT2021)(一周期一周期貯存費(fèi)貯存費(fèi)BcdttqcTT331)(一周期一周期缺貨費(fèi)缺貨費(fèi)周期周期T, t=T1貯存量降到零貯存量降到零2)(2213121TTrcQTccC一周期總費(fèi)用一周期總費(fèi)用rTQrTcrTQcT

32、cTCQTC2)(2),(232210,0QCTC每天總費(fèi)用每天總費(fèi)用平均值平均值（目標(biāo)函數(shù)）（目標(biāo)函數(shù)）213121)(2121TTrcQTccC一周期總費(fèi)用一周期總費(fèi)用Min),(QTC求求 T ,Q 使使332212cccrccT323212ccccrcQ為與為與不允許缺貨的存貯模型不允許缺貨的存貯模型相比，相比，T記作記作T , Q記作記作Q212rccT 212crcrTQ不允不允許缺許缺貨模貨模型型QQTT,332ccc 記記1QQTT,13cQQTT,332212cccrccT323212ccccrcQ允許允許缺貨缺貨模型模型不不允允許許缺缺貨貨3c332212cccrccT32

33、3212ccccrcQ允許允許缺貨缺貨模型模型0qQ rT1tT注意：缺貨需補(bǔ)足注意：缺貨需補(bǔ)足Q 每周期初的存貯量每周期初的存貯量R每周期的生產(chǎn)量每周期的生產(chǎn)量R （或訂貨量）（或訂貨量）332212ccccrcTrRQ不允許缺貨時(shí)的產(chǎn)量不允許缺貨時(shí)的產(chǎn)量(或訂貨量或訂貨量) QQR4.2 生豬的出售時(shí)機(jī)生豬的出售時(shí)機(jī)飼養(yǎng)場(chǎng)每天投入飼養(yǎng)場(chǎng)每天投入4元資金，用于飼料、人力、設(shè)元資金，用于飼料、人力、設(shè)備，備，估計(jì)估計(jì)可使可使80千克重的生豬體重增加千克重的生豬體重增加2公斤。公斤。問問題題市場(chǎng)價(jià)格目前為每千克市場(chǎng)價(jià)格目前為每千克8元，但是元，但是預(yù)測(cè)預(yù)測(cè)每天會(huì)降每天會(huì)降低低 0.1元，問生豬應(yīng)

34、何時(shí)出售。元，問生豬應(yīng)何時(shí)出售。如果如果估計(jì)估計(jì)和和預(yù)測(cè)預(yù)測(cè)有誤差，對(duì)結(jié)果有何影響。有誤差，對(duì)結(jié)果有何影響。分分析析投入資金使生豬體重隨時(shí)間增加，出售單價(jià)隨投入資金使生豬體重隨時(shí)間增加，出售單價(jià)隨時(shí)間減少，故存在最佳出售時(shí)機(jī)，使利潤(rùn)最大時(shí)間減少，故存在最佳出售時(shí)機(jī)，使利潤(rùn)最大trtgttQ4)80)(8()(求求 t 使使Q(t)最大最大rggrt240410天后出售，可多得利潤(rùn)天后出售，可多得利潤(rùn)20元元建模及求解建模及求解生豬體重生豬體重 w=80+rt出售價(jià)格出售價(jià)格 p=8-gt銷售收入銷售收入 R=pw資金投入資金投入 C=4t利潤(rùn)利潤(rùn) Q=R-C=pw -C估計(jì)估計(jì)r=2，若當(dāng)前出

35、售，利潤(rùn)為若當(dāng)前出售，利潤(rùn)為808=640（元）（元）t 天天出售出售=10Q(10)=660 640g=0.1敏感性分析敏感性分析研究研究 r, g變化時(shí)對(duì)模型結(jié)果的影響變化時(shí)對(duì)模型結(jié)果的影響 估計(jì)估計(jì)r=2， g=0.1rggrt2404 設(shè)設(shè)g=0.1不變不變 5 . 1,6040rrrtt 對(duì)對(duì)r 的（相對(duì)）敏感度的（相對(duì)）敏感度 rrttrtS/),(trdrdt3604060),(rrtS生豬每天體重增加量生豬每天體重增加量r 增加增加1%，出售時(shí)間推遲，出售時(shí)間推遲3%。 1.522.5305101520rt敏感性分析敏感性分析估計(jì)估計(jì)r=2， g=0.1rggrt2404研究研

