輔導(dǎo)講義二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)

1、二次函數(shù)一、二次函數(shù)概念:1. 二次函數(shù)的概念：一般地，形如y ax2 bx c a, b, c是常數(shù)，a 0 的函數(shù)，叫做二次函數(shù)。這里需要強(qiáng)調(diào)：和一元二次方程類似，二次項(xiàng)系數(shù)a 0,而b , c可以為零.2. 二次函數(shù)y ax2 bx c的結(jié)構(gòu)特征： 等號(hào)左邊是函數(shù)，右邊是關(guān)于自變量x的二次式，x的最高次數(shù)是2.a, b , c是常數(shù)，a是二次項(xiàng)系數(shù)，b是一次項(xiàng)系數(shù)，c是常數(shù)項(xiàng).二、二次函數(shù)的根本形式1. 二次函數(shù)根本形式： y ax2的性質(zhì): a的絕對(duì)值越大，拋物線的開口越小。a的符號(hào)開口方向頂點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)稱軸性質(zhì)a 0向上0, 0y軸x 0時(shí)，y隨x的增大而增大；x 0時(shí)，y隨 x的增大而

2、減小；x 0時(shí)，y有最小值0 .a 0向下0, 0y軸x 0時(shí)，y隨x的增大而減??；x 0時(shí)，y隨 x的增大而增大；x 0時(shí)，y有最大值0 .2. y ax2 c的性質(zhì):上加下減。a的符號(hào)開口方向頂點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)稱軸性質(zhì)a 0向上0, cy軸x 0時(shí)，y隨x的增大而增大；x 0時(shí)，y隨 x的增大而減??；x 0時(shí)，y有最小值c .a 0向下0, cy軸x 0時(shí)，y隨x的增大而減??；x 0時(shí)，y隨 x的增大而增大；x 0時(shí)，y有最大值c .23. y a x h的性質(zhì):左加右減。a的符號(hào)開口方向頂點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)稱軸性質(zhì)a 0向上h, 0X=hx h時(shí)，y隨x的增大而增大；x h時(shí)，y隨 x的增大而減??；x h

3、時(shí)，y有最小值0 .a 0向下h, 0X=hx h時(shí)，y隨x的增大而減??；x h時(shí)，y隨 x的增大而增大；x h時(shí)，y有最大值0 .24. y a x h k的性質(zhì):a的符號(hào)開口方向頂點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)稱軸性質(zhì)a 0向上h, kX=hx h時(shí)，y隨x的增大而增大；x h時(shí)，y隨 x的增大而減??；x h時(shí)，y有最小值k a 0向下h, kX=hx h時(shí)，y隨x的增大而減小；x h時(shí)，y隨 x的增大而增大；x h時(shí)，y有最大值k 三、二次函數(shù)圖象的平移1. 平移步驟：2方法一： 將拋物線解析式轉(zhuǎn)化成頂點(diǎn)式y(tǒng) a x hk，確定其頂點(diǎn)坐標(biāo) h , k ；保持拋物線y ax2的形狀不變，將其頂點(diǎn)平移到h，k處，

4、具體平移方法如下:y=ax2* y=ax 2+ ky=a(x-h)2向上k>0【或向下k<0】平移|k|個(gè)單位向上k>0【或下k<0】平移|k個(gè)單位向上k>0【或下k<0 平移|k|個(gè)單位向右h>0【或左h<0】 平移|k|個(gè)單位向右h>0【或左h<0】平移|k|個(gè)單位向右h>0【或左h<0】平移|k|個(gè)單位門 y=a(x-h)2+k2. 平移規(guī)律方法一： 在原有函數(shù)的根底上“ h值正右移，負(fù)左移; 概括成八個(gè)字“左加右減，上加下減方法二：k值正上移,負(fù)下移.y ax2 bx c沿y軸平移：向上下平移 m個(gè)單位,ax2bx

