級數(shù)概念和性質(zhì)PPT課件

1、1一、常數(shù)項(xiàng)級數(shù)的概念一、常數(shù)項(xiàng)級數(shù)的概念 nS 引例1. 用圓內(nèi)接正多邊形面積逼近圓面積.依次作圓內(nèi)接正),2, 1,0(23nn邊形, 這個(gè)和逼近于圓的面積 S .0a1a2ana設(shè) a0 表示,時(shí)n即012nSaaaa內(nèi)接正三角形面積, ak 表示邊數(shù)增加時(shí)增加的面積, 則圓內(nèi)接正邊形面積為n23limnnS第一節(jié) 級數(shù)的概念和性質(zhì) 第1頁/共24頁2引例引例2. (神秘的康托爾塵神秘的康托爾塵集集)把0,1區(qū)間三等分, 舍棄中間的開區(qū)間),(3231,31將剩下的兩個(gè)子區(qū)間分別三等分,并舍棄在中間的開區(qū)間,如此反復(fù)進(jìn)行這種“棄中”操作,問丟棄部分的總長和剩下部分的總長各是多少？丟棄的各

2、開區(qū)間長依次為,232,3232,4332,321nn故丟棄部分總長nnl3232323231143322丟1323322323231)()()(1n1321131剩余部分總長01丟剩ll 剩余部分總長雖然為0, 但康托爾證明了其成員和實(shí)數(shù)“一樣多”,它們象塵埃一樣散落在0,1區(qū)間上, 人們稱其為康托爾塵集.01313291929798第2頁/共24頁31 1、級數(shù)的定義、級數(shù)的定義: : nnnuuuuu3211 (常數(shù)項(xiàng))無窮級數(shù)一般項(xiàng)部分和數(shù)列 niinnuuuuS121級數(shù)的部分和,11uS ,212uuS ,3213uuuS ,21nnuuuS 如何定義無窮個(gè)數(shù)相加？第3頁/共24頁

3、4當(dāng)當(dāng) n時(shí)時(shí), ,如如果果級級數(shù)數(shù) 1nnu的的部部分分和和數(shù)數(shù)列列 nS有有極極限限S , , 如果數(shù)列如果數(shù)列nS沒有極限沒有極限, ,則稱無窮級數(shù)則稱無窮級數(shù) 1nnu發(fā)散發(fā)散. . 2 2、級數(shù)的收斂與發(fā)散、級數(shù)的收斂與發(fā)散: :即即 SSnn lim, ,則則稱稱無無窮窮級級數(shù)數(shù) 1nnu收收斂斂, , 這這時(shí)時(shí)極極限限S叫叫做做級級數(shù)數(shù) 1nnu的的和和，并并寫寫成成 Sunn 1當(dāng)級數(shù)收斂時(shí), 稱差值21nnnnuuSSr為級數(shù)的余項(xiàng).顯然0limnnr第4頁/共24頁5解，如如果果1 q12 nnaqaqaqaS，qaqan 1,1時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) q0lim nnqqaSnn 1l

4、im,1時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) q nnqlim nnSlim收斂發(fā)散例1討論等比級數(shù)(幾何級數(shù)) nnnaqaqaqaaq20)0( a的收斂性. 第5頁/共24頁62). 若1,q 1,q 當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)anSn因此級數(shù)發(fā)散 ;1,q 當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)aaaaan 1) 1(因此nSn 為奇數(shù)n 為偶數(shù)從而nnSlim則,級數(shù)成為,a,0不存在 , 因此級數(shù)發(fā)散.)0(,0aqann 綜上所述, 發(fā)散發(fā)散時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)收斂收斂時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng),1|,1|0qqaqnnqa 1第6頁/共24頁7例例2. 判別下列級數(shù)的斂散性判別下列級數(shù)的斂散性: .) 1(1)2( ;1ln) 1 (11nnnnnn解: (1) 12lnnSnnl

