第二章等額年金上PPT課件

1、1第二章等額年金（上）等額年金（上）2主要內(nèi)容v年金的定義年金的定義v年金的類型年金的類型v年金的現(xiàn)值與終值年金的現(xiàn)值與終值v年金的利率問題、時間問題求解年金的利率問題、時間問題求解3一、年金的定義v年金是指在相等的時間間隔內(nèi)的一系列支付年金是指在相等的時間間隔內(nèi)的一系列支付或收款。或收款。v等額年金：每次的支付額相等。等額年金：每次的支付額相等。4二、年金的類型v確定性分類：確定型年金、不確定型年金。確定性分類：確定型年金、不確定型年金。v每次的支付額分類：等額年金、變額年金。每次的支付額分類：等額年金、變額年金。v支付時點分類：期初付年金、期末付年金。支付時點分類：期初付年金、期末付年金。

2、v支付期限分類：定期年金、永續(xù)年金。支付期限分類：定期年金、永續(xù)年金。v連續(xù)性年金：離散型年金、連續(xù)型年金。連續(xù)性年金：離散型年金、連續(xù)型年金。5三、年金的現(xiàn)值與終值v1、n年定期年金年定期年金v1）期末付年金）期末付年金v現(xiàn)值現(xiàn)值0 1 2 3 n1 1 1 1vv2vn6。nnvvva2ivn1vvvn1)1(年金。元的，則每年末可得到年初存入1na7上式可寫成：nnvia1期初投資期初投資1元，每年末可獲得利息元，每年末可獲得利息i，且第且第n年末可獲得本金年末可獲得本金1元。元。8年金終值v.0 1 n-2 n-1 n1 1 1 11+i(1+i）2(1+i)n-19。12)1 ()1

3、 ()1 (1nniiisnsiin1)1 (每年末存入1元，第n年末可得)1 (1)1 (1iin10的關(guān)系與nnsannnias)1 ( 11證明：iiiisnn1)1 (1證：isann11nnnnaviiii111)1 ()1 (122）期初付年金v現(xiàn)值0 1 2 n-2 n-1 n1 1 1 1 1 vv2vn-113。121nnvvva vvn11dvn1nnvad 1或：14終值v。0 1 n-2 n-1 n1 1 1 1 1+i(1+i)2(1+i)n15。diiiisnnn1)1()1()1()1(2 16dsaiassannnnnnn 11)1(或：的關(guān)系與17期初付年金與

4、期末付年金期初付年金與期末付年金nnaia)1 ( nnsis)1 ( 18其他111111nnnnnnssaaaa 19例：王平從銀行貸款例：王平從銀行貸款20，000元，他想在今后的元，他想在今后的10年年內(nèi)等額還清貸款，貸款年利率為內(nèi)等額還清貸款，貸款年利率為15%。求：。求：1）每年末的還款額；）每年末的還款額；2）每年初的還款額）每年初的還款額。v解:元04.3985200001200001010pivppa1010200001200003485.25pavpdp元202、延期、延期m年的年的n年期年金年期年金v1）期末付延期年金v現(xiàn)值0 m m+1 m+n-1 m+n 1 1 1v

5、m+1vm+n-1vm+n21。v或：mnmnmaaanmnmmmnmvvvva121nmav)(2nmvvvv22終值nnnnmsiiiiis1)1 ()1 ()1 ()1 (112nmnmnmias)1 (或：或：232)期初付延期年金v現(xiàn)值11nmmmnmvvva mnmnmaaa 或：)1 (12nmvvvvnmav 24。v終值 nnnnmsdiiiis 1)1 ()1 ()1 ()1 (2nmnmnmias)1 ( 或：或：25例：例：3，000元的債務(wù)從第元的債務(wù)從第5年初開始，每年初償還相年初開始，每年初償還相同的數(shù)額，共分同的數(shù)額，共分15次還清，年利率為次還清，年利率為8%

