西南交大研究生課程結構動力學10

1、第七章第七章 橋梁動力分析的有限元方法橋梁動力分析的有限元方法李小珍李小珍西南交通大學橋梁動力學研究室西南交通大學橋梁動力學研究室地址：眷誠齋地址：眷誠齋3208TEL:138808080861. 1. 離散系統(tǒng)的離散系統(tǒng)的HamiltonHamilton原理原理 設有一多自由度系統(tǒng)，其廣義設有一多自由度系統(tǒng)，其廣義坐標為坐標為 ，系統(tǒng)的動，系統(tǒng)的動能可表示為廣義速度能可表示為廣義速度 的函數(shù)的函數(shù) 式中，式中，M M為系統(tǒng)的質量矩陣。為系統(tǒng)的質量矩陣。 nqqq,21nqqq,21121111(,) (1)22nnTijijnijm q qq qqTq M qT

2、1.離散系統(tǒng)的Hamilton原理 系統(tǒng)的勢能可表示為廣義坐標系統(tǒng)的勢能可表示為廣義坐標 的函數(shù)的函數(shù) 式中，式中，K K為系統(tǒng)的剛度矩陣。為系統(tǒng)的剛度矩陣。 外力外力 的廣義力的虛功可表示的廣義力的虛功可表示為為nqqq,21121111(,) (2)22nnTijijnijk q qq qqVq KqViR1 (3)niiqiWR1.1.離散系統(tǒng)的離散系統(tǒng)的HamiltonHamilton原理原理 由動力問題的由動力問題的HamiltonHamilton原理：原理：具有完整約束的動力學系統(tǒng)，具有完整約束的動力學系統(tǒng)，在滿足協(xié)調性條件、約束條件在滿足協(xié)調性條件、約束條件或邊界條件，同時滿足起

3、始或邊界條件，同時滿足起始t t1 1時刻與結束時刻與結束t t2 2時刻條件的可能時刻條件的可能的位移隨時間變化的形式中，的位移隨時間變化的形式中，真實解對應的那種變化形式使真實解對應的那種變化形式使LagrangeLagrange泛函泛函L L取最小值，即取最小值，即1.1.離散系統(tǒng)的離散系統(tǒng)的HamiltonHamilton原理原理 LagrangeLagrange泛函泛函L L定義為定義為 將式將式(1)(1)、(2)(2)和和(3)(3)代入式代入式(5)(5)，得得 上式中上式中210 (4)ttdt L (5) L T V W21111()0 (6)nnntiiitiiiiiqq

4、q dtqqiTVR222211111111 (7)tnnnntttiiiitttiiiiiiiitddqqq dtq dtqqdtqdtq TTTT1.1.離散系統(tǒng)的離散系統(tǒng)的HamiltonHamilton原理原理 將式將式(7)(7)代入式代入式(6)(6)，得，得 由廣義坐標變分由廣義坐標變分 的的任意性和獨立性，得到任意性和獨立性，得到 上式即著名的上式即著名的LagrangeLagrange方程，方程，這也證明了這也證明了LagrangeLagrange方程與方程與HamiltonHamilton原理是等價的。原理是等價的。211()0 (8)ntitiiidq dtdtqq iT

5、VR), 2 , 1(niqi,1,2, (9)iidindtqqiTVR1.1.離散系統(tǒng)的離散系統(tǒng)的HamiltonHamilton原理原理 將式將式(1)(1)，式，式(2)(2)代入式代入式(9)(9)，并用矩陣形式表示，則有并用矩陣形式表示，則有 這就是離散系統(tǒng)的振動方程。這就是離散系統(tǒng)的振動方程。 (10)MqKqR4251 10011 0010 1010 1101 0001 0100 10112.2.建立結構振動分析的有限元方法建立結構振動分析的有限元方法 有限元法的基本思路是，首先將復雜結構離散有限元法的基本思路是，首先將復雜結構離散成有限個單元的集合體，然后在各自單元內選成有限

6、個單元的集合體，然后在各自單元內選擇適當?shù)奈灰颇Ｊ?，并計算每個單元及整個結擇適當?shù)奈灰颇Ｊ?，并計算每個單元及整個結構的動能和應變能，再由構的動能和應變能，再由HamiltonHamilton原理導出結原理導出結構的振動方程，最后由直接積分法或振型迭加構的振動方程，最后由直接積分法或振型迭加法進行結構振動響應的求解。法進行結構振動響應的求解。4251 10011 0010 1010 1101 0001 0100 10112.2.建立結構振動分析的有限元方法建立結構振動分析的有限元方法2.1 2.1 連續(xù)區(qū)域的離散化連續(xù)區(qū)域的離散化 在動力問題中，因為引入了時間坐標，所以在動力問題中，因為引入了時

7、間坐標，所以處理的是四維處理的是四維 問題。有限元分析中一問題。有限元分析中一般采用部分離散的方法，即只對空間域進行般采用部分離散的方法，即只對空間域進行離散，這樣，此步驟與靜力分析相同。離散，這樣，此步驟與靜力分析相同。),(tzyx4251 10011 0010 1010 1101 0001 0100 10112.2.建立結構振動分析的有限元方法建立結構振動分析的有限元方法2.2 2.2 構造插值函數(shù)構造插值函數(shù) 單元位移模式的選取應滿足以下兩個條件：單元位移模式的選取應滿足以下兩個條件：完備性要求：即位移模式應包括剛體位移和完備性要求：即位移模式應包括剛體位移和單元內的常應變；單元內的常

8、應變；相容性要求：即滿足在單元邊界上和結構外相容性要求：即滿足在單元邊界上和結構外部邊界的連續(xù)性。部邊界的連續(xù)性。4251 10011 0010 1010 1101 0001 0100 10112.2.建立結構振動分析的有限元方法建立結構振動分析的有限元方法2.2 2.2 構造插值函數(shù)構造插值函數(shù)由于只對空間域進行離散，所以單元內位移由于只對空間域進行離散，所以單元內位移 的插值表示為的插值表示為wvu,111( , , , )( , , )( )( , , , )( , , )( ) (11)( , , , )( , , )( )niiiniiiniiiu x y z tNx y z u t