5、 c變成2 r . 2ax bx c m (或 y ax bx c2y ax bx c沿軸平移：向左右平移m個(gè)單位,ax2 bx c變成2a(x m) b(xm)c (或 y a(xm)2 b(xm)四、二次函數(shù)yk 與 y axbxc的比擬從解析式上看,ax2bx c是兩種不同的表達(dá)形式， 后者通過配方可以得到前者，即yab2a4ac4a-，其中h4ac b24a五、二次函數(shù)2 axbxc圖象的畫法2ax h k ,確定其開口.一般我們選取的五點(diǎn)為：c、與x軸的交點(diǎn)為,0 ,五點(diǎn)繪圖法：方向、對(duì)稱軸及頂點(diǎn)坐標(biāo)，然后在對(duì)稱軸兩側(cè)，左右對(duì)稱地描點(diǎn)畫圖 頂點(diǎn)、與y軸的交點(diǎn)0 , c、以及0, c關(guān)

6、于對(duì)稱軸對(duì)稱的點(diǎn) 2h ,X2, 0 假設(shè)與x軸沒有交點(diǎn)，那么取兩組關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱的點(diǎn)畫草圖時(shí)應(yīng)抓住以下幾點(diǎn)：開口方向，對(duì)稱軸，頂點(diǎn)，與x軸的交點(diǎn)，與y軸的交點(diǎn).利用配方法將二次函數(shù)yax2 bxc化為頂點(diǎn)式y(tǒng)六、二次函數(shù)y ax2 bx c的性質(zhì)1.當(dāng)a 0時(shí)，拋物線開口向上，對(duì)稱軸為，頂點(diǎn)坐標(biāo)為2ab 4ac b22a ' 4ax 時(shí)，y隨x的增大而減??；當(dāng) 2a有最小值4ac b .4a時(shí)，y隨x的增大而增大；當(dāng)2ax 時(shí)，y2a2.當(dāng)a 0時(shí)，拋物線開口向下，對(duì)稱軸為一，頂點(diǎn)坐標(biāo)為2ab 4ac b22a ' 4a當(dāng)x 時(shí),2a時(shí)，y隨x的增大而減??；當(dāng) 2a二次函數(shù)解

7、析式的表示方法一般式：頂點(diǎn)式：兩根式：y隨x的增大而增大；當(dāng) x時(shí)，y有最大值2a4a七、1.ax2bx c ( a， h)2 k ( a， xj(x x2)(b， c為常數(shù)，a 0；h， k為常數(shù)，a 0；a 0， x,， x是拋物線與2.3.注意：任何二次函數(shù)的解析式都可以化成一般式或頂點(diǎn)式，但并非所有的二次函數(shù)都可以寫成交點(diǎn)a(xa(xx軸兩交點(diǎn)的橫坐標(biāo)式，只有拋物線與 x軸有交點(diǎn)，即b2 4ac 0時(shí)，拋物線的解析式才可以用交點(diǎn)式表示. 次函數(shù)解析式的這三種形式可以互化.八、二次函數(shù)的圖象與各項(xiàng)系數(shù)之間的關(guān)系1. 二次項(xiàng)系數(shù)a二次函數(shù)y ax2 bx c中，a作為二次項(xiàng)系數(shù)，顯然 a

8、0 . 當(dāng)a 0時(shí)，拋物線開口向上，a的值越大，開口越小，反之 a的值越小，開口越大； 當(dāng)a 0時(shí)，拋物線開口向下，a的值越小，開口越小，反之 a的值越大，開口越大.總結(jié)起來，a決定了拋物線開口的大小和方向，a的正負(fù)決定開口方向，a的大小決定開口的大小.2. 一次項(xiàng)系數(shù)b在二次項(xiàng)系數(shù)a確定的前提下，b決定了拋物線的對(duì)稱軸.在a0的前提下，當(dāng)b0時(shí)，b2a0，即拋物線的對(duì)稱軸在y軸左側(cè);當(dāng)b0時(shí)，_b_2a0，即拋物線的對(duì)稱軸就是y軸；當(dāng)b0時(shí)，_b_2a0 ,即拋物線對(duì)稱軸在 y軸的右側(cè).在a0的前提下，結(jié)論剛好與上述相反，即當(dāng)b0時(shí)，b2a0，即拋物線的對(duì)稱軸在y軸右側(cè);當(dāng)b0時(shí)，_b_2a

