A201516035032_王佳佳_常婉瑩_陳星宇

1、太陽影子定位眾所周知，地球在自轉(zhuǎn)的同時也在圍繞著太陽做公轉(zhuǎn)，由于地球的自轉(zhuǎn)和公轉(zhuǎn)都有著自己的周期與軌道，這就形成了地球上不同地點和不同時間時物體的影子長度隨時間有著本身獨特的變化規(guī)律，所以我們既可以根據(jù)地點和時間通過使用適當(dāng)?shù)亩ɡ砼c公理來建立數(shù)學(xué)模型以求得影子隨時間的變化情況，同樣我們也可以根據(jù)影子隨時間的變化規(guī)律來求得物體所在的地點與時間。對于問題一，我們需要在已知日期和地點的情況下，求影子隨時間的變化規(guī)律。在本問題中，由于給出的是當(dāng)?shù)貢r間，此時刻太陽高度角最大，通過分別固定太陽讓地球自轉(zhuǎn)和固定地球讓太陽做圓周運(yùn)動來建立兩種模型以求得影長隨時間的變化規(guī)律：當(dāng)正午偏離角度較小時兩個模型由較強(qiáng)的

2、耦合性，有一定的實用性。對于問題二，我們需要在給出日期，時間和影長的情況下求所在地點。在第一問中，我們已建立影長，時間和地點之間變化關(guān)系的模型，故可以通過對第一問的模型進(jìn)行對第二問的影長進(jìn)行擬合，求出影長最短的時刻，即為當(dāng)?shù)氐?2點，然后與北京時間做對比求出相應(yīng)的經(jīng)度，并求出此時的太陽高度角，根據(jù)太陽高度角與日期的關(guān)系求出相應(yīng)的緯度坐標(biāo)。最終得到地點的坐標(biāo)，即:A79.02°N,96.16°EB39.45°N,96.16°EC79.02°S,96.16°ED39.45°S,96.16°E對于問題三，我們需要在給出影

3、長變化規(guī)律，北京時間情況下求出對應(yīng)地點和日期的組合。由第二問可以根據(jù)影長和時間的變化求出該點的經(jīng)度，進(jìn)而求出太陽高度角，并根據(jù)太陽高度角和日期的變化關(guān)系求出可能日期和時間的組合。對于問題四，我們需要在一段時間的視頻信息下求出該點的地理位置。我們可以從視頻中讀出視頻的日期，并通過截圖及讀圖軟件讀得影長隨時間的變化規(guī)律，然后根據(jù)問題二的模型求出可能的地理位置，即：A4.94°N,66.21°EB4.94°N,66.21°EC3.38°S,66.21°ED3.38°S,66.21°E對于第四問中，我們需要在未知日期的情況

4、下給出可能的日期與地點的組合。事實上本題是給出在一個時間內(nèi)影長與時間的變化關(guān)系，利用問題三的模型既可求得相應(yīng)的地點與日期的組合，即可得到相應(yīng)地點。關(guān)鍵詞：太陽高度角 橢圓定理勾股定理擬合一、問題重述視頻拍攝的地點和日期作為視頻數(shù)據(jù)分析的重要方面，是通過分析視頻中物體的太陽影子變化的方法來確定的，而該方法稱為太陽影子定位技術(shù)。我們現(xiàn)在通過解決以下問題來了解該技術(shù)：1.建立影子長度變化的數(shù)學(xué)模型，分析影子長度關(guān)于各個參數(shù)的變化規(guī)律，并應(yīng)用我們所建立的模型畫出2015年10月22日北京時間9點至15點之間天安門廣場3米高的直桿的太陽影子長度的變化曲線。2.根據(jù)已知數(shù)據(jù)，建立數(shù)學(xué)模型確定直桿所處的地點

