人教版八年級上冊數(shù)學(xué)《12.3 角的平分線的性質(zhì)》課件

1、12.3 角的平分線的性質(zhì)角的平分線的性質(zhì)不利用工具，請你將一張用紙片不利用工具，請你將一張用紙片做的角分成兩個相等的角做的角分成兩個相等的角. .你有什么辦法？你有什么辦法？AOBC下圖是一個平分角的儀器，下圖是一個平分角的儀器，其中其中AB =AD，BC =DC，將點將點A 放在角的頂點，放在角的頂點，AB 和和AD 沿著角沿著角的兩邊放下，沿的兩邊放下，沿AC 畫一條射線畫一條射線AE，AE 就是就是DAB 的平分線的平分線你能說明它的道理嗎？你能說明它的道理嗎？ ABDCE 如果前面活動中的紙片換成木板、鋼板等沒如果前面活動中的紙片換成木板、鋼板等沒法折的角，又該怎么辦呢？法折的角，又

2、該怎么辦呢？在在ACD和和ACB中，中， AD = AB（已知），（已知）， DC = BC（已知），（已知）， CA = CA（公共邊）（公共邊）, ACD ACB（SSS）CAD=CAB（全等三角形的（全等三角形的 對應(yīng)邊相等）對應(yīng)邊相等）.AC平分平分DAB（角平分線的定義）（角平分線的定義）.ADBCE 問題問題 根據(jù)角平分儀的制作原理怎樣作根據(jù)角平分儀的制作原理怎樣作一個角的平分線？（不用角平分儀或量角器）一個角的平分線？（不用角平分儀或量角器）如何利用直尺和圓規(guī)作一個角的平分線？如何利用直尺和圓規(guī)作一個角的平分線？OABCENOMCENMABOMNC1以點以點O為圓心，適當(dāng)長為半徑

3、作弧，為圓心，適當(dāng)長為半徑作弧，交交OA于于M，交，交OB于于N3.畫射線畫射線OC射線射線OC即為所求即為所求2分別以點分別以點M，N為圓心，大于為圓心，大于 MN的長為半徑畫弧，兩弧在的長為半徑畫弧，兩弧在AOB的內(nèi)部的內(nèi)部交于點交于點C12你能說明為什么射線你能說明為什么射線OC 是是AOB 的平分線嗎？的平分線嗎？(1)(1)平分平角平分平角AOB.(2)(2)通過上面的步驟，得到射線通過上面的步驟，得到射線OC以以后，把它反向延長得到直線后，把它反向延長得到直線CD，直線，直線CDCD與直線與直線ABAB是什么關(guān)系？是什么關(guān)系？(3)(3)結(jié)論：作平角的平分線即可平分平角，由此也得到

4、結(jié)論：作平角的平分線即可平分平角，由此也得到過直線上一點作這條直線的垂線的方法過直線上一點作這條直線的垂線的方法. .ABOCD 如圖如圖，任意作一個角，任意作一個角AOB，作出作出AOB的平分線的平分線OC.在在OC 上任取上任取一點一點P，過點，過點P 畫出畫出OA，OB 的垂線，的垂線，分別記垂足為分別記垂足為D，E，測量，測量 PD，PE 并并作比較，你得到什么結(jié)論？作比較，你得到什么結(jié)論？在在OC 上再取幾個點試一試上再取幾個點試一試 通過以上測量，你發(fā)現(xiàn)了角的平分線的什么性質(zhì)？通過以上測量，你發(fā)現(xiàn)了角的平分線的什么性質(zhì)？利用尺規(guī)可以作一個角的平分線，那么角的平分線有什么性質(zhì)呢？利用

5、尺規(guī)可以作一個角的平分線，那么角的平分線有什么性質(zhì)呢？ 觀察測量結(jié)果，猜想線段觀察測量結(jié)果，猜想線段PDPD與與PEPE的大小關(guān)的大小關(guān)系，寫出結(jié)論：系，寫出結(jié)論：_._. PD PE 第一次第一次第二次第二次 第三次第三次 PD = PE已知：已知：AOC = BOC，點點 P在在OC上，上，PDOA，PEOB， 垂足分別為垂足分別為D，E求證：求證：PD =PE猜想：猜想：角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等題設(shè)：題設(shè)： 一個點在一個角的平分線上一個點在一個角的平分線上結(jié)論：它到角的兩邊的距離相等結(jié)論：它到角的兩邊的距離相等PD OA，PE OB， PD