5、n) 1ln()2ln3(ln) 1ln2(ln) 1ln( n）n(所以級數(shù) (1) 發(fā)散 ;技巧:利用 “拆項(xiàng)相消” 求和23ln34lnnn1ln討論討論級數(shù)級數(shù) 1)11ln(nn的斂散性的斂散性. . 第7頁/共24頁8(2) ) 1(1431321211nnSn211111n）n(1所以級數(shù) (2) 收斂, 其和為 1 .31214131111nn技巧:利用 “拆項(xiàng)相消” 求和好處：可以計(jì)算級數(shù)的和的值第8頁/共24頁9解)12)(12(1 nnun, )121121(21 nn)12()12(1531311 nnSn)121121(21)5131(21)311(21 nn)121

6、1(21 n.21, 且和為且和為級數(shù)收斂級數(shù)收斂,)(21 n練習(xí)：討論無窮級數(shù) )12()12(1531311nn的收斂性. 第9頁/共24頁10二、級數(shù)的重要性質(zhì)二、級數(shù)的重要性質(zhì)性質(zhì)1 (級數(shù)收斂的必要條件)若級數(shù)若級數(shù) 1nnu收斂收斂, ,則必有則必有0lim nnu. . 證明，SSnn lim,1 nnnSSu)(limlim1 nnnnnSSuSS .0 1limlim nnnnSS注：正項(xiàng)級數(shù)收斂的本質(zhì) un 0足夠快。第10頁/共24頁11若若級級數(shù)數(shù) 1nnu收收斂斂, ,則則必必有有0lim nnu. . 說明：1、如果級數(shù)的一般項(xiàng)不趨于零,則級數(shù)發(fā)散； 1)1(43

7、32211nnn例例如如 級數(shù)發(fā)散；,0nu所以所以,1|nu n2cos8cos4cos2cos ，再如再如,012coslim n 級數(shù)發(fā)散。級數(shù)斂散性判別的第一步第11頁/共24頁122、必要條件不充分：若若0lim nnu, ,級數(shù)卻不一定收斂級數(shù)卻不一定收斂. . 再舉一個(gè)重要例子： 11312111nnn , , 01lim nn, ,但但級級數(shù)數(shù)是是否否收收斂斂? ? 如如 1)11ln(nn: : , )(0)11ln( nn 但級數(shù)發(fā)散。 調(diào)和級數(shù) 第12頁/共24頁13討論nnnSSnn2121112 nn2 .,S其其和和為為假假設(shè)設(shè)調(diào)調(diào)和和級級數(shù)數(shù)收收斂斂）（nnnSS

8、 2limSS ,0 .級級數(shù)數(shù)發(fā)發(fā)散散, )(210 n便有便有于是矛盾， 11312111nnn , , 調(diào)和級數(shù) ,21 第13頁/共24頁14浴缸浴缸能加滿水嗎1121n浴缸11212n13212第14頁/共24頁15(1) 如果級數(shù)如果級數(shù) 1nnu收斂收斂, ,則則 1nnku亦收斂亦收斂，且有，且有 由級數(shù)收斂的定義，以及極限的性質(zhì)，不難證明。.11 nnnnukku(2) 如果級數(shù)如果級數(shù) 1nnu、 1nnv都收斂都收斂, ,則則 1)(nnnvu .)111 nnnnnnnvuvu（也收斂,且有性質(zhì)2 線性運(yùn)算性質(zhì)性質(zhì)2(2) 表明收斂級數(shù)可逐項(xiàng)相加或相減 .第15頁/共2