5、。將模型應(yīng)用于附件1的影子頂點坐標(biāo)數(shù)據(jù)，給出若干個可能的地點。3.根據(jù)已知數(shù)據(jù)，建立數(shù)學(xué)模型確定桿所處的地點和日期。將模型分別應(yīng)用于附件2和附件3的影子頂點坐標(biāo)數(shù)據(jù)，給出若干個可能的地點與日期。4.通過觀看一根直桿在太陽下的影子變化的視頻，建立確定視頻拍攝地點的數(shù)學(xué)模型，并應(yīng)用模型給出若干個可能的拍攝地點，已知直桿的高度為2米。若拍攝日期未知，嘗試根據(jù)視頻確定出拍攝地點與日期。二、問題分析由于地球的自轉(zhuǎn)與繞太陽的公轉(zhuǎn)有著確定的周期和軌道，這就形成地點，日期，時間和影長變化之間的相互關(guān)系，本論文就是根據(jù)已知四個變量中的某幾個已知變量去求解余下的未知變量。對問題一，本問題中給出了時間，地點，日期三

6、個變量，求影長這個變量歲其他三個變量之間的關(guān)系。對問題二，本問題給出了時間，影長和日期三個變量，求解地點這個變量。對問題三，本題給出了時間，影長這兩個變量，求日期和地點這兩個變量對問題四，本問題通過視頻給出了日期，影長，時間三個變量，求地點這個變量。對于問題四中的附加問，即通過視頻給出時間，影長兩個變量，求日期，地點這兩個變量。三、符號說明h太陽高度角觀測地地理緯度太陽赤緯R地球半徑v地球自轉(zhuǎn)的線速度N日期在年內(nèi)的順序號，即積日四、問題假設(shè)1、假設(shè)不考慮空氣折射率的影響。2、假設(shè)地球為嚴(yán)格的球體。3、假設(shè)地球的公轉(zhuǎn)軌道是標(biāo)準(zhǔn)的圓。4、假設(shè)整個分析的過程都在白天進(jìn)行且天氣晴朗。五、模型的建立與求

7、解5.1影子長度關(guān)于各個參數(shù)的變化規(guī)律的分析5.1.1模型一建立與求解假設(shè)在計算過程中忽略地球自轉(zhuǎn)所引起的同一緯度上高度的變化。地球自轉(zhuǎn)過程中，對于某一特定緯度，任意一個時間點物體都有自己的影長，任意一段時間內(nèi)，轉(zhuǎn)過的弧度是一定的，因此可建立關(guān)于時間，影長，弧度之間的數(shù)學(xué)模型，進(jìn)而求得太陽高度角隨時間變化的函數(shù)關(guān)系。對于已知經(jīng)緯度的某一地點，如圖1：圖1地球上某點隨地球自轉(zhuǎn)變化圖圖1中AB的距離為lx，即地球上兩點間的距離，AC的距離為ly，BC的距離為lz。在正午時刻,太陽直射點與其經(jīng)度位置點在同一緯線上，故可以建立函數(shù)關(guān)系其中l(wèi)h為日地距離，大小約為。以已知點的位置作為參考點，忽略地球公轉(zhuǎn)

8、時引起的太陽高度角的變化，觀察太陽高度角在該地不同時刻的變化，可在任意時刻建立太陽高度角相關(guān)參數(shù)的變化關(guān)系：由勾股定理知，即式中l(wèi)x為同一經(jīng)度上，處于太陽直射的地區(qū)與當(dāng)?shù)刂g的直線距離。由假設(shè)可知地球是一個標(biāo)準(zhǔn)球體，則在地球上的位置可表示為在地球上的位置可表示為求得AB所對球心所張的角的余弦大小為因此AB兩點之間的球面距離為則AB兩點間的直線距離為式中的R為地球半徑，R=6371.393km。地球自轉(zhuǎn)過程中，角速度恒定，線速度隨著緯度高低變化，建立線速度函數(shù)式為:為當(dāng)?shù)鼐暥?，T=23.93h，為地球自轉(zhuǎn)周期，故每一時間段內(nèi)相對某地來言，太陽射入光線的弧度變化。在不同時刻，影長隨物體長度的變化可