6、，求年還債，求年還債額。額。解：解：元51.441)08. 01)(3121. 36036. 9()(3000419154ppaapap 263、永續(xù)年金、永續(xù)年金v1）期末付年金現(xiàn)值）期末付年金現(xiàn)值v2）期初付年金現(xiàn)值）期初付年金現(xiàn)值iivaannnn11limlimddvaannnn11limlim 期初投資期初投資 元，則元，則每年可獲得每年可獲得1元元期初投資期初投資 元，元，則則每年可獲得每年可獲得1元元d1i1273）延期）延期m年的永續(xù)年金年的永續(xù)年金dvavaivavamnmnmmnmnm limlim284、其他時點上的年金v過期年金的終值mnmniss)1 ( 0 1 -

7、n n+1 n+m 1 - 1mnmniss)1 ( mnmssmnmss 同理：同理：29.v年金的當前值年金的當前值mnnmiav)1 ( 0 1 - m n 1 - 1 1 1mnnmiav)1 ( mnmasmnmas 同理：同理：30例：某投資項目，前例：某投資項目，前3年每年初投資年每年初投資5萬元，后萬元，后3年每年每年末投資年末投資3萬元，萬元，i=6%，試計算該項投資在，試計算該項投資在10年末的年末的終值終值v解：前3年投資在10年末的終值為：v后3年投資在第10年末的終值為：v總的終值為：37.43萬元萬元06.12)1 (334343iss萬元37.25)1 (5573

8、73iss 315、連續(xù)年金、連續(xù)年金v現(xiàn)值11)1()1ln()1()1(1ln1ln0000aiiidtisvvvvvdtvannnttnnnnnttn永續(xù)年金終值32例：某企業(yè)從銀行獲得一筆貸款，年利率為例：某企業(yè)從銀行獲得一筆貸款，年利率為6%，假設(shè)企業(yè)每，假設(shè)企業(yè)每年末向銀行償還年末向銀行償還20，000元，元，10年后還清，如果企業(yè)打算在年后還清，如果企業(yè)打算在5年內(nèi)一次還清，試求一次還清的額度。年內(nèi)一次還清，試求一次還清的額度。v解： 元0617.196982747285. 0360087. 720000)1 (20000510pipa33李明今年李明今年30歲，他計劃每年初存歲

9、，他計劃每年初存300元，共存元，共存30年建年建立個人養(yǎng)老金，這筆存款能使他從立個人養(yǎng)老金，這筆存款能使他從60歲退休開始每年歲退休開始每年初得到固定金額的養(yǎng)老金，共能取初得到固定金額的養(yǎng)老金，共能取20年，假設(shè)存款利年，假設(shè)存款利率在前率在前30年為年為6%，后，后20年為年為12%，求每年得到的養(yǎng)，求每年得到的養(yǎng)老金額。老金額。v解：%1220%630300aps 元78.3365p34例：某單位計劃用例：某單位計劃用10年時間每年初存入銀行一筆固定年時間每年初存入銀行一筆固定的金額建立基金，用于的金額建立基金，用于10年末開始每年年末開始每年2，000元的永元的永續(xù)獎勵支出，續(xù)獎勵支出

10、，i=12%,求每年需存入的金額。求每年需存入的金額。%12%12102000asp 元74.949p解：解：35例：設(shè)某期初付年金共支付例：設(shè)某期初付年金共支付20年，其中：前年，其中：前6年的年金額為年的年金額為5元，元，中間中間9年的年金額為年的年金額為7元，后元，后5年的年金額為年的年金額為10元，請寫出年金元，請寫出年金現(xiàn)值和終值的表達式?，F(xiàn)值和終值的表達式。5159661075aaa 146595)1 (5)1 (710isiss 解：現(xiàn)值解：現(xiàn)值終值終值36四、年金的利率、時間問題求解四、年金的利率、時間問題求解v1、利率問題、利率問題v1）迭代法一）迭代法一v2）newton-

