八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)第四章一次函數(shù)

1、第四章一次函數(shù)一.函數(shù)1 .函數(shù)的概念一般地，在某一變化過(guò)程中有 兩個(gè)變量x與y,如果給定一個(gè)x值，相應(yīng)地就確定了唯一的y值, 那么我們稱y是x的函數(shù)，其中x是自變量，y是因變量。也就是說(shuō)，函數(shù)是兩個(gè)變量之間的 關(guān)系。注意：（1）函數(shù)是一個(gè)變量相對(duì)于另一個(gè)變量而言的，如對(duì)于兩個(gè)變量y與x,可以說(shuō)y是x的函數(shù)，不能說(shuō)y是函數(shù)（2）函數(shù)是有順序性的，y= y=0.5x+3表示y是x的函數(shù)，而變形后的等式 x=2y-6,則表示x是y的函數(shù)2 .自變量取值范圍整式（取全體實(shí)數(shù)），分使函數(shù)有意義的自變量的取值的全體，叫做自變量的取值范圍。一般從 式（分母不為0）、二次根式（被開(kāi)方數(shù)為非負(fù)數(shù)）、實(shí)際意義幾

2、方面考慮。 3.函數(shù)的三種表示法列表法、關(guān)系式法（一定要是等式）、圖像法【例1】下列關(guān)于變量x,y的關(guān)系式：x-3y=1;丫=I x I ;2x-y2=9.其中y是x的函數(shù)的是工x是y的函數(shù)的是變式訓(xùn)練：1.下列關(guān)系式中哪些是函數(shù)，哪些不是?%KyM+zV = Ky二士而【例2】寫出下列函數(shù)關(guān)系中自變量的取值范圍1x (l)y = x4-2 (2)y=- (3)y = -= (4)y = Vx-3 - Vx + 2 x-1 Vx-1【例3】寫出y與x的函數(shù)關(guān)系式并指出自變量的取值范圍(1) 一個(gè)長(zhǎng)方形周長(zhǎng)為24, 一邊長(zhǎng)為x,面積為yx,菜園的面積為y(2) 一個(gè)長(zhǎng)方形菜園，一邊靠墻，另外三邊

3、用籬笆圍成，垂直于墻的一邊為變式訓(xùn)練：1 .寫出下列函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量的取值范圍(1)周長(zhǎng)為24的等腰三角形，它的底邊長(zhǎng)y與腰長(zhǎng)x之間的函數(shù)關(guān)系(2)周長(zhǎng)為24的等腰三角形，它的腰長(zhǎng)y與底邊長(zhǎng)x之間的函數(shù)關(guān)系小測(cè)驗(yàn)(10分鐘)1.下列四個(gè)圖像中，不表示某一個(gè)函數(shù)圖像的是()2 .設(shè)路程為s,速度為v,時(shí)間為t,當(dāng)s=60時(shí)，t=60/v,在這個(gè)表達(dá)式中(A. t是s的函數(shù) B.t是v的函數(shù) C. v是t的函數(shù) D. v是s的函數(shù)3 .已知x-3y=6,若把y看成x的函數(shù)，則可表示為 4 .已知變量x與y有如下關(guān)系：y=x y = I x I I y I = x x2-y=0 x-y2=0

4、,其中y是 的函數(shù)關(guān)系的有 (填序號(hào))5 .對(duì)于圓的周長(zhǎng)公式C=2兀R ,其中自變量是,因變量是,常量是 6 .寫出下列函數(shù)關(guān)系式中，自變量的取值范圍 1Kx'),個(gè) 個(gè) ()'4x - 8(x2-1-l-3x二、一次函數(shù)與正比例函數(shù)1 .正比例函數(shù)和一次函數(shù)的概念一次函數(shù)：y=kx+b (k, b為常數(shù)，kw0) 正比例函數(shù)：y=kx (kw0)11i【例4】下列函數(shù)：(l)y=4x+3 (2)y=-x (3)y=- (4)y=x2(5)y= 1-x (6)y=Vx+I£iX一次函數(shù)有變式訓(xùn)練：1.下列關(guān)系中符合正比例關(guān)系的是( A.距離s 一定時(shí)，速度v和時(shí)間t