9、v x y z tNx y z v tw x y z tNx y z w t4251 10011 0010 1010 1101 0001 0100 10112.2.建立結構振動分析的有限元方法建立結構振動分析的有限元方法2.2 2.2 構造插值函數(shù)構造插值函數(shù) 其中其中 這里，這里， 是單元內任一點位移向量，是單元內任一點位移向量， 是形函數(shù)矩陣，是形函數(shù)矩陣， 是單元節(jié)點位移向量，是單元節(jié)點位移向量， 是單位矩陣。是單位矩陣。 (12)euNu,),(),(),(21ntzyxwtzyxvtzyxuNNNNu), 2, 1(33niNiiINuNeuI4251 10011 0010 1010

10、 1101 0001 0100 10112.2.建立結構振動分析的有限元方法建立結構振動分析的有限元方法2.3 2.3 形成系統(tǒng)的運動方程形成系統(tǒng)的運動方程 單元的應變分量可由式單元的應變分量可由式(12)(12)求得求得 式中，式中， 為計算單元應變得微分算子矩陣，為計算單元應變得微分算子矩陣，B B為為單元應變矩陣，單元應變矩陣， (13)ee u NuBuNB 4251 10011 0010 1010 1101 0001 0100 10112.2.建立結構振動分析的有限元方法建立結構振動分析的有限元方法2.3 2.3 形成系統(tǒng)的運動方程形成系統(tǒng)的運動方程 單元的應力分量為單元的應力分量為

11、 式中，式中，D D為彈性矩陣，為彈性矩陣，S S為應力矩陣。為應力矩陣。 單元的應變能為單元的應變能為式中，式中， 稱為單元的剛度矩陣。稱為單元的剛度矩陣。 (14)eeDDBuSueee1111() (15)2222eTTTeTTeTeeVVVdvdvdvV u B DBuuB DBuu K uVedvDBBKT4251 10011 0010 1010 1101 0001 0100 10112.2.建立結構振動分析的有限元方法建立結構振動分析的有限元方法2.3 2.3 形成系統(tǒng)的運動方程形成系統(tǒng)的運動方程 單元的動能為單元的動能為 式中，式中， 稱為單元的一致質量矩陣。稱為單元的一致質量矩

12、陣。如果有體積力如果有體積力 作用，其等效節(jié)點力作用，其等效節(jié)點力 可由虛功原理可由虛功原理得到得到ee111() (16)222eTTTeTeeVVdvdv Tu uuN Nuu m u VedvNNmTeqeR (17)eTeVdvRN q4251 10011 0010 1010 1101 0001 0100 10112.2.建立結構振動分析的有限元方法建立結構振動分析的有限元方法2.3 2.3 形成系統(tǒng)的運動方程形成系統(tǒng)的運動方程如果有粘性阻尼力如果有粘性阻尼力 作用，可表示為作用，可表示為 其等效節(jié)點力其等效節(jié)點力 為為 式中，式中， 是阻尼系數(shù)；是阻尼系數(shù)； 稱為粘性阻尼稱為粘性阻尼

13、矩陣。矩陣。 efq (18)eef quNuefR() (19)eTeTeefVVdvdv RN NuN NuCuVdvNNCT4251 10011 0010 1010 1101 0001 0100 10112.2.建立結構振動分析的有限元方法建立結構振動分析的有限元方法2.3 2.3 形成系統(tǒng)的運動方程形成系統(tǒng)的運動方程借助于坐標轉換矩陣，可以將局部坐標系下的借助于坐標轉換矩陣，可以將局部坐標系下的節(jié)點位移與節(jié)點力向量轉換到整體坐標系下，節(jié)點位移與節(jié)點力向量轉換到整體坐標系下，然后，可求出結構的總的應變能然后，可求出結構的總的應變能V V、總動能、總動能T T及及外力、阻尼力虛功總和外力、

14、阻尼力虛功總和 ，分別如下：，分別如下：W4251 10011 0010 1010 1101 0001 0100 10112.2.建立結構振動分析的有限元方法建立結構振動分析的有限元方法2.3 2.3 形成系統(tǒng)的運動方程形成系統(tǒng)的運動方程 式中，式中， 為結構的總剛度矩陣，它是單元剛度矩陣的總和；為結構的總剛度矩陣，它是單元剛度矩陣的總和； 為結構的總質量矩陣，它是單元質量矩陣的總和；為結構的總質量矩陣，它是單元質量矩陣的總和； 111() (20)222eeTeeTeTeeeVVu K uuKuu Ku111() (21)222eeTeeTeTeeeTTu m uum uu Mu()()()

15、 (22)eeTeeeTeeTfffeeee WWuRRuRRuRReeKKeemM4251 10011 0010 1010 1101 0001 0100 10112.2.建立結構振動分析的有限元方法建立結構振動分析的有限元方法2.3 2.3 形成系統(tǒng)的運動方程形成系統(tǒng)的運動方程利用式利用式(19)(19)，得，得這里，這里， 為結構的總阻尼矩陣。為結構的總阻尼矩陣。于是，式于是，式(22)(22)變成變成式中，式中， () (23)eeeeffeee RRC uC uCueeCC (24)T Wu R (25)f RRRRCu 4251 10011 0010 1010 1101 0001 0

16、100 10112.2.建立結構振動分析的有限元方法建立結構振動分析的有限元方法2.3 2.3 形成系統(tǒng)的運動方程形成系統(tǒng)的運動方程 將式將式(20)(20)，式，式(21)(21)和式和式(25)(25)代入代入LagrangeLagrange方程，方程，得得 即即 這就是在總體坐標系下的結構振動方程。這就是在總體坐標系下的結構振動方程。uCRRuKuM (26)MuCuKuR4251 10011 0010 1010 1101 0001 0100 10112.2.建立結構振動分析的有限元方法建立結構振動分析的有限元方法2.4 2.4 系統(tǒng)運動方程的求解系統(tǒng)運動方程的求解 結構動力學問題的求解