11、raphson迭代法迭代法371）迭代法一v迭代公式迭代公式)(1ttifi38步驟v第一步第一步 ：確定：確定i0，求，求i1；va、i0 可由線性插值法確定；可由線性插值法確定；vb、泰勒級數(shù)前兩項確定。、泰勒級數(shù)前兩項確定。)121(1)211 (1122inninnan) 1()(2) 1()(20naannaaninn39第二步：由第二步：由i1求求i2，以此類推，以此類推。 v可得i0、i1、i2-，直到it+1it為止。v確定迭代公式：aiiann)1 (1aiin)1(1得：40。v得：aiintt)1 (11缺點：收斂速度慢。即達到精確值的速度慢。缺點：收斂速度慢。即達到精確

12、值的速度慢。412）newton-raphson迭代公式2 , 1 , 0a)1(1 )1 (1)1 (11)1(1taniiaiiiintnttnttt其中：) 1()(20naani優(yōu)點：速度快優(yōu)點：速度快。42推導n-r近似公式v。)()()(11tttttifiiifif0)(1tif令：)()(1ttttififii得：43。aiiann)1 (1令：aiiiftntt)1 (1)(得：2 , 1 , 0a)1(1 )1 (1)1 (11)1(1taniiaiiiintnttnttt其中：44如果已知如果已知 ，則迭代公式，則迭代公式ns1)1(1 )1 (1)1 (111niisi

13、iiitnttnttt其中：其中：) 1()(22 , 1 , 00nsnsitssn45例、某人存入銀行例、某人存入銀行8，000元，然后每年末從銀行支取元，然后每年末從銀行支取1，000元，共取元，共取10年，求：年，求：iv解法一：線性插值法。8100080001010aa8)(10 aif試算得：試算得：f(0.040)=0.1109=f(i2) f(0.045)=-0.0873=f(i1)04280. 0)()()()(1211210ifififiiii令：令：46解二：迭代一：045. 0) 110(8)810(20iaiintt)1 (11i(0)=0.045 i(1)=0.04

14、48583 i(2)=0.0443989 i(6)=0.0433879 i(7)=0.0432567i(8)=0.0431539 - i(42)=0.04277506 i(43)=0.0427750 i(44)=0.0427750由公式：由公式：47解法三，n-r迭代法045. 0118)810(2) 1()(20naani2 , 1 , 0a)1(1 )1 (1)1 (11) 1(1taniiaiiiintnttnttt其中：042775. 0042775. 0042748. 004545. 0045. 043210iiiii由由n-r公式：公式：得：得：i=0.042775482、時間問題

15、v1）解析式ivann1viannln)1ln( 492）小額支付v當當n為非整數(shù)時，有小額支付問題。為非整數(shù)時，有小額支付問題。0 1 k-1 k s k+1 1 1 1 w n=k+s s1最后一次支付額w150w的計算skknwvaa51w的提前支付vw在第k+1年初的現(xiàn)值。v最后一次取款額為swvp swv152w的延時支付vw在第k+1年末的終值。siw1)1 (53例：投資者將其例：投資者將其20，000元存入某基金，希望元存入某基金，希望在每年末領(lǐng)取在每年末領(lǐng)取1，000，i=4.5%，求：，求：v1）領(lǐng)取的時間及取款的次數(shù)；）領(lǐng)取的時間及取款的次數(shù)；v2）最后一次的取款額；）最

16、后一次的取款額；v3）最后一次取款額在當年的現(xiàn)值和終值。）最后一次取款額在當年的現(xiàn)值和終值。54解：v1）求n20200001000nnaa3114.52)1ln()201ln(iin取款次數(shù)為取款次數(shù)為53次次552）設(shè)小額支付為w元7 .3061000200003114.5252wwva563）如果如果w在在53年初支付，則其現(xiàn)值為：年初支付，則其現(xiàn)值為：元52.3023114.0 wva元14.316)1 (3114. 01iwb如果如果w在在53年末支付，則其終值為：年末支付，則其終值為：57五、可變利率年金五、可變利率年金v假設(shè)每年的實際利率分別為假設(shè)每年的實際利率分別為i1、i2、