36、究 r, g變化時(shí)對(duì)模型結(jié)果的影響變化時(shí)對(duì)模型結(jié)果的影響 設(shè)設(shè)r=2不變不變 15. 00,203gggtt 對(duì)對(duì)g的（相對(duì)）敏感度的（相對(duì)）敏感度 tgdgdtggttgtS/),(32033),(ggtS生豬價(jià)格每天的降低量生豬價(jià)格每天的降低量g增加增加1%，出售時(shí)間提前，出售時(shí)間提前3%。 0.060.040.160102030gt強(qiáng)健性分析強(qiáng)健性分析保留生豬直到利潤(rùn)的增值等于每天的費(fèi)用時(shí)出售保留生豬直到利潤(rùn)的增值等于每天的費(fèi)用時(shí)出售由由 S(t,r)=3建議過一周后建議過一周后(t=7)重新估計(jì)重新估計(jì) , 再作計(jì)算。再作計(jì)算。wwpp,研究研究 r, g不是常數(shù)

37、時(shí)對(duì)模型結(jié)果的影響不是常數(shù)時(shí)對(duì)模型結(jié)果的影響 (更現(xiàn)實(shí)更現(xiàn)實(shí))w=80+rt w = w(t)4)()()()(twtptwtpp=8-gt p =p(t) 若若 (10%), 則則 （30%） 2 . 28 . 1 w137 t0)( tQ每天利潤(rùn)的增值每天利潤(rùn)的增值 每天投入的資金每天投入的資金 ttwtptQ4)()()(評(píng)注評(píng)注: 這個(gè)問題本身及建模過程都很簡(jiǎn)單這個(gè)問題本身及建模過程都很簡(jiǎn)單,著重掌握它的著重掌握它的敏感性分析和強(qiáng)健性分析敏感性分析和強(qiáng)健性分析.這種分析對(duì)于一個(gè)模型這種分析對(duì)于一個(gè)模型,是否真的能用是否真的能用,或或者用的效果如何者用的效果如何,是很重要的是很重要的.五

38、、數(shù)學(xué)規(guī)劃模型五、數(shù)學(xué)規(guī)劃模型 實(shí)際問題中實(shí)際問題中的優(yōu)化模型的優(yōu)化模型mixgtsxxxxfzMaxMiniTn, 2 , 1, 0)(. .),(),()(1或x決策變量決策變量f(x)目標(biāo)函數(shù)目標(biāo)函數(shù)gi(x) 0約束條件約束條件多元函數(shù)多元函數(shù)條件極值條件極值 決策變量個(gè)數(shù)決策變量個(gè)數(shù)n和和約束條件個(gè)數(shù)約束條件個(gè)數(shù)m較大較大 最優(yōu)解在可行域最優(yōu)解在可行域的邊界上取得的邊界上取得 數(shù)數(shù)學(xué)學(xué)規(guī)規(guī)劃劃線性規(guī)劃線性規(guī)劃非線性規(guī)劃非線性規(guī)劃整數(shù)規(guī)劃整數(shù)規(guī)劃重點(diǎn)在模型的建立和結(jié)果的分析重點(diǎn)在模型的建立和結(jié)果的分析企業(yè)生產(chǎn)計(jì)劃企業(yè)生產(chǎn)計(jì)劃5.1 奶制品的生產(chǎn)與銷售奶制品的生產(chǎn)與銷售 空間層次空間層次

39、工廠級(jí)：根據(jù)外部需求和內(nèi)部設(shè)備、人力、原料等工廠級(jí)：根據(jù)外部需求和內(nèi)部設(shè)備、人力、原料等條件，以最大利潤(rùn)為目標(biāo)制訂產(chǎn)品生產(chǎn)計(jì)劃；條件，以最大利潤(rùn)為目標(biāo)制訂產(chǎn)品生產(chǎn)計(jì)劃；車間級(jí)：根據(jù)生產(chǎn)計(jì)劃、工藝流程、資源約束及費(fèi)車間級(jí)：根據(jù)生產(chǎn)計(jì)劃、工藝流程、資源約束及費(fèi)用參數(shù)等，以最小成本為目標(biāo)制訂生產(chǎn)批量計(jì)劃。用參數(shù)等，以最小成本為目標(biāo)制訂生產(chǎn)批量計(jì)劃。時(shí)間層次時(shí)間層次若短時(shí)間內(nèi)外部需求和內(nèi)部資源等不隨時(shí)間變化，可若短時(shí)間內(nèi)外部需求和內(nèi)部資源等不隨時(shí)間變化，可制訂制訂單階段生產(chǎn)計(jì)劃單階段生產(chǎn)計(jì)劃，否則應(yīng)制訂多階段生產(chǎn)計(jì)劃。，否則應(yīng)制訂多階段生產(chǎn)計(jì)劃。本節(jié)課題本節(jié)課題例例1 加工奶制品的生產(chǎn)計(jì)劃加工奶制品的

