2021屆天津市南開大學(xué)附中高三上學(xué)期第二次月考數(shù)學(xué)試題(解析版)

1、2021屆天津市南開大學(xué)附中高三上學(xué)期第二次月考數(shù)學(xué)試題一、單選題1. 設(shè)集合A=xx>3t B = < x|i<oj,則(CM)nB=()A. (1, 3)B. 1, 3C. (3, 4)D. 3, 4)【答案】B【解析】求出B中不等式的解集確泄出B,找出QA與B的交集即可.【詳解】由<0W(a：-1)Gv-4)<0Kx-40,x-4解得l<x<4,所以 3 = 1,4),因?yàn)?A=xh>3,所以 Ca.A = (-°o,3,所以(加)n民1, 3,故選:B【點(diǎn)睛】本題主要考查了集合的補(bǔ)集，交集運(yùn)算，分式不等式求解，屬于中檔題.2.

2、"sinx =丄”是"x = 2k;r +蘭(k eZ)M的()2 6A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】sin x = o a = 2k兀+鄉(xiāng)伙w Z)或x = 2k兀+學(xué)仗w Z),從而明確充分性2 6 6與必要性.【詳解】9由 sinx =丄可得：x = 2k7t + (k v Z)或x = 2£龍 +迺伙 eZ),2 6 6龍.1即 x = 2k兀+ (k wZ)能推出 sin x = - 962但sin x =推不岀 x = 2kn + (k eZ)2 61 7Tsinx =-'堤=2熾+ 伙

3、w Z)"的必要不充分條件2 6故選B【點(diǎn)睹】本題考査充分性與必要性，簡單三角方程的解法，屬于基礎(chǔ)題.3. 下列函數(shù)既是奇函數(shù)，又在區(qū)間(0,1)上單調(diào)遞減的是()A. f(x) = x=45l + tan(a_0)tan(a-0) 1 + j_x£ 5故選:C【點(diǎn)睹】本題考査正切的差角公式的應(yīng)用,考査已知三角函數(shù)值求三角函數(shù)值問題.B. /(x) = -|x + l|C. /(x) = lnlD /(x) = 2r+2-v1 + x【答案】C【解析】試題分析：由奇函數(shù)排除B、D,在區(qū)間(0, 1)±單調(diào)遞減排除A.故選C.【考點(diǎn)】U函數(shù)的奇偶性：2、函數(shù)的單調(diào)性

4、.2ti1冗4. 已知 tan(a-#)=-, tan(a+ )=-,則 仙“+)等于()54441822D.1322第1頁共6頁【答案】C【解析】由題可分析得到tan，由差角公式，將值代入求解即可.【詳解】tan解：由題可得,一 (a0)tan322-tan(a-0)1-35.已知非零向量喬滿足=2t且（« - S）± /?,則"與乙的夾角為【答案】B【解析】本題主要考查利用平而向量數(shù)量積訃算向量長度、夾角與垂直問題，滲透了轉(zhuǎn) 化與化歸、數(shù)學(xué)計(jì)算等數(shù)學(xué)素養(yǎng).先由（方-初丄5得出向a,b的數(shù)量積與其模的關(guān)系, 再利用向量夾角公式即可計(jì)算出向量夾角.【詳解】因?yàn)椋ǚ?/p>

5、-初丄石,所以Ct-b b = a b-b =0*所以方乙=產(chǎn)，所以a-bl/?l21打C0S6，=TT =*所以忌與弘的夾角為亍故選氏【點(diǎn)睹】對向量夾角的計(jì)算，先計(jì)算出向量的數(shù)量積及各個(gè)向量的摸，在利用向量夾角公式求出 夾角的余弦值，再求岀夾角，注意向量夾角范圍為0,71,6.設(shè)ABC的邊BC的延長線上一點(diǎn)，BC = 3CD，則（）A. AD = -AB-ACB. AD = -AB + -AC3 333 I C. AD = AB + -AC 33【答案】C【解析】利用平而向量基本左理，把而，花作為基底，再利用向量的加減法法則把向量而用基底表示出來即可.【詳解】因?yàn)?BC = 3CD 所以 C