17、-in。v1、期末付年金、期末付年金0 i1 1 i2 2 n-2 in-1 n-1 in n 1 1 1 1 158現(xiàn)值11111111211)1()1()1()1()1()1(iiiiiiannn11121vvvvvvnnnttssi111)1 (59終值v。 )1 ()1 ()1 ()1 ()1 ()1 (1321nnnnniiiiiisnttssni1101)1 (602、期初付年金、期初付年金111211111211)1 ()1 ()1 ()1 ()1 ()1 (1iiiiiiannn )1()1()1()1()1()1(211nnnnniiiiiis 現(xiàn)值現(xiàn)值終值終值613、如果支

18、付時，以當年利率為標準、如果支付時，以當年利率為標準。1221)1 ()1 ()1 (1nnnniiisnnniiia)1()1()1(2211nnnniiis)1 ()1 ()1 (121 )1(12211)1 ()1 ()1 (1nnniiia 62例：某人每年初存入銀行例：某人每年初存入銀行1，000元，前元，前4年的年利率年的年利率為為6%，后，后6年的年利率為年的年利率為10%，試求該年金的終值和，試求該年金的終值和現(xiàn)值?，F(xiàn)值。v解：元06.1670217.848789.82141000%)101 (1000%1066%64ss 元77.7467%)61 (%)101 (06.167

19、0246終值：終值：現(xiàn)值：現(xiàn)值：63例：在每年初投資例：在每年初投資1，000元，為期元，為期5年。如果前年。如果前2年的年的投資按年實際利率投資按年實際利率5%計算，后計算，后3年的投資按年實際利年的投資按年實際利率率6%計算，試計算該項投資在第計算，試計算該項投資在第5年末的價值。年末的價值。v解：前2年的投資在第5年末的價值為：v后3年的投資在第5年末的價值為：v總價值為：3%52%)51 (1000s %631000s %631000s 3%52%)51 (1000s 元4 .586664第2章練習題v。651、某人想用分期付款方式購買一輛現(xiàn)價為、某人想用分期付款方式購買一輛現(xiàn)價為10

20、萬元的萬元的汽車，如果首期支付一筆款項后，在今后的汽車，如果首期支付一筆款項后，在今后的5年內(nèi)每年內(nèi)每月末付款月末付款2，000元即可付清車款，假設(shè)每月結(jié)轉(zhuǎn)一次元即可付清車款，假設(shè)每月結(jié)轉(zhuǎn)一次利息的年名義利率為利息的年名義利率為8%，試計算首期付款的金額為，試計算首期付款的金額為多少？多少？v2、某人將在10年后退休，他打算從現(xiàn)在開始每年初向一種基金存入2，000元，如果每年的收益率為6%，試計算他在退休時可以積存多少退休金？v3、某人從2000年3月1日起，每月可以領(lǐng)取200元，直到2010年6月1日。如果每月結(jié)轉(zhuǎn)一次利息的年名義利率為6%，試計算：1）年金的現(xiàn)值；2)年金的終值；3)年金在

21、2005年12月31日的值。664、某人在今后的、某人在今后的20年內(nèi)，每年初向一基金存入年內(nèi)，每年初向一基金存入10，000元，從第元，從第30年開始，每年末可以領(lǐng)取一筆退休金。年開始，每年末可以領(lǐng)取一筆退休金。該基金的收益率為該基金的收益率為6%。1）如果限期領(lǐng)?。┤绻奁陬I(lǐng)取20年，每次年，每次可以領(lǐng)取多少？可以領(lǐng)取多少？2）如果無限期的領(lǐng)下去（繼承人可）如果無限期的領(lǐng)下去（繼承人可以領(lǐng)?。┟看慰深I(lǐng)取多少以領(lǐng)?。┟看慰深I(lǐng)取多少?v5、某人留下了10萬元的遺產(chǎn)，遺囑規(guī)定，該筆遺產(chǎn)前5年的利息收入由其長子領(lǐng)取，第二個5年的利息由其次子領(lǐng)取，從第11年開始，剩余遺產(chǎn)全部歸第三個兒子。如果實際利