17、，大都采用直接積分法或振型結構動力學問題的求解，大都采用直接積分法或振型迭加法。迭加法。2.5 2.5 計算結構的應力和應變計算結構的應力和應變 可以看出，和靜力分析相比，在動力分析中，由于可以看出，和靜力分析相比，在動力分析中，由于慣性力和阻尼力出現(xiàn)在平衡方程，因此引入了質量矩慣性力和阻尼力出現(xiàn)在平衡方程，因此引入了質量矩陣和阻尼矩陣，最后得到的系統(tǒng)運動方程不是代數(shù)方陣和阻尼矩陣，最后得到的系統(tǒng)運動方程不是代數(shù)方程組，而是常微分方程組。其他計算步驟和靜力分析程組，而是常微分方程組。其他計算步驟和靜力分析是完全相同的。是完全相同的。 3.3.單元力學特性矩陣單元力學特性矩陣 3.13.1單元剛

18、度矩陣單元剛度矩陣 單元剛度矩陣單元剛度矩陣 由下式求得由下式求得eK (27)eVdvTKB DB 3.3.單元力學特性矩陣單元力學特性矩陣 3.13.1單元剛度矩陣單元剛度矩陣3.1.1 3.1.1 空間桿單元空間桿單元 采用二節(jié)點桿單元，每個節(jié)點采用二節(jié)點桿單元，每個節(jié)點有有3 3個平移自由度，其局部坐個平移自由度，其局部坐標系下的單元剛度矩陣如下標系下的單元剛度矩陣如下100100000000000000 (28)100100000000000000eEAlK3.3.單元力學特性矩陣單元力學特性矩陣3.1.2 3.1.2 帶剛臂的空間桿單元帶剛臂的空間桿單元 帶剛臂的空間桿單元有兩個主

19、節(jié)點帶剛臂的空間桿單元有兩個主節(jié)點i i、k k 和一個內部從節(jié)點和一個內部從節(jié)點 j j，如圖，如圖3.13.1所示。主節(jié)點中的桿端節(jié)點所示。主節(jié)點中的桿端節(jié)點i i與與從節(jié)點從節(jié)點 j j 構成單元的彈性部分，構成單元的彈性部分，主節(jié)點中的梁節(jié)點主節(jié)點中的梁節(jié)點k k與從節(jié)點與從節(jié)點j j組成組成剛性部分。節(jié)點剛性部分。節(jié)點i i和和j j有三個平移自有三個平移自由度，節(jié)點由度，節(jié)點k k有三個平移自由度和有三個平移自由度和三個轉動自由度。三個轉動自由度。3.3.單元力學特性矩陣單元力學特性矩陣 3.1.2 3.1.2 帶剛臂的空間桿單元帶剛臂的空間桿單元jikviuiwivkukwk y

20、k xk zk圖圖3.1 帶剛臂的空間桿單元帶剛臂的空間桿單元3.3.單元力學特性矩陣單元力學特性矩陣3.1.2 3.1.2 帶剛臂的空間桿單元帶剛臂的空間桿單元 令令j j為從節(jié)點，為從節(jié)點，k k為主節(jié)點，則兩者之間應服從以為主節(jié)點，則兩者之間應服從以下主從關系下主從關系 上式中，上式中， 為從節(jié)點為從節(jié)點j j與主節(jié)點與主節(jié)點k k之間的坐之間的坐標差；標差；G G是是3 3 6 6的矩陣；的矩陣； 分別是節(jié)點分別是節(jié)點j j、k k的的節(jié)點位移向量。必須注意，這里的節(jié)點位移是節(jié)點位移向量。必須注意，這里的節(jié)點位移是在總體坐標系下的。在總體坐標系下的。10000100 290010kkj

21、kjxkjykzkuvudzdywvdzdxwdydx jkG（ ）dzdydx,kj ,3.3.單元力學特性矩陣單元力學特性矩陣3.1.2 3.1.2 帶剛臂的空間桿單元帶剛臂的空間桿單元 對于節(jié)點對于節(jié)點i i，有，有 ，將其，將其與上式合并，得到彈性桿與上式合并，得到彈性桿ijij的的節(jié)點位移向量節(jié)點位移向量 i33iI 30iiij6 9ikjkI0A0G（ ）3.3.單元力學特性矩陣單元力學特性矩陣3.1.2 3.1.2 帶剛臂的空間桿單元帶剛臂的空間桿單元 根據(jù)虛功原理，可推導出根據(jù)虛功原理，可推導出 式中，式中， 為結構整體坐標系下的帶剛臂空為結構整體坐標系下的帶剛臂空間桿單元的

22、單元剛度矩陣；間桿單元的單元剛度矩陣； 為局部坐標為局部坐標系下彈性桿的單元剛度矩陣；系下彈性桿的單元剛度矩陣； 為帶為帶剛臂空間桿單元的坐標轉換矩陣；剛臂空間桿單元的坐標轉換矩陣；T T為普為普通空間桿單元的坐標轉換矩陣。通空間桿單元的坐標轉換矩陣。 31eTegKTAK TA（ ）egKeKTATA 3.3.單元力學特性矩陣單元力學特性矩陣3.1.2 3.1.2 帶剛臂的空間桿單元帶剛臂的空間桿單元 由式由式(31)(31)可以看出，只要將可以看出，只要將 代替通常意義下彈性桿單元的代替通常意義下彈性桿單元的坐標轉換矩陣坐標轉換矩陣T T，即可將局部，即可將局部坐標系下的單元剛度矩陣坐標系

23、下的單元剛度矩陣 轉轉換到結構坐標系下，然后按單換到結構坐標系下，然后按單元累加到關于元累加到關于i i、k k的節(jié)點的位的節(jié)點的位置編號的相應位置上即可。置編號的相應位置上即可。 TAeK3.3.單元力學特性矩陣單元力學特性矩陣3.1.3 3.1.3 空間梁單元空間梁單元 采用二節(jié)點空間等參直梁單元，采用二節(jié)點空間等參直梁單元，每個節(jié)點包括每個節(jié)點包括3 3個線位移和個線位移和3 3個個角位移，整個單元有角位移，整個單元有1212個自由個自由度。局部坐標系下考慮剪切變度。局部坐標系下考慮剪切變形的空間梁單元的單元剛度矩形的空間梁單元的單元剛度矩陣為陣為3.3.單元力學特性矩陣單元力學特性矩陣