9、建立關(guān)系如下：聯(lián)立上式，可得影長隨時間t、當(dāng)?shù)鼐暥纫约暗暮瘮?shù)表達(dá)式為：太陽赤緯（太陽直射點的緯度）是計算太陽高度角中必不可少的元素，它在周年運(yùn)動中任何時刻的具體值都是嚴(yán)格已知的，根據(jù)參考文獻(xiàn)可知：式中為日角，即而d又由兩部分組成，即，其中的N為積日（日期在年內(nèi)的順序號），而N0的計算公式為INT表示取整數(shù)部分。已知，當(dāng)?shù)貢r間段為北京時間9:00-15:00，2015年10月22日，地理位置為（39°5426N,116°2329E），物體長度為3米，帶入上述函數(shù)式可得因此，可知直桿的太陽影子長度隨時間的變化函數(shù)為:t表示各時段到正午的時差，單位為，。北京時間9:00-15:0

10、0時，用Matlab軟件畫出影子長度的變化圖象如下：圖2影子長度的變化圖像5.1.2模型二建立與求解(1)確定正午影長由于10月22日靠近秋分日，所以假定太陽運(yùn)行軌跡經(jīng)過赤道便于計算。根據(jù)幾何關(guān)系可知根據(jù)所學(xué)地理知識可知，正午時間太陽高度角的計算公式為由倍角公式可將式（1.4）化簡為上述式子中涉及觀測點地理緯度=39.9072°和太陽赤緯，可由由模型一中式（1.1）求得。題中需要畫出2015年10月22日時的函數(shù)圖像，即積日為326，將該數(shù)據(jù)及其他已知數(shù)據(jù)逐步代人公式（1.2）、（1.1）、（1.5），并通過計算得出太陽高度角。再將求出的太陽高度角代人（1.3）中即可求出正午時刻桿的

11、影長。（2）確定影長和關(guān)系假定在太陽-地球這一體系中，太陽圍繞某一定點做圓周運(yùn)動，運(yùn)用CAD作太陽的運(yùn)行軌跡圖。圖3某點一天中太陽的運(yùn)行軌跡將太陽軌跡投影到地平面上，可得如圖3，即為一橢圓。圖4太陽軌跡在地面上的投影對圖3和圖4進(jìn)行分析，l為某一時刻太陽在地面上的投影,根據(jù)勾股定理可知其中，。而lh為太陽到投影點的垂直距離，運(yùn)用勾股定理可知b為太陽投影平面上的短軸半徑，由圖可知由相似三角形的性質(zhì)即圖5物體和太陽的影長可知由于lh遠(yuǎn)大于l物，t遠(yuǎn)大于l影，故聯(lián)立上式，即其中R為日地距離，經(jīng)過公式間的換算得出l影和的關(guān)系式為其中為偏移x軸坐標(biāo)的角度，。將正午太陽高度角代入得影長的表達(dá)公式為(3)繪

12、制影長隨時間的變化曲線將9點至15點分為19個時間段，通過公式將時間換算為角度，分別帶入式（1.7）得隨時間段變化而改變的影長，如表1所示表1影長隨時間的變化情況123456時間段9:009:209:4010:0010:2010:40(度)454035302520影長（m）3.48843.00632.60272.26111.97121.7038789101112時間段11:0011:2011:4012:0012:2012:40(度)151050510影長(m)1.53121.38301.29061.25881.29061.383013141516171819時間段13:0013:2013:40

13、14:0014:2014:4015:00(度)15202530354045影長(m)1.53121.70381.97122.26112.60273.00633.4884根據(jù)表格數(shù)據(jù)即可繪出題目所需的變化曲線，如圖6所示：圖6直桿的太陽影子長度的變化曲線5.1.3模型分析從兩張圖中的影長與時間的變化關(guān)系可知，影長與時間成拋物線，與實際情況相符合。由于兩模型一定的角度范圍內(nèi)有較強(qiáng)的耦合，所以在偏離當(dāng)?shù)卣巛^小的角度范圍內(nèi)，這兩個模型有較強(qiáng)的可用性。5.2確定直桿所處的地點5.2.1模型建立與求解由附件一可知北京時間及對應(yīng)的某地的影子頂點坐標(biāo)，由對問題1分析，可以近似地將影子長度隨時間的變化規(guī)律認(rèn)為