9、0,即拋物線的對(duì)稱軸就是y軸；當(dāng)b 0時(shí)， 0，即拋物線對(duì)稱軸在 y軸的左側(cè).2aab的符號(hào)的判定：對(duì)稱軸 x說就是“左同右異總結(jié)：b2a在y軸左邊那么ab 0，在y軸的右側(cè)那么ab 0，概括的3. 常數(shù)項(xiàng)c 當(dāng)c 0時(shí)，拋物線與y軸的交點(diǎn)在x軸上方，即拋物線與 當(dāng)c 0時(shí)，拋物線與y軸的交點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，即拋物線與 當(dāng)c 0時(shí)，拋物線與y軸的交點(diǎn)在x軸下方，即拋物線與 總結(jié)起來，c決定了拋物線與 y軸交點(diǎn)的位置.總之，只要a, b, c都確定，那么這條拋物線就是唯一確定的.y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為正； y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為0 ;y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為負(fù).二次函數(shù)解析式確實(shí)定：根據(jù)條件確定二次函數(shù)解析式，通

10、常利用待定系數(shù)法用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式 必須根據(jù)題目的特點(diǎn)，選擇適當(dāng)?shù)男问剑拍苁菇忸}簡(jiǎn)便一般來說，有如下幾種情況：1. 拋物線上三點(diǎn)的坐標(biāo)，一般選用一般式；2. 拋物線頂點(diǎn)或?qū)ΨQ軸或最大小值，一般選用頂點(diǎn)式；3. 拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，一般選用兩根式；4. 拋物線上縱坐標(biāo)相同的兩點(diǎn)，常選用頂點(diǎn)式九、二次函數(shù)圖象的對(duì)稱1.y ax2bx c關(guān)于x軸對(duì)稱后，得到的解析式是ax2bx二次函數(shù)圖象的對(duì)稱一般有五種情況，可以用一般式或頂點(diǎn)式表達(dá) 關(guān)于x軸對(duì)稱2h k關(guān)于x軸對(duì)稱后，得到的解析式是2.關(guān)于y軸對(duì)稱y ax2bx c關(guān)于y軸對(duì)稱后，得到的解析式是ax2bx c ；2h k

11、關(guān)于y軸對(duì)稱后，得到的解析式是3.關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱y ax2bx c關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱后，得到的解析式是ax2bx2hk關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱后，得到的解析式是4.關(guān)于頂點(diǎn)對(duì)稱即：拋物線繞頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180° y ax2bx c關(guān)于頂點(diǎn)對(duì)稱后，得到的解析式是2 axbx2b ；2a2hk關(guān)于頂點(diǎn)對(duì)稱后，得到的解析式是5.關(guān)于點(diǎn)m, n對(duì)稱2h 2m 2n k2a永遠(yuǎn)不h k關(guān)于點(diǎn) m , n對(duì)稱后，得到的解析式是根據(jù)對(duì)稱的性質(zhì)，顯然無論作何種對(duì)稱變換，拋物線的形狀一定不會(huì)發(fā)生變化，因此變求拋物線的對(duì)稱拋物線的表達(dá)式時(shí)，可以依據(jù)題意或方便運(yùn)算的原那么，選擇適宜的形式，習(xí)慣 上是先確定原拋物線或表達(dá)式的拋物線的