24、3.1.3 3.1.3 空間梁單元空間梁單元lbEIblbEIlbEIblbEIlbEIblbEIlbEIblbEIlGJlGJlbEIlbEIlbEIlbEIlbEIlbEIlEAlEAlbEIblbEIlbEIblbEIlGJlbEIlbEIlEAzzzzzzzzzzyyyyyyyyyyyyyyyyzzzzzzzzzzzyyyyyyyzze)1 ()4(000)1 (60)1 ()2(000)1 (60)1 ()4(0)1 (6000)1 ()2(0)1 (60000000000)1 (12000)1 (60)1 (1200)1 (120)1 (6000)1 (12000000)1 ()4

25、(000)1 (60)1 ()4(0)1 (600000)1 (1200)1 (12022223233232233稱對K3.3.單元力學特性矩陣單元力學特性矩陣3.1.3 3.1.3 空間梁單元空間梁單元 式中式中 分別為截面繞分別為截面繞y y、z z 軸的抗彎慣軸的抗彎慣性矩；性矩；J J為截面的抗扭慣性矩；為截面的抗扭慣性矩； 為回轉半徑，當為回轉半徑，當 很小時，可很小時，可令令 ，即得到忽略剪切變形，即得到忽略剪切變形得空間梁單元剛度矩陣；得空間梁單元剛度矩陣； 分別分別為梁在為梁在y y、z z方向承受剪力的面積。方向承受剪力的面積。221224(1)() yyyzzkEIrAbG

26、A lAl 22)()1 (2412lrAAlGAkEIbzyyzzzyII 、zyrr 、lrlrzy、0zybbzyAA 、3.3.單元力學特性矩陣單元力學特性矩陣3.1.4 3.1.4 帶剛臂的空間梁單元帶剛臂的空間梁單元 帶剛臂的空間梁單元的節(jié)點編號與帶剛臂的空間梁單元的節(jié)點編號與帶剛臂的空間桿單元相同：兩個主帶剛臂的空間桿單元相同：兩個主節(jié)點節(jié)點i i、k k和一個從節(jié)點和一個從節(jié)點j j，如圖，如圖3.23.2所示。其單元剛度矩陣的推導過程所示。其單元剛度矩陣的推導過程與帶剛臂的桿單元相似，不同之處與帶剛臂的桿單元相似，不同之處在于這里在于這里ijij是一空間梁單元，因此，是一空間

27、梁單元，因此，節(jié)點節(jié)點i i、j j、k k均有三個平移自由度均有三個平移自由度和三個轉動自由度。和三個轉動自由度。3.3.單元力學特性矩陣單元力學特性矩陣3.1.4 3.1.4 帶剛臂的空間梁單元帶剛臂的空間梁單元 此時，從節(jié)點此時，從節(jié)點j j與主節(jié)點與主節(jié)點k k兩者之間兩者之間應服從以下主從關系應服從以下主從關系 這里，這里，G G是是6 6 6 6的矩陣；其余同前。的矩陣；其余同前。100001000010 (33)000100000010000001jkjkjkxjxkyjykzjzkuudzdyvvdzdxwwdydx jkG3.3.單元力學特性矩陣單元力學特性矩陣3.1.4 3

28、.1.4 帶剛臂的空間梁單元帶剛臂的空間梁單元jkvkukwkk yk xk zk圖圖3.2 帶剛臂的空間梁單元帶剛臂的空間梁單元iviuiwik yj xi zi3.3.單元力學特性矩陣單元力學特性矩陣3.1.4 3.1.4 帶剛臂的空間梁單元帶剛臂的空間梁單元 對于節(jié)點對于節(jié)點i i，有，有 ，將其，將其與上式合并，得到彈性梁與上式合并，得到彈性梁ijij的的節(jié)點位移向量節(jié)點位移向量 此式中的此式中的A A為為1212 1212的矩陣。的矩陣。 iiI6612 12 (34)iiijikjkI0A0G3.3.單元力學特性矩陣單元力學特性矩陣3.1.4 3.1.4 帶剛臂的空間梁單元帶剛臂的

29、空間梁單元 同樣，根據(jù)虛功原理，可導出同樣，根據(jù)虛功原理，可導出 式中，式中， 為結構整體坐標系下的帶為結構整體坐標系下的帶剛臂空間梁單元的單元剛度矩陣；剛臂空間梁單元的單元剛度矩陣；為局部坐標系下普通空間梁單元的為局部坐標系下普通空間梁單元的單元剛度矩陣；單元剛度矩陣； 為帶剛臂空為帶剛臂空間梁單元的坐標轉換矩陣；為普通間梁單元的坐標轉換矩陣；為普通空間梁單元的坐標轉換矩陣?？臻g梁單元的坐標轉換矩陣。 (35)eTegKTAK TAegKeKTATA T3.3.單元力學特性矩陣單元力學特性矩陣3.2 3.2 單元質量矩陣單元質量矩陣 3.2.13.2.1一致質量矩陣與集中質量矩陣一致質量矩陣

30、與集中質量矩陣 在動力學分析中通?？刹捎脙煞N質在動力學分析中通?？刹捎脙煞N質量矩陣，即一致質量矩陣和集中質量矩陣，即一致質量矩陣和集中質量矩陣。量矩陣。 單元的一致質量矩陣可表示如下單元的一致質量矩陣可表示如下 式中，式中，N N為形函數(shù)，為材料密度。為形函數(shù)，為材料密度。 (36)eVdv TmN N3.3.單元力學特性矩陣單元力學特性矩陣3.2.13.2.1一致質量矩陣與集中質量矩陣一致質量矩陣與集中質量矩陣 由于按上式推導的質量矩陣根據(jù)的由于按上式推導的質量矩陣根據(jù)的原理及采用的位移插值函數(shù)與建立原理及采用的位移插值函數(shù)與建立單元剛度矩陣是一致的，同時質量單元剛度矩陣是一致的，同時質量分