6、D = BC = (AC AB) 故選：c.I所以AD=AC+CD=AC+AC【點(diǎn)睛】此題考査了平而向量基本立理和向量的加減法法則，屬于基礎(chǔ)題.7.已知定義在R上的函數(shù)幾丫)滿足/(x)=f(x)t且函數(shù)滄)在(oo, 0)上是減函數(shù)，若( 2 u = f 2cos£/r ,b = f log, 4.1 , c = /(208)則心 b, c 的大小關(guān)系為()I 、)2 JA. a<c<bB. c<b<aC. b<c<aD. c<a<b【答案】A【解析】根據(jù)題意，由偶函數(shù)的左義可得函數(shù)f(x)為偶函數(shù)，結(jié)合偶函數(shù)的性質(zhì)可得«

7、= /(2cos) = /(2cos) = / (1), = /(/,4.1) = /(log24.1)t 進(jìn)而分析可得才(勸在 332(0,+co)上為增函數(shù)，又|iil<208<2<log24.1,據(jù)此分析可得答案.【詳解】根據(jù)題意,函數(shù)f(x)滿足/(-X)= /(A-),則函數(shù)/(X)為偶函數(shù)，« = /(2cos) = /(2cos) = / (1), /(14.1) = /(log24.1), “丹),3 3*2又由函數(shù)/'(X)在(YO,0)上是減函數(shù)，則/(X)在(0,+8)上為增函數(shù)，且 l<2°<2<log24

8、.1,貝 lj" <c<b；故選:A【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性的綜合應(yīng)用，考查指數(shù)對數(shù)大小的比較，意在考査 學(xué)生對這些知識的理解掌握水平.X(ex x > 0&設(shè)函數(shù) r 一 ，若函數(shù)g(x)=/a)-處恰有兩個(gè)零點(diǎn)， -x2-2x-4, x<0則實(shí)數(shù)d的取值范圍為()A. (0, 2)B. (0, 2C. (2, +x)D. 2, +oo)【答案】A【解析】根據(jù)題總，x = 0是函數(shù)g(x) = f)-ax的一個(gè)零點(diǎn)，故問題轉(zhuǎn)化為當(dāng)xhO時(shí)，y = «與y =圖象必有一個(gè)交點(diǎn)，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)研究y性質(zhì)，數(shù)形結(jié)XX合求解即可得答案.

9、【詳解】 解：根拯題意函數(shù)g(X)= /(X)-O¥恰有兩個(gè)零點(diǎn)由于當(dāng)x = 0時(shí),g(0) = /(0)_0 = 0,故x = o是函數(shù)g(x) = f(x)-ax的一個(gè)零點(diǎn),所以當(dāng)xho時(shí)，與)，=丄圖象必有一個(gè)交點(diǎn),由于y = - = <Xx>0x<0當(dāng)x>0時(shí)，y = Q廠，y，= e*+廠o,故函數(shù)),=丄巴在0,”D)上單調(diào)遞增, X4 4 4xz X當(dāng)xvO時(shí)，y = X- -2,卩=一1 += 一 ，所以當(dāng)xv(y,_2)時(shí)，函數(shù) XJT A"y = D 單調(diào)遞減，當(dāng)xe-2,0)是單調(diào)遞增;X所八凹J ;5函數(shù)圖象如圖,x-x- -

10、2, x<0由圖可知，若y = d與y =圖象必有一個(gè)交點(diǎn)，貝Mw(0,2).故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)問題，考查數(shù)形結(jié)合思想與化歸轉(zhuǎn)化思想，是中檔 題.71°9. 已知函數(shù)/(x)=2sin(v+-)(ro>0)的圖象在區(qū)間0, 1上恰有3個(gè)最高點(diǎn)，則少的取 4值范圍為()19龍27兀)B.513龍、C.L 44丿.2 ' 2 丿17龍 25/r)r 4、D. 4龍,6刃【答案】CTT【解析】根據(jù)區(qū)間0, 1,求岀3卄一的范圍，由于在區(qū)間0,1上恰有3個(gè)最髙點(diǎn)，4建立不等關(guān)系，求解即可.【詳解】函數(shù)/(X)=2sin (o)a+)(3>

11、;0),71 7171V.v0> 1上，/ cox+ G* °t4 44圖象在區(qū)間0, 1上恰有3個(gè)最高點(diǎn)，4 兀/兀厶 ?！吧?17龍<25兀 4龍 + Se+ v6龍 + ,解得：<co<.2 4244故選：C.【點(diǎn)睛】本題考査正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)的應(yīng)用，考查整體代換的思想，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題10. 二項(xiàng)式fx2-4 j展開式中的常數(shù)項(xiàng)為【答案】40【解析】研究常數(shù)項(xiàng)只需研究二項(xiàng)式的展開式的通項(xiàng)，使得x的指數(shù)為0,得到相應(yīng)的£，從而可求岀常數(shù)項(xiàng).【詳解】解：展開式的通項(xiàng)公式為：7；+嚴(yán)C；(F廠(_三、=(-2)'C>,0-5

