2222橢圓的簡單幾何性質(zhì)

1、復習：復習：1.橢圓的定義: 平面內(nèi)，到兩定點平面內(nèi)，到兩定點f1、f2的距離之和為常數(shù)的距離之和為常數(shù)（大于（大于|f1f2 |）的動點的軌跡叫做橢圓。）的動點的軌跡叫做橢圓。2.橢圓的標準方程是：3.橢圓中a,b,c的關(guān)系是:a2=b2+c2|)|2(2|2121ffaapfpf當焦點在當焦點在x軸上時軸上時當焦點在當焦點在y軸上時軸上時)0( 12222babyax)0( 12222babxay二、二、橢圓橢圓 簡單的幾何性質(zhì)簡單的幾何性質(zhì)12222byax -axa, -byb 知知 橢圓落在橢圓落在x=a,y= b組成的矩形中組成的矩形中, 122 ax得：得：122 by oyb2

2、b1a1a2f1f2cab1、范圍：、范圍：2、橢圓的對稱性、橢圓的對稱性yxop（x，y）p1（-x，y）p2（-x，-y）對稱性對稱性： oyb2b1a1a2f1f2cab從圖形上看，從圖形上看，橢圓關(guān)于橢圓關(guān)于x軸、軸、y軸、原點對稱。軸、原點對稱。從方程上看：從方程上看：（1）把）把x換成換成-x方程不變，圖象關(guān)于方程不變，圖象關(guān)于y軸對稱；軸對稱；（2）把）把y換成換成-y方程不變，圖象關(guān)于方程不變，圖象關(guān)于x軸對稱；軸對稱；（3）把）把x換成換成-x，同時把，同時把y換成換成-y方程不變，圖象關(guān)于原點成中方程不變，圖象關(guān)于原點成中心對稱。心對稱。3、橢圓的頂點、橢圓的頂點)0(12

3、222babyax令令 x=0，得，得 y=？，說明橢圓與？，說明橢圓與 y軸的交點？軸的交點？令令 y=0，得，得 x=？說明橢圓與？說明橢圓與 x軸的交點？軸的交點？*頂點：橢圓與它的對稱軸頂點：橢圓與它的對稱軸的四個交點，叫做橢圓的的四個交點，叫做橢圓的頂點。頂點。*長軸、短軸：線段長軸、短軸：線段a1a2、b1b2分別叫做橢圓的長軸分別叫做橢圓的長軸和短軸。和短軸。a、b分別叫做橢圓的長半分別叫做橢圓的長半軸長和短半軸長。軸長和短半軸長。 oyb2b1a1a2f1f2cab(0,b)(a，0)(0,-b)(-a，0)123-1-2-3-44y123-1-2-3-44y1 2 3 4 5

4、-1-5-2-3-4x1 2 3 4 5-1-5-2-3-4x根據(jù)前面所學有關(guān)知識畫出下列圖形根據(jù)前面所學有關(guān)知識畫出下列圖形1162522yx142522yx（1）（2）a1 b1 a2 b2 b2 a2 b1 a1 4、橢圓的離心率橢圓的離心率e(刻畫橢圓扁平程度的量刻畫橢圓扁平程度的量)ace 離心率：橢圓的焦距與長軸長的比：離心率：橢圓的焦距與長軸長的比：叫做橢圓的離心率。叫做橢圓的離心率。1離心率的取值范圍：離心率的取值范圍：2離心率對橢圓形狀的影響：離心率對橢圓形狀的影響：0ebabceaa2=b2+c2標準方程標準方程范圍范圍對稱性對稱性 頂點坐標頂點坐標焦點坐標焦點坐標半軸長半

5、軸長離心率離心率 a a、b b、c c的關(guān)的關(guān)系系22221(0)xyabab|x| a,|y| b關(guān)于關(guān)于x x軸、軸、y y軸成軸對稱；軸成軸對稱；關(guān)于原點成中心對稱關(guān)于原點成中心對稱(a,0)、(-a,0)、(0,b)、(0,-b)(c,0)、(-c,0)長半軸長為長半軸長為a a, ,短半軸長為短半軸長為b. b. ababceaa2=b2+c222221(0)xyabba|x| b,|y| a(b,0)、(-b,0)、(0,a)、(0,-a)(0 , c)、(0, -c)例例1 1已知橢圓方程為已知橢圓方程為9 9x x2 2+25y+25y2 2=225,=225, 它的長軸長是

6、它的長軸長是： 。短軸長是短軸長是： 。焦距是焦距是： 。 離心率等于離心率等于： 。焦點坐標是焦點坐標是： 。頂點坐標是頂點坐標是： 。 外切矩形的面積等于外切矩形的面積等于： 。 1068(0, 4)60解題的關(guān)鍵：解題的關(guān)鍵：1、將橢圓方程轉(zhuǎn)化為標、將橢圓方程轉(zhuǎn)化為標準方程準方程 明確明確a、b192522yx2、確定焦點的位置和長軸的位置、確定焦點的位置和長軸的位置54練習：已知橢圓練習：已知橢圓 的離心率的離心率 求求m的值及橢圓的長軸和短軸的長、焦點坐的值及橢圓的長軸和短軸的長、焦點坐標、頂點坐標。標、頂點坐標。22(3)(0)xmym m3,2e 練習：練習：求下列橢圓的長軸長、