12、頂點(diǎn)坐標(biāo)及開口方向，再確定其對(duì)稱拋物線的頂 點(diǎn)坐標(biāo)及開口方向，然后再寫出其對(duì)稱拋物線的表達(dá)式.十、二次函數(shù)與一元二次方程：1.二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系二次函數(shù)與 x軸交點(diǎn)情況： 一元二次方程ax2 bx c 0是二次函數(shù)y ax2 bx c當(dāng)函數(shù)值y 0時(shí)的特殊情況. 圖象與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)：AB X2 x 當(dāng)b2 4ac 0時(shí)，圖象與x軸交于兩點(diǎn)A Xi , 0 , B x?, 0 捲x?,其中的捲,x?是一元.次方程ax2 bx c 0 a 0的兩根.這兩點(diǎn)間的距離 當(dāng) 0時(shí)，圖象與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)； 當(dāng) 0時(shí)，圖象與x軸沒有交點(diǎn).1'當(dāng)a 0時(shí)，圖象落在x軸的上方，無論x為任何

13、實(shí)數(shù)，都有 y 0 ;2'當(dāng)a 0時(shí)，圖象落在x軸的下方，無論x為任何實(shí)數(shù)，都有 y 0 .2.拋物線y ax2 bx c的圖象與y軸一定相交，交點(diǎn)坐標(biāo)為0 , c;3. 二次函數(shù)常用解題方法總結(jié)： 求二次函數(shù)的圖象與 x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，需轉(zhuǎn)化為一元二次方程； 求二次函數(shù)的最大小值需要利用配方法將二次函數(shù)由一般式轉(zhuǎn)化為頂點(diǎn)式； 根據(jù)圖象的位置判斷二次函數(shù)y ax2 bx c中a , b , c的符號(hào)，或由二次函數(shù)中 a , b , c的符號(hào)判斷圖象的位置，要數(shù)形結(jié)合； 二次函數(shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，可利用這一性質(zhì)，求和一點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)坐標(biāo)，或與x軸的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)，可由對(duì)稱性求出另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)

14、與二次函數(shù)有關(guān)的還有二次三項(xiàng)式，二次三項(xiàng)式ax2 bx ca 0本身就是所含字母 x的二次函數(shù)；下面以a 0時(shí)為例，揭示二次函數(shù)、二次三項(xiàng)式和一元二次方程之間的內(nèi)在聯(lián)系:0拋物線與x軸有 兩個(gè)交點(diǎn)二次三項(xiàng)式的值可正、 可零、可負(fù)一兀二次方程有兩個(gè)不相等實(shí)根0拋物線與x軸只 有一個(gè)交點(diǎn)二次三項(xiàng)式的值為非負(fù)一兀二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根0拋物線與x軸無 交占八、二次三項(xiàng)式的值恒為正一兀二次方程無實(shí)數(shù)根.二次函數(shù)圖像參考:2y=22y=2 x2+2y=x2y=2x 2x2y=y=-2x 2y=3(x+4) 22y= -x 2函數(shù)的應(yīng)用考點(diǎn)1、考查二次函數(shù)的定義、性質(zhì)，有關(guān)試題常出現(xiàn)在選擇題中，如：以

15、x為自變量的二次函數(shù) y (m 2)x2 m2 m 2的圖像經(jīng)過原點(diǎn)，那么m的值是考點(diǎn)2、綜合考查正比例、反比例、一次函數(shù)、二次函數(shù)的圖像，習(xí)題的特點(diǎn)是在同一直角坐標(biāo)系 內(nèi)考查兩個(gè)函數(shù)的圖像，試題類型為選擇題，如：如圖，如果函數(shù)y kx b的圖像在第一、二、三象限內(nèi)，那么函數(shù)y kx2 bx 1的圖像大致是考點(diǎn)3、考查用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，有關(guān)習(xí)題出現(xiàn)的頻率很高，習(xí)題類型有中檔解答 題和選拔性的綜合題，如：5一條拋物線經(jīng)過(0,3)，(4,6)兩點(diǎn)，對(duì)稱軸為x，求這條拋物線的解析式。3 2 .考點(diǎn)4、確定a、b、c的值. 二次函數(shù)：y=ax+bx+c (a,b,c 是常數(shù)，且0) a