12、X J令 105R=0,得R=2所以常數(shù)項(xiàng)為：7；+1=（-2）2C=40.故答案為：40.【點(diǎn)睛】本題主要考查了二項(xiàng)式左理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是寫出展開式的通項(xiàng)公式，同時(shí)考査了 計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.11. 函數(shù)/（x）"sin（g+0）（AO,。0,岡£）的部分圖象如圖所示，則*0啲值為【答案】_氐【解析】由圖可得/（X）的周期、振幅，即可得人少，再將（蘭,0）代入可解得0,進(jìn)一 6步求得解析式及/（0）.【詳解】由圖可得心2,W，所以7-心牛即婦2,又 /() = 0 ,即 2sin(2x + ?) = 0 , + cp = k兀、k e Z , ' 663又l

13、0lv£，故殲-牛 所以/(x) = 2sin(2x-), /(0) = 2sin(-) = -.2 333【點(diǎn)睛】本題考査由圖象求解析式及函數(shù)值，考查學(xué)生識圖、計(jì)算等能力，是一道中檔題.已知 n>0, b>Q 且 a+b=l9 則的最小值是【答案】91 12【解析】先利用平方差公式和a+b = l得出（-+ 1）（- + 1）,再去括號、通分得岀+ 1, abab2 根據(jù)a+b = 和基本不等式可求出ab的最大值，即千+1的最小值.ab【詳解】(4 _ 1)(穆 _ 1)=(丄 +1)(- _ 1)(； +1)(； _ 1) cr Zr a a b b1 , l-i/l

14、 -b1b a=(+ 1)(- + 1)-= (- + l)-(- + l)- a a b b a a b b =(丄+i)(丄+i)=_L+±+i=Z+i, a b ab abab/«+Z? = Lci + b2jub , H卩 1$ 2jub /. ab< ,42 1+ l>9t當(dāng)且僅當(dāng)a = b =-時(shí)，取得等號，ab2即（丄-1）（丄-1）的最小值是9 a- b故答案為：9.【點(diǎn)睛】本題考查了基本不等式的應(yīng)用，利用a+b = 這個(gè)條件進(jìn)行轉(zhuǎn)化是關(guān)鍵，屬于中檔-x|cos( + x) + sin2i 2/則函數(shù)/（工）的單調(diào)遞題.13.設(shè)函數(shù) /(x) =

15、 2sin增區(qū)間為【答案】("Z)3 3【解析】利用誘導(dǎo)公式和二倍角的余弦公式，將函數(shù)轉(zhuǎn)化為/(x) = cos2x + ,然 后利用余弦函數(shù)的性質(zhì)，令-7T + 2k7T< 2x < 2込求解.【詳解】(3 (托、函數(shù)/(x) = 2sin -x cos( + x) + sin2 -x ,i 2丿 2)= 3cos2 x = cos 2x + ,2 2令-Tr+lkTt<2x<2k兀,解得一巴+ k兀5x5k汀，2所以/(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為一壬+ S后("Z),故答案為：-彳+ R化熾(kwZ)【點(diǎn)睹】本題主要考查誘導(dǎo)公式和二倍角公式的應(yīng)用和三角

16、函數(shù)的性質(zhì)，還考查了運(yùn)算求解的能 力，屬于中檔題.14.在等腰梯形中，AB/CD, AB = 2, AD = 1, NDAB = 60 ,若BC = 3CE,AF = XAB> KaE DF = -1» 則A.=_.【答案】74【解析】依題意得 AB/CD.AB = 2；AD = BC = 1, DAB = ZABC = 60 BC = 3CE5E-DA = -BC-DA = -|bc|-|da|cos120° = -AF = AABDF = -Z5F = (AB + BE)(Z5a + AF) = AS ZM + AB AF+BE rn + BE AF=2xlxco