40、生產(chǎn)計(jì)劃1桶桶牛奶牛奶 3公斤公斤A1 12小時(shí)小時(shí) 8小時(shí)小時(shí) 4公斤公斤A2 或或獲利獲利24元元/公斤公斤 獲利獲利16元元/公斤公斤 50桶牛奶桶牛奶 時(shí)間時(shí)間480小時(shí)小時(shí) 至多加工至多加工100公斤公斤A1 制訂生產(chǎn)計(jì)劃，使每天獲利最大制訂生產(chǎn)計(jì)劃，使每天獲利最大 35元可買到元可買到1桶牛奶，買嗎？若買，每天最多買多少桶牛奶，買嗎？若買，每天最多買多少? 可聘用臨時(shí)工人，付出的工資最多是每小時(shí)幾元可聘用臨時(shí)工人，付出的工資最多是每小時(shí)幾元? A1的獲利增加到的獲利增加到 30元元/公斤，應(yīng)否改變生產(chǎn)計(jì)劃？公斤，應(yīng)否改變生產(chǎn)計(jì)劃？ 每天：每天：1桶桶牛奶牛奶 3公斤公斤A1 12小

41、時(shí)小時(shí) 8小時(shí)小時(shí) 4公斤公斤A2 或或獲利獲利24元元/公斤公斤 獲利獲利16元元/公斤公斤 x1桶牛奶生產(chǎn)桶牛奶生產(chǎn)A1 x2桶牛奶生產(chǎn)桶牛奶生產(chǎn)A2 獲利獲利 243x1 獲利獲利 164 x2 原料供應(yīng)原料供應(yīng) 5021 xx勞動(dòng)時(shí)間勞動(dòng)時(shí)間 48081221 xx加工能力加工能力 10031x決策變量決策變量 目標(biāo)函數(shù)目標(biāo)函數(shù) 216472xxzMax每天獲利每天獲利約束條件約束條件非負(fù)約束非負(fù)約束 0,21xx線性線性規(guī)劃規(guī)劃模型模型(LP)時(shí)間時(shí)間480小時(shí)小時(shí) 至多加工至多加工100公斤公斤A1 50桶牛奶桶牛奶 每天每天模型分析與假設(shè)模型分析與假設(shè) 比比例例性性 可可加加性性

42、 連續(xù)性連續(xù)性 xi對(duì)目標(biāo)函數(shù)的對(duì)目標(biāo)函數(shù)的“貢獻(xiàn)貢獻(xiàn)”與與xi取值取值成正比成正比 xi對(duì)約束條件的對(duì)約束條件的“貢獻(xiàn)貢獻(xiàn)”與與xi取值取值成正比成正比 xi對(duì)目標(biāo)函數(shù)的對(duì)目標(biāo)函數(shù)的“貢獻(xiàn)貢獻(xiàn)”與與xj取值取值無關(guān)無關(guān) xi對(duì)約束條件的對(duì)約束條件的“貢獻(xiàn)貢獻(xiàn)”與與xj取值取值無關(guān)無關(guān) xi取值連續(xù)取值連續(xù) A1,A2每公斤的獲利是與各每公斤的獲利是與各自產(chǎn)量無關(guān)的常數(shù)自產(chǎn)量無關(guān)的常數(shù)每桶牛奶加工出每桶牛奶加工出A1,A2的數(shù)量和的數(shù)量和時(shí)間是與各自產(chǎn)量無關(guān)的常數(shù)時(shí)間是與各自產(chǎn)量無關(guān)的常數(shù)A1,A2每公斤的獲利是與相每公斤的獲利是與相互產(chǎn)量無關(guān)的常數(shù)互產(chǎn)量無關(guān)的常數(shù)每桶牛奶加工出每桶牛奶加工出

