九年級數(shù)學上冊 第四章 圖形的相似相似三角形的性質(zhì)及應用知識講解及例題演練 新版北師大版

1、相似三角形的性質(zhì)及應用-知識講解【學習目標】1、探索相似三角形的性質(zhì)，能運用性質(zhì)進行有關計算；2、通過典型實例認識現(xiàn)實生活中物體的相似，能運用圖形相似的知識解決一些簡單的實際問題（如何把實際問題抽象為數(shù)學問題）.【要點梳理】要點一、相似三角形的應用1.測量高度測量不能到達頂部的物體的高度，通常使用“在同一時刻物高與影長的比例相等”的原理解決.要點詮釋：測量旗桿的高度的幾種方法：平面鏡測量法 影子測量法 手臂測量法 標桿測量法2.測量距離測量不能直接到達的兩點間的距離，常構造如下兩種相似三角形求解。 1如甲圖所示，通?？上葴y量圖中的線段dc、bd、ce的距離（長度），根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，求出a

2、b的長. 2如乙圖所示，可先測ac、dc及de的長，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)計算ab的長. 要點詮釋：1比例尺：表示圖上距離比實地距離縮小的程度，比例尺= 圖上距離/ 實際距離;2太陽離我們非常遙遠，因此可以把太陽光近似看成平行光線在同一時刻，兩物體影子之比等于其對應高的比;3視點：觀察事物的著眼點（一般指觀察者眼睛的位置）;4. 仰（俯）角：觀察者向上（下）看時，視線與水平方向的夾角要點二、相似三角形的性質(zhì)1相似三角形的對應角相等，對應邊的比相等.2. 相似三角形中的重要線段的比等于相似比. 相似三角形對應高，對應中線，對應角平分線的比都等于相似比.要點詮釋：要特別注意“對應”兩個字，在應用時

3、，要注意找準對應線段.3. 相似三角形周長的比等于相似比. ，則由比例性質(zhì)可得： 4. 相似三角形面積的比等于相似比的平方.，則分別作出與的高和，則要點詮釋：相似三角形的性質(zhì)是通過比例線段的性質(zhì)推證出來的.【典型例題】類型一、相似三角形的應用1. 在斜坡的頂部有一鐵塔ab，b是cd的中點，cd是水平的，在陽光的照射下，塔影de留在坡面上。已知鐵塔底座寬cd=12m，塔影長de=18m，小明和小華的身高都是1.6m，同一時刻，小明站在點e處，影子在坡面上，小華站在平地上，影子也在平地上，兩人的影長分別為2m和1m，那么塔高ab為（ ）a.24m b.22m c.20m d.18m 【答案】 a.

4、【解析】過點d做dncd交光線ae于點n，則,dn=14.4，又am:mn=1.6:1，am=1.6mn=1.6bd=1.6×6=9.6(m).塔高ab=am+dn=14.4+9.6=24(m)，所以選a.【總結升華】解決本題的難點是把塔高的影長分為在平地和斜坡上兩部分；關鍵是利用平地和斜坡上的物高與影長的比得到相應的部分塔高的長度舉一反三：【變式】已知：如圖，陽光通過窗口照射到室內(nèi)，在地面上留下1.5m寬的亮區(qū)de.亮區(qū)一邊到窗下的墻腳距離ce=1.2m，窗口高ab=1.8m，求窗口底邊離地面的高度bc. 【答案】作efdc交ad于f.adbe，又， ，. abef， adbe，四

5、邊形abef是平行四邊形，ef=ab=1.8m. m.2. 如圖，直立在b處的標桿ab=2.4m，直立在f處的觀測者從e處看到標桿頂a、樹頂c在同一條直線上（點f，b，d也在同一條直線上）已知bd=8m，fb=2.5m，人高ef=1.5m，求樹高cd【答案與解析】解：過e作ehcd交cd于h點，交ab于點g，如下圖所示：由已知得，effd，abfd，cdfd，ehcd，ehab，四邊形efdh為矩形，ef=gb=dh=1.5米，eg=fb=2.5米，gh=bd=8米，ag=abgb=2.41.5=0.9米，ehcd，ehab，agch，aegceh，解得：ch=3.78米，dc=ch+dh=3

6、.78+1.5=5.28米答：故樹高dc為5.2米【總結升華】本題考查了相似三角形在實際問題中的運用，關鍵是正確作出輔助線，構造出相似三角形類型二、相似三角形的性質(zhì)3.如圖，直角三角形紙片的兩直角邊長分別為6、8，按如圖那樣折疊，使點a與點b重合，折痕為de，則sbce：sbde等于（ ）.a. 2：5 b14:25 c16:25 d. 4:21 【思路點撥】相似三角形的面積比等于相似比的平方，但是一定要注意兩個三角形是否相似.【答案】b.【解析】由已知可得ab=10，ad=bd=5，設ae=be=x, 則ce=8-x,在rtbce中，x2-(8-x)2=62,x=,由adeacb得，sbce

7、：sbde=（64-25-25）：25=14:25，所以選b.【總結升華】關鍵是要確定哪兩個是相似三角形.舉一反三【變式】在銳角abc中，ad,ce分別為bc,ab邊上的高，abc和bde的面積分別等于18和2，de=2,求ac邊上的高.【答案】過點b做bfac,垂足為點f， ad,ce分別為bc,ab邊上的高，adb=ceb=90°，又b=b，rtadbrtceb,且b=b，ebdcba,又de=2，ac=6，4. 如圖，正方形abcb1中，ab=1ab與直線l的夾角為30°，延長cb1交直線l于點a1，作正方形a1b1c1b2，延長c1b2交直線l于點a2，作正方形a2

8、b2c2b3，延長c2b3交直線l于點a3，作正方形a3b3c3b4，依此規(guī)律，則a2014a2015= 【思路點撥】本題考查相似三角形的判定與性質(zhì)以及正方形的性質(zhì)，根據(jù)已知條件得到a1b1=，aa1=2，同理：a2a3=2（）2，a3a4=2（）3，從而找出規(guī)律答案即可求出 【答案與解析】2（）2014 解：四邊形abcb1是正方形，ab=ab1，abcb1，aba1c，ca1a=30°，a1b1=，aa1=2，a1b2=a1b1=，a1a2=2，同理：a2a3=2（）2，a3a4=2（）3，anan+1=2（）n，a2014a2015=2（）2014，故答案為：2（）2014【總結升華】本題是相似性質(zhì)的運用與找規(guī)律相結合的一道題，要注意從特殊到一般形式的變換規(guī)律.舉一反三：【變式】如圖，已知中，點在上， (與點不重合)，點在上.(1)當?shù)拿娣e與四邊形的面積相等時，求的長.(2)當?shù)闹荛L與四邊形的周長相等時，求的長. 【答案】 (1)，.  , .   . (2)的周長與四邊形的周長相等.  ,=6. , .  .,. 6edbc3191f2351dd815ff33d4435f3756edbc3191f2351dd815f