14、是二次函數(shù)，其圖像是一條近似于拋物線的曲線。因為時區(qū)隨經(jīng)度的變化而變化，實際上當(dāng)?shù)氐乩頃r刻不等于北京時間。但無論哪一經(jīng)度的地區(qū)，當(dāng)正午時刻時，影子長度都達(dá)到最小值。根據(jù)這一現(xiàn)象，所以我們先對附件一的數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合，找出當(dāng)?shù)卣缬白幼疃虝r對應(yīng)的北京時間，確定其經(jīng)度，并能確定與北京時間的時差。所以確定當(dāng)?shù)貢r間與影長變化的規(guī)律后再代入以上模型，便可確定太陽高度角與影長之間的函數(shù)關(guān)系。具體步驟如下：（1）確定影長已知附件一中當(dāng)?shù)赜伴L頂點坐標(biāo)，用matlab軟件對時間與影長的變化規(guī)律進(jìn)行擬合，得到擬合函數(shù)為擬合函數(shù)部分圖像如下：圖7影長隨時間變化由圖7可知，影長隨時間變化確有一最小值，計算可得，當(dāng)x=40

15、.03時,當(dāng)?shù)貢r間為12:00,北京時間為即13：21，同時可知當(dāng)?shù)嘏c北京時間間隔為1.3485個小時。當(dāng)?shù)貢r間與影長的變化規(guī)律如下表2當(dāng)?shù)貢r間與影長的變化規(guī)律當(dāng)?shù)?3:2113:2413:2713:3013:3313:3613:39影長0.74580.74720.74860.75000.75140.75280.754213.3513.413.4513.513.5513.613.65T20.252121.7522.523.252424.75當(dāng)?shù)?3:4213:4513:4813:5113:5413:5714:00影長0.75550.75690.75830.75970.76100.76240.7

16、63813.713.7513.813.8513.913.9514T25.526.252727.7528.529.2530當(dāng)?shù)?4:0314:0614:0914:1214:1514:1814:21影長0.76510.76650.76780.76920.77060.77190.773314.0514.114.1514.214.2514.314.35T30.7531.532.253333.7534.535.25(2)確定當(dāng)?shù)鼐暥扔蓡栴}1中模型一可知，在同一經(jīng)度上，不同緯度地區(qū)的距離對式(2.1)求導(dǎo)得：將已知公式代人式（2.2）化簡得將上述兩個函數(shù)表達(dá)式聯(lián)立得認(rèn)為與參數(shù)大致相同?？傻?，當(dāng)?shù)鼐暥葹?7

17、9.02°或39.45°。（3）確定當(dāng)?shù)亟?jīng)度已求得當(dāng)?shù)嘏c北京時間間隔1.3485個小時，經(jīng)度間相隔已知北京經(jīng)度為116.3914°，則該地區(qū)經(jīng)度即東經(jīng)。（4）確定可能的觀測點已知此時為2015年4月18日，太陽直射點位于赤道和北回歸線之間，故此時可能的觀測點有四個，即5.3確定直桿所處的地點和日期5.3.1模型建立與求解已知北京時間與當(dāng)?shù)赜伴L的變化。由附件一知北京時間時，對應(yīng)的某地的影子頂點坐標(biāo)，將數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合，找出當(dāng)?shù)卣缬白幼疃虝r對應(yīng)的北京時間，確定其經(jīng)度同時與北京時間的時差也能確定，所以知道了當(dāng)?shù)貢r間與影長變化的規(guī)律后，代入以上模型，可確定太陽高度角與影長之