17、sl20° + 2x2/l-ix- = -lr故答案為丄.4三.解答題15.已知函數(shù)/(x) = 2>/3sin(1) 求/(x)的最小正周期；7171(2) 若將/(X)的圖象向左平移二個(gè)單位，得到函數(shù)gg的圖象，求函數(shù)g(x)在區(qū)間0.- 上的最大值和最小值.【答案】(1)兀(2) 1；-2【解析】(1)利用倍角公式及誘導(dǎo)公式化簡，然后由周期公式求周期：(2)由三角函數(shù)的圖象平移得到函數(shù)的解析式，結(jié)合x的范用求得函數(shù)g(x) 在區(qū)間0,蘭上的最大值和最小值.【詳解】44(1) f(x) = 2>/3 sin(x + )tos(x + )sin(2x + 3/r)sin

18、 2x + cos 2x) = 2 sin(2x + )223/(x)的最小正周期為=托； 由已知得g(x) = /(x + f) = 2sin2(x + t)+ f=2 sin(2a,' + H) = 2 cos(2x 4),vxe0,故-'12x + = ，即 x =時(shí)，g(x),”i” = g(亍)=一2 ：當(dāng)2x+7 = p 即乳=0時(shí)，(彳)= 1.【點(diǎn)睛】本題考查了三角恒等變換及其應(yīng)用，考查了三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，考查了三角函數(shù)的最值，屬于中檔題.16. 在公ABC的內(nèi)角A,8,C的對邊分別是M,c,滿足一i_ = l_ Sm a + csin A + sin B(

19、1) 求角A的值；(2) 若a = 3, b = 2近,求sin(2B+A)的值.【答案】(1)A = -； (2) 2爐近3 6【解析】(1)根據(jù)已知條件，由正弦泄理角化邊，得到三邊的關(guān)系，進(jìn)而利用余弦定理求解；(2)由正弦左理求得應(yīng)并根據(jù)邊的大小關(guān)系判立B為銳角，然后利用倍角公式和兩角和的正弦公式計(jì)算.【詳解】b t sinC解:(1) J= 1a + c sin 4 +sin 3bc由正弦定理得，=1a+ca+b化簡得，b2 +c2-a2 =bc由余弦立理得，cosA= =2bc2又0 v4龍，兀A =.3(2)由(1)知，A = f3又d = 3, b = 2邁, .sinB = U

20、= a 3cosB = V1-22 sin 2B = 2 sin B cos B =3sin（23 +A） = sin 2E +cos2B = l-2shrB = -l, sin 2B cos + cos 2B sin =3 3【點(diǎn)睛】本題考査正余弦左理的綜合運(yùn)用，涉及二倍角公式和兩角和差的三角函數(shù)公式，屬中等難度的題目關(guān)鍵是熟練利用正弦左理，余弦圧理和三角恒等變形計(jì)算.17. 在四棱錐 P-ABCD 中，PQ 丄平面 ABCD, AB/DC 9 AB 丄 AD,DC = AD = 9 AB = 2, ZPAD = 45°9 E 是 P4 的中點(diǎn)，F(xiàn) 在線段 AB且滿足CF BD =

21、 0(1) 求證：DE平面PBC；(2) 求二面角F-PC-B的余弦值；(3) 在線段Q4上是否存在點(diǎn)0 ,使得FQ與平面PFC所成角的余弦值是若存3在，求出AQ的長；若不存在，請說明理由.【答案】(1)見解析：(2)纟；(3) 23 10【解析】【詳解】分析：該題是立體幾何的有關(guān)問題，第一問在證明線面平行時(shí)，可以利用常規(guī)方法，用線而平行的判左立理來證明，也可以應(yīng)用空間向量來證明，用直線的方向向量與平而的 法向量是垂直的即可，第二問求二面角的余弦值，用兩個(gè)平而的法向量所成角的余弦值 來求得，第三問假設(shè)苴存在，設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，建立等量關(guān)系式從而求得結(jié)果，做好取舍 即可.詳解：(1) iiE明：取陽

22、的中點(diǎn)M, AB的中點(diǎn)N.連接EM和CM,A CD H AB 且2E，M分別為P4，陽的中點(diǎn).EW 初且 EM =-AB2:.EM /CD負(fù)EM =CD，四邊形CDEW為平行四邊形，:DECM、CMu 平而 PBC , £>E<z 平面 PBC ,. DE | 平而 BPC.(1) 由題意可得DA，DC, DP兩兩互相垂直，如果，以D為原點(diǎn)，D4，DC, DP分別是X, y, z軸建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz,則4(1, 0,0), B(l,2,0), C(0,1,0), P(0,0,1), E(F設(shè)平而PBC的法向雖:為/n = (x, y, z)BC = (-l,-l