31、布也是按實際分布情況考慮的，分布也是按實際分布情況考慮的，因此，稱為一致質量矩陣；又因單因此，稱為一致質量矩陣；又因單元的動能和勢能是協(xié)調的，故也稱元的動能和勢能是協(xié)調的，故也稱協(xié)調質量矩陣；它為非對角矩陣。協(xié)調質量矩陣；它為非對角矩陣。3.3.單元力學特性矩陣單元力學特性矩陣3.2.13.2.1一致質量矩陣與集中質量矩陣一致質量矩陣與集中質量矩陣 在實際的橋梁動力分析中，一般都在實際的橋梁動力分析中，一般都根據(jù)力學判斷，按一定的方法，直根據(jù)力學判斷，按一定的方法，直接將單元的質量人為地集中在單元接將單元的質量人為地集中在單元的節(jié)點上，由此得到的單元和結構的節(jié)點上，由此得到的單元和結構的質量矩

32、陣為對角矩陣，稱為集中的質量矩陣為對角矩陣，稱為集中質量矩陣質量矩陣。3.3.單元力學特性矩陣單元力學特性矩陣3.2.13.2.1一致質量矩陣與集中質量矩陣一致質量矩陣與集中質量矩陣 可由下式得到可由下式得到 式中，式中， 為函數(shù)為函數(shù) 的矩陣，在分配的矩陣，在分配給節(jié)點給節(jié)點i i的區(qū)域內取的區(qū)域內取1 1，在區(qū)域外，在區(qū)域外取取0 0。由于分配給各節(jié)點的區(qū)域不。由于分配給各節(jié)點的區(qū)域不能交錯，所以由上式計算的質量能交錯，所以由上式計算的質量矩陣是對角矩陣。矩陣是對角矩陣。 (37)eTVdv m i3.3.單元力學特性矩陣單元力學特性矩陣3.2 3.2 單元質量矩陣單元質量矩陣3.2.2

33、3.2.2 幾種典型單元的質量矩陣幾種典型單元的質量矩陣 (1) (1) 空間桿單元空間桿單元 局部坐標系下空間桿單元的一局部坐標系下空間桿單元的一致質量矩陣為致質量矩陣為200100020010002001 (38)1002006010020001002eAl M3.3.單元力學特性矩陣單元力學特性矩陣3.2.2 3.2.2 幾種典型單元的質量矩陣幾種典型單元的質量矩陣(1)(1)空間桿單元空間桿單元 局部坐標系下空間桿單元的集局部坐標系下空間桿單元的集中質量矩陣為中質量矩陣為100000010000001000 (39)0001002000010000001eAl M3.3.單元力學特性矩

34、陣單元力學特性矩陣3.2.2 3.2.2 幾種典型單元的質量矩陣幾種典型單元的質量矩陣(2) (2) 帶剛臂的空間桿單元帶剛臂的空間桿單元 帶剛臂的空間桿單元在局部坐標系帶剛臂的空間桿單元在局部坐標系下的質量矩陣實際上與空間桿單元下的質量矩陣實際上與空間桿單元是一樣的，只是坐標轉換矩陣不同。是一樣的，只是坐標轉換矩陣不同。借助于式借助于式(31)(31)中帶剛臂的空間桿單中帶剛臂的空間桿單元的坐標轉換矩陣元的坐標轉換矩陣 ，便可得到，便可得到在總體坐標系下的單元質量矩陣。在總體坐標系下的單元質量矩陣。TA3.3.單元力學特性矩陣單元力學特性矩陣3.2.2 3.2.2 幾種典型單元的質量矩陣幾種

35、典型單元的質量矩陣(3)(3)空間梁單元空間梁單元 局部坐標系下空間梁單元的一局部坐標系下空間梁單元的一致質量矩陣為致質量矩陣為(40)(40)2222224000220300013040220003013001400000070000156000130540015601300054014000000704000220402200140000156001560140420llllllllAJAJllllllAJlAe稱對M3.3.單元力學特性矩陣單元力學特性矩陣3.2.2 3.2.2 幾種典型單元的質量矩陣幾種典型單元的質量矩陣(4)(4)帶剛臂的空間梁單元帶剛臂的空間梁單元 帶剛臂的空間梁單

36、元在局部坐帶剛臂的空間梁單元在局部坐標系下的質量矩陣實際上與空標系下的質量矩陣實際上與空間梁單元是一樣的，也只是坐間梁單元是一樣的，也只是坐標轉換矩陣不同，由式標轉換矩陣不同，由式(35)(35)中中帶剛臂的空間梁單元的坐標轉帶剛臂的空間梁單元的坐標轉換矩陣換矩陣 ，便可得到在總體，便可得到在總體坐標系下的單元質量矩陣。坐標系下的單元質量矩陣。TA3.3.單元力學特性矩陣單元力學特性矩陣3.2 3.2 單元質量矩陣單元質量矩陣3.2.3 3.2.3 兩種質量矩陣的比較兩種質量矩陣的比較 在實際分析中，一致質量矩陣和集中質量在實際分析中，一致質量矩陣和集中質量矩陣都得到廣泛采用，一般情況下，兩者

37、矩陣都得到廣泛采用，一般情況下，兩者給出的結果相差不大。盡管一致質量矩陣給出的結果相差不大。盡管一致質量矩陣的計算與剛度矩陣采用一致的位移模式，的計算與剛度矩陣采用一致的位移模式，但前者采用的是但前者采用的是 ，后者采用的是，后者采用的是 ，顯，顯然然 的精度比的精度比 差，因而采用一致質量差，因而采用一致質量矩陣時，由于結構質量矩陣與剛度矩陣的矩陣時，由于結構質量矩陣與剛度矩陣的精度不同，導致結構頻率計算值偏高。精度不同，導致結構頻率計算值偏高。 NN N N3.3.單元力學特性矩陣單元力學特性矩陣3.2 3.2 單元質量矩陣單元質量矩陣3.2.3 3.2.3 兩種質量矩陣的比較兩種質量矩陣