43、A1,A2的數(shù)量和的數(shù)量和時(shí)間是與相互產(chǎn)量無關(guān)的常數(shù)時(shí)間是與相互產(chǎn)量無關(guān)的常數(shù)加工加工A1,A2的牛奶桶數(shù)是實(shí)數(shù)的牛奶桶數(shù)是實(shí)數(shù) 線性規(guī)劃模型線性規(guī)劃模型?模型求解模型求解 (2(2維維) )圖解法圖解法 x1x20ABCDl1l2l3l4l55021 xx48081221 xx10031x0,21xx約約束束條條件件50:211 xxl480812:212 xxl1003:13xl0:, 0:2514xlxl216472xxzMax目標(biāo)目標(biāo)函數(shù)函數(shù) Z=0Z=2400Z=3600z=c (常數(shù)常數(shù)) 等值線等值線c在在B(20,30)點(diǎn)得到最優(yōu)解點(diǎn)得到最優(yōu)解目標(biāo)函數(shù)和約束條件是線性函數(shù)目標(biāo)函

44、數(shù)和約束條件是線性函數(shù) 可行域?yàn)橹本€段圍成的凸多邊形可行域?yàn)橹本€段圍成的凸多邊形 目標(biāo)函數(shù)的等值線為直線目標(biāo)函數(shù)的等值線為直線 最優(yōu)解一定在凸多邊最優(yōu)解一定在凸多邊形的某個(gè)頂點(diǎn)取得。形的某個(gè)頂點(diǎn)取得。 模型求解模型求解 軟件實(shí)現(xiàn)軟件實(shí)現(xiàn)-Matlab %ch41.mC= - 72,64;A=1,1;12,8;3,0;B=50,480,100;x,fval=linprog(C,A,B,zeros(2,1)121212112726450128480. .3100,0Max zxxxxxxstxx x命令：命令：1 x=linprog (C,A,b,Aeq,beq,LB,UB) 2 x=linpro

45、g (C,A,b,Aeq,beq,LB,UB,X0)min. .zCXAXbstAeq XbeqLBXUBOptimization terminated.x = 20.0000 30.0000fval = -3.3600e+003(Lingo求解視頻，點(diǎn)擊播放求解視頻，點(diǎn)擊播放/暫停暫停)模型求解模型求解 軟件實(shí)現(xiàn)軟件實(shí)現(xiàn)-LINGO 9.0Model:max= 72*x1+64*x2;x1+x250;12*x1+8*x2480;3*x1100;end Global optimal solution found. Objective value: 3360.000 Total solver i

46、terations: 2Variable Value Reduced Cost X1 20.00000 0.000000X2 30.00000 0.000000Row Slack or Surplus Dual Price1 3360.000 1.0000002 0.000000 48.000003 0.000000 2.000000 4 40.00000 0.000000DO RANGE (SENSITIVITY) ANALYSIS? No20桶牛奶生產(chǎn)桶牛奶生產(chǎn)A1, 30桶生產(chǎn)桶生產(chǎn)A2，利潤(rùn)，利潤(rùn)3360元。元。 結(jié)果解釋結(jié)果解釋 原料無剩余原料無剩余時(shí)間無剩余時(shí)間無剩余加工能力剩余加

47、工能力剩余40三三種種資資源源“資源資源” 剩余為零的約束為緊約束（有效約束）剩余為零的約束為緊約束（有效約束） Model:max= 72*x1+64*x2;x1+x250;12*x1+8*x2480;3*x1100;end Global optimal solution found. Objective value: 3360.000 Total solver iterations: 2Variable Value Reduced Cost X1 20.00000 0.000000 X2 30.00000 0.000000Row Slack or Surplus Dual Price 1

48、3360.000 1.000000 2 0.000000 48.00000 3 0.000000 2.000000 4 40.00000 0.000000結(jié)果解釋結(jié)果解釋 Global optimal solution found. Objective value: 3360.000 Total solver iterations: 2Variable Value Reduced Cost X1 20.00000 0.000000 X2 30.00000 0.000000Row Slack or Surplus Dual Price 1 3360.000 1.000000 2 0.000000

49、 48.00000 3 0.000000 2.000000 4 40.00000 0.000000最優(yōu)解下最優(yōu)解下“資源資源”增加增加1單位時(shí)單位時(shí)“效益效益”的增的增量量 原料增加原料增加1單位單位, 利潤(rùn)增長(zhǎng)利潤(rùn)增長(zhǎng)48 時(shí)間增加時(shí)間增加1單位單位, 利潤(rùn)增長(zhǎng)利潤(rùn)增長(zhǎng)2 加工能力增長(zhǎng)不影響利潤(rùn)加工能力增長(zhǎng)不影響利潤(rùn)影子價(jià)格影子價(jià)格 35元可買到元可買到1桶牛奶，要買嗎？桶牛奶，要買嗎？35 48, 應(yīng)該買！應(yīng)該買！ 聘用臨時(shí)工人付出的工資最多每小時(shí)幾元？聘用臨時(shí)工人付出的工資最多每小時(shí)幾元？ 2元！元！RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED: OBJ