22、率為8%，試計算第三個兒子在該筆遺產(chǎn)中分別占多大份額。676、某人將一筆遺產(chǎn)（每年可以領(lǐng)取的永續(xù)年金）捐、某人將一筆遺產(chǎn)（每年可以領(lǐng)取的永續(xù)年金）捐贈給了贈給了a、b、c、d四家慈善機構(gòu)。在前四家慈善機構(gòu)。在前n年，每次年，每次領(lǐng)取的款項由領(lǐng)取的款項由a、b、c三家平均分享，三家平均分享，n年后，剩余年后，剩余部分均由部分均由d領(lǐng)取。試確定當領(lǐng)取。試確定當(1+i)n為多少時，為多少時，a、b、c、d四家在該遺產(chǎn)中享有的現(xiàn)值相等。四家在該遺產(chǎn)中享有的現(xiàn)值相等。v7、假設(shè)一筆、假設(shè)一筆10，000元的貸款，計劃從第元的貸款，計劃從第5年開始在每年末償還年開始在每年末償還1，000元，直到還清為元

23、，直到還清為止。如果年實際利率為止。如果年實際利率為5%，并要求將不足，并要求將不足1，000元的一次非正規(guī)付款提前在前一年末支元的一次非正規(guī)付款提前在前一年末支付，試計算最后一次付款的時間和金額。付，試計算最后一次付款的時間和金額。688、如果年利率為、如果年利率為i，那么一筆在，那么一筆在36年內(nèi)每年末支付年內(nèi)每年末支付4，000元的元的年金，與另一筆在年金，與另一筆在18年內(nèi)每年末支付年內(nèi)每年末支付5，000元的年金將有相元的年金將有相等的現(xiàn)值。試計算等的現(xiàn)值。試計算1，000元的投資在年實際利率為元的投資在年實際利率為i時，經(jīng)過時，經(jīng)過多長時間可以翻番。多長時間可以翻番。v9、借款人原

24、計劃在每月末償還、借款人原計劃在每月末償還1，000元，元，用用5年的時間還清貸款。每月結(jié)轉(zhuǎn)一次利息的年的時間還清貸款。每月結(jié)轉(zhuǎn)一次利息的年名義利率為年名義利率為12%。如果他希望一次性支付。如果他希望一次性支付60，000元還清貸款，應該在何時償還？元還清貸款，應該在何時償還？v10、投資者每月初向一基金存入一筆款項，、投資者每月初向一基金存入一筆款項，5年后可以積存到年后可以積存到60，000元。如果前元。如果前2年每年每次存入次存入1，000元，后元，后3年每次存入年每次存入500元，試元，試計算每月結(jié)轉(zhuǎn)一次利息的名義利率。計算每月結(jié)轉(zhuǎn)一次利息的名義利率。6911、投資者每年末向一年金存

25、入、投資者每年末向一年金存入2，000元。如果在前元。如果在前2年的投資按年的投資按6%的年實際利率計算，在后的年實際利率計算，在后2年的投資年的投資按按5%的年實際利率計算，投資者在第四年末可以積的年實際利率計算，投資者在第四年末可以積存多少價值。存多少價值。v12、投資者每年末向一基金存入、投資者每年末向一基金存入2，000元。元。如果基金在前如果基金在前2年收益率為年收益率為6%，在后，在后2年的年年的年收益率為收益率為5%，投資者在第四年可以積存多少，投資者在第四年可以積存多少價值。價值。70題1。元1363200010000012%860 xax71題2。v。元279432000%6

26、10sp 72題3元20.1834120012%6123ap元97.33872)12%61 (20012312%6123as元71.26004)12%61 (2006912%6123av73題4元60881)1 (10000%62010%620papis 元41898)1 (10000%610%620papis 74題5萬元194168. 310%851iap萬元173897. 2105%852viap萬元631935. 43p75題6)1()1 (3ipipann4)1 (ni76。第1章練習題771）投資）投資1在利息強度為在利息強度為 的情況下，經(jīng)過的情況下，經(jīng)過27.72年將增加到年將增加到2，在每，在每2年計息一次的年名年計息一次的年名義利率義利率 的情況下，經(jīng)過的情況下，經(jīng)過n年增加到年增加到7.04，求，求n。272.27e04. 7)21 (2n80n解：782）基金以每月計息一次的年名義利率）基金以每月計息