16、 > 0開口向上，av0開口向下.拋物線的對(duì)稱軸為 x= ，由圖像確定 的正負(fù)，由a的符號(hào)確定出 b的符號(hào)由2a2ax=0時(shí),y=c，知c的符號(hào)取決于圖像與 y軸的交點(diǎn)縱坐標(biāo)，與 y軸交點(diǎn)在y軸的正半軸時(shí)，c > 0, 與y軸交點(diǎn)在y軸的負(fù)半軸時(shí)，c v 0 .確定了 a、b、c的符號(hào)，易確定abc的符號(hào).考點(diǎn)5、確定a+b+c的符號(hào).x=1時(shí)，y=a+b+c,由圖像y的值確定a+b+c的符號(hào).與之類似的還經(jīng) 常出現(xiàn)判斷4a+2b+c的符號(hào)(易知x=2時(shí)，y=4a+2b+c),由圖像y的值確定4a+2b+c的符號(hào).還有 判斷a- b+c的符號(hào)(x= 1時(shí)，y=a b+c)等等.考點(diǎn)

17、6、與拋物線的對(duì)稱軸有關(guān)的一些值的符號(hào).拋物線的對(duì)稱軸為x=，根據(jù)對(duì)稱性知：取到2a對(duì)稱軸距離相等的兩個(gè)不同的x值時(shí)，y值相等，即當(dāng)x= +m或x= 一 m時(shí)，y值相等.中2a2a考考查時(shí)，通常知道 x= 一+m時(shí)y值的符號(hào)，讓確定出 x= 一 m時(shí)y值的符號(hào).2a2abb考點(diǎn)7、由對(duì)稱軸x= 確實(shí)定值判斷a與b的關(guān)系.女口： =1能判斷出a = b .2a2a考點(diǎn)8頂點(diǎn)與最值. 假設(shè)x可以取全體實(shí)數(shù)，開口向下時(shí)，y在頂點(diǎn)處取得最大值，開口向上時(shí)，y在頂點(diǎn)處取得最小值.有例1、二次函數(shù)y ax2 bx c(a 0)的圖象如下圖,a b m(amb) , ( m1的實(shí)數(shù))其中正確的結(jié)論有()A.

18、 2個(gè)B. 3個(gè)C. 4D. 5個(gè)2+bx+c=0有兩個(gè)不相等的實(shí)根； b2-4ac > 0,拋物線與 b -4ac=0，拋物線與x軸只有一個(gè)交點(diǎn).2 */ b -4ac > 0, ax考點(diǎn)9、圖象與無實(shí)根；b2-4ac=0 , ax2+bx+c=0有兩個(gè)相等的實(shí)根.v 0,拋物線與x軸沒有交點(diǎn)；2 2b -4ac v 0, ax +bx+c=0x軸有兩個(gè)交點(diǎn)；b2-4ac例2、二次函數(shù)y x22x 1與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)是().A. 0考點(diǎn)10、判斷在同一坐標(biāo)系中兩種不同的圖形的正誤.如：在同一種坐標(biāo)系中正確畫出一次函數(shù)2y ax b和二次函數(shù) y ax bxc(a0)，關(guān)鍵是兩個(gè)式

19、子中的a、b值應(yīng)相同.例3、在同一坐標(biāo)系中一次函數(shù)y axb和二次函數(shù)y ax2 bx的圖象可能為().xx考點(diǎn)11、能分別判斷出在對(duì)稱軸的左右兩側(cè)二次函數(shù) 向上時(shí)，在對(duì)稱軸的左側(cè)二次函數(shù) 的增大而增大.拋物線開口向下時(shí)，在對(duì)稱軸的左側(cè)二次函數(shù) 的右側(cè)二次函數(shù)y值隨x值的增大而減小.bx c(az 0)的圖象經(jīng)過點(diǎn)(-1 , 2) , (1 ,y值隨x值的變化而變化情況.y值隨x值的增大而減小，在對(duì)稱軸的右側(cè)二次函數(shù)y值隨x值的增大而增大，在對(duì)稱軸拋物線當(dāng)開口y值隨x值4、二次函數(shù)y ax20).以下結(jié)論正確的選項(xiàng)是().A.B.C.當(dāng)x>0時(shí)，函數(shù)值 當(dāng)x>0時(shí)，函數(shù)值 存在一個(gè)