18、間的函數(shù)關(guān)系。具體步驟如下：（1）確定觀測地經(jīng)度已知附件二中某地影長頂點坐標(biāo)，通過坐標(biāo)可確定影長，用Matlab軟件對時間與影長的變化規(guī)律進(jìn)行擬合，得到擬合函數(shù)為擬合圖像如下所示：圖8擬合函數(shù)圖像由以上擬合函數(shù)圖象知，影長隨時間變化確有一最小值，計算可得，此時x=51.46,此時當(dāng)?shù)貢r間為12:00,北京時間為即15:23。則當(dāng)?shù)貢r間與北京時間相隔3.383個小時。以北京地理位置作為參考點，當(dāng)?shù)嘏c北京經(jīng)度相隔已知北京經(jīng)度為116.3914。則該地區(qū)經(jīng)度為即東經(jīng)。（2）確定一天之中太陽高度角h隨影長變化函數(shù)問題三要求根據(jù)某固定直桿在水平地面上的太陽影子頂點坐標(biāo)，建立數(shù)學(xué)模型確定直桿所處地點與日期

19、。由于在本問題中不知道當(dāng)?shù)氐娜掌?，即太陽直射點的坐標(biāo)未知，只能根據(jù)影長的變化來建立模型求出可能的地點位置。我們根據(jù)具體的定理、公理及公式通過對日地系統(tǒng)的運(yùn)轉(zhuǎn)規(guī)律的分析來建立模型求解。對于一個某個固定的地點，在固定的時間內(nèi)，先考慮地球公轉(zhuǎn)的變化與影長的關(guān)系，再考慮自轉(zhuǎn)與影長的關(guān)系，通過求解方程組來求解模型，進(jìn)而得到當(dāng)?shù)卦诳臻g中的坐標(biāo)。求解過程如下：根據(jù)坐標(biāo)的正交變換可知：考慮同一地點在當(dāng)?shù)卣绲那闆r圖9一天中太陽的變化軌道考慮太陽直射赤道時的情況由圖9可知，太陽直射赤道時H為當(dāng)?shù)氐奶柛叨冉歉鶕?jù)勾股定理有式中由于現(xiàn)在考慮的是太陽直射在赤道上，于是其中為物體的高度，為影子的長度。所以任意一點的緯度

20、坐標(biāo)即是該點的太陽高度角?？紤]日期引起的太陽高度角變化的情況圖10太陽直射點隨日期的變化關(guān)系當(dāng)太陽直射南半球時，太陽軌道平面將沿圖10中地軸向南平移，所以可知北半球任意一點太陽高度為在南半球上的任意一點其中為地球軸線與太陽軌道平面的夾角。（3）求解地區(qū)緯度當(dāng)太陽直射赤道時，各地正午太陽高度角是不同的，影長也是不同的。找出影長隨太陽高度角的變化規(guī)律。由上述條件可求得在地球直射赤道時，各地正午時而在任意一個日期時，當(dāng)太陽直射點在南回歸線與赤道之間時，對于北半球各地區(qū)，有當(dāng)太陽直射點在赤道與北回歸線之間時，對于北半球各地區(qū)，有其中查閱資料可知，太陽直射點緯度隨時間的變化函數(shù)為:綜上，可得（4）確定緯

21、度由公式可知，所以假定A、B兩點分別為這不同緯度所在的位置。圖11太陽高度角和緯度差的關(guān)系1當(dāng)時，由圖11可知而lx可通過計算兩點間直線距離得出，進(jìn)而可求出lh。圖中R為地球半徑，由勾股定理可知地球中心點O的經(jīng)緯是已知的，通過公式可得出A的緯度，則也可同時求出。圖12太陽高度角和緯度差的關(guān)系2當(dāng)時，AB兩點間的緯度差已知，得出lx，然后得出lh，仍根據(jù)勾股定理則可得出lOA，通過公式（4.1）得A點的緯度，則也可同時求出。（4）確定太陽與地心間角度由圖10可知（5）確定太陽直射點與當(dāng)?shù)亻g距離已知則（6）確定太陽赤緯度設(shè)太陽赤緯點到同一經(jīng)度上赤道的距離為lx其中R為太陽到地心距離，為太陽到赤緯點