38、的比較 對于節(jié)點參數(shù)中包含轉動的梁、板、殼對于節(jié)點參數(shù)中包含轉動的梁、板、殼等單元，由于集中質量矩陣略去了轉動項，等單元，由于集中質量矩陣略去了轉動項，節(jié)點的轉動自由度上無慣性力，可通過靜節(jié)點的轉動自由度上無慣性力，可通過靜力凝聚方法使結構的動力方程的階數(shù)降低力凝聚方法使結構的動力方程的階數(shù)降低很多，大大減少計算工作量。很多，大大減少計算工作量。 當采用高次單元時，將單元的質量分配當采用高次單元時，將單元的質量分配到各個節(jié)點上可能有多種選擇，不易把握，到各個節(jié)點上可能有多種選擇，不易把握，推導集中質量矩陣是比較困難的。推導集中質量矩陣是比較困難的。3.3.單元力學特性矩陣單元力學特性矩陣3.2

39、 3.2 單元質量矩陣單元質量矩陣3.2.3 3.2.3 兩種質量矩陣的比較兩種質量矩陣的比較 另外，如果對結構進行離散時采用另外，如果對結構進行離散時采用的單元位移模式是協(xié)調的，同時單的單元位移模式是協(xié)調的，同時單元剛度矩陣的積分也是精確的，則元剛度矩陣的積分也是精確的，則由一致質量矩陣計算得到頻率代表由一致質量矩陣計算得到頻率代表結構真實自振頻率的上限，這點對結構真實自振頻率的上限，這點對設計工作是有意義的。設計工作是有意義的。3.單元力學特性矩陣單元力學特性矩陣3.2 單元質量矩陣單元質量矩陣3.2.3 兩種質量矩陣的比較兩種質量矩陣的比較兩種質量矩陣的比較列表于下：兩種質量矩陣的比較列

40、表于下：表表3.1 兩種質量矩陣的比較兩種質量矩陣的比較集集 中中 質質 量量 矩矩 陣陣一一 致致 質質 量量 矩矩 陣陣矩陣形矩陣形式式對對 角角 矩矩 陣陣 帶帶 狀狀 矩矩 陣陣 計算精計算精度度計算低階振動能保持一定計算低階振動能保持一定精度，高階振動精度差精度，高階振動精度差 計算高階振動精度仍較高計算高階振動精度仍較高 方法難方法難易易使動力計算簡化很多使動力計算簡化很多 考慮了單元位移間的動力耦合，考慮了單元位移間的動力耦合，計算時間較長計算時間較長 適用范適用范圍圍梁、板、殼等的計算，波梁、板、殼等的計算，波的傳播問題的傳播問題 梁、板、殼等的計算，振型精梁、板、殼等的計算，

41、振型精度要求較高的動態(tài)子結構法度要求較高的動態(tài)子結構法 3.3.單元力學特性矩陣單元力學特性矩陣3.3 3.3 結構阻尼矩陣結構阻尼矩陣 影響結構阻尼的因素比較復雜，要精影響結構阻尼的因素比較復雜，要精確地決定阻尼矩陣是相當困難的，實確地決定阻尼矩陣是相當困難的，實際分析中采用結構的阻尼矩陣際分析中采用結構的阻尼矩陣C C不是由不是由單元阻尼矩陣經(jīng)過集合得到，而是根單元阻尼矩陣經(jīng)過集合得到，而是根據(jù)已有的實測資料，由振動過程中結據(jù)已有的實測資料，由振動過程中結構整體的能量消耗來決定阻尼矩陣的構整體的能量消耗來決定阻尼矩陣的近似值，通常將結構的阻尼矩陣簡化近似值，通常將結構的阻尼矩陣簡化為質量矩

42、陣為質量矩陣M M和剛度矩陣和剛度矩陣K K的線性組合的線性組合 3.3.單元力學特性矩陣單元力學特性矩陣3.3 3.3 結構阻尼矩陣結構阻尼矩陣 即即 式中式中 可由任意兩階振型的阻尼比可由任意兩階振型的阻尼比和其相應的自振頻率表示和其相應的自振頻率表示 這里，這里， 分別為第分別為第i i階和階和j j階振型的階振型的自振頻率，自振頻率， 是對應的阻尼比。是對應的阻尼比。 (41)CMK、22222() (42)2()ijjiijjijjiiji ji、ji、4251 10011 0010 1010 1101 0001 0100 10114.4.斜拉索的垂度效應斜拉索的垂度效應 斜拉索在初

43、始張拉力作用下，因其自重的影響，斜拉索在初始張拉力作用下，因其自重的影響，其拉力與變形呈非線性關系，通常采用對斜拉索其拉力與變形呈非線性關系，通常采用對斜拉索的材料彈性模量進行修正（即等效彈性模量）來的材料彈性模量進行修正（即等效彈性模量）來考慮自重垂曲這種非線性影響。考慮自重垂曲這種非線性影響。4251 10011 0010 1010 1101 0001 0100 10114.4.斜拉索的垂度效應斜拉索的垂度效應 等效彈性模量等效彈性模量 常用下列常用下列ErnstErnst公式計算公式計算 式中，式中， 為斜拉索的材料彈性模量；為斜拉索的材料彈性模量；L L為斜拉索為斜拉索的水平投影長度；

44、的水平投影長度； 是單位長度斜拉索自重；是單位長度斜拉索自重；A A為斜拉索截面面積；為斜拉索截面面積；T T為斜拉索張力。為斜拉索張力。 eqE23 (43)()112eeqeEEwLAETeEw5.5.結構振動的特征值問題結構振動的特征值問題 在結構振動分析中，如果采用數(shù)在結構振動分析中，如果采用數(shù)值分析的方法，最終往往歸結為值分析的方法，最終往往歸結為求解如下廣義特征值問題求解如下廣義特征值問題 或或 式中，是固有頻率；式中，是固有頻率； 是振型；是振型；K K、M M是剛度與質量矩陣。是剛度與質量矩陣。20 (44) KM2()0 (45) KM 5.5.結構振動的特征值問題結構振動的