5、C.正方體的體積和棱長(zhǎng)a(填序號(hào))B.圓的面積s和半徑rD.正方形的周長(zhǎng)C和它的邊長(zhǎng)a1 3x-32 .下列函數(shù)：(l)y = -4x (2) y = (3y = -x2 +1 (4)1 = -x + S (S)y=Vx + l(6)y = Xb其中屬于一次函數(shù)的是 3 .糧庫(kù)有糧50t,每天運(yùn)走5t,寫出剩下的糧食P (t)與運(yùn)糧天數(shù)t (天)的函數(shù)關(guān)系式，并指出自變量 的取值范圍。它是一次函數(shù)嗎？是正比例函數(shù)嗎？2.一次函數(shù)和正比例函數(shù)k、b的取值問(wèn)題M5】(1)日財(cái)二(也-4評(píng)+2"瞅Jh=(2)若函數(shù)y=(m1)/一-是正比例函數(shù)，則皿的值為 變式訓(xùn)練：L已知函數(shù)y=(k+l

6、)x + K1.當(dāng)卜=時(shí)，它是一次函數(shù)；當(dāng)卜=時(shí),它是正比例函教.2 .已知函數(shù)y =焦一2)世I + 2k-l是關(guān)于x的一次函數(shù),則這個(gè)函數(shù)的梃式為 3 .已知函數(shù)y=(k 3)x1kH+ 2X-1是關(guān)于x的一次函數(shù)，止 4已知函數(shù)y=Qk-?)N+(k3)x1是關(guān)于x的一次函載，則卜=三、一次函數(shù)的圖像1.由函數(shù)關(guān)系式畫具圖像的一般步驟列表一描點(diǎn)一連線（列表時(shí)自變量的取值一定要有一定的代表性，并且大小合適）2、圖像的特征：一次函數(shù)y=kx+b （k、b為常數(shù)，kw0）的圖像是經(jīng)過(guò)點(diǎn)（0, b）的直線；正比例函數(shù)y=kx的圖 像是經(jīng)過(guò)原點(diǎn)（0, 0）的直線。k的符 號(hào)b的符 號(hào)函數(shù)圖像圖像特

7、征k>0b>0i/x/0卜圖像經(jīng)過(guò)一、二、三象 限，y隨x的增大而增大。b<0/一0/x x圖像經(jīng)過(guò)一、三、四象 限，y隨x的增大而增大。K<0b>0y 0 x圖像經(jīng)過(guò)一、二、四象 限，y隨x的增大而減小b<0i'V 0x圖像經(jīng)過(guò)二、三、四象 限，y隨x的增大而減小。注：當(dāng)b=0時(shí)，一次函數(shù)變?yōu)檎壤瘮?shù)，正比例函數(shù)是一次函數(shù)的特例。3、正比例函數(shù)和一次函數(shù)的性質(zhì)(1)正比例函數(shù)y=kx有下列性質(zhì)：當(dāng)k>0時(shí)，圖像經(jīng)過(guò)第一、三象限，y隨x的增大而增大；當(dāng)k<0時(shí)，圖像經(jīng)過(guò)第二、四象限，y隨x的增大而減小。(2) 一次函數(shù)y=kx+b (k

8、、b為常數(shù)，kw0)有下列性質(zhì)：圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)(0, b)也就是與y軸的交點(diǎn)當(dāng)k>0時(shí)，y隨x的增大而增大當(dāng)k<0時(shí)，y隨x的增大而減小注：一次函數(shù)的圖像是一條直線，因此一次函數(shù)y=kx+b的圖像也成為直線y=kx+b【例6】已知(-1, yi)和(1, y2)是直線y= -9x上的兩點(diǎn)，則yi與y2的大小關(guān)系是變式訓(xùn)練：1 .已知點(diǎn)A(-5,a)和B(4,b)在直線y= -3x-5上，則a與b的大小關(guān)系是 2 .已知點(diǎn)A(a, -5)和B(b, 4)在直線y= -3x-5上，則a與b的大小關(guān)系是 【例7】一次函數(shù)y= -9x-5不經(jīng)過(guò)的象限是 變式訓(xùn)練：1 .已知一次函數(shù)y=(6+3

9、m)x+3-2m的圖像與y軸交于負(fù)半軸，且y隨x的增大而增大，求 m的 取值范圍2 .兩個(gè)一次函數(shù)y1=ax+b與y2=bx+a,它們?cè)谕黄矫嬷苯亲鴺?biāo)系中的圖像可能是下列選項(xiàng)中的3 .直線y= 0.5x-3與直線y= 0.5x的關(guān)系是,可把直線y= 0.5x向 平移 個(gè)單位長(zhǎng)度得到直線y= 0.5x-34、坐標(biāo)、函數(shù)、方程之間的關(guān)系()坐標(biāo)坐標(biāo)就是方程的解坐標(biāo)可以轉(zhuǎn)化為線段的長(zhǎng)度【例81已知點(diǎn)P (a,b)在一次函數(shù)y= 4x+3的圖像上，則代數(shù)式4a-b-2的值為1 .已知點(diǎn)(3,2)在一次函數(shù)y= mx+n (m,n為常數(shù)，且 mw0)的圖像上，則3m-2n=2 .已知點(diǎn)(3,5)在直線