23、,0), CP = (O,-l,l)歷.EC = 0 . x = -ym CP = - y + Z = 0 y = Z ： m DE = 0> : DE 丄 m:.DE 平面PBC（2）設(shè)點(diǎn)F坐標(biāo)為（1昇，0）則CF = (l,r-l,O),血= (1,2,0),由喬麗=0得 = *， F（l，*'°設(shè)平而FPC的法向量為n=（x,CF =b4°"竺=0得.n-FC = 0_y+z=01 嚴(yán)x-y = 0rV = 7 令 X = 1 ” = (1,2,2) y = 2xm-n=-l + 2+2 = 3n| L - 亓歷 3則"滬麗=遠(yuǎn)=丁

24、又由圖可知，該二面角為銳角 故二而角的余弦值呼_ - 一 _ (3)設(shè) AQ = AAP = (-A, 0, 2), 2g0, 1, :.FQ = FA + AQ = 一兄，一牙,亓.耳=兄一1cos(尸0, n=3譏與平而PFC所成角的余弦值是其正弦值為晳22-2=£,整理得:2022+82-1 = 0.解得：A = -存在滿足條件的點(diǎn)0 入0 = (一77?，°，77?'且|(2|=k 1010 丿 1 10點(diǎn)睛：在解決立體幾何問題時(shí)，尤苴空間關(guān)系的時(shí)候，可以有兩種方法，一是常規(guī)法， 二是空間向量法，在應(yīng)用而的法向量所成角來求二而角的時(shí)候，一沱需要分淸楚是其補(bǔ)

25、角還是其本身，在涉及到是否存在類問題時(shí)，都是先假設(shè)存在，最后求出來就是有，推 出矛盾就是沒有.18. 若函數(shù)/aX(sinx+dg)在冷彳|上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【解析】先求導(dǎo)，再由導(dǎo)數(shù)在上單調(diào)遞增作等價(jià)轉(zhuǎn)化,fx)> 0在區(qū)間恒成立即可【詳解】 由 /(x) = r (sinx + 6/cosx) => ffx) = ex sinx + cosx + o(cosx-sinx), 要使/(x)在區(qū)間 py單增，即fx)> 0在區(qū)間彳冷 恒成立,即 sinx+cosx+a(恒成立,JT當(dāng)x =-時(shí)恒成立:4當(dāng)"時(shí),sin x + cos x tan x +1

26、 一 2a <= 1 +sin x-cos x tanx-1 tanx-1時(shí)，1 +1,故 1 + -G(l,+co),故 a<2tan x -1tanx-1當(dāng)*彳時(shí)，*1, 綜上所述，a< 故答案為：a<【點(diǎn)睛】本題考査利用導(dǎo)數(shù)和函數(shù)在左區(qū)間的單調(diào)性求解參數(shù)取值范用，屬于中檔題19. 已知函數(shù)f(x) = Inx.g(x) = A +-1, (a9 bWR)x(1) 當(dāng)gi, b=0時(shí),求曲線y=f(x)-g(x)x=i處的切線方程：(2) 當(dāng)歸0時(shí)，若對任意的xel, 2,滄)+g(x*0恒成立，求實(shí)數(shù)4的取值范圍;(3) 當(dāng)fl=o, bo時(shí)，若方程/(x)=g(

27、x)有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解E X2(X1<X2),求證:Xl+X2>2.【答案】(I) x + y-3 = o (2)二+8)(3)證明見解析2【解析】(1)求出y = /(x)-g(x)的導(dǎo)函數(shù),求出函數(shù)在x = l時(shí)的導(dǎo)數(shù)得到切線的斜 率，然后用一般式寫岀切線的方程；(2)對 Vxefl, 2, f(x) + g(x)O 都成立，則對 Vxel, 2, a-x2/nx+x2,恒成立構(gòu)造函數(shù)/i(x) = -x2lnx + x2(12),求出 的最大值可得d的范圍；(3) 由 f(x) = g(x),得lnx-bx+l = 0,構(gòu)造函數(shù)F(x) = lnx-bx+l(x>0),將問2題轉(zhuǎn)化為證明F(-x1)>0 = F(x1),然后構(gòu)造函數(shù)證明 bF(-xl)> F(xJ = 0 = F(x.)即可.b【詳解】(1)當(dāng) d = l 時(shí)，b = 0時(shí),t 1 2y>X X 當(dāng)x=