45、特征值問題 式式(45)(45)有非零解的充分必要條件是有非零解的充分必要條件是 即結構的特征方程。即結構的特征方程。 求解式求解式(46)(46)的方法很多，常用的有逆的方法很多，常用的有逆迭代法、迭代法、ReyleighReyleigh-Ritz-Ritz法、廣義法、廣義JacobiJacobi法、子空間迭代法、法、子空間迭代法、RitzRitz向量向量迭代法和迭代法和LanczosLanczos向量迭代法。向量迭代法。20 (46) KM5.5.結構振動的特征值問題結構振動的特征值問題 逆迭代法是先假定一個初始振型，逆迭代法是先假定一個初始振型，利用基本方程反復迭代，得到最利用基本方程反

46、復迭代，得到最低頻率和振型，然后經(jīng)過清型后，低頻率和振型，然后經(jīng)過清型后，再通過迭代計算而求出更高階的再通過迭代計算而求出更高階的頻率和振型。當自由度數(shù)目較少頻率和振型。當自由度數(shù)目較少時，逆迭代法是比較有效的，但時，逆迭代法是比較有效的，但當自由度數(shù)目較多時，計算就要當自由度數(shù)目較多時，計算就要花費很長時間，效率較低。花費很長時間，效率較低。5.5.結構振動的特征值問題結構振動的特征值問題 ReyleighReyleigh-Ritz-Ritz法是在法是在n n維矢量空間維矢量空間 的的一個子空間中，尋找一個子空間中，尋找ReyleighReyleigh商的駐商的駐值點（即對應的近似特征向量）

47、和相值點（即對應的近似特征向量）和相應的駐值（即對應的近似特征值）。應的駐值（即對應的近似特征值）。對于簡單的結構，選取合適的初始子對于簡單的結構，選取合適的初始子空間比較容易，空間比較容易，ReyleighReyleigh-Ritz-Ritz法可以法可以得到很好的近似解；但是對于大型的得到很好的近似解；但是對于大型的復雜結構系統(tǒng)，選取合適的初始子空復雜結構系統(tǒng)，選取合適的初始子空間并不容易。間并不容易。 5.5.結構振動的特征值問題結構振動的特征值問題 ReyleighReyleigh-Ritz-Ritz法實際上把法實際上把n n階特階特征值問題的規(guī)?？s小了，從征值問題的規(guī)模縮小了，從n n

48、階階縮小到縮小到s s階，當計算結果的精度階，當計算結果的精度與給定的與給定的s s個初始向量的準確程個初始向量的準確程度有關，初始向量越接近結構的度有關，初始向量越接近結構的振型，計算的精度就越高。振型，計算的精度就越高。5.5.結構振動的特征值問題結構振動的特征值問題 廣義廣義JacobiJacobi法計算的最終結果是法計算的最終結果是得到特征值問題的全部特征值和得到特征值問題的全部特征值和特征向量，因此，用來求解大型特征向量，因此，用來求解大型結構的特征值問題時計算費用很結構的特征值問題時計算費用很高。高。5.5.結構振動的特征值問題結構振動的特征值問題 子 空 間 迭 代 法 的 基

49、本 思 路 就 是 把子 空 間 迭 代 法 的 基 本 思 路 就 是 把ReyleighReyleigh-Ritz-Ritz法和逆迭代法結合起來，法和逆迭代法結合起來，既利用既利用ReyleighReyleigh-Ritz-Ritz法來縮減自由度，法來縮減自由度，又在計算過程中利用逆迭代法使振型又在計算過程中利用逆迭代法使振型逐步趨近其精確值。由于它吸收了兩逐步趨近其精確值。由于它吸收了兩個方法的優(yōu)點，因而計算效果比較好。個方法的優(yōu)點，因而計算效果比較好。經(jīng)驗表明，這是目前求解大型結構自經(jīng)驗表明，這是目前求解大型結構自振頻率和振型的最有效的方法之一。振頻率和振型的最有效的方法之一。5.5.

50、結構振動的特征值問題結構振動的特征值問題 近年來，近年來，RitzRitz向量直接迭代法和向量直接迭代法和LanczosLanczos向量直接迭代法，由于具有更向量直接迭代法，由于具有更高地計算效率，引起了有限元工作者高地計算效率，引起了有限元工作者的廣泛關注。它們共同的特點是直接的廣泛關注。它們共同的特點是直接生成一組生成一組RitzRitz向量或向量或LanczosLanczos向量，對向量，對運動方程進行減縮，然后通過求解減運動方程進行減縮，然后通過求解減縮了的運動方程的特征值問題，進而縮了的運動方程的特征值問題，進而就可得到原系統(tǒng)方程的特征解，從而就可得到原系統(tǒng)方程的特征解，從而避免了

51、逆迭代法或子空間迭代法中的避免了逆迭代法或子空間迭代法中的迭代步驟，還可避免漏掉可能激起的迭代步驟，還可避免漏掉可能激起的振型和引起不可能激起的振型。振型和引起不可能激起的振型。 5.5.結構振動的特征值問題結構振動的特征值問題 子空間迭代法求解特征值問題子空間迭代法求解特征值問題 對式對式(44)(44)的的n n維特征值問題，如果需要維特征值問題，如果需要求解前求解前p p( (p pn p p) )個個n n維向量維向量 作為初始作為初始迭代向量（即迭代向量（即RitzRitz基），它們組成一個基），它們組成一個n n s s階矩陣階矩陣 ，即，即 2) 2)將初始向量基將初始向量基 作

52、為結構前作為結構前s s階振型矩陣的階振型矩陣的零次近似，通過逆迭代零次近似，通過逆迭代 生成新的向量基生成新的向量基 ，并將，并將 歸一化處理歸一化處理得得 ，構成子空間，構成子空間 ；), 2, 1()0(sjj)0(0)(0)(0)(0)12 (47)s)0(1)(0) (48)KM) 1 () 1 () 1 ()1 (sE5.5.結構振動的特征值問題結構振動的特征值問題3)3)將結構第將結構第i i階振型階振型 的一次近的一次近似表示為似表示為 其中其中 為為s s個待定常數(shù)。個待定常數(shù)。于是結構的前于是結構的前s s階振型矩陣的階振型矩陣的一次近似表示為一次近似表示為 這里這里 是待