10、y= mx+n (m,n為常數(shù)，且 mw0)的圖像上，則5 (3a+b) =【例9】一次函數(shù)y=5x-10的圖像與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為 ,與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為變式訓(xùn)練：1 .直線y= -x+3與坐標(biāo)軸所圍成的面積是 2 .若正比例函數(shù)的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)(-1,2),則這個(gè)圖像必經(jīng)過(guò)點(diǎn)()A. (1,2)B. (-1,-2)C. (2, -1) D. (1, -2)3 .在一次函數(shù)y= 2x-5中，當(dāng)x由3增大到4時(shí)，y的值;當(dāng)x由-3增大到-2時(shí)，y的值(選做題)已知y+2與x成正比例，且當(dāng)x= -2時(shí)，y=0.(1)求y與x之間的函數(shù)表達(dá)式(2)畫R函數(shù)的圖像(3)觀察圖像，當(dāng)x取何值時(shí)，y>0?

11、(4)已知點(diǎn)(m, 6)在該函數(shù)的圖像上，求 m的值(5)設(shè)點(diǎn)P在y軸的負(fù)半軸上，(2)中的圖像與x軸，y軸分別交于A,B兩點(diǎn)，且Sxabp=4, 求點(diǎn)P的坐標(biāo)。5、一次函數(shù)與一元一次方程的關(guān)系:由于任何一元一次方程都可轉(zhuǎn)化為 kx+b=0 (k、b為常數(shù)，kw0)的形式.所以解一元一次方程 可以轉(zhuǎn)化為：當(dāng)一次函數(shù)值為 0時(shí)，求相應(yīng)的自變量的值.從圖象上看,這相當(dāng)于已知直線y=kx+b確定它與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)值.【例10】一次函數(shù)y=kx+b的圖像如圖所示，則方程kx+b=0的解為()A.x=2B.x=-1C.y=2 D.y=-1變式訓(xùn)練：1 .若直線y=kx+b經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2,3 ),則關(guān)于x的

12、方程kx+b=3的解為2 .直線y=2x-3交x軸于點(diǎn),由此可知，方程 2x-3=0的解為 3 .方程4x-b=5的解為x=2,則直線y=4x-b 一定經(jīng)過(guò)點(diǎn)()A. (2,0)B. (0,3)C. (0,4)D. (0, -3)6.一次函數(shù)的應(yīng)用首先要明白橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)各自的意義，每個(gè)點(diǎn)的意義注意自變量的取值范圍應(yīng)使實(shí)際問(wèn)題有意義同一個(gè)坐標(biāo)系中，兩個(gè)一次函數(shù)的圖像的比較，交點(diǎn)的含義 準(zhǔn)確理解一次函數(shù)表達(dá)式中k,b的含義【例11】甲乙兩工程隊(duì)同時(shí)修筑水渠，且兩隊(duì)所修水渠總長(zhǎng)相等，如圖是兩隊(duì)所修水渠長(zhǎng)度y （米） 與修筑時(shí)間t （時(shí)）的函數(shù)圖像的一部分。請(qǐng)根據(jù)圖中信息，解答下列問(wèn)題：（1）直接寫出甲隊(duì)在0&X&5的時(shí)間段內(nèi)，y與x之間的函數(shù)表達(dá)式（2）直接寫出乙隊(duì)在2&X&5的時(shí)間段內(nèi)，y與x之間的函數(shù)表達(dá)式【例12如圖，一次函數(shù)y=kx+b的圖像經(jīng)過(guò)A,B兩點(diǎn)，與x軸交于點(diǎn)C,求一次函數(shù)的表達(dá)式及AOC勺面積變式訓(xùn)練：1.某通訊公司推出、兩種通訊收費(fèi)方式供用戶選擇，其中一種有月租費(fèi)，另一種無(wú)月租費(fèi)，且兩種通訊方式的通訊時(shí)間x （分鐘）與收費(fèi)y （元）之間的關(guān)系式如圖所示（1）有月租的通訊方式是 （填或），月租費(fèi)是 元 .（2）分別求出兩種收費(fèi)方式中y與x之間的函數(shù)表達(dá)式90 k/ 'KO r- -*-.70 r:$0