20、負(fù)數(shù)X0,y隨x的增大而增大y隨x的增大而減小使得當(dāng)x<X0時(shí)，函數(shù)值y隨x的增大而減?。划?dāng)x> xo時(shí)，函數(shù)值y隨x的增大而增大使得當(dāng)x<xo時(shí)，函數(shù)值y隨x的增大而減小；當(dāng)D. 存在一個(gè)正數(shù) X。,x>xo時(shí)，函數(shù)值y隨x2(1) 一般式：y = ax +bx+c (a,b,cJ-的增大而增大 考點(diǎn)12、二次函數(shù)解析式的幾種形式.為常數(shù)，0). 頂點(diǎn)式：y = a(x-h) 2+k(a,h,k為常數(shù)，a豐0).拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是(h,k) , h = 0時(shí)，拋物線y= ax2+k的頂點(diǎn)在y軸上；當(dāng)k = 0時(shí)，拋物線 =a(x-h) 2的頂點(diǎn)在x軸上；當(dāng)h= 0且k

21、 = 0時(shí)，拋物線y = ax2的頂點(diǎn)在原 點(diǎn).(3)兩根式：y= a(x-x 1)(x-x 2)，其中x1,x 2是拋物線與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，即一元二次方程ax2+bx+c = 0 (az0)的兩個(gè)根.求解析式時(shí)假設(shè)拋物線過三點(diǎn)坐標(biāo)一般設(shè)成一般式，拋物線過的頂點(diǎn)坐標(biāo)時(shí)設(shè)成頂點(diǎn)式，拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)時(shí)設(shè)成兩根式.例5、在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)為A(1, 4)，且過點(diǎn)B(3,0) 求該二次函數(shù)的解析式為.考點(diǎn)13、xi、X2兩交點(diǎn)間的距離。 假設(shè)拋物線y ax2bx c與x軸兩交點(diǎn)為 A x1,0 , B x2,0，由于x1、x2是方程ax2 bx c 0的兩個(gè)根，故x

22、1 %bc,x1 x>aaABx x2X2x1 x2 2 4x1x2b $ 4c, a a.b2 4ac al考點(diǎn)14、韋達(dá)定理和跟的判別式在二次函數(shù)中的應(yīng)用:元二次方程ax2 bx c 0 a 0是二次函數(shù)廠凸產(chǎn)+加亠咖至°)的函數(shù)值等于零時(shí)的特殊情況。有些二次函數(shù)問題，可以利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系(即韋達(dá)定 理)來解答；一元二次方程根的分布，可以利用二次函數(shù)圖象直觀判定；二次函數(shù)的圖 象與x軸交點(diǎn)、圖象的位置，也可以用判別式判斷。對(duì)于一元二次方程 宀加心豐°)和二次函數(shù)嚴(yán)宀折 5 豐°),(1) 當(dāng)厶。時(shí)，方程有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根可“乃，函數(shù)圖象與x軸有兩個(gè)不重合的交點(diǎn)(卞“ °)、(疋軒°),并且x1> x2具有如下關(guān)系：x1 x2、x1x2 .這就是一元二aa次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，簡(jiǎn)稱韋達(dá)定理。(2) 當(dāng)4=0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，函數(shù)圖象與 x軸有唯一交點(diǎn)，即圖象與x 軸相切。(3) 當(dāng)<0時(shí)，方程無實(shí)數(shù)解，函數(shù)圖象與x軸無交點(diǎn)，假設(shè)a>0，那么圖象在x軸上方，假設(shè)a<0,那么 圖象在x軸下方。例1.拋物線供-叭-弘