53、定系數(shù)是待定系數(shù)矩陣；矩陣；i(1)(1)(1)1122 (49)iiiissaaaisiiaaa、21(1)(1)n sn s (50)s sa21saaaa5.5.結構振動的特征值問題結構振動的特征值問題4)4)由由RitzRitz法作廣義質量矩陣法作廣義質量矩陣 和廣義剛度矩陣和廣義剛度矩陣 如下如下 于是，原問題歸結為子空間于是，原問題歸結為子空間 上上s s s s階的特征值問題，即階的特征值問題，即 或寫成或寫成 式中，式中， ss)1(Mss)1(K(1)(1)(1)(1)(1)(1) (51)Ts sTs sMMKK)1 (sE(1)2(1) (52)s ss s KaMa(1

54、)1(1) (53)s ss s KMaa215.5.結構振動的特征值問題結構振動的特征值問題5)5) 求解子空間上的特征值問題式求解子空間上的特征值問題式(53)(53)，得特征值，得特征值 及相及相應的特征向量應的特征向量 ，并由，并由式式(50)(50)得到結構前得到結構前s s階振型矩陣階振型矩陣的一次近似，即的一次近似，即 同時也是下一次迭代的初始同時也是下一次迭代的初始向量基；向量基；), 2, 1()1 (sii), 2, 1() 1 (siia(1)(1)(1)n sn s (54)s sa(1)sn5.5.結構振動的特征值問題結構振動的特征值問題6)6)進行第進行第2 2次迭

55、代，由式次迭代，由式(48)(48)通通過逆迭代過逆迭代 得新的向量基得新的向量基 ，將，將 歸歸一化處理得一化處理得 ，然后重復式，然后重復式(50)(54)(50)(54)的類似計算，即的類似計算，即(2)(1) (55)KM)2()2()2(5.5.結構振動的特征值問題結構振動的特征值問題 由式由式(59)(59)得到前得到前s s階振型矩陣階振型矩陣的第的第2 2次近似值次近似值 ， 同時也同時也是下一次迭代的初始向量基；是下一次迭代的初始向量基；(2)(2)n sn s (56)s sa(2)(2)(2)(2)(2)(2) (57)Ts sTs sMMKK(2)1(2)(2)(2)

56、(58)s ss s KMaa(2)(2)(2)n sn s (59)s sa(2)sn(2)sn5.5.結構振動的特征值問題結構振動的特征值問題 7) 7) 重復式重復式(55)(59)(55)(59)的過程，直到的過程，直到前后兩次迭代結果充分接近為止。前后兩次迭代結果充分接近為止。 在上述迭代過程中，其中第在上述迭代過程中，其中第5 5步是步是一個典型的廣義特征值求解問題，一個典型的廣義特征值求解問題，而且要得到方程全部特征對，由于而且要得到方程全部特征對，由于是在子空間內進行，方程的階數(shù)不是在子空間內進行，方程的階數(shù)不高，因此采用廣義高，因此采用廣義JacobiJacobi法是比較法是

57、比較適宜的。適宜的。 第第 11 11 周作業(yè)周作業(yè): : 胡少偉主編：胡少偉主編：結構振動理論及其應用結構振動理論及其應用書：書： P163P163頁的習題頁的習題 7.27.2題題 4251 10011 0010 1010 1101 0001 0100 10116.6.振動微分方程的數(shù)值積分方法振動微分方程的數(shù)值積分方法 數(shù)值積分方法的特點是將振動微分方程在時間數(shù)值積分方法的特點是將振動微分方程在時間上離散，化成對時間的差分格式，然后根據(jù)初上離散，化成對時間的差分格式，然后根據(jù)初始條件，利用直接積分法求解出一系列時刻上始條件，利用直接積分法求解出一系列時刻上的響應值。的響應值。 4251

58、10011 0010 1010 1101 0001 0100 10116.6.振動微分方程的數(shù)值積分方法振動微分方程的數(shù)值積分方法 通常的直接積分法都基于以下兩個概念：一是通常的直接積分法都基于以下兩個概念：一是將在求解域內將在求解域內 的任何時刻的任何時刻t t都應滿足運都應滿足運動方程的要求，代之以僅在一定條件下近似地動方程的要求，代之以僅在一定條件下近似地滿足運動方程，如僅在相隔的離散的時間點滿滿足運動方程，如僅在相隔的離散的時間點滿足運動方程；二是在一定數(shù)目的區(qū)域內，假定足運動方程；二是在一定數(shù)目的區(qū)域內，假定位移位移 、速度、速度 、加速度、加速度 的函數(shù)形式。的函數(shù)形式。Tt 0u

59、u u 4251 10011 0010 1010 1101 0001 0100 10116.6.振動微分方程的數(shù)值積分方法振動微分方程的數(shù)值積分方法 要討論的問題可以描述如下：要討論的問題可以描述如下： 系統(tǒng)在系統(tǒng)在t t時刻的振動微分方程為時刻的振動微分方程為 假定在假定在t=0t=0時，系統(tǒng)的位移、速度和加速度分別時，系統(tǒng)的位移、速度和加速度分別為已知的為已知的 、 和和 ，求解的時間區(qū)間，求解的時間區(qū)間T T劃分為劃分為n n 等份，即等份，即 ，現(xiàn)要建立從已知的，現(xiàn)要建立從已知的 的解來計算下一個時間步的解的積分格式。的解來計算下一個時間步的解的積分格式。 (60)ttttMuCuKu

60、Ruu u nTt ttt,2, 04251 10011 0010 1010 1101 0001 0100 10116.6.振動微分方程的數(shù)值積分方法振動微分方程的數(shù)值積分方法6.1 6.1 中心差分法中心差分法 中心差分法是按中心差分格式將速度和加速度中心差分法是按中心差分格式將速度和加速度矢量離散為矢量離散為 將式將式(61)(61)和和(62)(62)代入式代入式(60)(60)中，得到中，得到 這樣，得到相鄰時刻位移的遞推格式。這樣，得到相鄰時刻位移的遞推格式。 1() (61)2ttttttuuu21(2) (62)tttttttuuuu22211211()()() (63)22tt