6、O= PEO=90. 在在PDO和和PEO中，中， PDO = PEO ， AOC = BOC ， OP = OP ， PDO PEO（AAS），），PD = PE .OC是是AOB的平分線，的平分線， PDOA，PEOB，PD=PE角平分線的性質(zhì)：角平分線的性質(zhì)：角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等角的平分線的性質(zhì)的作用是什么？角的平分線的性質(zhì)的作用是什么？ 主要是用于判斷和證明兩條線段相等，主要是用于判斷和證明兩條線段相等，與以前的方法相比，運用此性質(zhì)不需要先證與以前的方法相比，運用此性質(zhì)不需要先證兩個三角形全等兩個三角形全等由角的平分線的性質(zhì)的證明過程

7、，你能概括出由角的平分線的性質(zhì)的證明過程，你能概括出證明幾何命題的一般步驟嗎？證明幾何命題的一般步驟嗎？（1）明確命題中的已知和求證；）明確命題中的已知和求證；（2）根據(jù)題意，畫出圖形，并用符號表示）根據(jù)題意，畫出圖形，并用符號表示已知和求證；已知和求證；（3）經(jīng)過分析，找出由已知推出要證的結(jié)）經(jīng)過分析，找出由已知推出要證的結(jié)論的途徑，寫出證明過程論的途徑，寫出證明過程1.如圖，要在如圖，要在S 區(qū)建一個集貿(mào)市場，使它到區(qū)建一個集貿(mào)市場，使它到公路、鐵路的距離相等，并且離公路和鐵路的交公路、鐵路的距離相等，并且離公路和鐵路的交叉處叉處500 m. 這個集貿(mào)市場這個集貿(mào)市場 應(yīng)建于何處（在圖上應(yīng)

8、建于何處（在圖上標(biāo)出它的位置，比例尺為標(biāo)出它的位置，比例尺為1：20 000）？）？ 圖上距離圖上距離 = 0.025m = 2.5cm.圖上距離圖上距離500m120000=解：解：,P如圖，作角平分線，再取離交點如圖，作角平分線，再取離交點2.5cm即為即為P點點.理由：理由：P點在交叉口的角平分線上，所以點在交叉口的角平分線上，所以P點到點到公路與鐵路的距離相等公路與鐵路的距離相等.在在此題此題的已知條件下的已知條件下，你還能得到哪些結(jié)論？你還能得到哪些結(jié)論？2.如圖，如圖，ABC中，中，BD = CD，AD 是是BAC 的平分線，的平分線， DEAB，DFAC，垂足分，垂足分別為別為E

9、，F(xiàn)求證：求證：EB =FCABCDEFAD是角平分線，是角平分線，DEAB，DFAC，DE = DF.在在RtDEB和和RtDFC中，中， DB=DC, DE=DF,RtDEBRtDFC（HL）.EB = FC.ABCDEF我們知道，角的平分線上的點到角的兩邊的距離我們知道，角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等相等.反過來，到角的兩邊的距離相等的點是否在這個反過來，到角的兩邊的距離相等的點是否在這個角的平分線上呢？角的平分線上呢？角的內(nèi)部角的內(nèi)部到角的兩邊的距離相等的點在角到角的兩邊的距離相等的點在角的平分線上的平分線上交換角的平分線的性質(zhì)中的已知和結(jié)論，交換角的平分線的性質(zhì)中的已知和結(jié)論，

10、你能得到什么結(jié)論？你能得到什么結(jié)論？這個新結(jié)論正確嗎？這個新結(jié)論正確嗎？ QDOA，QEOB（已知），（已知）， QDOQEO90（垂直的定義）（垂直的定義）. 在在RtQDO和和RtQEO中，中， QOQO（公共邊），（公共邊）， QD=QE， RtQDORtQEO（HL）. QODQOE，即點即點Q在在AOB的平分線上的平分線上.如圖如圖,QDOA，QEOB，點點D，E為垂足，為垂足，QDQE點點Q在在AOB的平分線上的平分線上PDOA，PEOB， PD = PE，點點P 在在AOB的平分線的平分線上（上（OP 平分平分 AOB）這個結(jié)論可以判定角的平分線，而角的平這個結(jié)論可以判定角的平分