22、的距離。太陽赤緯與各距離間的關(guān)系為則(7) 確定觀測日期太陽赤緯可由問題1中模型一式（1.1）求得，故觀測地點日期的確定可由以上太陽直射點緯度逆推得出。過程如下：N為積日，與日期直接相關(guān)，故設(shè)積日為（8）確定觀測地緯度即正午時，太陽高度角即為所求的觀測地緯度。5.4確定視頻拍攝地點5.4.1模型建立與求解（1）確定每時刻直桿長度與影長的變化附件四為某地2015年7月13日8:54-9:34這一時段內(nèi)直桿影長隨太陽高度角的變化而改變的一個視頻，使用截圖工具對視頻進(jìn)行截圖，可得若干時刻太陽影子的長度?，F(xiàn)每隔4分鐘截取一幀圖片，再用讀圖軟件對其進(jìn)行測量，得到圖片中截取時刻與對應(yīng)影子長度。如下表3：表

23、3截取時刻與對應(yīng)影子長度時刻8:548:589:029:069:10影長（/m)1.19741.16921.14621.11801.0846時刻9:149:189:229:269:309:34影長（/m)1.05641.03851.00770.97690.95640.9307（2）確定擬合函數(shù)影長隨時間變化遵從一定的函數(shù)關(guān)系，在Matlab中將其各時刻點與此時直桿影長進(jìn)行擬合，得到函數(shù)關(guān)系：擬合圖像如下圖13影長隨時間的變化關(guān)系（3）確定當(dāng)?shù)亟?jīng)度在該擬合函數(shù)下，求得影長對應(yīng)每時刻的變化圖像如下：圖14擬合函數(shù)圖像由圖可知，影長最短時，x=97.68，此時所對應(yīng)的北京時刻已知當(dāng)?shù)嘏c北京時間相隔3

24、.345小時，經(jīng)度相差北京經(jīng)度為116.3914，所以該地區(qū)經(jīng)度為即東經(jīng)。（4）確定太陽赤緯已知此時為2015年7月13日，則由式（1.2）并通過計算知。積日，便可得日角將上式求出的結(jié)果帶入式（1.1）得太陽直射點緯度。（5）確定當(dāng)?shù)鼐暥日鐣r刻時，得。已知此時為北半球時間7月13日，太陽直射點在赤道與北回歸線之間，即直射點緯度為20.26°N，聯(lián)立上述關(guān)系式及數(shù)據(jù)，有便得出當(dāng)?shù)鼐暥然?。?）確定該地地理位置假設(shè)附件4中的時間為北半球時間，已知在7月13日時，太陽直射點在赤道與北回歸線之間，即直射點緯度為20.26°N，所以該地可能的地點有四個5.5拍攝時間未知情況下的分析

25、由于在本問題中不知道當(dāng)?shù)氐娜掌?，即太陽直射點的坐標(biāo)未知，只能根據(jù)影長的變化來建立模型求出可能的地點位置。我們根據(jù)具體的定理、公理及公式通過對日地系統(tǒng)的運(yùn)轉(zhuǎn)規(guī)律的分析來建立模型求解?，F(xiàn)在我們用兩種模型進(jìn)行求解。5.5.1模型一建立如問題一所述，對于一個固定的地點，固定的時間，先考慮公轉(zhuǎn)與影長的關(guān)系，然后再考慮地球的自轉(zhuǎn)的變化與影長的關(guān)系，通過求解方程組來求解模型，進(jìn)而得到當(dāng)?shù)卦诳臻g中的坐標(biāo)。求解過程如下：我們將視頻中所給的影長正交分解，分解成與經(jīng)緯度重合的分量，即根據(jù)坐標(biāo)的正交變換可知：（1）考慮同一地點在當(dāng)?shù)卣绲那闆r圖15（2）考慮太陽直射赤道時的情況由圖13可知，太陽直射赤道時H為當(dāng)?shù)氐奶柛叨冉歉鶕?jù)勾股定理有式中由于現(xiàn)在考慮的是太陽直射在赤道上，于是其中為物體的高度，為影子的長度。所以任意一點的緯度坐標(biāo)即是該點的太陽高度角。（3）考慮日期引