7、短軸長、焦點坐標、頂點坐標和離求下列橢圓的長軸長、短軸長、焦點坐標、頂點坐標和離心率。心率。（1）x2+9y2=81 (2) 25x2+9y2=225 (3) 16x2+y2=25 (4) 4x2+5y2=1例例2求適合下列條件的橢圓的標準方程求適合下列條件的橢圓的標準方程經(jīng)過點經(jīng)過點p(3,0)、q(0,2)；長軸長等于長軸長等于20，離心率，離心率3/5。一焦點將長軸分成一焦點將長軸分成：的兩部分，且經(jīng)過點的兩部分，且經(jīng)過點3 2,4p 22194xy解解： 方法一：設方程為方法一：設方程為mx2ny21（m0，n0，mn），），將點的將點的坐標方程，求出坐標方程，求出m1/9,n1/4。

8、方法二：利用橢圓的幾何性質(zhì)，以坐標軸為對稱軸的橢圓與坐標軸的交點就是方法二：利用橢圓的幾何性質(zhì)，以坐標軸為對稱軸的橢圓與坐標軸的交點就是橢圓的頂點，于是焦點在橢圓的頂點，于是焦點在x軸上，且點軸上，且點p、q分別是橢圓長軸與短軸的一個端點分別是橢圓長軸與短軸的一個端點，故，故a3，b2，所以橢圓的標準方程為，所以橢圓的標準方程為 注注：待定系數(shù)法求橢圓標準方程的步驟：待定系數(shù)法求橢圓標準方程的步驟： 定型；定型； 定量定量2213632xy22110064xy22110064yx或或22114529049yx 或或練習：練習：1. 根據(jù)下列條件，求橢圓的標準方程。根據(jù)下列條件，求橢圓的標準方程

9、。 長軸長和短軸長分別為長軸長和短軸長分別為8 8和和6 6，焦點在，焦點在x x軸上軸上 長軸和短軸分別在長軸和短軸分別在y y軸，軸，x x軸上，經(jīng)過軸上，經(jīng)過p(-2,0)p(-2,0)， q(0,-3)q(0,-3)兩點兩點. .一焦點坐標為（一焦點坐標為（3 3，0 0）一頂點坐標為（）一頂點坐標為（0 0，5 5）兩頂點坐標為（兩頂點坐標為（0 0，6），且經(jīng)過點（），且經(jīng)過點（5，4）焦距是焦距是1212，離心率是，離心率是0.60.6，焦點在，焦點在x x軸上。軸上。2. 2. 已知橢圓的一個焦點為已知橢圓的一個焦點為f f（6 6，0 0）點）點b b，c c是短是短軸的兩端

10、點，軸的兩端點，fbcfbc是等邊三角形，求這個橢圓的是等邊三角形，求這個橢圓的標準方程。標準方程。例例3：(1)橢圓橢圓 的左焦點的左焦點 是兩個頂點，如果到直線是兩個頂點，如果到直線ab的距的距 離為離為 ，則橢圓的離心率，則橢圓的離心率e= .(3)設設m為橢圓為橢圓 上一點，上一點， 為橢圓的焦點，為橢圓的焦點， 如果如果 ，求橢圓的離心率。，求橢圓的離心率。22221(0)xyabab1(,0),fc(,0),(0, )aabb7b22221xyab12ff、122175 ,15mffmf f小結(jié)：小結(jié)：本節(jié)課我們學習了橢圓的幾個簡單幾何性質(zhì)：范圍、本節(jié)課我們學習了橢圓的幾個簡單幾何

11、性質(zhì)：范圍、對稱性、頂點坐標、離心率等概念及其幾何意義。對稱性、頂點坐標、離心率等概念及其幾何意義。了解了研究橢圓的幾個了解了研究橢圓的幾個基本量基本量a a，b b，c c，e e及頂點、及頂點、焦點、對稱中心及其相互之間的關(guān)系焦點、對稱中心及其相互之間的關(guān)系，這對我們解，這對我們解決橢圓中的相關(guān)問題有很大的幫助，給我們以后學決橢圓中的相關(guān)問題有很大的幫助，給我們以后學習圓錐曲線其他的兩種曲線扎實了基礎。在解析幾習圓錐曲線其他的兩種曲線扎實了基礎。在解析幾何的學習中，我們更多的是從方程的形式這個角度何的學習中，我們更多的是從方程的形式這個角度來挖掘題目中的隱含條件，需要我們認識并熟練掌來挖掘題目中的隱含條件，需要我們認識并熟練掌握握數(shù)與形數(shù)與形的聯(lián)系。在本節(jié)課中，我們