11、線，而角的平分線的性質(zhì)可用來證明線段相等分線的性質(zhì)可用來證明線段相等這個結(jié)論與角的平分線的性質(zhì)在應(yīng)用上有這個結(jié)論與角的平分線的性質(zhì)在應(yīng)用上有 什么不同？什么不同？角相等角相等角平分線的性質(zhì)定理和它的逆定理，揭示角平分線的性質(zhì)定理和它的逆定理，揭示了了“角相等角相等”和和“線段相等線段相等”之間的一種特殊之間的一種特殊關(guān)系關(guān)系.角平分線性質(zhì)角平分線性質(zhì)角平分線性質(zhì)定理的逆定理角平分線性質(zhì)定理的逆定理線段相等線段相等這為今后我們證明角相等，線段相等提供這為今后我們證明角相等，線段相等提供了一種解題思路了一種解題思路.例例如圖如圖，ABC 的角平分線的角平分線BM，CN 相相交于點交于點P求證：點求

12、證：點P到三邊到三邊AB，BC，CA 的距的距離相等離相等過過P 點作點作PD，PE，PF分分別垂直于別垂直于AB，BC，CA，垂足分，垂足分別為別為D，E，F(xiàn).BM 是是ABC的角平分線，點的角平分線，點P 在在BM 上，上，PD = PE .同理同理 PE = PF . PD = PE = PF .即點即點P 到三邊到三邊AB，BC，CA 的距的距離相等離相等EDF1. 判斷題：判斷題：（1）如圖如圖，若，若QM =QN，則，則OQ 平分平分AOB；（ ）ABOQMN （2）如圖如圖，若，若QMOA 于于M，QNOB 于于N，則，則OQ是是AOB 的平分線；的平分線； （ ）ABOQMN（

13、3）如圖如圖，OC 平分平分AOB，點，點P 在在OC 上，上，PDOA，垂足為，垂足為D若若PD =3，則點，則點P 到到OB 的距離為的距離為3 （ ）ABOPCD （4）如圖）如圖，Q 到到OA 的距離等于的距離等于2 cm， 且且Q 到到OB 距離等于距離等于2 cm，則，則Q 在在AOB 的平分線上的平分線上 （ ） ABOQMN2.如圖，如圖，OP平分平分AOB，PCOA，PDOB，垂足分別是，垂足分別是C、D下列結(jié)論中錯下列結(jié)論中錯誤的是（誤的是（ ） A.PC = PDB.OC = ODC.CPO =DPOD.OC = PO3. 如圖，表示三條相互交叉的公路，現(xiàn)如圖，表示三條相

14、互交叉的公路，現(xiàn)要建一個貨物中轉(zhuǎn)站，要求它到三條公路的要建一個貨物中轉(zhuǎn)站，要求它到三條公路的距離相等，則可供選擇的地址有（距離相等，則可供選擇的地址有（ ）A.1處處B.2處處C.3處處D.4處處4. 如圖，如圖，ABC的的ABC的外角的平分線的外角的平分線BD 與與 ACB 的外角的平分線的外角的平分線CE 相交于點相交于點 P . 求證：點求證：點P 到三邊到三邊AB，BC，CA 所在直線的距所在直線的距離相等離相等.過點過點P作作PMAC于于M，PNBC于于N，PQAB于于Q.CE為為MCN的平分線，的平分線，PM = PN，同理同理 PN = PQ，點點P到三邊到三邊AB，BC，CA的

15、的距離相等距離相等.QNM5.如圖，點如圖，點D，B分別在分別在MAN的兩邊上，的兩邊上，C是是MAN內(nèi)一點，內(nèi)一點，AB =AD，BC = CD，CEAM于于E，CFAN于于F. 求證：求證：CE = CF.證明：證明：在在ABC和和ADC中，中，ABC ADC(SSS).ABADBCDCACAC ，DAC =BAC.AC平分平分MAN.CEAM，CFAN，CE = CF.角相等角相等角平分線性質(zhì)角平分線性質(zhì)角平分線性質(zhì)定理的逆定理角平分線性質(zhì)定理的逆定理線段相等線段相等角的內(nèi)部角的內(nèi)部到角的兩邊距離到角的兩邊距離相等的點在角的平分線上相等的點在角的平分線上角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等謝