50、COEFFICIENT RANGES VARIABLE CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE COEF INCREASE DECREASE X1 72.000000 24.000000 8.000000 X2 64.000000 8.000000 16.000000 RIGHTHAND SIDE RANGES ROW CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE RHS INCREASE DECREASE 2 50.000000 10.000000 6.666667 3 480.000000 53.333332 80.000000 4 100.000000 INFI

51、NITY 40.000000最優(yōu)解不變時(shí)目標(biāo)函最優(yōu)解不變時(shí)目標(biāo)函數(shù)系數(shù)允許變化范圍數(shù)系數(shù)允許變化范圍 x1系數(shù)范圍系數(shù)范圍(64,96) x2系數(shù)范圍系數(shù)范圍(48,72) A1獲利增加到獲利增加到 30元元/千克，應(yīng)否改變生產(chǎn)計(jì)劃千克，應(yīng)否改變生產(chǎn)計(jì)劃 x1系數(shù)由系數(shù)由24 3=72增加增加為為30 3=90，在在允許范圍內(nèi)允許范圍內(nèi) 不變！不變！(約束條件不變約束條件不變)LINGO結(jié)果解釋結(jié)果解釋 RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED: OBJ COEFFICIENT RANGES VARIABLE CURRENT ALLOWABLE ALLOWA

52、BLE COEF INCREASE DECREASE X1 72.000000 24.000000 8.000000 X2 64.000000 8.000000 16.000000 RIGHTHAND SIDE RANGES ROW CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE RHS INCREASE DECREASE 2 50.000000 10.000000 6.666667 3 480.000000 53.333332 80.000000 4 100.000000 INFINITY 40.000000影子價(jià)格有意義時(shí)約束右端的允許變化范圍影子價(jià)格有意義時(shí)約束右端的允許變化范圍

53、 原料最多增加原料最多增加10 時(shí)間最多增加時(shí)間最多增加53 35元可買到元可買到1桶牛奶，每天最多買多少？桶牛奶，每天最多買多少？最多買最多買10桶桶!(目標(biāo)函數(shù)不變目標(biāo)函數(shù)不變)例例2 奶制品的生產(chǎn)銷售計(jì)劃奶制品的生產(chǎn)銷售計(jì)劃 在例在例1基礎(chǔ)上深加工基礎(chǔ)上深加工1桶桶牛奶牛奶 3千克千克A1 12小時(shí)小時(shí) 8小時(shí)小時(shí) 4公斤公斤A2 或或獲利獲利24元元/公斤公斤 獲利獲利16元元/公斤公斤 0.8千克千克B12小時(shí)小時(shí),3元元1千克千克獲利獲利44元元/千克千克 0.75千克千克B22小時(shí)小時(shí),3元元1千克千克獲利獲利32元元/千克千克 制訂生產(chǎn)計(jì)劃，使每天凈利潤(rùn)最大制訂生產(chǎn)計(jì)劃，使每天

54、凈利潤(rùn)最大 30元可增加元可增加1桶牛奶，桶牛奶，3元可增加元可增加1小時(shí)時(shí)間，應(yīng)否投小時(shí)時(shí)間，應(yīng)否投資？現(xiàn)投資資？現(xiàn)投資150元，可賺回多少？元，可賺回多少？50桶牛奶桶牛奶, 480小時(shí)小時(shí) 至多至多100公斤公斤A1 B1，B2的獲利經(jīng)常有的獲利經(jīng)常有10%的波動(dòng)，對(duì)計(jì)劃有無影響？的波動(dòng)，對(duì)計(jì)劃有無影響？1桶桶牛奶牛奶 3千克千克 A1 12小時(shí)小時(shí) 8小時(shí)小時(shí) 4千克千克 A2 或或獲利獲利24元元/千克千克 獲利獲利16元元/kg 0.8千克千克 B12小時(shí)小時(shí),3元元1千克千克獲利獲利44元元/千克千克 0.75千克千克 B22小時(shí)小時(shí),3元元1千克千克獲利獲利32元元/千克千克