9、4頁16注:( (1 1) ) 不不能能由由 1)(nnnvu收收斂斂推推出出 1nnu、 1nnv收收斂斂； ( (2 2) ) 若若 1nnu收收斂斂, ,而而 1nnv發(fā)發(fā)散散, ,則則 1)(nnnvu必必發(fā)發(fā)散散. . 證假設(shè)假設(shè) 1)(nnnvu收斂收斂, , 由由 nnnnuvuv )(, , 而而已已知知 1nnu收收斂斂, , 由由上述上述性質(zhì)性質(zhì)得得 1nnv收斂收斂, , 矛盾.所所以以 1)(nnnvu 發(fā)發(fā)散散. . 例如, ,) 1(2nnu取,) 1(12 nnv0nnvu而第16頁/共24頁17性質(zhì)3收斂級數(shù)任意加括號后仍收斂,且其和不變. 證略。注收斂級數(shù)去括

10、弧后所成的級數(shù)不一定收斂. )11()11(推論 如果加括弧后所成的級數(shù)發(fā)散,則原級數(shù)也發(fā)散. 例如例如，若級數(shù)若級數(shù) 1nnu收斂，收斂， 1212)(nnnuu、 131323)(nnnnuuu均均收收斂斂， 則級數(shù) 且和不變.本質(zhì)是部分和的子序列逆否命題第17頁/共24頁18去掉、添加或改變級數(shù)中的有限項(xiàng),不會影響性質(zhì)4它的斂散性(但收斂級數(shù)的和可能要改變). 第18頁/共24頁191 1. . 0)4531(nnn 649 . . 例5判斷下列級數(shù)的斂散性： 因?yàn)?310 nn 041nn都收斂，故原級數(shù)收斂，解且和為 0)4531(nnn 0041531nnnn41153111 第1

11、9頁/共24頁202 2. . 11005110321nn 3 3. . n21614121 1121nn例5判斷下列級數(shù)的斂散性： 收斂；發(fā)散。第20頁/共24頁21 公元前五世紀(jì),以詭辯著稱的古希臘哲學(xué)家齊諾(Zeno)用他的無窮、連續(xù)以及部分和的知識,引發(fā)出以下著名的悖論： 如果讓阿基里斯(Achilles,古希臘神話中善跑的英雄)和烏龜之間舉行一場賽跑,讓烏龜在阿基里斯前頭1000米開始,假定阿基里斯的速度是烏龜?shù)?0倍,也永遠(yuǎn)也追不上烏龜.齊諾的理論依據(jù)是：當(dāng)比賽開始的時(shí)候,阿基里斯跑了1000米,此時(shí)烏龜仍然前于他100米；當(dāng)阿基里斯跑了下一個(gè)100米時(shí),烏龜仍然前于他10米, 如

12、此分析下去,顯然阿基里斯離烏龜越來越近,但卻是永遠(yuǎn)也追不上烏龜?shù)?這個(gè)結(jié)論顯然是錯(cuò)誤的,但奇怪的是,這種推理在邏輯上卻沒有任何毛病.那么,問題究竟出在哪兒呢？ 課外閱讀：齊諾悖論課外閱讀：齊諾悖論阿基里斯與阿基里斯與烏龜烏龜?shù)?1頁/共24頁22 如果我們從級數(shù)的角度來分析這個(gè)問題,齊諾的這個(gè)悖論就會不攻自破. 設(shè)設(shè)烏烏龜龜?shù)牡乃偎俣榷葹闉関, ,則則阿阿基基里里斯斯的的速速度度為為1 10 0v, ,他他跑跑完完1 10 00 00 0米米所所化化的的時(shí)時(shí)間間為為vv100101000 , ,在在這這段段時(shí)時(shí)間間里里, ,烏烏龜龜又又爬爬了了100100 vv米米, , 阿阿基基里里斯斯為為跑跑完完這這段段路路又又花花費(fèi)費(fèi)時(shí)時(shí)間間vv1010100 , ,此此時(shí)時(shí)烏烏龜龜又又在在他他前前面面1 10 0 米米處處, , ,依依次次類類推推, ,阿阿基基里里斯斯需需要要追追趕趕的的全全部部路路程程為為 101001000這這是是一一個(gè)個(gè)公公比比為為1101 q的的幾幾何何級級數(shù)數(shù), ,易易求求得得它它的的和和為為 ，91111191000010111000 第22頁/