55、出售出售x1 千克千克 A1, x2 千克千克 A2， X3千克千克 B1, x4千克千克 B2原料原料供應(yīng)供應(yīng) 勞動(dòng)勞動(dòng)時(shí)間時(shí)間 加工能力加工能力 決策決策變量變量 目標(biāo)目標(biāo)函數(shù)函數(shù) 利潤(rùn)利潤(rùn)約束約束條件條件非負(fù)約束非負(fù)約束 0,61xx x5千克千克 A1加工加工B1， x6千克千克 A2加工加工B26543213332441624xxxxxxzMax50436251xxxx48022)(2)(4656251xxxxxx10051 xx附加約束附加約束 5380 x.x64750 x.x 123456152615265615354616min(2416443233)()/3()/ 4504

56、()2()22480100. .0.80.75,0zxxxxxxxxxxxxxxxxxxs txxxxxx C=-24,16,44,32,-3,-3; %ch412.mA=1/2,1/4,0,0,1/3,1/4; 4,2,0,0,6,4; 1,0,0,0,1,0;B=50,480,100;Aeq=0,0,1,0,-0.8,0; 0,0,0,1,0,-0.75;Beq=0,0;x,fval=linprog(C,A,B,Aeq,Beq,zeros(6,1)x = 0.0000 168.0000 19.2000 0.0000 24.0000 0.0000fval = -3.4608e+003模型求解

57、模型求解 軟件實(shí)現(xiàn)軟件實(shí)現(xiàn) LINGO 9.0 Global optimal solution found. Objective value: 3460.800 Total solver iterations: 2Variable Value Reduced Cost X1 0.000000 1.680000 X2 168.0000 0.000000X3 19.20000 0.000000X4 0.000000 0.000000X5 24.00000 0.000000 X6 0.000000 1.520000Row Slack or Surplus Dual Price1 3460.800 1

58、.00000020.000000 3.160000 30.000000 3.260000476.00000 0.00000050.000000 44.00000 60.000000 32.00000DO RANGE (SENSITIVITY) ANALYSIS? NoModel:max=24*x1+16*x2+44*x3+ 32*x4-3*x5-3*x6;4*x1+3*x2+4*x5+3*x6600;4*x1+2*x2+6*x5+4*x6480;x1+x510ti 11-1/ i0t 1di/dt 1/ i(t)先升后降至先升后降至0P2: s01/ i(t)單調(diào)降至單調(diào)降至01/閾閾值值P3

59、P4P2S0ssss00lnln模型模型4SIR模型模型預(yù)防傳染病蔓延的手段預(yù)防傳染病蔓延的手段 (日接觸率日接觸率) 衛(wèi)生水平衛(wèi)生水平 (日日治愈率治愈率) 醫(yī)療水平醫(yī)療水平 傳染病不蔓延的條件傳染病不蔓延的條件s01/ 的估計(jì)的估計(jì)0ln1000sssis0i忽略 降低降低 s0提高提高 r0 1000ris 提高閾值提高閾值 1/ 降低降低 (= / ) , 群體免疫群體免疫模型模型4SIR模型模型被傳染人數(shù)的估計(jì)被傳染人數(shù)的估計(jì)0ln1000sssis記被傳染人數(shù)比例記被傳染人數(shù)比例ssx00)211 (200sxsx0)1ln(10sxx)1(200ssx2xxs0i0s/1P10s

60、si0 0, s0 1 小小, s0 1提高閾值提高閾值1/ 降低降低被傳染人數(shù)比例被傳染人數(shù)比例 xs0 - 1/ = 又稱蘭徹斯特戰(zhàn)斗理論蘭徹斯特戰(zhàn)斗理論或戰(zhàn)斗動(dòng)態(tài)理論戰(zhàn)斗動(dòng)態(tài)理論，是應(yīng)用數(shù)學(xué)方法研究敵對(duì)雙方在戰(zhàn)斗中的武器、兵力消滅過程的運(yùn)籌學(xué)分支。 1915年，英國(guó)工程師F.W.蘭徹斯特在戰(zhàn)斗中的飛機(jī)一文中，首先提出用常微分方程組描述敵對(duì)雙方兵力消滅過程，定性地說明了集中兵力的原理。 開始是用于分析交戰(zhàn)過程中的雙方傷亡比率，后用途逐漸推廣。 蘭切斯特方程證明，相同戰(zhàn)斗力和戰(zhàn)斗條件下，1000對(duì)2000人作戰(zhàn)。幾輪戰(zhàn)斗下來。多方只要傷亡268人就能全殲1000人的隊(duì)伍，蘭切斯特方程特別適用于現(xiàn)代戰(zhàn)